Equalização Linear de um Canal de Comunicação Digital usando critério MSE e Pseudo-Inversa

Transcrição

1 Equalização Linear de um Canal de Comunicação Digital usando critério MSE e Pseudo-Inversa Karolina M. H. Coutinho, Sacha P. A. Farias e Francisco J. A. de Aquino. Abstract In this paper we describe a digital communication system and one of the main problems faced: reduce the undesirable effects of the communication channel. We can use an equalizer to compensate for the communication channel. If the channel is known, we can perform the calculation of equalizer using the MSE (mean square error) criterion. The combined channel-equalizer can introduce a delay. This delay can have a strong influence on system performance, as shown in the simulation results (using free software) at the end of this paper. Keywords digital communication, equalizer, intersymbol interference (ISI), bit error rate (BER). N I. INTRODUÇÃO OS sistemas de comunicações digitais modernos são requeridas altas taxas de dados. Quanto maior a taxa de dados, mais o canal de comunicação se torna dispersivo no tempo (ou seletivo em frequência), isto é, o canal de comunicação espalha o sinal devido aos múltiplos percursos resultando em interferência entre os símbolos (ISI - intersymbol interference) [1]. Os mutipercursos são os vários caminhos que o sinal percorre antes de chegar ao receptor. A ISI pode acarretar em aumento significativo da taxa de erro de bit (BER - bit error rate) na comunicação, sendo um fator mais importante que o ruído [2]. Deve ser lembrado que um aumento na potência do sinal transmitido não reduzirá a ISI, mas irá melhorar a relação sinal-ruído. Para compensar os efeitos do canal de comunicação, seja ele um link de microondas, o ar (sistemas wireless) ou um par de fios telefônicos, e manter a taxa de transmissão de dados alta, pode-se usar um equalizador digital. A função do equalizador é, portanto, remover ou minimizar a ISI trazendo a BER a valores aceitáveis. Como, em geral, o canal de comunicação é variante no tempo, o equalizador precisa ser adaptativo, isto é, seus coeficientes devem ser ajustados automaticamente de acordo com as mudanças no canal [3]. Entretanto, em várias aplicações, pode ser considerado o canal aproximadamente constante durante a transmissão de um bloco de símbolos [4]. Neste artigo, o objetivo principal é encontrar o equalizador ótimo para o canal de comunicação usando o critério MSE Karolina M. Herrera Coutinho, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE), Fortaleza, Ceará, Brasil, karol.nique@gmail.com Sacha P. A. de Farias, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE), Fortaleza, Ceará, Brasil, sachaprado@gmail.com Francisco J. A. de Aquino, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE), Fortaleza, Ceará, Brasil, fcoalves_aq@ifce.edu.br (mean square error) e usando o conceito de pseudo-inversa, levando em consideração o atraso de equalização ótimo. Todas as simulações foram realizadas usando o software livre SCILAB [5], um programa de computador parecido com o MATLAB. O restante do artigo é organizado como segue. A Seção II apresenta um modelo de comunicação digital. A Seção III trata do tema equalização. A Seção IV aborda a equalização MSE e a Seção V a equalização usando o conceito de Pseudo-Inversa. Já a Seção VI foca o atraso de equalização. Os resultados de simulação são apresentados na Seção VII. Finalmente, as conclusões são apresentadas na Seção VIII. II. COMUNICAÇÃO DIGITAL Num sistema digital, como mostra a Figura 1, as mensagens (analógicas ou digitais) precisam ser convertidas em uma sequência de dígitos binários. Essas sequências binárias contêm o menor número possível de dígitos. O codificador de fonte realiza uma compressão dos dados. O codificador de canal introduz nesse sinal uma quantidade de informação redundante que será utilizada no receptor para detectar e corrigir erros causados pelo ruído e interferências que afetam o sinal. O modulador escolhe um conjunto de parâmetros, como por exemplo, o formato e a duração das formas de onda e a potência média mais adequada e os mapeia em um sinal para que possa ser transmitido pelo canal. O canal é o meio físico para transportar a informação do transmissor ao receptor. Esse canal pode ser Wireless, fibra ótica, um cabo coaxial comum nas linhas telefônicas, etc. A informação segue para o demodulador que processa o sinal corrompido pelo canal tentando reduzir o sinal a uma seqüência numérica que representa as estimativas de dados recebidos. Durante todo o processo de transmissão do sinal o ruído faz-se presente corrompendo o sinal. No entanto, ele