Matemáticas aplicadas ás ciencias socias I

Transcrição

1 Dirección Xeral de Educación, Formación Profesional e Innovación Educativa Guía didáctica do alumnado de bacharelato semipresencial Matemáticas aplicadas ás ciencias socias I Ensinanza Tipo de documento Bacharelato a distancia semipresencial Guía do alumnado Curso º Materias Nome da materia Autor/a ou autores: Propia de modalidade Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais I Hilario Sainz García, Raúl Rico Pena e Pablo Matas Ruíz Páxina de 7

2 Páxina de 7

3 Índice. Introdución...5. Unidade. Números reais...7. Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade. Aritmética mercantil...8. Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade. Álxebra Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 4. Funcións elementais Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 5. Funcións exponenciais e logarítmicas Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 6. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 7. iniciación ao cálculo de derivadas Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 8. Estatística Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación... 5 Páxina de 7

4 9.4 Actividades de titoría Unidade 9. Distribucións bidimensionais Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade 0. Distribucións de probabilidade de variable discreta...7. Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Unidade. Distribucións de variable continua...8. Criterios de avaliación Suxestións para o estudo Actividades de autoavaliación Actividades de titoría Solucións ás actividades de autoavaliación...9. Unidade. Números reais Unidade. Aritmética mercantil Unidade. Álxebra Unidade 4. Funcións elementais....5 Unidade 5. Funcións exponenciais, logarítmicas Unidade 6. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas Unidade 7. Iniciación ao cálculo de derivadas Unidade 8. Estatística....9 Unidade 9. Distribucións bidimensionais....0 Unidade 0. Distribucións de probabilidade de varible discreta Unidade. Distribucións de variable continua... 7 Páxina 4 de 7

5 . Introdución A materia: liñas xerais As Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais I é unha das materias propias de modalidade do Bacharelato de humanidades e ciencias sociais e pretende contribuír a desenvolver nos alumnos e nas alumnas as capacidades establecidas na LOE para o bacharelato. Libro de textos Os datos identificativos do libro de texto que utilizaremos nesta materia son os seguintes: Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I, da editorial GRUPO ANAYA, S.A., 008 e con ISBN: ; os autores: José Colera Jiménez, Mª José Oliveira González, Rosario García Pérez e Elizabeth Santaella Fernández. Distribución temporal das unidades Distribuirase a materia en tres avaliacións e cada unha das avaliacións en unidades, que dependendo da materia a tratar, terán unha duración quincenal. Metodoloxía de estudo A metodoloxía a seguir estará baseada na asistencia ás titorías lectivas e de orientación e no seguimento da presente guía. O profesorado facilitará nas titorías lectivas o estudo dos contidos fundamentais programados na materia, trazará as directrices de traballo a realizar (exercicios, actividades de avaliación, etc.) e realizará actividades relacionadas cos contidos explicados. Nas titorías de orientación, o profesor terá na medida do posible unha atención máis personalizada co alumno, resolvendo as dificultades que lles xurdan durante o seu estudo e reforzará determinados contidos nos que observe que non están suficientemente adquiridos. Apartados do traballo en cada unha das unidades Cada unha das unidades estará dividida en catro apartados: Os criterios de avaliación, onde se fará referencia á consecución das metas propostas para a unidade. Algunhas suxestións para o estudo, onde incluiremos información de tipo metodolóxico que se considere útil para o estudo desta unidade. Unha escolla de actividades de autoavaliación, que o/a alumno/a realizará pola súa conta e das que se incluirán as solucións correspondentes ao final da guía. As actividades estarán agrupadas atendendo aos criterios de avaliación expostos no punto primeiro. Unha escolla de actividades de titoría, que o/a alumno/a realizará e que serán comentadas e resoltas despois nas titorías correspondentes. As actividades estarán agrupadas atendendo aos criterios de avaliación expostos no punto primeiro. Páxina 5 de 7

6 As titorías lectivas e de orientación É de vital importancia a asistencia por parte do alumnado, tanto ás titorías lectivas como ás titorías de orientación para o logro dos obxectivos propostos. Estas están deseñadas para facilitar o proceso de ensinanza aprendizaxe do alumnado que, xunto co seu esforzo, permitiranlle a adquisición das destrezas necesarias para a superación da materia. Páxina 6 de 7

