Otimização do Problema de Alocação de Lotes de Terreno

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1 Otimização do Problema de Alocação de Lotes de Terreno Relatório Final Mestrado Integrado em Engenharia Informática e Computação Inteligência Artificial Grupo 19: Maria Antonieta Dias Ponce de Leão e Oliveira Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Rua Roberto Frias, sn, Porto, Portugal 20 de Maio de 2012

2 Resumo Com este trabalho pretende-se resolução do problema de alocação de lotes de terreno a diferentes propósitos de acordo com as suas características, satisfazendo da melhor forma os objetivos de construção e minimizando os custos associados aos mesmos. A abordagem deste problema é feita com base nos Algoritmos Genéticos, no entanto tentou-se fazer uma abordagem genérica e envolvendo diferentes caminhos de abordagem do algoritmo. Assim foram implementadas quatro abordagens do problema abordagem elitista e não elitista com base numa população inicial aleatória ou numa população inicial semialeatória. Pretendia-se inicialmente que o trabalho fosse realizado na linguagem PROLOG, e uma interface em linguagem Java, no entanto, no decorrer do projeto houve necessidade de alterar este preceito, resultando na realização do problema apenas em linguagem Java. Foi possível através da implementação deste projeto verificar que os algoritmos genéticos são um método robusto de procura de soluções, versátil e fiável, permitindo que seja sempre possível encontrar uma solução, nem sempre a melhor, mas sempre uma solução. 2

3 Índice 1 Introdução Descrição do Problema Algoritmos Genéticos Representação do Problema (JAVA) Função de avaliação Seleção e Cálculo de Probabilidades Cruzamento Mutação Terminação Interface com o Utilizador Conclusões e Perspetivas de Desenvolvimento Bibliografia Anexo A Análise dos Resultados... Erro! Marcador não definido. 3

4 1 Introdução O objetivo deste projeto é a resolução de um problema de otimização, relativo a alocação de lotes de terreno, a resolução do problema é feita através da implementação do algoritmo Algoritmos Genéticos, a qual é feita de quatro formas distintas, no entanto semelhantes entre si, proporcionando assim a possibilidade de elaboração de um estudo comparativo relativamente à eficácia de cada uma das abordagens. Resolveu-se o problema proposto na biografia recomendada, no entanto a resolução foi feita de uma forma genérica tentando restringir ao mínimo as condições de resolução. Neste documento descreve-se o problema proposto, o funcionamento dos Algoritmos Genéticos e o significado de uma abordagem elitista ou não, os passos determinantes para o bom funcionamento do algoritmo demonstrando uma análise critica sobre as diferenças de eficiência de cada uma das quatro abordagens. Por último um breve resumo sobre as conclusões obtidas relativamente, não só à solução obtida, como às diferenças em termos de performance de cada uma das diferentes abordagens, bem como a utilização de diferentes parâmetros no algoritmo. 2 Descrição do Problema Pretende-se o planeamento alocação de infraestruturas numa região de uma determinada cidade. Existem 8 lotes de terrenos disponíveis para compra e construção, cinco usos a destinar a esses lotes, nomeadamente uma área de recreio, um complexo de apartamentos, um complexo residencial, um cemitério e uma lixeira. Fig. 1 - Mapa com localização dos lotes de terreno; O lote 3, 5, 7 e 9, são relativamente planos e com bom solo; o lote 10 e 12 são moderadamente inclinados, encontram-se perto de um espaço verde, o solo é bastante pobre; O lote 11 é inclinado mas com bom solo; o lote 17 é bastante inclinado. 4

