AGREGAÇÃO DE ESTADOS PARA O MODELO HIPERCUBO

Transcrição

1 AGREGAÇÃO DE ESTADOS PARA O MODELO HIPERCUBO CAIO VITOR BEOJONE - beojone@hotmail.com UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - UNESP - BAURU-FEB REGIANE MÁXIMO DE SOUZA - regiane@feb.unesp.br UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - UNESP - BAURU-FEB Resumo: UM DOS PRINCIPAIS PROBLEMAS DO MODELO HIPERCUBO É A QUANTIDADE DE ESTADOS QUE CRESCE EXPONENCIALMENTE COM A QUANTIDADE DE SERVIDORES, PROPORCIONANDO UMA DIFICULDADE COMPUTACIONAL PARA A SOLUÇÃO DO MODELO EM SISTEMAS RAZOAVELMENTE GRANDES. EESSE ARTIGO TEM POR OBJETIVO PROPOR O MODELO HIPERCUBO UTILIZANDO A AGREGAÇÃO DE ESTADOS POR MEIO DE UMA COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS DO MODELO HIPERCUBO UTILIZADO EM TRABALHOS ANTERIORES. O MODELO HIPERCUBO É BASTANTE RECONHECIDO COMO FERRAMENTA DE ANÁLISE DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO EMERGENCIAL (SAES). CONTUDO, É NOTADA A DIFICULDADE DE SE UTILIZÁ-LO EM SISTEMAS COM MUITOS SERVIDORES, POR CAUSA DO CUSTO COMPUTACIONAL PARA RESOLVER TAIS MODELOS. O MODELO COM AGREGAÇÃO DE ESTADOS MOSTRA UMA POSSIBILIDADE DE MODELAGEM COM MENOR CUSTO COMPUTACIONAL, MAS COM BONS RESULTADOS, A FIM DE SER UTILIZADO EM PESQUISAS FUTURAS. Palavras-chaves: MODELO HIPERCUBO; AGREGAÇÃO DE SERVIDORES; AGLUTINAÇÃO DE ESTADOS; ALEATORIEDADE NO DESPACHO; SAMU. Área: 6 - PESQUISA OPERACIONAL Sub-Área: PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

2 AGGREGATION STATES FOR MODEL HYPERCUBE Abstract: ONE OF THE MAIN PROBLEMS OF THE HYPERCUBE IS THE NUMBER OF STATES INCREASES EXPONENTIALLY WITH THE NUMBER OF SERVERS, PROVIDING A COMPUTATIONAL DIFFICULTY FOR THE MODEL SOLUTION IN A REASONABLY LARGE SYSTEMS. THIS ARTICLE AIMS TO PROPOSE THHE HYPERCUBE MODEL USING AGGREGATION STATES BY MEANS OF A COMPARISON WITH THE RESULTS OF THE HYPERCUBE MODEL USED IN PREVIOUS WORK. THE HYPERCUBE MODEL IS WELL RECOGNIZED AS AN ANALYTICAL TOOL EMERGENCY SERVICE SYSTEMS (ESS). HOWEVER, THE DIFFICULTY OF USING IT IS NOTICED ON SYSTEMS WITH MANY SERVERS, BECAUSE THE COMPUTATIONAL COST FOR SOLVING SUCH MODELS. THE MODEL WITH STATES OF AGGREGATION SHOWS A POSSIBLE MODELING WITH LOWER COMPUTATIONAL COST, BUT WITH GOOD RESULTS, TO BE USED IN FUTURE SEARCHES. Keyword: HYPERCUBE MODEL; AGGREGATION SERVERS; AGGLUTINATION STATES; RANDOMNESS IN THE ORDER; SAMU. 2

