APLICAÇÃO DO MODELO HIPERCUBO PARA ANÁLISE DE UM SISTEMA MÉDICO- EMERGENCIAL EM RODOVIA.

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1 APLICAÇÃO DO MODELO HIPERCUBO PARA ANÁLISE DE UM SISTEMA MÉDICO- EMERGENCIAL EM RODOVIA. FERNANDO CESAR MENDONÇA REINALDO MORABITO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Universidade Federal de São Carlos Rodovia Washington Luiz São Carlos - SP ABSTRACT: In a medical emergency system, the quality of the service is fundamental since this might be the difference between the life and death of the user. Besides the attendance quality, one of the most important components of the service level is the average waiting time of an emergency call. However, acquiring equipments and trainning for the team to reduce this waiting time would imply in additional investments. In this case, a tradeoff between the service level and the investments appears. To support the decisions involved, there is a mathematical model named hypercube, which is based on spatially distributed queueing theory. In order to illustrate na Application of the present methodology, a case study was performed in "Anjos do Asfalto", a medical emergency system active on the highway Presidente Dutra between the cities of Rio de Janeiro and São Paulo in Brazil. The results show that the hypercube model can be an effective tool to support the decisions of emergency systems on highways. KEYWORDS: medical emergency system, queueing theory, hypercube model RESUMO: Em um sistema médico-emergencial é fundamental o nível de serviço, pois a qualidade de atendimento poderá ser a diferença entre a vida ou a morte do usuário. Além da qualidade de atendimento, um dos componentes mais importantes no nível de serviço é o tempo médio de

2 atendimento à uma chamada emergencial. Entretanto, adquirir equipamentos e/ou treinamentos para a equipe para reduzir este tempo de atendimento, incorre em custos e investimentos adicionais. Nessa situação, aparece um tradeoff entre nível de serviço e investimento. Para auxiliar na tomada de decisão, há uma ferramenta chamada Modelo Hipercubo, que é baseado em Teoria de Filas espacialmente distribuídas. Para ilustrar a aplicação deste modelo, foi realizado um estudo de caso nos Anjos do Asfalto, um sistema médico-emergencial localizado na Rodovia Presidente Dutra entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo. Os resultados mostram que o Modelo Hipercubo pode ser uma ferramenta efetiva de apoio à decisão em sistemas emergenciais na rodovia. PALAVRAS-CHAVE: atendimento médico-emergencial, teoria de filas, Modelo Hipercubo 1. INTRODUÇÃO Nosso cotidiano está cercado de situações onde serviços são requisitados. Como a população aumenta a cada dia, cresce a potencial demanda por estes serviços. Alguns deles são básicos, tais como atendimentos hospitalares, coleta de lixo, reparos a veículos, transporte, policiamento... Por este motivo, surge a necessidade de aprimorar o gerenciamento de sistemas que oferecem estes serviços, para que seja garantido um nível de atendimento aceitável para seus usuários. Pode-se perguntar: por que existem tantas filas? Por um motivo simples: podemos ter situações onde, num certo intervalo de tempo, há mais demanda pelo serviço do que capacidade disponível. Uma das razões deste fato é que, muitas vezes, é economicamente inviável fornecer um nível de serviço perfeito aos clientes. Muitas vezes, um baixo nível de serviço gera um prejuízo ao sistema não propriamente financeiro, mas um prejuízo intangível, que é sua confiabilidade. Os serviços de atendimentos à população podem ser classificados em três grupos: i) Serviços de rotina (ou periódicos): coleta domiciliar de lixo, entrega de jornais, distribuição de correspondências. ii) Serviços semi-emergenciais: reparos em rede de energia elétrica, água, saneamentos, telefonias. iii) Serviços de emergência: polícia, bombeiros, ambulâncias.