5 A resolução deste problema deve seguir os seguintes critérios; 1. Terrenos usados para recreio devem estar preferencialmente localizados junto a um lago; 2. Evitar terrenos com inclinação para construção, cemitérios e lixeiras; 3. Solo pobre deve ser evitado para usos que envolvam construção; 4. A autoestrada é feia e barulhenta e deve ser evitada aquando da alocação de apartamentos, complexos residenciais ou áreas de recreio. Um lote não pode ser utilizado para mais do que um uso; Todos os usos devem ser satisfeitos; A um uso apenas deve ser atribuído um lote; Minimizar o custo de aquisição dos terrenos; As restrições podem ser fortes restrições a satisfazer obrigatoriamente, ou restrições fracas a satisfazer se possível. O Problema de Alocação de Lotes de Terreno consiste em atribuir lotes a diferentes utilizações minimizando custos e respeitando, o mais possível, as restrições. Através destas restrições pode conclui-se à partida o seguinte: i. A área de recreio deve ser atribuída aos lotes 10 ou 12; ii. Os apartamentos e o complexo residencial devem ser atribuídos aos lotes 5 ou 9; iii. O cemitério e a lixeira não podem ser atribuídos aos lotes 11 ou 17; 3 Algoritmos Genéticos Existem provas científicas que comprovam que o processo de evolução é facilitado pela reprodução, sobrevivência e transformação (mutação) de material genético. Na reprodução celular 1 e na fusão de células, como por exemplo o espermatozoide com o óvulo, cromossomas são replicados e cruzados com outros cromossomas. Ocasionalmente ocorrem mutações, seja por reorganização dos genes num cromossoma ou por alterações que ocorrem ao nível dos genes. Darwin no seu livro intitulado Origin of Species colocou a hipótese que seres que não se adaptam ao ambiente envolvente extinguem-se 2. Este processo de replicação, cruzamento, mutação e sobrevivência resultou na diversidade do Mundo atual. A seleção natural decorre submetendo a população a rigorosos testes de aptidão: a sobrevivência do mais apto. Observa-se que sucessivas gerações retêm características que se demonstram favoráveis. Os princípios básicos dos Algoritmos Genéticos derivam do modelo clássico da evolução da natureza. Os Algoritmos Genéticos foram desenvolvidos pela primeira vez por John Holland e os seus colaboradores na Universidade de Michigan. Existem dois elementos chave que caracterizam os Algoritmos Genéticos: São implicitamente paralelos: operam numa população de soluções; São baseados em avaliação: as soluções são geradas aleatoriamente e é a avaliação da aptidão destas soluções que orienta o processo de resolução. Os Algoritmos Genéticos são um mecanismo de procura de soluções robusto, aplicável a uma grande variedade de problemas. A robustez deste tipo de algoritmos provem do 1 Duas células são geradas a partir de uma célula; 2 Lei do mais forte (Seleção Natural) Processo de replicação, acasalamento mutação e sobrevivência levou à diversificação do mundo atual. 5

6 facto de apenas processar informação relativamente à aptidão das soluções, não necessitando de informação auxiliar. Os principais passos envolvidos na aplicação de algoritmos genéticos são os seguintes: 1) Decidir uma representação que mapeie as soluções candidatas de forma nativa à implementação do algoritmos. Gerar uma população inicial, aleatoriamente; 2) Evoluir a população de acordo com os critérios de aptidão; 3) Criação de um grupo de progenitores através da seleção de candidatos através do seu grau de aptidão; 3 4) Escolher pares de soluções aleatoriamente e executar o acasalamento. Esta operação consiste na troca de material genético entre os progenitores; 5) Ocasionalmente deverá ser escolhido um membro do grupo de progenitores ao qual deverá ser aplicada uma mutação por forma a obter uma nova solução; 6) Repetir passos 2-5 até que a condição de terminação seja encontrada, ou uma solução satisfatória seja alcançada. 3.1 Representação do Problema (JAVA) A representação mais comum deste tipo de problemas implica o recurso a uma bitstring 4 que representa um cromossoma, sendo que o 1 representa, neste caso, que a um lote foi atribuído um determinado uso, por exemplo: String cromossoma = Corresponderia a uma atribuição do tipo: Tabela 1 - Representação da solução apresentada na string Usos Lotes Lixeira Cemitério Habitações Apartamentos Recreio Lote Lote Lote Lote Lote Lote Lote Lote Função de avaliação5 A função de avaliação, depende do problema, e representa um dos passos mais importantes para a procura de uma solução ótima. O algoritmo procede em gerar aleatoriamente uma população usando a função de avaliação para guiar a procura, sendo que é na realidade um aproximação baseada na geração e teste. Neste problema a função de avaliação representa uma avaliação dos custos associados com uma determinada solução. 3 Não será uma escolha elitista apenas escolhidos os mais fortes todos terão uma hipótese de seleção relativamente tendo em conta o seu valor de aptidão. 4 Sequência de zeros e uns. 5 É de notar que embora os custos sejam expressos para utilizador em milhões de dólares, em termos de implementação optou-se por multiplicar esse valor por 10 de forma a facilitar a mesma. 6