3 1 Introdução A operação e o planejamento de Sistemas de Atendimento Emergencial influenciam diretamente na qualidade de vida de uma população (SOUZA, 2015). Nesse sentido, a Pesquisa Operacional vem sendo utilizado nos últimos 50 anos como uma importante ferramenta para o estudo de tais sistemas. (SIMPSON; HANCOCK, 2009) Dentro da Pesquisa Operacional, o modelo hipercubo é uma ferramenta reconhecida na literatura como eficaz na análise de sistemas de fila espacialmente distribuídas. Trata-se uma ferramenta analítica que pode ser utilizada para se obter medidas de desempenho e propor alterações nos sistemas com a finalidade de se propor um melhor atendimento às necessidades dos usuários (LARSON; ODONI, 2007) Sua aplicação vem sendo utilizada, por exemplo, nos Estados Unidos, em Chelst e Barlach (1981), Brandeau e Larson (1986), Burwell et al. (1993), Sacks e Grieff (1994), Swersey (1994) e Larson e Odoni (2007). No Brasil, alguns exemplos aparecem em Mendonça e Morabito (2000), Oliveira (2003), Chiyoshi et al. (2000), Costa et al. (2004), Figueiredo et al. (2005), Takeda et al. (2004, 2007), Iannoni et al. (2006, 2008), Souza et al. (2013, 2015), Rodrigues (2014) e Luque (2006). Contudo, o modelo é reconhecido pelo seu alto custo computacional, vista a necessidade de construção de modelos com mais equações de equilíbrio quanto maior o número de servidores do sistema (CHIYOSHI et al., 2011; LARSON; ODONI, 2007). Além disso, uma característica comum dos sistemas analisados, a aleatoriedade no despacho de servidores, possibilita que não seja necessária a distinção dos servidores observados, quando estes são homogêneos (LUQUE, 2006). Dessa maneira, este artigo tem por objetivo propor um modelo hipercubo que utilize a agregação de estados como forma de simplificar a resolução de sistemas com muitos servidores. Isso, por meio da comparação dos resultados do modelo apresentado com um trabalho da área, sendo o escolhido o de Takeda et al. (2004). O método utilizado para a abordagem utilizada nesse trabalho será modelagem/simulação (Miguel P. A. C. et al., 2010) Na seção 2, adiante, será apresentado o modelo, assim como algumas medidas de desempenho. Na seção 3 o sistema do SAMU de Campinas apresentado por Takeda et al. (2004) é revisitado para buscar informações para a construção do modelo e comparação dos resultados. Na seção 4 tem-se os resultados do modelo proposto juntamente da comparação. A seção 5 traz algumas considerações finais dos autores e propostas de pesquisas futuras. Por fim, a seção 6 traz as referências bibliográficas utilizadas. 2 Modelo utilizado O modelo hipercubo clássico, desenvolvido por Larson (1974), é um modelo analítico utilizado para analisar sistemas de filas espacialmente distribuídas. Ele pode ser aplicado aos sistemas de delivery, dos bombeiros, da polícia, de guinchos, SAMU, de reparos emergenciais, dentre outros. Ele se origina da expansão dos estados dos servidores de um sistema M/M/m, caracterizando-os como livres (0) ou ocupados (1). Para a resolução de um sistema assim construído serão necessárias (2 n + Q) equações de equilíbrio, sendo n o número de servidores e Q o número de equações de equilíbrio para estados de fila. O tamanho desses sistemas de equações torna a aplicação computacional, além de obrigatória, restrita para sistemas com menos servidores ou à utilização de métodos aproximados, que são bastante limitados. (LARSON; ODONI, 2007; SOUZA, 2010) A experiência mostra que a aleatoriedade no envio de servidores é uma característica razoavelmente comum, em especial onde há co-localização de servidores, conforme visto em 3