será devidamente tratado antes de chegar ao decodificador. A função do decodificador de canal é reconstruir o sinal original utilizando o código dado pelo codificador de canal e a redundância contida na informação do sinal. No entanto podem ocorrer erros nesse processo. O decodificador de fonte tenta recuperar o sinal original baseado no código usado pelo codificador de fonte. A probabilidade média de erros de bits na saída do decodificador é uma medida de desempenho da combinação demoduladordecodificador, ver [8]. Ao passar pelo canal, o sinal transmitido pode ser corrompido de forma aleatória por diversos mecanismos: adição de ruídos, atenuação, seletividade em frequência, deslocamento de fase, que são, em geral, dependentes do tempo. Na Fig. 1 nota-se que no receptor não existe uma estrutura diretamente responsável por compensar os efeitos

2 causados pelo canal de comunicação. Nos casos onde o canal é variante no tempo ou distorce severamente o sinal transmitido pode ser necessário o uso de um equalizador [6], pois o diagrama de olho do sistema pode ficar fechado. A Fig. 2 exemplifica os casos de diagrama de olho aberto e fechado. No segundo caso existe a necessidade de equalização. III. EQUALIZAÇÃO Uma aplicação para o filtro ótimo de Wiener é a equalização de um canal de comunicação [2]. A Fig. 3 mostra esse sistema. A fonte de informação proporciona o sinal a[k] que deverá passar pelo canal de comunicação, este por sua vez pode ser modelado como um filtro transversal de comprimento finito [6]. Na entrada do equalizador, que pode ser implementado por um filtro transversal, o sinal x[k] ainda é afetado pelo ruído η[k], considerado gaussiano de média nula e variância σ 2 n. O novo sinal com ruído recebe o nome de y[k]. O equalizador é o elemento cujo objetivo é regenerar o sinal de entrada y[k]. Logo, a função de transferência do equalizador deve ser aproximadamente a inversa da função de transferência do canal para que a sua saída ã[k] seja a mais próxima possível da sequência transmitida a[k], com um possível atraso de k 0 amostras. Em outras palavras, o equalizador deve ser um filtro adaptativo, pois o canal de comunicação é, na maioria dos casos, um sistema variante no tempo. Matematicamente, o canal de comunicação pode ser representado por, onde os valores h i [k] podem ser números reais ou complexos. Da mesma forma, o equalizador pode também ser representado por um conjunto de coeficientes reais ou complexos:. A partir da Figura 2, pode ser expresso o sinal recebido y[k] por:, (3) sendo H MSE a matriz de convolução do canal, v MSE-k0 um vetor coluna com a resposta do canal atrasada por k 0 amostras. O vetor de coeficientes ótimos sendo calculado por: onde I é uma matriz identidade com dimensão compatível, (.) H é transposição Hermitiana e ξ é a relação sinal-ruído. Figura 1. Modelo de um sistema de comunicação digital. (a) (4) + (1) Para que o equalizador consiga compensar o efeito do canal na comunicação deve-se ter h[k] w[k] δ[k k 0 ], onde representa a operação de convolução e δ[k] é o impulso unitário. Sendo o canal conhecido, w[k] pode ser calculado através de uma inversão de matrizes. IV. EQUALIZAÇÃO USANDO O CRITÉRIO MSE Para usar o critério MSE, foi formulado o problema da seguinte forma: (b) Figura 2. Diagramas de olho: (a) aberto, (b) fechado. H MSE = (2) Figura 3. Esquema de equalização de um canal de comunicação.

3 V. CÁLCULO W[K] USANDO PSEUDO-INVERSA Também podemos montar o seguinte sistema de equações lineares: (5) O sistema de equações representado na equação (5) não possui inversa, pois a matriz de coeficientes do canal não é quadrada. A solução desse sistema exige o uso do conceito de matriz pseudo-inversa ou a inversa generalizada de Moore- Penrose [7]. Podemos calcular a matriz pseudo-inversa da seguinte forma:. Dessa forma, o vetor ótimo pode ser calculado por:. No entanto, não foi levada em conta a presença de ruído nessa forma de equalização.. VII. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES Nesta seção será mostrada inicialmente uma simulação usando o critério MSE para um canal conhecido. E em seguida, uma comparação entre um equalizador MSE e um equalizador usando o conceito de Pseudo-Inversa. Na simulação referente à Fig. 4 foi usado uma constelação 4-QAM (quadrature amplitude modulation), uma relação sinal ruído de 30 db e um canal conhecido definido por h = [0,3976; 0,1988-0,5367j; - 0, ,4165j; 0,3819-0,2399j] T que provoca uma grande distorção no sinal transmitido. O canal h é de fase mista, isto é, possui zeros dentro e fora do círculo de raio unitário. O equalizador ótimo (ver as equações 5 e 6) tem apenas nove coeficientes complexos. Para esse canal, o atraso ótimo k 0 é de quatro amostras, como pode verificar na Figura 4-(a). Na Figura 4-(b) ver o sinal transmitido, na Figura 4-(c) temos sinal recebido após o canal e o sinal equalizado, considerando o atraso ótimo, na Figura 4-(d). A Figura 4-(e) apresenta os zeros do canal e do equalizador, já a Figura 4-(f) mostra os comportamentos do canal, do equalizador e da combinação canal + equalizador na frequência. Pode perceber que o equalizador consegue compensar razoavelmente bem os efeitos do canal. Todos os cálculos necessários foram realizados com o auxílio do software livre SCILAB [5]. VI. ATRASO DE EQUALIZAÇÃO ÓTIMO Em sistemas de comunicação é importante combater a interferência entre símbolos (ISI) provocada pelo canal de comunicação. Sabe-se que o atraso escolhido pode ter grande influência no desempenho do equalizador na presença de ruído. Diferentes atrasos podem resultar em diferentes amplificações de ruído. É possível mostrar, ver [8], que usando o critério MSE o atraso ótimo k 0 é aquele que minimiza a seguinte expressão:, (6) isto é, o atraso ótimo é aquele que seleciona o elemento de menor valor absoluto da diagonal principal de. A energia do erro, em função do atraso k 0, é dada por: Pode ser encontrados mais detalhes sobre o atraso de equalização em [9]. Também deve ser observado que irá persistir uma interferência entre símbolos residual após a equalização do canal. Pode ser calculada essa ISI residual por [10]: (7) onde c[k] representa a convolução do canal com o equalizador. (8) Figura 4. (a) energia do erro em função do atraso, (b) sinal transmitido, (c) efeito do canal sobre o sinal, (d) sinal equalizado com atraso ótimo, (e) zeros do canal e do equalizador, (f) resposta em frequência do canal, equalizador e da combinação canal + equalizador.

4 Nesta segunda simulação será comparado o equalizador MSE com a Pseudo-Inversa usando três canais conhecidos que apresentam diferentes níveis de distorção. canal h 1 = [0,9007; 0,0901-0,1801j; - 0, ,3423j; - 0, ,1405j] T ; canal h 2 = [0,7255; 0, ,399j; - 0, ,4607j; - 0, ,1553j] T ; canal h 3 = [0,3976; 0, ,5367j; - 0, ,4165j; - 0, ,2399j] T. O canal h 1 é de fase mínima, isto é, possui todos os zeros dentro do círculo de raio unitário, ou seja, é um canal que não provoca grandes distorções no sinal. Para este canal, o atraso ótimo k 0 é zero. Os dois equalizadores apresentam um desempenho muito semelhante e possuem coeficientes próximos quando a relação sinal-ruído é alta (30 db). Esses coeficientes são apresentados na Tabela 1, esses valores foram calculados com o auxílio do software SCILAB [5]. O canal h 3 é um canal de fase mista, isto é, apresenta um zero fora do círculo de raio unitário. Esse canal é o que apresenta maior distorção. Tendo o conhecimento do canal, pode-se usar a seguinte expressão para calcular o nível de distorção [1]: maior que 18 db, como podemos ver na Fig. 7. Para esse canal, o atraso de equalização adotado foi de cinco amostras. Figura 5 - Curvas de desempenho dos equalizadores para o canal h1., (9) onde n indica o coeficiente de maior energia do canal. Se D n > 1, o canal apresenta uma distorção muito severa. TABELA I COEFICIENTES DOS EQUALIZADORES PARA O CANAL H 1 w PINV (Pseudo-inversa) w MSE 1,1023 1,1004-0, ,2113j - 0,1060 +,2104j - 0,0150-0,4517j - 0,0147,4501j 0,2837-0,0859j 0,2824,0858j - 0, ,0924j - 0,1556 +,0918j - 0,0940-0,1776j - 0,0936,1766j 0, ,0128j 0,0705 +,0126j - 0, ,0555j - 0,0665 +,0551j Em cada simulação, a quantidade de símbolos transmitidos pelo canal foi de , apresentando uma distribuição uniforme. Cada equalizador, nessas simulações, possui oito coeficientes. Foi feita a relação sinal ruído variar de 0 a 20 db, sendo o ruído considerado gaussiano. Os resultados dessas simulações são apresentados nas Fig. 5, Fig. 6 e Fig. 7. Para o canal h 1, o equalizador MSE e o equalizador PINV (usando pseudo-inversa) apresentam um comportamento semelhante quando a SNR é baixa, cerca de 1 db de ganho para uma BER de 10-4, como pode ser visto na Figura 5. No canal h 2, para uma SNR média ou alta (> 10 db), o desempenho dos equalizadores MSE e PINV são essencialmente o mesmo, como mostra a Fig. 6. Para esse canal, o atraso de equalização adotado foi zero. Já no canal h 3, o nível de distorção introduzido é elevado, ver equação 9. Já o equalizador MSE apresenta um desempenho claramente superior ao equalizador PINV para uma SNR baixa, mas praticamente igual quando a SNR é Figura 6 - Curvas de desempenho dos equalizadores para o canal h2. Figura 7 - Curvas de desempenho dos equalizadores para o canal h3.