7 . Unidades didácticas de matemáticas. Unidade. Números reais Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Clasificar os distintos campos numéricos. Expresar un conxunto numérico mediante intervalos, desigualdades e valor absoluto. Interpretar e operar con raíces. Interpretar e operar coa notación científica. Interpretar o concepto de logaritmo e operar con el. Suxestións para o estudo Ten que repasar dos cursos anteriores: Os diferentes conxuntos numéricos. As potencias e propiedades para poder operar con elas. Os intervalos e as súas formas de representación. Como se utiliza a calculadora (memoria, notación científica, expoñentes, etc.) Actividades de autoavaliación Páxina 47, exercicios,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e. Actividades de titoría Páxina 8, exercicios e ; páxina 4, exercicios, 5. Páxina 9, exercicios e 4; páxina 0, exercicio ; páxina 45, exercicios 7, 8, 4. Páxina, exercicios e 4; páxina, exercicios 5, 6, 8; páxina, exercicios 9 e 0; páxina 44, exercicios, 4, 5 e 8. Páxina 9, exercicios e ; páxina 45, exercicios e. Páxina 6, exercicios e 4; páxina 46, exercicios 50, 5, 54, 55 e 56. Páxina 7 de 7

8 . Unidade. Aritmética mercantil Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Utilizar as porcentaxes e as fórmulas de xuro simple e composto para resolver problemas financeiros. Aplicar os coñecementos básicos de matemática mercantil a supostos prácticos. Coñecer e manexar os conceptos de TAE, índice de variación, amortización de préstamos e anualidades de capitalización e amortización, progresións xeométricas. Suxestións para o estudo Debe repasar dos cursos anteriores: Conceptos de tanto por cento. Xuro bancario. Amortización de préstamos. Nesta unidade deberá facer os exercicios resoltos que veñen no libro nos apartados: Actividades de autoavaliación Páxina 67, exercicios,,, 4, 5, 6, e 7. Actividades de titoría Páxina 50, exercicio ; páxina 5, exercicios e ; páxina 66, exercicios, e. Páxina 5, exercicios e ; páxina 66, exercicios 5, 6 e 7. Páxina 55, exercicio ; páxina 66, exercicio 7. Páxina 57, exercicios e ; páxina 66, exercicios, e. Páxina 58, exercicios e. Páxina 6, exercicios e ; páxina 67, exercicios 4 e 5. Páxina 8 de 7

9 . Unidade. Álxebra Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Manexar as distintas operacións cos polinomios (suma, resta, multiplicación e división). Factorizar un polinomio. Operar e simplificar as fraccións alxébricas. Resolver as seguintes ecuacións: Primeiro grao. Segundo grao. Bicadradas. Con radicais. Con incógnitas no denominador. Mediante factorización. Exponenciais. Sistemas de ecuacións. Formular e resolver problemas mediante ecuacións ou sistemas de ecuacións. Suxestións para o estudo Sería recomendable que repasase dos cursos anteriores: As operacións entre polinomios. As ecuacións de primeiro e segundo grao. O método de Ruffini para factorizar polinomios. Actividades de autoavaliación Páxina 99, exercicios,, 4, 5, 6 e 8. Actividades de titoría Páxina 70, exercicios e ; páxina 7, exercicio ; páxina 9, exercicio. Páxina 74, exercicios e ; páxina 75, exercicios 5 e 6; páxina 9, exercicios 9 e. Páxina 76, exercicios e. Diferentes tipos de ecuacións: Páxina 94, exercicios 8 apartados a) b) e d); exercicios 9 e 0. Páxina 78, exercicios e ; páxina 94, exercicios e. Páxina 79, exercicio ; páxina 95, exercicios 7 e 4. Páxina 80, exercicios 5 e 6. Páxina 95, exercicios 8 e 0. Páxina 8, exercicios 7 e 8; páxina 96, exercicios 7 e 40. Páxina 9 de 7

10 Páxina 96, exercicios 4, 48, 49, 50, 4, 4 e 47. Páxina 98, exercicios 65 e 7 ; páxina 99, exercicios 75 e 77. Páxina 0 de 7