3 No terceiro grupo, o custo intangível é alto, fazendo com que estes sistemas devam ser planejados com altos índices de ociosidade, para que a probabilidade de espera em filas seja pequena. Já no primeiro e segundo, podem ter atrasos ou filas um pouco maiores, permitindo que o sistema trabalhe com um nível de utilização maior. Muitas vezes, em um acidente traumático, poucos minutos de espera ao atendimento às vítimas poderá representar a diferença entre a vida normal e a tetraplegia permanente ou, em situações mais graves, entre a vida e a morte. Quando se pensa em gerenciamento de recursos de um sistema de atendimento médico-emergencial não se pode esquecer que melhor qualidade em serviço, em geral, implica em maiores custos e investimentos. Independente da forma de financiamento da empresa que gerencia o sistema de atendimento (público, privado ou cooperativo), é desejável que os recursos (não apenas financeiros) sejam alocados da melhor forma possível. Cabe observar que este trade-off entre nível de serviço e custo não é exclusivo de sistemas médico-emergenciais. A saúde de um ser humano é muito importante e, por motivos óbvios, deve receber atenção prioritária. Acidentes, como o próprio nome diz, são situações que não se pode prever onde, como e quando ocorrerão. Entretanto, a partir de dados históricos, é possível identificar regiões e/ou períodos de maior incidências de acidentes. Também não é interessante ao sistema que haja maior (ou menor) utilização de um servidor sobre os demais, isto é, um certo balanceamento entre a carga de trabalho dos servidores é desejável. 2. O SISTEMA ANJOS DO ASFALTO O sistema emergencial estudado foi "Os Anjos do Asfalto", que são uma fundação nãogovernamental sem fins lucrativos, e que presta socorro a acidentados e feridos ou pessoas que se sentem mal na Rodovia Presidente Dutra (entre o estado do Rio de Janeiro e o estado de São Paulo). Tal Sistema é composto por seis bases ao longo da referida rodovia. Cada base é composta por ambulâncias de atendimentos de urgência e uma equipe composta por resgatistas, que fazem os resgates necessários, e médicos, que fazem os atendimentos de socorro propriamente ditos, além dos motoristas.. Esta equipe não se movimenta individualmente. Há um posto central no município do Rio de Janeiro que monitora a rodovia através de rádio. Qualquer movimento da ambulância (mesmo abastecimento) é avisado à central.

4 2.1 LOCALIZAÇÃO DAS BASES Atualmente a localização das bases são: km 165-RJ (Pavuna), km 206-RJ (Japeri), km 227-RJ (Caiçara), km 258-RJ (Volta Redonda), km 311-RJ (Penedo) e km 18-SP (Lavrinhas), conforme figura CHAMADO DE OCORRÊNCIAS Como a base é avisada da ocorrência de um acidente? Em princípio, a alocação de ambulâncias é coordenada: alguma testemunha avisa diretamente a central ou via Polícia Rodoviária, e esta central encaminha a ambulância disponível mais próxima ao acidente. Entretanto, pode acontecer de a testemunha ou a polícia avisar diretamente o posto. Neste caso, a ambulância avisa via rádio a central e comunica o local do acidente. A política de despacho é sempre alocar a ambulância mais próxima ao local da ocorrência. Pode também haver a necessidade de alocar a segunda ambulância mais próxima ao chamado. Se essa também estiver ocupada, o chamado é transferido para a Polícia Rodoviária ou o Corpo de Bombeiros da cidade mais próxima ao local, nunca chamando uma terceira ambulância do sistema. Após a privatização da Via Dutra, a concessionária possui um veículo especial que circula pela rodovia, avisando a central se houver um acidente (nos dados coletados, a grande maioria dos chamados foram feitos dessa forma). Também é possível que a ambulância se ocupe não saindo para atender um ferido, mas atendendo alguém que peça auxílio na própria base (epilépticos, cardíacos com mal-estar, pessoas alcoolizadas). Quando um chamado não é atendido pelos Anjos do Asfalto, é considerado como perda do sistema. 3. O MODELO HIPERCUBO O modelo Hipercubo é uma ferramenta específica para o planejamento de sistemas urbanos e rurais, pois considera não só a parte temporal de um problema, mas também as complexidades geográficas de uma região ou aglomerado urbano, além da política de despacho específica para cada sistema.