4 trabalhos como em Takeda (2000) e Takeda et al. (2004, 2007) através da resolução repetida do modelo com matrizes de preferência de despacho geradas aleatoriamente. Contudo, isso gera dois problemas, o modelo hipercubo, continua com um grande número de equações de equilíbrio e ainda precisa ser resolvido dezenas vezes para chegar a resultados satisfatórios. Também, conforme mostrado em Chiyoshi (2011), é através da indexação da aleatoriedade nas próprias equações de equilíbrio, isso elimina a necessidade de dezenas de resoluções, mas mantém o problema do grande número de equações de equilíbrio para resolver. A fim de diminuir o número equações de equilíbrio pode-se pensar num conjunto de servidores homogêneos, co-localizados e com as mesmas preferências de envio entre si como um agrupamento de servidores. Conforme apresentado por Luque (2006), a aglutinação de estados é válida como forma de conseguir modelos com menos equações, todavia não a aplicou ou desenvolveu. Por exemplo, num sistema com dois servidores nessas condições não precisam ser representados pelos estados {00}, {10}, {01} e {11} mas sim pelos estados {0} (nenhum servidor ocupado), {1} (um servidor ocupado) e {2} (dois servidores ocupados), que dizem respeito ao agrupamento, onde não há diferença no envio de um servidor ou outro. Com isso, o número de estados desses sistemas dependerá do número de agrupamentos e do número de servidores por agrupamento. Para tanto, apresenta-se a Equação (1), onde M é o número de estados do sistema, m é o número de agrupamentos, n k é o número de servidores do agrupamento k e Q o número de estados das filas. Por exemplo, considere um sistema composto por 3 átomos, que são subdivididos em prioridades a e b. O sistema possui 4 servidores, 3 localizados no átomo 1 (1 servidor especializado em chamados a e 2 em b) e 1 localizado no átomo 2, conforme a Figura X abaixo. Ele possui capacidade para três usuários indistintos em fila. Figura 1 Mapa esquemático do exemplo Não há diferença quanto às taxas de serviço e prioridade de envio entre os servidores 2 e 3 (escolha aleatória), permitindo que formem um agrupamento próprio. Tem-se então três agrupamentos distintos: 1) composto pelo servidor 1 (VSA); 2) composto pelos servidores 2 e 4

5 3; e 3) composto pelo servidor 4. Através da Equação 1 pode-se obter o número de estados como sendo: Caso não houvesse a agregação dos servidores teria-se = 19 estados, uma diminuição de apenas 4 estados. Contudo, conforme será mostrado na Seção 5, em quanto mais servidores agregados, maior a redução no número de estados. Continuando com o exemplo, a matriz de preferência de despacho é dada pela Tabela 1 a seguir, elaborada levando em conta a posição dos agrupamentos. Tabela 1 Matriz de preferência de despacho do exemplo 1º 2º 3º 1a b a b a b A Tabela 2 apresenta as taxas de chegada do sistema, juntamente das taxas de entrega de cada servidor que são totalizadas nas taxas de entrega dos agrupamentos. Tabela 2 Taxas de chegada e de serviço do exemplo ilustrativo Taxa de Átomo chegada (λ) Servidores Taxa de Taxa de Agrupamento serviço (μ) serviço (μ) 1a 0,20 1,1 1,0 1 1,0 1b 1,00 2,1 1,2 2 2,4 2a 0,15 2,2 1,2 3 1,2 2b 0,80 3,1 1,2 3a 0,10 3b 0,80 A Figura 2 representa um esquema de transição dos estados do exemplo usando a agregação de estados. As setas vermelhas indicam as transições que ocorrem pela chegada de chamados e as setas verdes as transições pela conclusão de serviços. 5