7 A função de avaliação também tem em consideração a violação das restrições existentes. A abordagem tradicional de Algoritmos Genéticos envolve penalizar o não cumprimento de determinadas restrições. Uma forma de penalização de violação de restrições é o incremento do custo de um lote, como tal o não cumprimento de determinadas restrições exponencia o custo de atribuição de um determinado lote. A função de avaliação desenvolvida para este projeto penaliza as diferentes restrições de diferentes formas. Garantir que a todos os usos é atribuído um e só um lote 6 e que um lote não é atribuído a mais que um uso são as restrições consideradas mais importantes, sendo que: Quando existem mais do que X 7 usos num cromossoma é feita a diferença dos que existem com o ideal e o módulo dessa diferença é multiplicado por 1000 e somado ao custo total do cromossoma; Quando há mais que um uso num lote, é subtraído um ao número de usos que há no lote e esse valor é multiplicado por 1000 e somado ao custo total; Quando um uso é atribuído a mais do que um lote, é multiplicado por 1000 o número de repetições e somado ao custo total; Relativamente ao incumprimento das restantes restrições é somado 100, por cada restrição não satisfeita ao custo total do cromossoma. Para garantir a satisfação das restrições foi criada uma enumeração que atribui a cada característica um valor de 0 a 4, para se garantir a satisfação de uma determinada característica é necessário garantir que a característica presente no lote é igual ou superior à característica mínima estipulada por um determinada uso, ou seja: Por exemplo para a construção do complexo de apartamentos é necessário que o solo seja, no mínimo, razoável como tal a escolha de lotes cujo solo é mau ou muito mau é penalizada. No caso das restrições de autoestrada e lago foi feita uma abordagem um pouco diferente, permitindo ao utilizador referir se pretende a existência ou não da característica ou até mesmo se a existência da mesma é irrelevante para o uso. Tabela 2 - Representação da enumeração das características Característica Valor Não existente 0 Muito Mau 1 Mau 2 Razoável 3 Bom 4 A função de avaliação garante portanto que: A todos os usos é atribuído um lote; Um lote não é atribuído a mais que um uso; Um uso não é atribuído a mais que um lote; As características necessárias para os usos são satisfeitas da forma menos custosa possível de acordo com o panorama existente. 6 Todos os usos são satisfeitos; nenhum lote tem mais que um uso e nenhum uso é atribuído a mais que um lote. 7 Número de usos do problema 7