11 .4 Unidade 4. Funcións elementais Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Obter o dominio de funcións sinxelas (do tipo das propostas nas actividades). Asociar gráficas e expresións analíticas de funcións (polinómicas de grao un ou dous, funcións radicais e funcións de proporcionalidade inversa). Obter a expresión analítica dunha función polinómica de grao un a partir da gráfica ou dalgúns dos seus elementos. Realizar interpolacións e extrapolacións lineais e aplicalas á resolución de problemas. Representar as funcións polinómicas de grao dous ( f ( x) = ax + bx + c ), identificando o seu eixo, o seu vértice como punto onde a función toma un valor mínimo ou máximo, os puntos de corte cos eixos de coordenadas, e o nivel da súa curvatura (apreciado polo valor do coeficiente do termo de segundo grao a ). Representar funcións definidas a anacos (por funcións polinómicas de grao un ou dous) e funcións definidas polo valor absoluto dunha función polinómica de grao un ou dous. Obter a expresión analítica dunha función dada por un enunciado. Suxestións para o estudo Comece o estudo da unidade lendo na páxina 05 o apartado de funcións definidas anaco a anaco do punto Reflexiona e resolve. Antes de facer as actividades, bótelle unha ollada aos exercicios resoltos similares que figuran no libro de texto. Faga as representacións gráficas coa mellor limpeza posible sobre papel cuadriculado. Se dispón de computador, pode resultarlle de gran axuda o manexo dalgún programa informático gratuíto como: Graph ( ou Wiris (de funcionamento en liña). Actividades de autoavaliación Páxina 7, exercicios,, e 4. Actividades de titoría Páxina 07, exercicio. Páxina 08, exercicios e. Páxina 09, exercicios e ; páxina, exercicios 9 e 0; páxina 5, exercicio 8. Páxina 0, exercicios e. Páxina, exercicios, 4 e 5; páxina 4, exercicio ; páxina 6, exercicio 6. Páxina 4, exercicios e ; páxina 6, exercicio 4. Páxina 6, exercicios e ; páxina 5, exercicio, 4. Páxina de 7

12 .5 Unidade 5. Funcións exponenciais e logarítmicas Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz: Achar a composición de dúas funcións. Obter a función inversa dunha función. A partir da gráfica dunha función, debuxar a gráfica da súa inversa. Representar as funcións exponenciais e logarítmicas. Dada a gráfica dunha función exponencial ou logarítmica, identificar as súas características e a expresión analítica. Obter as expresións analíticas das funcións exponenciais dadas por enunciados, e utilizalas para resolver problemas. Suxestións para o estudo Comece o estudo da unidade lendo na páxina 9 o apartado Moitas, moitas amebas do punto Reflexiona e resolve. Antes de facer as actividades, bótelle unha ollada aos exercicios resoltos similares que figuran no libro de texto. Faga as representacións gráficas coa mellor limpeza posible sobre papel cuadriculado. Se dispón de computador, pode resultarlle de gran axuda o manexo dalgún programa informático gratuíto como: Graph ( ou Wiris (de funcionamento en liña). Actividades de autoavaliación Páxina 45, exercicios,, 4, 7 e 8. Actividades de titoría Páxina 0, exercicio ; páxina 4 exercicios,, 4 e 5. Páxina, exercicios, e ; páxina 4, exercicios e 7. Páxina, exercicios e ; páxina 4, exercicios, e 4. Páxina de 7

13 .6 Unidade 6. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Coñecer o significado gráfico da continuidade dunha función. Recoñecer, observando a gráfica dunha función f ( x ), o valor dos límites cando + x +, x, x a, x a, x a. Interpretar graficamente expresións do tipo lim f ( x) = β, onde α e β poden ser un número finito, ou +. Calcular límites de funcións elementais (incluídas as funcións definidas a anacos por funcións polinómicas de graos un ou dous). Calcular límites de funcións definidas polo cociente de dous polinomios. Resolver indeterminacións sinxelas da forma 0 0 ou. Calcular asíntotas verticais e horizontais de funcións racionais sinxelas e das funcións exponencial e logarítmica. Suxestións para o estudo Recorra á calculadora para dilucidar o signo nos seguintes casos: algúns límites infinitos cando x a pola dereita ou pola esquerda, ou para determinar a posición da función respecto dunha asíntota horizontal. x α Deixe o estudo das asíntotas inclinadas para o próximo curso. Se dispón de computador e conexión a internet, pode resultarlle de gran axuda o manexo do programa informático gratuíto Wiris (de funcionamento en liña). Actividades de autoavaliación Páxina 7, exercicios,, e 6. Actividades de titoría Páxina 49, exercicio ; páxina 69, exercicios e 5. Páxina 5, exercicios (a) e ; páxina 55, exercicio 4; páxina 70, exercicio. Páxina 56, exercicio ; páxina 58, exercicio ; páxina 70, exercicios 9, 0, e. Páxina 59, exercicio ; páxina 7, exercicios, 4, e 5. Páxina de 7

14 .7 Unidade 7. iniciación ao cálculo de derivadas Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Determinar e interpretar a taxa de variación media dunha función nun intervalo. Analizar e interpretar o comportamento da taxa de variación media nas proximidades dun punto. Suxestións para o estudo Centre o seu estudo da unidade didáctica nos puntos 7.. e 7.. (páxinas da 76 á 79) Actividades de autoavaliación Páxina 94, exercicios e 4; páxina 97, exercicio 6; páxina 99, exercicio. Actividades de titoría Páxina 77, exercicios e ; páxina 94, exercicios e. Páxina 78, exercicio ; páxina 94, exercicios 6, 7 e 8. Páxina 4 de 7