6 Figura 2 Esquema de transição entre estados do exemplo Fazendo-se um recorte no estado {110}, onde o agrupamento 1 está com seu servidor ocupado e o agrupamento 2 está com um de seus dois servidores ocupados, enquanto o agrupamento 3 está com seu servidor livre, observa-se as transições de entrada e saída do estado, conforme presente na Figura 3. Figura 3 Transições do estado {110} do exemplo ilustrativo Agora é possível construir as equações de equilíbrio e resolvê-las, encontrando as probabilidades de estado do sistema, o que possibilita a obtenção de medidas de desempenho, como carga de trabalho, frequência de despacho, tempos de viagem, tempo médio de espera em fila, etc. Para calcular a carga de trabalho ρ do servidor i do agrupamento k, utiliza-se a Equação 2 a seguir. Onde, B é um estado pertencente ao conjunto de estados M do sistema, n kb é o número de servidores do agrupamento k que se encontram ocupados no estado B, n k é o número de servidores pertencentes ao agrupamento k, P B é a probabilidade do estado B. 6

7 Dessa forma, as cargas de trabalho dos servidores do exemplo estão presentes na Tabela 3 a seguir. Note que os servidores 2 e 3, que são pertencentes ao agrupamento 2 possuem a mesma carga de trabalho, já que são homogêneos e não há diferença na preferência de envio entre eles. Tabela 3 Carga de trabalho dos servidores do exemplo ilustrativo Servidor Carga 1 0, , , ,6901 As frequências de despacho, f, do servidor ki para o átomo j, é dada pela Equação 3 abaixo. Onde, f (nq) ki,j é a frequência de despacho do servidor ki ao átomo j que não ocasionou em tempo de espera, f nq) ki,j é a frequência de despacho do servidor ki ao átomo j que resultou de tempo de espera. E k,j é o conjunto de estados nos quais um servidor qualquer do agrupamento k seria despachado para atender a chamados no átomo j, P D é a probabilidade do estado observado e P S é probabilidade de saturação do sistema. Com isso, para o exemplo ilustrativo, tem-se as frequências de despacho calculadas presentes na Tabela 4. Mais uma vez, note que as frequências de despacho para os servidores do agrupamento 2 são exatamente iguais. Tabela 4 Frequências de despacho do exemplo ilustrativo 1a 1b 2a 2b 3a 3b 1 0,032 0,048 0,024 0,038 0,016 0, ,013 0,114 0,007 0,06 0,006 0,06 3 0,013 0,114 0,007 0,06 0,006 0,06 4 0,008 0,053 0,01 0,103 0,004 0,103 Outras medidas de desempenho são calculadas exatamente da forma como é encontrada na literatura, como em Larson e Odoni (2007), Souza (2015), Iannoni (2008) e Takeda et al. (2007). 3 Revisita ao sistema SAMU de Campinas O sistema SAMU de Campinas, estudado por Takeda et al. (2004), operava 24 horas por dia com uma central telefônica para a recepção dos chamados. O sistema foi implantado em 1994 durante uma reorganização dos sistemas de atendimento de urgência da cidade. O sistema operava com um total de 10 ambulâncias para as operações de urgência, sendo 2 VSAs (veículos de serviço avançado, voltados para atendimentos mais graves) e 8 VSBs (veículos de serviço básico, voltados para atendimentos mais simples). Além disso, a cidade era 7