8 3.3 Seleção e Cálculo de Probabilidades A seleção dos elementos da próxima geração é baseada na função de avaliação. Os cromossomas são escolhidos para seleção através das suas probabilidades de escolha. O cálculo das probabilidades, neste caso, é um pouco complicado, pois não nos interessa o cromossoma cujo função de avaliação retorna o maior valor mas o que a função de avaliação retorna o menor valor uma vez que o objetivo é encontrar a solução com menor custo. Para tal calcularam-se os custos de cada cromossoma e consequentemente o custo total da população 8. Dividindo o custo total pelo custo do cromossoma obtemos a probabilidade inversa, faz-se a soma das probabilidades inversas obtendo a probabilidade inversa total. Se depois se dividir a probabilidade inversa de cada cromossoma pela probabilidade inversa total obtemos a probabilidade de escolha, sendo que esta é tanto maior quanto menor for o custo do cromossoma. Exemplo, cromossomas A, B e C: Tabela 3 - Representação do cálculo de probabilidades Custo Probabilidade Probabilidade inversa Probabilidade Final Probabilidade Acumulada A 1,2 0, , , , B 3,5 0, , , , C 7,1 0, , , Total 11, , Com isto temos as probabilidades de escolha de cada cromossoma consoante este são mais ou menos custosos, probabilidade maior corresponde a menor custo. A cada cromossoma fica então associada uma probabilidade e uma probabilidade acumulada, gera-se um número aleatório de zero a 1, e escolhe-se para a próxima geração os cromossomas aos quais número aleatório corresponde, ou seja, supondo que neste exemplo o número aleatório é 0.7, isto significa que o cromossoma escolhido é o B, uma vez que 0.7 encontra-se acima de e Esta abordagem permite que todos os cromossomas têm uma probabilidade de serem escolhidos, sendo que os mais aptos têm uma maior probabilidade. Uma abordagem elitista, uma das possibilidades de escolha de algoritmo nesta implementação, daria preferência a cromossomas mais aptos. A abordagem elitista implementada, escolhe os 20% (por defeito) melhores cromossomas para a próxima geração e os restantes os restantes 80% são escolhidos da forma normal. Obtém-se assim uma nova população a qual poderá sofrer cruzamento e mutação. 8 Soma dos custos de cada cromossoma da população; 8

9 3.4 Cruzamento Aos cromossomas dessa nova população é aplicada uma probabilidade de cruzamento 9. Para cada cromossoma é gerado um número aleatório de 0 a 1 e se esse valor for inferior à probabilidade de cruzamento esse cromossoma é escolhido para cruzamento. Por cada dois cromossomas selecionados para cruzamento, é feito um cruzamento, num bit aleatório, gerando dois novos cromossomas que correspondem aos cruzamentos dos cromossomas anteriores. Continuação do exemplo anterior, probabilidade de cruzamento de 0.6: Cromossoma A ; Cromossoma B ; Cromossoma C ; Probabilidade de Cruzamento: A 0.5; B 0.3; C 0.7; Cromossoma escolhidos: A e B; bit escolhido 3; Tabela 4 - Representação de um cruzamento entre dois cromossomas A D E B Mutação Em geral o cruzamento propaga boas características para a população seguinte, no entanto o cruzamento pode fazer com que o algoritmo convirja prematuramente para uma solução. A mutação é utilizada para evitar essa situação. O processo de mutação consiste em alterar um cromossoma aleatoriamente. Na implementação proposta a mutação ocorre, com probabilidade de 1%, por defeito. Todos os bits de uma geração têm 1% de probabilidade de sofrerem mutação. Uma mutação significa a troca de um bit de zero para um ou vice-versa. 3.6 Terminação O algoritmo genético converge progressivamente para um solução, encontra sempre uma solução para o problema, mas dependendo do número de iterações ou dos parâmetros iniciais converge mais ou menos rapidamente para uma solução melhor. Na implementação apresentada, o algoritmo termina quando executa iterações. Os resultados apresentados são apenas os 10 melhores 11, que satisfazem as condições consideradas mais importantes: a todos os usos é atribuído um lote; não existe mais do que um lote por uso e não existe mais do que um uso por lote. 9 Imposta pelo utilizador, com valor de 0.6 por defeito. 10 Por defeito, podendo ser alterado pelo utilizador. 11 Caso existam 10, poderá ser um numero inferior. 9