5 Foi inicialmente proposto por Richard Larson e pode ser encontrado na sua concepção original em LARSON (1974) ou em detalhes em LARSON & ODONI (1981). O modelo é composto por um sistema de equações que, uma vez resolvido, fornece as probabilidades de equilíbrio dos estados que o sistema pode assumir. Estas probabilidades permitem computar medidas de desempenho interessantes para o gerenciamento do sistema. O modelo baseia-se na divisão da região estudada em um conjunto de átomos geográficos. Cada um é considerado como fonte independentes solicitadora de serviços. O atendimento aos átomos é realizado por servidores, que podem estar fixos em um ponto (base), ou em patrulhamento ao redor da região (entretanto seu movimento deverá ser conhecido ao menos probabilisticamente). Para um servidor, sua área de cobertura primária é o conjunto dos átomos para os quais este servidor tem prioridade em atendimento (é o primeiro a ser chamado). No caso deste servidor estar ocupado, outros serão chamados para atender a solicitação. 3.1 APLICAÇÕES DO MODELO HIPERCUBO Foram encontrados na literatura alguns usos do modelo, entre eles, destaca-se um patrulhamento policial em uma cidade, registrado em SACKS & GRIEF (1994); o projeto para área de cobertura primária para ambulâncias ou veículos de reparo, um exemplo de aplicação do Modelo Hipercubo para localização de ambulâncias pode ser encontrado em BRANDEAU & LARSON (1986); visita de serviço social, encontrado em LARSON & ODONI (1981); e atendimento a interrupções de redes de energia elétrica, encontrado em ALBINO (1994). 3.2 HIPÓTESES DO MODELO HIPERCUBO O Modelo Hipercubo baseia-se em teorias de filas espacialmente distribuídas. Suas hipóteses básicas para a aplicação são: 1) Existência de átomos geográficos na região, que podem ser consideradas como solicitadoras de serviços independentes. Todos os pontos de um átomo devem ter mesmos processos de chegada. 2) Chegadas de chamados conforme processos de Poisson independentes para cada átomo e, consequentemente, para toda a região.

6 3) Tempos de deslocamento do servidor, devem ser conhecidos o tempo que qualquer servidor leva para ir de um átomo a outro dentro da região (ou a distância entre os átomos e a velocidade média do servidor neste trecho). 4) Servidores, fixos em um átomo ou em patrulhas, que devem atender à região inteira, ou pelo menos parte dela. 5) A localização dos servidores deve ser conhecida. Se o servidor mover-se dentro de uma parte da região, sua posição deve ser conhecida probabilisticamente. 6) Despacho de um servidor. Para cada chamado, deverá ser alocado um e somente um servidor para atendê-lo. 7) Política de despacho dos servidores. Deve haver um ranking de opções para atender chamados de cada átomo. Define-se área de cobertura primária de um servidor como sendo todos os átomos onde esse servidor é primeira opção de chamado e backup como sendo qualquer atendimento de um servidor que não tenha sido em sua área de cobertura primária. 8) Tempo de execução do serviço. O tempo de execução de um serviço é resultante de quatro parcelas: o tempo de setup (que é o tempo que a equipe leva para se preparar), tempo de ida, tempo de atendimento no local e tempo de volta. As duas parcelas, quando agregadas, formam o tempo de resposta. 9) Dependência do tempo total em relação ao tempo de deslocamento. O tempo de resposta e tempo de volta deverão ser de segunda ordem em relação ao tempo de atendimento no local. Algumas das hipóteses 1-9 podem ser relaxadas. 3.3 MEDIDAS DE DESEMPENHO Uma vez admitidas as hipóteses acima, o modelo permite que se calcule as seguintes medidas de desempenho: Região: tempo médio de deslocamento, ocupação média, nível de balanceamento, fração de despachos de um servidor fora de sua área de cobertura primária. Servidor: ocupação, tempo médio de deslocamento, fração de atendimentos realizados fora de sua área de cobertura primária.