8 subdividida em cinco áreas distintas Norte, Sul, Leste, Oeste e Centro, porém os veículos encontravam-se todos na base operacional do sistema (região Centro). Os chamados podiam ser entrar em uma fila de espera, caso todas as ambulâncias estivessem ocupadas, sendo a fila limitada a um chamado por ambulância em operação. A Figura 4 mostra o mapa da cidade com as subdivisões utilizadas para o sistema, assim como o local da base operacional. O envio dos servidores era feito conforme a gravidade da ocorrência, os VSAs para as ocorrências graves e os VSBs para os chamados simples, ou seja, utilizou-se a divisão por camadas dos átomos para demonstrar as diferenças de prioridade. A escolha do servidor era feita de forma aleatória dentro desses grupos para o envio. Por fim, após a coleta de dados e obtenção do período de pico, as informações necessárias para a construção do modelo foram obtidas, estando presentes na Tabela 5, onde já foram considerados os agrupamentos. Figura 4 Mapa da cidade de Campinas com as suas subdivisões e local da base. Fonte: Takeda et al. (2004). Átomos Tabela 5 Dados da modelagem do sistema SAMU de Campinas Taxas de chegada (λ) Servidores Taxas de entrega (μ) Agrupamentos Taxas de entrega (μ) N A 0,1035 1,1 0, (VSAs) 1,9212 N B 0,8535 1,2 0, (VSBs) 7,3376 S A 0,0776 2,1 0,9524 S B 0,8535 2,2 0,8571 L A 0,0776 2,3 0,9836 L B 0,8535 2,4 0,9091 O A 0,1293 2,5 0,9375 O B 1,5001 2,6 0,9836 C A 0,1293 2,7 0,8571 C B 0,8276 2,8 0,8571 Fonte: Takeda et al. (2004). 4 Resolução através do modelo proposto e comparação de resultados Para a construção do sistema apresentado primeiro partiu-se para a contagem do número de estados necessários para a construção do modelo, utilizou-se a Equação 1, obtendo-se o número de 37 estados no total. No trabalho de Takeda et al. (2007), como não houve agregação de estados o número total de estados foi de = 1034, além disso, para 8

9 capturar a aleatoriedade no envio dos servidores esse sistema precisou ser resolvido diversas vezes, aumentando ainda mais o número de equações resolvidas. Com isso em mente, as informações apresentadas na Seção 3 e o modelo apresentado na Seção 2, calculou-se as probabilidades de cada estado do sistema, assim como algumas medidas de desempenho. Primeiramente, encontrou-se a carga de trabalho dos servidores por meio da Equação 2, conforme se encontra na Tabela 6. Observe que mesmo, no estudo original, os servidores não sendo considerados homogêneos dentro de suas classes (VSAs e VSBs) isso não atrapalhou na obtenção da medida de desempenho, onde os resultados foram iguais para todos servidores. Tabela 6 Comparação das cargas de trabalho obtidas Servidor Com Agregação Sem agregação - original Takeda (2004) 1,1 0,39 0,39 1,2 0,39 0,39 2,1 0,63 0,63 2,2 0,63 0,63 2,3 0,63 0,63 2,4 0,63 0,63 2,5 0,63 0,63 2,6 0,63 0,63 2,7 0,63 0,63 2,8 0,63 0,63 Para as frequências de despacho foi utilizada a Equação 3 e os resultados presentes na Tabela 7 a seguir. Note que, devido às pequenas alterações nas taxas de serviço das ambulâncias de mesmo agrupamento, há uma pequena diferença entre elas. Contudo, não foi possível estabelecer uma comparação, porque essa informação não fora encontrada nos trabalhos relacionados (TAKEDA, 2000; TAKEDA et al., 2004; 2007). Tabela 7 Frequências de despacho para os servidores do sistema SAMU de Campinas N A N B S A S B L A L B O A O B C A C B 1,1 0,008 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,01 0,01 0,01 0,005 1,2 0,007 0,005 0,006 0,005 0,006 0,005 0,009 0,009 0,009 0,005 2,1 5E-04 0,019 4E-04 0,019 4E-04 0,019 6E-04 0,034 6E-04 0,019 2,2 4E-04 0,017 3E-04 0,017 3E-04 0,017 6E-04 0,03 6E-04 0,017 2,3 5E-04 0,02 4E-04 0,02 4E-04 0,02 6E-04 0,035 6E-04 0,019 2,4 5E-04 0,018 4E-04 0,018 4E-04 0,018 6E-04 0,032 6E-04 0,018 2,5 5E-04 0,019 4E-04 0,019 4E-04 0,019 6E-04 0,033 6E-04 0,018 2,6 5E-04 0,02 4E-04 0,02 4E-04 0,02 6E-04 0,035 6E-04 0,019 2,7 4E-04 0,017 3E-04 0,017 3E-04 0,017 6E-04 0,03 6E-04 0,017 2,8 4E-04 0,017 3E-04 0,017 3E-04 0,017 6E-04 0,03 6E-04 0,017 9