15 .8 Unidade 8. Estatística Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Construír unha táboa de frecuencias de datos illados e representalos mediante un diagrama de barras. Construír unha táboa de frecuencias de datos agrupados e representalos mediante un histograma. Calcular e interpretar os parámetros de centralización e de dispersión. Suxestións para o estudo Debe: Ler e comprender os conceptos de poboación, mostra, variable estatística, táboa de frecuencia e parámetros estatísticos. Facer os exercicios resoltos de cada apartado. Utilizar a calculadora. Actividades de autoavaliación Páxina, exercicios,,. Actividades de titoría Páxina 07, exercicio. Páxina 09, exercicios,. Páxina, exercicio. Páxina, exercicio ; páxina, exercicio ; páxina, exercicio. Páxina 4, exercicio ; páxina 5, exercicio. Páxina 5 de 7

16 .9 Unidade 9. Distribucións bidimensionais Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Representar unha nube de puntos dunha distribución bidimensional e saber o grao de correlación que existe entre as variables. Calcular e interpretar a covarianza e o coeficiente de correlación nunha distribución bidimensional. Obter as dúas rectas de regresión (a de Y sobre X e a de X sobre Y) e interpretar o seu significado para facer estimacións. Suxestións para o estudo Comece o estudo da unidade lendo na páxina 5 o RESOLVE. punto REFLEXIONA E Ten que repasar da unidade anterior a media ( x ) e a desviación típica ( σ X ) dunha distribución estatística. Actividades de autoavaliación Páxina 4, exercicios e. Actividades de titoría Páxina 9, exercicios 7, e 4. Páxina 40, exercicio 7. Páxina 6 de 7

17 .0 Unidade 0. Distribucións de probabilidade de variable discreta Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Os conceptos de suceso aleatorio, frecuencia e probabilidade. Aplicar a Lei de Laplace e calcular probabilidades. Construír a táboa dunha distribución de probabilidade de variable discreta e calcular os seus parámetros. Recoñecer se unha experiencia aleatoria pode ser descrita mediante unha distribución binomial, calcular probabilidades e indicar os seus parámetros. Suxestións para o estudo É conveniente que: Entenda o concepto de experiencia dependente e independente. Repase o concepto de media, varianza e desviación típica da unidade 8. Faga os exercicios resoltos de cada apartado. Actividades de autoavaliación Páxina 6, exercicios,,, 4. Actividades de titoría Páxina 46, exercicio ; páxina 59, exercicios,,, 4, 5, 6. Páxina 59, exercicios 7, 8,. Páxina 49, exercicios,, ; páxina 59, exercicios,. Páxina 5, exercicio ; páxina 60, exercicio 4. Páxina 5, exercicio ; páxina 60, exercicio 5, 6, 7, 8. Páxina 55, exercicio ; páxina 60, exercicio. Páxina 7 de 7

18 . Unidade. Distribucións de variable continua Criterios de avaliación Despois do traballo nesta unidade, ten que ser capaz de: Interpretar funcións de probabilidade de distribucións de variable continua e calcular ou estimar probabilidades a partir delas. Coñecer as características fundamentais da distribución normal para calcular probabi- 0, N µ,σ. lidades a partir da táboa N ( ) ou tipificando variables normais ( ) Recoñecer cando unha distribución binomial se pode aproximar por unha normal e a partir de aí calcular probabilidades. Suxestións para o estudo Comece o estudo da unidade lendo na páxina 6 os apartado e de Tempos de espera do punto REFLEXIONA E RESOLVE. Ten que repasar: As funcións definidas a anacos. A distribución binomial do tema anterior. Actividades de autoavaliación Páxina 8, exercicios, 6 e 7. Actividades de titoría Páxina 65, exercicios e. Páxina 78, exercicios, 0,. Páxina 78, exercicios 6 e 7, páxina 80, exercicio 5. Páxina 8 de 7

19 . Solucións ás actividades de autoavaliación. Unidade. Números reais Exercicio. a) b) ) N : Z : ; 8 Q : ; 8; ;, π ) 5 8 < < <,07 < 45 < c) 58 π ; ;,0 7 ) 45 Exercicio. a) (, 8] [ 8, + ) b) (,9 ) Exercicio R : ; 7 8; ) π 5 ;,07; ; 7 4 a Exercicio a ab Exercicio a) = b) = + 6 Exercicio = 4 Exercicio 8. a) b) c) x =,5 x = 0 x = e Exercicio 9. log 0,0087 a) x = = 5, 8 log,5 7 Páxina 9 de 7