7 Área de cobertura primária: ocupação gerada internamente, ou seja, porcentagem de todos chamados na região que foram feitos por tal área; tempo médio de deslocamento interno, fração de atendimentos backup (outros servidores). Átomo: ocupação gerada internamente; tempo médio de deslocamento interno, ou seja, porcentagem de todos chamados na região que foram feitos por tal átomo; fração de atendimentos realizado por cada um dos servidores. Quanto às prioridades, o modelo considera a disciplina FCFS (first come, first serve, primeiro que entra, primeiro a ser servido, já explicado na seção 3.3.3). Entretanto, outras formas de prioridade podem ser aceitas ou facilmente adaptadas. 4. COLETA DE DADOS E RESULTADOS Foram coletados dados relativos a alguns fins de semana de Os dados levantados continham os instantes em que os servidores foram despachados (com isso pode-se caracterizar o processo de chegada), os instantes em que o servidor retornou à base (com isso caracterizar o processo de atendimento), além do local do chamado e o servidor que foi alocado. Para cada processo (chegada e atendimento) foram feitos testes de hipóteses para verificar a aderência da distribuição exponencial (Processo de Poisson). A verificação foi feita utilizando-se três testes : teste do qui-quadrado (SHAPIRO & GROSS, 1981), Kolmogorov & Smirnov (SHAPIRO & GROSS, 1981) e Lillefors (CONOVER, 1971). Os testes foram feitos com níveis de significância de 1% e 5%. No processo de atendimento, todos os átomos puderam ser considerados como markovianos. Já para o processo de atendimento, alguns servidores não puderam ser considerados como markovianos. Pôde-se perceber, pelos dados, que cada servidor possui processo de atendimento distinto dos demais. A partir dos dados coletados, gerou-se algumas medidas de desempenho. 4.1 WORKLOAD DE UM SERVIDOR Fração do tempo em que o servidor fica ocupado.

8 Base (n) Workloads ρ n Pavuna 0,1351 Japeri 0,1923 Caiçara 0,1641 Volta Redonda 0,3037 Penedo 0,1834 Lavrinhas 0,1488 Tabela 1: workloads de cada servidor Média: 0, Desvio padrão 0,0589 Workloads 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Pavuna Japeri Caiçara Volta... Penedo Lavrinhas Figura 1: Workloads de cada servidor 4.2 FRAÇÃO DOS ATENDIMENTOS DE UM SERVIDOR QUE FORAM FORA DE SUA ÁREA PRIORITÁRIA. É a fração dos atendimentos de cada servidor que não foi em sua área prioritária. Base i Fração fi i Pavuna 0,0517 Japeri 0,1892 Caiçara 0,1089

9 Volta Redonda 0,1303 Penedo 0,2393 Lavrinhas 0,1771 Tabela 2: Fração de atendimentos de cada servidor que tenha sido em backup Média 0, Desvio Padrão: 0,0663 Fração de backup 0,3 0,2 0,1 0 Pavuna Japeri Caiçara Volta... Penedo Lavrinhas Figura 2: Fração dos atendimentos de cada servidor que foram para backup 4.3 FRAÇÃO DOS CHAMADOS DE UM ÁTOMO QUE FORAM ATENDIDOS POR OUTRO SERVIDOR QUE NÃO SEJA O PRIORITÁRIO É a fração, para cada átomo, dos atendimentos que não foram atendidos pelos respectivos servidores prioritários Átomo i Fração ft i Pavuna 0,1036 Japeri 1 0,1617 Japeri 2 0,1574

10 Caiçara 1 0,2135 Caiçara 2 0,1163 Volta Redonda 1 0,2599 Volta Redonda 2 0,2447 Penedo 1 0,1190 Penedo 2 0,1505 Lavrinhas 0,1187 Tabela 3: Fração dos atendimentos de cada átomo que foram por backup Média: 0, Desvio Padrão: 0, TEMPO DE VIAGEM DE UM SERVIDOR Tempo médio que cada servidor leva para chegar até qualquer atendimento. Servidor i Tempo de deslocamento (min) Tu i Pavuna 4,74 Japeri 7,46 Caiçara 5,86 Volta Redonda 11,53 Penedo 10,49 Lavrinhas 9,43 Tabela 4: Tempo de deslocamento de cada servidor (em minutos) Média: 8,25 min - Desvio Padrão: 2,68 min

11 15 tempo (min) Figura 3: Tempo de viagem de cada servidor (em minutos) 4.5 TEMPO DE VIAGEM A CADA ÁTOMO É o tempo que um chamado em cada átomo espera para ser atendido. Átomo j Tempo de deslocamento Tj (min) 1 - Pavuna 6, Japeri 1 9, Japeri 2 5, Caiçara 1 5, Caiçara 2 7, Volta Redonda 1 8, Volta Redonda 2 14, Penedo 1 8, Penedo 2 5, Lavrinhas 9,45 Tabela 5: Tempo de viagem de cada átomo (em minutos) Média: 8,79 min - Desvio Padrão: 2,83 min 5. CENÁRIOS ALTERNATIVOS Como pode-se perceber no item 4.1, o sistema não está balanceado, pois um servidor (Volta Redonda) trabalha mais que os demais. Foi proposto um cenário alternativo, que consistia em uma