10 5 Considerações finais Neste artigo foi apresentada uma proposta de modelo como alteração ao modelo hipercubo a fim de se poder modelar sistemas com menor custo computacional. Além de apresentar algumas de suas medidas de desempenho e uma comparação com um estudo anterior. O novo modelo proposto mostrou-se bastante simples e ainda sim com bons resultados, mesmo utilizando-se de algumas aproximações. Isso é possível de se observar nas Seções 3 e 4, onde os servidores, mesmo não sendo homogêneos, foram agrupados. Tiveram suas cargas de trabalho exatamente iguais na comparação com Takeda et al. (2004). Com isso em vista, consegue-se atender a uma demanda pela diminuição do modelo sem a perda de precisão nos resultados apresentada em Chiyoshi e Morabito (2000), Chiyoshi et al. (2011), Luque (2006). Sendo que neste novo modelo o aumento no número de estados provém do número de servidores e número de agrupamentos, conseguindo, como mostrado na Seção 4 diminuir o número de estados de um sistema para uma fração. Na comparação realizada, por exemplo, essa diminuição foi de 1034 equações para apenas 37, mantendo a precisão dos dados. Para trabalhos futuros, propõe-se a utilização desse novo modelo juntamente de outras extensões do modelo hipercubo, como prioridade em fila, backup parcial, reserva de capacidade, entre outras, em sistemas reais. Também propõe-se o estudo de sistemas fora de seu estado de equilíbrio, por meio de uma análise dinâmica, como mostrado em Souza et al. (2014). Os autores agradecem à FAPESP pelo apoio financeiro. 6 Referências BRANDEAU M., LARSON R.C. Extending and applying the hypercube queueing model to deploy ambulances in Boston. In: SWERSEY A.J, INGNALL E.J.(eds). Delivery of Urban Services. TIMS Studies in the Management Science 22, Elsevier, , BURWELL T.H., JARVIS J.P., McKNEW M.A. Modeling co-located servers and dispatch ties in the hypercube model. Computers & Operations Research 20(2), , CHELST K. R., BARLACH Z. Multiple unit dispatches in emergency services: models to estimate system performance. Management Science 27(12), p , CHIYOSHI F., GALVÃO R.D., MORABITO R. O uso do modelo hipercubo na solução de problemas de localização probabilísticos. Gestão & Produção 7(2), , CHIYOSHI, F., IANNONI, A. P., MORABITO, R. A tutorial on hypercube queueing models and some practical applications in emergency service systems. Pesquisa Operacional, v. 31, n. 2, p , COSTA D.M. Uma metodologia iterativa para determinação de zonas de atendimento de serviços emergenciais. Universidade Federal de Santa Catarina. Tese (doutorado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia de Produção, FIGUEIREDO A. P. S., LORENA L. A. N. Localização de ambulâncias: uma aplicação para a cidade de São José dos Campos. Anais XII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Goiânia, Brasil, INPE, p , IANNONI A. P., CHIYOSHI F., MORABITO, R. A spatially distributed queuing model considering dispatching policies with server reservation, Transportation Research, E 75, 49-66, IANNONI A. P. Otimização da configuração e operação de sistemas médico emergenciais em rodovias utilizando o modelo hipercubo. Universidade Federal de São Carlos. Tese 10