20 log4 b) x log,005 = log4 x =, 68 log,005 Exercicio. 5 9 log5 + log log 4 = log A = Unidade. Aritmética mercantil Exercicio. Índice de variación: 508, = Porcentaxe de subida: 4% Exercicio. 40 Índice de variación da primeira rebaixa: I = = 0,80 50 Índice de variación da segunda rebaixa: I = 0, 40 = 0,60 Índice de variación total:. I = I. I = 0,80.0, 60 = 0, 48 Prezo final: 50.0, 48 = 4 Exercicio. Cando pasen n anos, temos que ter ,04 = 9478,04. n n ( ) n + = 9478, ,0 = 9478,04,0 00 log,56 n = n = 5 anos log,0 Exercicio 4. Períodos de capitalización mensuais. = 9478, Cálculo da T.A.E.: ao 7% anual correspóndelle un 7 = 0,58% mensual. Nun ano, o 7, capital multiplicarase por, 0058 =, , 07 = +. A T.A.E. é do 00 7,%. Cálculo do capital final tras anos: Períodos de capitalización semestrais. 000.(, 07) = 797,9 Cálculo da T.A.E.: Ao 7% anual correspóndelle un 7,5% = semestral. Nun ano, o capital multiplícase por A T.A.E. é do 7,%. Cálculo do capital final tras anos: 7,,05 =, Páxina 0 de 7

21 000 (,07) = 769,6 Exercicio 5 Como anos son 6 semestres, o pago ascenderá a: = (, 05) = 6700, Exercicio 6. CAPITAL PENDENTE XUROS PARA PAGAR º ano ,= =6500 º ano ,= =6000 º ano ,= =5500 O primeiro ano pagaremos 6500 ; o segundo ano, 6 000, e o terceiro, 5500 Exercicio 7. Aplicaremos a seguinte fórmula para calcular a mensualidade, m: ( + i) ( i) n. i m = C. n + i, onde C = 9 000, 7 i = e n = 6. = m =, , ,89 7 =, 0058 ( ) ( ). Unidade. Álxebra Exercicio. a) P ( x) = ( x + )( x )( x + ) = x x x = x x x + b) ( ) ( ) ( ) Q x Exercicio. 4 8x = 0 x = 0; x =. 9 a) 8x = 0 x( 9x 4) b) Facendo x = y reais. c) ( ) = ( x ) obtés y y 9 = 0 y = 9; x = ± e y =. Non ten solucións 8 x x x + = 0 x = 0; x =. Páxina de 7

22 d) Multiplique por ( + )( x ) Exercicio 4. x a) = x = 4 x = ±. x e obtés x x = 0 x = 4; x =. 5 x + x x b) = 5 x x = 0 x = ; x =. Exercicio 5. a) Despexando b) Despexando x 4 + y y = ; x =. Exercicio 6. x = e substituíndo obtén y 4 y = x = y + y 6 = 0. y = x = = e substituíndo obtén ( ) ( ) 8 4y = y e solución a) Facendo como primeiro cambio ( E E E E ) e segundo cambio ( E + ), obtén z = ; y = ; x =. ; 8E b) Facendo como primeiro cambio ( E E E E ) e segundo cambio ( E ) ;, obtén 0 = 8, co cal o sistema non ten solución. Exercicio 8. E Chamando x ao número de quilos que mercou o tendeiro e y ao prezo de compra dun quilo de mazás obtemos o seguinte sistema: x y = 5 ( x 0)( y + 0,4) = 47 y = x = 5. O tendeiro mercou 5 quilos de mazás..4 Unidade 4. Funcións elementais Exercicio, páxina 7. a) Ao ser unha función polinómica, o seu dominio de definición é todo R. b) O seu dominio de definición é R salvo os puntos que anulan o denominador: (x 6) 0 x 6 0 x = = =. Xa que logo, Dom( f ) = R { } c) O seu dominio de definición son os puntos que fan que o radicando non sexa negativo: estudamos logo cando 4 x 0 x 4 x x 4 Xa que logo: Dom( f ) = (,] d) Igual que no apartado anterior, estudamos cando x x x ( x) ocorre se: x 0 e 5 x 0 x 0 e x 5 x [ 0,5] Ou cando: x 0 e 5 x 0 x 0 e x 5 que é imposible. Xa que logo: Dom( f ) = [ 0,5] Exercicio, páxina 7. Páxina de Isto