5 VIII. CONCLUSÕES E FUTUROS TRABALHOS Neste artigo foram revisados os principais conceitos referentes a um sistema de comunicação digital e a necessidade do uso de um equalizador. Considerando o canal conhecido e usando o critério MSE e o conceito de Pseudo- Inversa para o cálculo do equalizador linear ótimo. Também incluímos uma estimativa do atraso ótimo a ser adotado para que o desempenho do equalizador seja máximo. Os resultados das simulações ilustram toda essa fundamentação teórica. O próximo passo desta pesquisa é expandir para o caso adaptativo e incluir equalizadores largamente lineares e não lineares. IX AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao Instituto Federal de Educação do Ceará e à FUNCAP (Fundação Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pelo apoio material e financeiro para o desenvolvimento desta pesquisa REFERÊNCIAS [1] Proakis, Jonh G. (1995). Digital Communications. 3 ed. New York: McGraw-Hill. [2] Proakis, Jonh G.; Manolakis, Dimitris G. (2007). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications. 4. ed. Upper Saddle River (NJ): Pearson Education, 948 p. [3] Haykin, S. (1996). Adaptive Filter Theory. 3a. ed. New Jersey: Prentice Hall. [4] Tarokh, V.; Seshadri, N.; Calderbank, A.R. (1998). Space-Time codes for high data rate wireless communication: Performance analysis and code construction. IEEE Transactions on Information Theory, New York, v. 44, p , março. [5] SCILAB. (2010). The Free Platform for Numerical Computation. Disponível em: < Acesso: em 28 janeiro de [6] Pimentel, Cecilio J. Lins. (2007). Comunicação Digital. Rio de Janeiro: Brasport. 396 p. [7] DAHLQUIST, G.; BJÖRCK, A. Numerical Methodos. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, p. [8] Aquino, Francisco J. A.; Rocha, Carlos A. F.; Resende, Leonardo S. (2008). Análise Estatística do Algoritmo LMS Largamente Linear e Cálculo do Atraso Ótimo para Equalização Largamente Linear. In: XXVI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT, Rio de Janeiro, RJ, p. 1-6, setembro. [9] Voois, P. A.; Lee, I.; Cioffi, J. M. (1996). The effect of decision delay in finite-length decision feedback equalization. IEEE Transactions on Information Theory, New York, v. 42, p , março. [10] Haykin, S. (1996). Adaptive Filter Theory. 3a. ed. New Jersey: Prentice Hall. [11] Haykin, S. (2004). Sistemas de comunicação: analógicos digitais. 4a. ed. Porto Alegre: BOOKMAN. Karolina Monique Herrera Coutinho Estudante de graduação tecnológica em Telemática no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE). Bolsista da Funcap no laboratório de pesquisa ITTI. Linha de pesquisa: processamento digital de sinais.nasceu em 31 de maio de Sacha do Prado Arrais de Farias nasceu na cidade de Crato, Ceará, Brasil, em 15 de setembro de Atualmente é aluna da graduação de Engenharia de Telecomunicações do Instituto Federal de Educação. Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) em Fortaleza, Ceará, Brasil. Pesquisadora desde março de 2010 do laboratório de pesquisa ITTI. Suas principais áreas de pesquisas são: Comunicação Digital, Equalização Adaptativa. Francisco José Alves de Aquino possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Ceará (1992), mestrado (1998, Lab. Linse) e doutorado (2008, Lab. GPqCom) em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina. É professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (antigo CEFET-Ce) desde Foi professor nos cursos de Engenharia Eletrônica e Eng. de Telecomunicações da Universidade de Fortaleza (Unifor), de 2000 a Tem experiência na área de pesquisa e ensino em Engenharia Elétrica, com ênfase em filtros lineares, eletrônica, métodos numéricos e processamento digital de sinais. Atuando principalmente nos seguintes temas: simulação de sistemas de telecomunicações, eletrônica analógica e digital, filtros ativos e filtragem adaptativa. Ministra aulas de métodos numéricos, processamento digital de sinais, sistemas lineares, eletricidade, eletrônica analógica, metodologia científica e equações diferenciais nos cursos de Eng. de Telecomunicações, Eng. de Computação e Tecnólogo em Telemática. Atualmente, é o professor responsável pela disciplina de monografia no curso de Telemática.