11 (doutorado em Engenharia de Produção) Departamento de Engenharia de Produção, IANNONI A. P., MORABITO R. Modelo de fila hipercubo com múltiplo despacho e backup parcial para análise de sistemas de atendimento médico emergenciais em rodovias. Pesquisa Operacional, v.26, n.3, p , IANNONI, A. P., MORABITO, R., SAYDAM, C. A hypercube queueing model embedded into a genetic algorithm for ambulance deployment on highways. Annals of Operations Research 157 (1), p , 2008a. IANNONI A. P., MORABITO, R., SAYDAM, C. An optimization approach for ambulance location and the districting of the response segments on highways. European Journal of OperationalResearch, 2008b. doi: /j.ejor IANNONI, A. P., MORABITO, R. A multiple dispatch and partial backup hypercube queuing model to analyze emergency medical systems on highways. Transport Research, Part E, LARSON R.C. Hypercube queuing model for facility location and redistricting in urban mergency services. Computers and operations research 1, 67-95, LARSON R.C., ODONI A.R. Urban Operations Research. 2 ed. Dynamic Ideas, Belmont, Massachusett, LUQUE L. Análise da aglutinação de estados em cadeias de markov do modelo hipercubo de filas com servidores co-localizados. Dissertação de Mestrado. INPE São José dos Campos, MENDONÇA F., MORABITO R. Aplicação do modelo hipercubo para análise de um sistema médico-emergencial em rodovia, Gestão & Produção 7(1), 73-91, MENDONÇA F.C., MORABITO R. Analyzing emergency service ambulance deployment on a Brazilian highway using the hypercube model. Journal of the Operation Research Society 52, , MIGUEL P.A.C., MORABITO R., PUREZA V. Metodologia de pesquisa em engenharia de produção e gestão de operações. Elsevier, 2010, p OLIVEIRA L. K. Uma aplicação do modelo hipercubo de filas para avaliação do centro de emergência da polícia militar de Santa Catarina. Florianópolis. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, RODRIGUES, L. F. Análise dos serviços emergenciais de manutenção agrícola e borracharia na agroindústria canavieira utilizando teoria de filas. Universidade Federal de São Carlos. Tese (doutorado em Engenharia de Produção) Departamento de Engenharia de Produção, SACKS S. R., GRIEF S. Orlando Police Department uses OR/MS methodology, new software to design patrol districts. OR/MS Today, Baltimore, 30-32, SIMPSON N.C., HANCOCK P.G. Fifty years of operational research and emergency response. Journal of the Operational Research Society 60, p , SOUZA, R. M. Análise da configuração de SAMU utilizando modelo hipercubo com prioridade na fila e múltiplas alternativas de localização de ambulâncias. Universidade Federal de São Carlos. Tese (doutorado em Engenharia de Produção) Departamento de Engenharia de Produção, SOUZA, R. M.; MORABITO, R.; CHIYOSHI, F. Y.; IANNONI, A. P. Análise da configuração de SAMU utilizando múltiplas alternativas de localização de ambulâncias. Gestão & Produção, v. 20, n. 2, p , SOUZA, R. M., MORABITO, R., CHIYOSHI, F. Y., IANNONI, A. P. Abordagem dinâmica nos modelos M(t)M(t)m(t)C(t) e Hipercubo, XLVI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Anais, p , 2014b. 11

12 SOUZA R. M., MORABITO R., CHIYOSHI F. Y., IANONNI A. P. Incorporating priorities for waiting customers in the Hypercube Queuing Model, with application to an emergency medical service system in Brazil. European Journal of Operational Research, v. 242, p , TAKEDA, R. A. Uma contribuição para avaliar o desempenho de sistemas de transporte emergencial de saúde. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção), EESC/Universidade de São Paulo, São Carlos, TAKEDA, R. A.; WIDMER, J. A.; MORABITO, R. Aplicação do modelo hipercubo de filas para avaliar a descentralização de ambulâncias em um sistema urbano de atendimento médico de urgência. Pesquisa Operacional, v. 24, n. 1, p , TAKEDA R.A., WIDMER, J.A., MORABITO, R. Analysis of ambulance decentralization in an urban emergency medical service using the hypercube queueing model. Computers & Operations Research 34, p ,