23 I Y II X Y X a) II b) III c) IV d) I III Y IV Y X X Exercicio, páxina 7. a) Para facer a representación gráfica, obtemos: o eixe, o vértice, os puntos de corte cos eixes coordenados e algún punto adicional. Eixo: b x = x = x = x = a ( 0,5) 0, 5 b b a a Vértice:, f (, f ()), +. (, 0) Punto de corte co eixe das y : ( 0, f (0)) ( 0, ) Puntos de corte co eixo das x : estudamos onde a función toma o valor 0: ± 4 4( 0,5)( ) ± 0 x x + x = x = = ( 0,5) x 0,5 0 Como a raíz da ecuación é dobre, a gráfica corta ao eixe das x nun só punto (de tanxencia): (0,). Puntos adicionais: por exemplo o (4,-) e o (-,-8) = = Páxina de 7

24 7 f(x)=-0.5x^+x x b) Representamos primeiro a recta de ecuación y = x + 5, e logo, fixándonos onde toma valores negativos, trazamos a semirrecta simétrica desta respecto do eixe das x ( y = x 5 ) Páxina 4 de 7

25 x c) Para facer a representación no intervalo(,0] do anaco de parábola, seguimos o mesmo criterio que no apartado a). E para facer a representación no intervalo ( ) 0, do anaco de recta, bastará con representar dous puntos e trazar a semirrecta correspondente prestando especial atención a que o punto da semirrecta (0,) non é da gráfica, polo que no seu lugar debemos debuxar un pequeno círculo oco para pór de manifesto este particular. Así mesmo, para pór de manifesto que o punto (0,) do anaco de parábola si que é da gráfica, debuxaremos nel un círculo recheo. Páxina 5 de 7

26 x Exercicio 4, páxina 7. Imos facer unha interpolación lineal. Achamos a recta que pasa polos puntos (6,46) e (5,570) A súa pendente é m = = = Xa que logo, a ecuación da recta é: y = 6( x 6) + 46 y = 6x + 0 Ecuación que representa o que se debe pagar en función dos meses de asistencia. Deste xeito, se queremos saber canto se debe pagar se imos ao ximnasio durante meses, achamos o valor da y que corresponde ao valor da variable x: f () = = 46 Haberá que pagar 46.5 Unidade 5. Funcións exponenciais, logarítmicas Páxina 6 de 7

27 Exercicio, páxina 45. g f ( ) = g ( ) + = g( ) = 9 5 a) [ ] [ ] f g(0) = f 0 5 = f ( 5) = ( 5) + = 9 b) [ ] f f x = f f ( x) = f (x + ) = (x + ) + = 4x + + = 4x + c) o ( ) [ ] f o g x = f g( x) = f ( x 5) = ( x 5) + = x 0 + = x 9 d) ( ) [ ] Exercicio, páxina 45. Para achar a inversa da función definida por y = x, cambiamos o x polo y, e despexamos o y obtendo así a ecuación asociada á función inversa da función dada: x x = y x = y y = x y = Así, f x ( x) = Por outra banda: f o f (4) = f = f = = 6 = 4 Exercicio 4, páxina f(x)=0.8^x x Páxina 7 de 7

28 f(x)=.5^x x x f(x)=ln x Exercicio 7, páxina 45. A función que describe esta situación vén dada pola ecuación: Como queremos que o capital final sexa 9000 : , 9 t t = 0,5 = 0, 9 Tomando logaritmos: C = ,9 t t log 0,5 log 0,5 = log 0,9 log 0,5 = t log 0,9 t = 6, 58 log 0,9 E como 0,58 anos corresponden a 0,58 65 días. Teremos que o capital reducirase á metade aos 6 anos e días. Exercicio 8, páxina 45. A poboación inicial calcúlase facendo: x = 0 f 0,4 0 (0) = + 0, 5 = + 0,5 =,5 A poboación inicial é de 500 insectos. Duplicarase ao chegar a 000 insectos, é dicir: = + = = = 0,5 0,4x 0,4x 0,4x 0,4x 0,5 0,5 4 = 0, 4 x = x = = 5 0,4 0,4x Xa que logo, a poboación de insectos duplicarase en 5 días. Páxina 8 de 7