12 redução no tamanho dos átomos em que o servidor em questão é prioritário. Com isto, obteve-se uma melhor distribuição dos servidores, conforme pode ser visto na tabela abaixo: Servidor Sistema original Sistema modificado Pavuna 0,1351 0,1346 Japeri 0,1923 0,1848 Caiçara 0,1641 0,1199 Volta Redonda 0,3037 0,2222 Penedo 0,1834 0,2155 Lavrinhas 0,1488 0,1527 Tabela 6: Comparação entre os workloads de cada servidor no sistema original e no modificado Sistema original: Média: 0,1874, desvio padrão: 0,0589 Sistema modificado: Média: 0,1716, desvio padrão: 0,0426 workloads 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Sistema original Sistema modificado Pavuna Japeri Caiçara Volta Re... Penedo Lavrinhas Figura 4: Comparação entre o sistema original e o modificado Análises semelhantes, para outras medidas de desempenho, podem ser encontradas em MENDONÇA (1999). Outra análise do sistema que foi feita com o auxílio do modelo, foi verificar como os Anjos respondem a um aumento da demanda. Para isto, acrescentou-se às taxas de chegada incrementos de 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 100%, 200% e 300%. O resultado obtido para uma medida de desempenho (probabilidade de sistema vazio) é apresentado na tabela a seguir.

13 Aumento da demanda (%) Probabilidade do sistema estar vazio 0 0, , , , , , , , ,0011 Tabela 7: Impacto do aumento da demanda sobre a probabilidade do sistema estar vazio Análises similares para outras medidas de desempenho podem ser encontradas em MENDONÇA (1999). Probabilidade de sistema vazio 0,4 0, Aumento da demanda (%) Figura 5: Impacto do aumento da demanda sobre a probabilidade do sistema estar vazio 6. CONCLUSÕES O Modelo Hipercubo pode ser muito útil para analisar um sistema emergencial em rodovias. Apesar de sua política de despachos particular, na qual um servidor não atende todos os átomos, os Anjos podem ser analisados pelo Modelo Hipercubo. Podemos perceber que os Anjos têm um prestado um bom serviço, pois o tempo de viagem (8,25 min, conforme seção 4.4) é pequeno e as frações de

14 backup também são pequenas. Também conclui-se que o Modelo serve para analisar cenários alternativos, tanto para balancear o sistema, como para prever um aumento da demanda e analisar a sensibilidade dos resultados com respeito à perturbação dos parâmetros. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALBINO, J.C.C. Quantificação e locação de unidades móveis de atendimento de emergência e interrupções em redes de distribuição de energia elétrica: aplicação do Modelo Hipercubo. Florianópolis : UFSC, p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia de Produção BRANDEAU, M.L., LARSON, R.C. Extending and applying the hipercube model to deploy ambulances in Boston. In: SWERSEY, A. and IGNALL, E. Delivery of Urban services. Amsterdan : Elsevier, p TIMS Studies in the Management Sciences 22 CONOVER, J. Pratical nonparametric statistics. New York, John Wiley Sons p. LARSON, R.C. A Hipercube queueing Model for facility location and redistricting in urban emergency services. Computers and operations research, v. 1, p LARSON, R.C., ODONI A.R. Urban operations research. New Jersey : Pratience Hall, p. MENDONÇA, F.C. Aplicação do Modelo Hipercubo, baseado em Teoria de Filas, para análise de um sistema médico-emergencial em rodovia. São Carlos : UFSCar, p. Dissertação (mestrado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia de Produção. SACKS,S. R., GRIEF, S. Orlando Police Department uses OR/MS methodology, new software to design patrol districts. OR/MS Today, Baltimore, p , Feb SHAPIRO, S.S., GROSS, A.J. Statistical modeling techiniques. New York : Marcel Dekker, p. SWERSEY, A.J. Handbooks in OR/MS. Amsterdan : Elsevier Science B.V., V. 6, p