10 4 Interface com o Utilizador 12 Ao executar o programa é apresentada ao utilizador uma interface simples, em Java, com usos e lotes, parâmetros principais dos Algoritmos Genéticos e algoritmos a aplicar. Todos estes campos contêm valores pré-definidos, no entanto é possível escolher/alterar os seguintes: Tamanho da população inicial; Probabilidade de cruzamento; Probabilidade de mutação; Número de iterações; Tipo de algoritmo, no caso de elitismo, percentagem de cromossomas a transpor diretamente para a geração seguinte; Lotes e suas características; Usos e suas características É possível adicionar ou remover lotes e usos à configuração, é apenas necessário garantir que o número de lotes é igual ou superior ao número de usos e, obviamente, que o número de usos é superior a zero, para que seja possível executar o algoritmo. Na interface é ainda possível visualizar: Log de Eventos janela com erros que possam ter ocorrido e tempos de execução do algoritmo; 10 Melhores Soluções tabela representado as 10 melhores soluções para o problema proposto, representando o cromossoma, o custo da solução e a primeira geração em que a solução foi encontrada Visualização da Melhor Solução tabela representando usos e as suas atribuições, de forma intuitiva. É de notar que quando o botão de Correr é pressionado as tabelas de solução e a janela de erros são limpas. A interface encontra-se na resolução de 1050 por 700 pixéis. 12 É de salvaguardar o utilizador que se for selecionada uma linha para remover por uma das colunas de combobox antes de ser selecionado um valor da combobox o programa crasha e é necessário reiniciar a aplicação. 10

11 5 Conclusões e Perspetivas de Desenvolvimento Os objetivos propostos foram alcançados realçando que como pontos fortes deste projeto pode ter-se em conta que a abordagem do mesmo foi feita de forma genérica permitindo que a implementação realizada calcule, sempre, uma solução independentemente do número de usos e lotes 13. Todos os parâmetros, probabilidade de cruzamento, probabilidade de mutação, população inicial e número de iterações são variáveis. Tanto nos lotes como nos usos é possível alterar qualquer um dos campos das tabelas, inclusive nomes, custos, características 14. Com este projeto pode concluir-se que o uso dos Algoritmos Genéticos nem sempre proporcionam a melhor solução para o problema. A procura dessa solução perfeita é influenciada por diversos fatores, no entanto, é sempre encontrada uma solução para o problema. É possível, através deste projeto, fazer um estudo comparativo relativamente à eficiência das diferentes opções de Algoritmos Genéticos, bem como uma análise aprofundada relativamente à escolha dos melhores parâmetros, cruzamento e mutação. Através dos vários testes realizados pode concluir-se que melhor estratégia para a procura de uma solução é uma abordagem elitista (aleatória), com os valores prédefinidos, é a que, em média encontra mais rapidamente a solução ótima. Conclui-se também que o número de cruzamentos não deve ser muito superior a 0.5 e que a percentagem de mutação de 1% é uma boa aposta 15. A maior dificuldade encontrada na implementação deste algoritmo foi a procura de uma função de avaliação eficaz, procura da melhor forma de penalizar restrições não satisfeitas, sendo que a melhor forma de penalizar restrições de cumprimento obrigatória foi sem dúvida uma epopeia. Concluindo-se com isto que a função de avaliação pode ser sempre melhorada, pois a procura de uma função de avaliação perfeita é uma busca infinita. Uma maís valia para o projeto seria a implementação de outros algoritmos, como Pesquisa Tabú, Arrefecimento Simulado, entre outros, de forma a proporcionar mais comparações relativamente à eficácia dos mesmos. Seria também interessante que pudessem ser adicionadas novas características de forma a tornar esta implementação mais útil para outras aplicações que não só o caso de lotes de terreno. 13 Desde que o número de lotes seja igual ou superior ao número de usos. 14 Numa escala de Irrelevante (usos), muito mau, mau, razoável, bom. No caso de autoestrada e lago, referir a proximidade, sim ou não, e irrelevante (usos). 15 Ver ficheiro Cálculos e Estatisticas.xls 11

12 Bibliografia FEUP. (s.d.). IA 2011/12 - apontamentos. Obtido em Abril de 2012, de Inteligência Artificial: Obitko, M. (1998). Selection - Introduction to Genetic Algorithms - Tutorial with Interactive Java Applets. Obtido em 19 de Maio de 2012, de oracle. (2010). Overview (Java 2 Platform SE v1.4.2). Obtido em 17 de Maio de 2012, de Sriram, D. R. (1997). Intelligent Systems for Engineering. National Institute of Standards and Technology - Gaithersburg, MD , USA: Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York. 12