29 .6 Unidade 6. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas Exercicio, páxina 7. x 0 x 0 ( x ) a) lim f ( x) = lim 5 = x x ( x ) b) lim f ( x) = lim 5 = x x Non existe lim f ( x) x lim f ( x) = lim x x 7 = x 5 x 5 ( ) ( ) c) lim f ( x) = lim x x 7 = d) A función non é continua en x =, porque non existe o límite da función nese punto. Exercicio, páxina 7. a) x lim = = x 0 b) lim = = x 5 x c) lim x 4 lim + x 4 ( x 4) ( x 4) Exercicio, páxina 7. = + lim x 4 = + ( x 4) = + a) Y b) Y X X a) lim f ( x) x lim f ( x) + x x + x = + = Non ten límite en x =. lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = x lim f ( x) = 0 x + lim f ( x) = + x b) lim f ( x) = 0 x lim f ( x) = 0 lim f ( x) = 0 x + x lim f ( x) = Non ten límite en x =. lim f ( x) = x + x Páxina 9 de 7

30 lim f ( x) = x + lim f ( x) = x Exercicio 6, páxina 7. Asíntota vertical: x + lim f ( x) = lim = + x 4 x 4 4 x x + lim f ( x) = lim = + + x 4 x 4 4 x Así, a recta de ecuación x = é unha asíntota vertical. Asíntota horizontal: x + lim f ( x) = lim = x + x + 4 x x + lim f ( x) = lim = x x 4 x Para determinar se a tendencia da función á asíntota horizontal pola dereita realízase por encima ou por baixo dela, obteremos a imaxe dun valor moi grande e a compararemos coa ordenada da asíntota: f (000) = =, 009 que é menor que Xa que logo, a tendencia da función pola dereita á asíntota horizontal realízase por baixo dela Analogamente: f ( 000) = =, Xa que logo, a tendencia da función pola esquerda á asíntota horizontal realízase por encima dela. Y 4 X.7 Unidade 7. Iniciación ao cálculo de derivadas Exercicio, páxina 94. Para a función f : T V M f f...[,] = () () = = 7 8 = 9 T V M f f...[, 4] = (4) () = 4 = 64 7 = 7 Para a función g : T V M g g...[,] = () () = = 7 9 = 8 Páxina 0 de 7

31 T V M g g 4...[, 4] = (4) () = = 8 7 = 54 Xa que logo: no intervalo [,] crece mais a función f No intervalo [,4] crece mais a función g Exercicio 4, páxina 94. f ( + h) f () 4 + h + 4h T. V. M.[, + h] = = = h + 4 h h Exercicio 6, páxina 97. Depreciación no intervalo [ 0, ] = 9000 Depreciación no intervalo [ 4, 6] = 500 Depreciación no intervalo [ 8,0] = 500 Tendo en conta que os intervalos nos que se considera a depreciación teñen a mesma lonxitude, podemos concluír que a depreciación non é constante. Exercicio, páxina 99. f () f (0) a) T. V. M.[0,] = = = 0 f ( ) f ( 4) 4 0 T. V. M.[ 4, ] = = = ( 4) + 4 b) Si, P = (,4). c) Para os x < 0, tense f ( x) > 0 d) A recta de ecuación y = x (bisectriz do º cuadrante) ten pendente igual a -. Xa que logo, f (0) =..8 Unidade 8. Estatística Exercicio. Exercicio. Páxina de 7

32 x 5,5kg σ 8kg 6 x = = 54,05kg ,05 8,6 σ = = 40 kg ( x σ, x + σ ) = (45,69;6,4) Hai un 67% da poboación nese intervalo. A mediana M e está no intervalo [ 49,5;56,5 ) Páxina de 7

33 x 7 7.7,5 = x =,77 50,5 65,5,5 M e = 49,5 +, 77 = 5, 7kg Q está no intervalo [ 4,5;49,5 ) x = x = 5,09 5 5, 5 5 7,5 Q = 4,5 + 5, 09 = 47, 59kg Q está no intervalo [ 56,5;6,5 ) x = x =, ,5 65, 5 Q = 56, 5 +, = 59, 6kg A 40 kg correspóndelle o centil, aproximadamente. A 50 kg correspóndelle o centil 5, aproximadamente. A 60 kg correspóndelle o centil 76, aproximadamente. A 70 kg correspóndelle o centil 94, aproximadamente. Exercicio. a) Páxina de 7

34 00 x = = 0,mm ,, σ = 50 = M = 0mm e Q = 9mm Q = mm mm b) 0 x = = 0, mm ,5 0,, σ = = 50 mm A mediana está no intervalo [ 8,5;0,5 ). x.8 = x =, M e = 8,5 +, 65 = 0,5mm Q está no intervalo [ 8,5;0,5 ). x. = x = 0, Q = 8,5 + 0,8 = 8, 68mm Q está no intervalo [ 0,5;,5 ) x.9 = x =, Q = 0,5 +, 6 =,86mm c) Con datos illados. Se x = 4 F i = 49 correspóndelle unha porcentaxe acumulada do 98%. Páxina 4 de 7

35 Polo tanto: p98 = 4mm Con datos agrupados. Fixámonos no intervalo [,5;4,5 ) : x 4,5,5.4 = x = = 0, O percentil correspondente a 4 mm é 84+0,5=94,5.9 Unidade 9. Distribucións bidimensionais Exercicio. a) x = 5 ; y = 6; σ =, 8 ; σ =, 7 ; σ = 7, b) r = 0, 95 c) y = 0,9x +, 45 ˆ = d) y ( 5) 6 ; ( 0) 0, 55 Exercicio. X Y XY y ˆ =. Posto que r = 0, 95, as estimacións son moi boas. a) A recta de regresión é =,6x + y =. b) y ( ) 6, ; y ( 50) 77 y e ten que pasar por ( y) x,. Substituíndo obtemos ˆ = ˆ =. A primeira estimación é aceptable xa que está moi cerca de x = 0 mais na segunda teriamos que considerala pouco significativa pois o valor 50 está moi afastado de x = 0..0 Unidade 0. Distribucións de probabilidade de variable discreta Exercicio. Suposto I: = A. B =. = a) P[ N ] P[ N ] P[ N ] = A. B =. = b) P[ B] P[ B ] P[ B ] =. =. = c) P[ B N ] P[ B ] P[ N ] Suposto II: A B A B =. / =. = a) P[ N ] P[ N ] P[ N N ] =. / =. = b) P[ B] P[ B ] P[ B B ] Páxina 5 de 7

36 5 5 =. / =. = c) P[ B N ] P[ B ] P[ N B ] Suposto III: = A. B / A =. = a) P[ N ] P[ N ] P[ N N ] 9 = A. B / A =. = b) P[ B] P[ B ] P[ B B ] =. / =. = c) P[ B N ] P[ B ] P[ N B ] A B A B A Exercicio. µ = 7,4 σ =,69 Exercicio. I. Non é binomial porque ao sacar cada carta cambia a composición da baralla e, polo tanto, a probabilidade de que a seguinte sexa OUROS. II. Ao haber só 0 persoas, cada unha que se extraia modifica a probabilidade RAPAZ- RAPAZA das restantes. É dicir, é un caso similar ao I. III. En cada lanzamento de dado, P [ 5] =. Polo tanto, a distribución de probabilidades 6 do número de cincos é binomial, con n = 0, p =. 6 Nunha distribución B = 0,, µ = n. p = =,; σ = 0.. = = =, IV. O número de coches defectuosos dos 00 producidos nun día é unha distribución binomial con n = 00 e p = 0,0. Nunha distribución B (00; 0, 0), µ = 00.0, 0 = 6; σ = 00.0, =, 4 Exercicio 4. O número de chinchetas que caen cara arriba distribúese B (6;0,). 6 P X = = 0, 0, 7 = 0,4 a) P [ cara arriba e 4 cara abaixo ] = [ ] 4 6 = 0 = 0, 0, 7 = 0, b) Empezamos calculando P[ X ] P [algunha cara arriba] = P [ningunha cara arriba ]= P[ X ] = 0 = 0,76 = 0,884 Páxina 6 de 7

37 . Unidade. Distribucións de variable continua Exercicio A gráfica da función é: A altura do rectángulo ten que ser 0,5 para que a área sexa, en caso contrario non sería función de probabilidade. a) P [ X = ] = 0. Por ser puntual. b) P [ X < ] = 0,5 = 0, 5 c) P [ X < 4] = 0,5 = 0, 5 Exercicio 6 X 08 =. Polo tanto:,5 Sabemos que X N( 08;,5) Z = = N( 0,) 00 08,5 a) P [ x < 00 ] = P z < = P[ z <,9] = φ(,9) = 0,9890 = 0, ,5 b) P [ x > 5 ] = P z > = P[ z > ] = φ( ) = 0,977 = 0, ,5 5 08,5 c) P [ 00 < x < 5] = P < z < = P[,9 < z < ] = ( ) [ (,9) ] = 0,0, 966 = φ φ Exercicio 7 Sabemos que X = B( 80;0,07). Tanto 80 0, 07 como 0, 9 podemos realizar unha aproximación case perfecta por ` N( µ,σ ) µ = 80 0,07 = 5,6 e σ = 80 0,07 0,9 =, 8. P 0,5 5,6,8 80 son maiores que 5, entón X =, sendo [ x > 0] = P[ x ] = P[ x` 0,5] = P z = P[ z,5] = φ(, 5) = = 0,984 = 0,058. Nota: consideramos 0,5 por persoas porque estamos aproximando unha variable discreta (binomial) por unha continua (normal). Páxina 7 de 7