ANÁLISE DA VAZÃO E SUA AUTOMAÇÃO POR INTERMÉDIO DE VÁLVULA EM UM GERADOR À GÁS NATURAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ANÁLISE DA VAZÃO E SUA AUTOMAÇÃO POR INTERMÉDIO DE VÁLVULA EM UM GERADOR À GÁS NATURAL José Willamy Medeiros de Araújo Fortaleza Junho de 2011

2 ii JOSÉ WILLAMY MEDEIROS DE ARAÚJO ANÁLISE DA VAZÃO E SUA AUTOMAÇÃO POR INTERMÉDIO DE VÁLVULAS EM UM GERADOR À GÁS NATURAL Trabalho Final de Curso submetido à Universidade Federal do Ceará como parte dos requisitos para obtenção do grau de Graduado em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Demercil de Souza Oliveira Junior Fortaleza Junho de 2011

3 iii JOSÉ WILLAMY MEDEIROS DE ARAÚJO ANÁLISE DA VAZÃO E SUA AUTOMAÇÃO POR INTERMÉDIO DE VÁLVULAS EM UM GERADOR À GÁS NATURAL Este Trabalho Final de Curso foi julgado adequado para obtenção do título de Graduado em Engenharia Elétrica e aprovado em sua forma final pelo Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Ceará. José Willamy Medeiros de Araújo Banca Examinadora: Prof. Paulo César Marques de Carvalho, Dr. Prof. Laurinda Lucia N. dos Reis, Dr. Prof. Arthur Plínio de Souza Braga, Dr. Fortaleza, Junho de 2011

4 iv Eu avalio o preço me baseando no nível mental que você anda por aí usando. Aí eu te digo o preço que a sua cabeça agora está custando. (Raul Seixas)

5 v A Deus, As minhas irmãs, Patrícia e Alexandra, Aos meus pais, José Alves e Maria de Jesus, A todos meus amigos e familiares.

6 vi AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus por me guiar no caminho que segui até chegar aqui. Ao Professor Dr. Paulo Cesar Marques de Carvalho, pela sua orientação, paciência e disponibilidade durante este tempo de trabalho. Ao Professor André Pimentel, por todos os conselhos relevantes e materiais para a realização deste trabalho. Aos professores do departamento Fernando Antunes, José Carlos, Otacílio Mota, Laurinda Reis, Arthur Plínio, Ricardo Thé, Paulo Praça, André Lima, Adson Bezerra, Gabriela Bauab, Sergio Daher, Demercil de Souza, José Almeida, Carlos Gustavo, Ruth Leão. Aos meus amigos Carlos Alberto, Wellington Avelino, Ernande Eugênio e Dalton Honorio pelo companheirismo e ajuda que tornaram possível essa graduação. A meu Pai José Alves de Araujo, minha mãe Maria de Jesus Medeiros de Araujo, minha irmã Alexandra Medeiros Lima e minha Irma Patrícia Medeiros dos Santos sem os quais minha vida não seria possível. Aos meus tios, primos, a toda minha família que apoiou durante toda essa caminhada. A todas as pessoas que por motivo de esquecimento não foram citadas anteriormente, vou deixando neste espaço minhas sinceras desculpas.

7 vii Araújo, J. W. M. de Análise da Vazão e sua Automação por intermédio de válvulas em um gerador à gás Natural, Universidade Federal do Ceará UFC, 2011, 46p. Esta monografia apresenta uma análise do funcionamento do sistema de automação por intermédio de válvulas de uma usina termelétrica. Para isso é feito inicialmente um estudo sobre o espaço que as termelétricas vêm tomando no cenário brasileiro. Esse estudo preliminar tem como objetivo alcançar a motivação suficiente para a realização do trabalho. Depois de estabelecida essa motivação é feito um estudo específico do funcionamento de uma usina termelétrica em termos eletromecânicos e em termos fluido mecânicos. Esse segundo estudo baseia-se principalmente na obtenção da vazão (elemento fundamental para a produção de energia termelétrica) a partir da equação de Bernouilli. Uma vez estabelecida a vazão em regime permanente é feita uma descrição dos principais elementos utilizados em meio industrial para a medição da mesma. Terminada as explicações sobre o funcionamento da termelétrica, assim como o funcionamento dos principais medidores de vazão que são primordiais para o perfeito funcionamento e supervisão da planta, é feita a análise de outro elemento importantíssimo para o sistema, a válvula. A partir desse estudo descritivo da válvula é levantado o seu funcionamento e sua metodologia de automação. automação. Palavras-Chave: Produção de energia, vazão, dispositivos de medição, válvulas,

8 viii SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... x LISTA DE TABELAS... xi CAPÍTULO Termelétricas e o gás natural Motivação Objetivos Metodologia Estrutura da monografia... 4 CAPÍTULO Caracterização de uma planta a gás natural e sua descrição em termos matemáticos Elementos fundamentais da produção de energia elétrica à gás natural Conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos Estabelecimento da equação da vazão em um tubo CAPÍTULO Estudo dos principais dispositivos de medição de vazão Medidores indiretos Placa de orifício Tubo de Venturi Bocal Tubo de Pitot Rotâmetro Medidores diretos Medidor tipo turbina Medidores especiais Medidor por tempo de passagem Medidor à efeito Doppler CAPÍTULO Estudo das válvulas, dispositivos e sistemas de automação e controle de vazão Sistema de automação e controle... 25

9 ix 4.2. Válvulas Modelagem de uma servo-válvula proporcional eletrohidraulica CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A Rotina em Matlab utilizada para a resposta ao degrau da função de transferência de uma válvula para diversos valores de Ka... 35

10 x LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Perfil esquemático de uma usina termelétrica utilizando caldeira [7]... 5 Figura 2.2 Perfil esquemático de uma usina termelétrica de ciclo aberto [1]... 6 Figura 2.3 Elemento diferencial de volume para uma dada seção no escoamento de um fluido [8]... 7 Figura 2.4 Vazão em duas seções distintas de um tubo [8]... 8 Figura 3.1 Placa de orifício [8] Figura 3.2 Perfil da veia contraída e diferencial de pressão [8] Figura 3.3 Orifício concêntrico [8] Figura 3.4 Orifício excêntrico [8] Figura 3.5 Orifício segmental [8] Figura 3.6 Tubo de Venturi [8] Figura 3.7 Bocal [8] Figura 3.8 Tubo de Pitot Figura 3.9 Rotâmetro [8] Figura 3.10 Medidor tipo turbina [8] Figura 3.11 Medidor por tempo de passagem [8] Figura 3.12 Medidor à efeito Doppler [8] Figura 4.1 Sistema simplificado de atuação da servo-válvula [11] Figura 4.2 Sistema de atuação de uma servo-válvula [11] Figura 4.3 Componentes internos da servo-válvula Figura 4.4 Resposta ao degrau da função de transferência do sistema Figura 4.5 Resposta ao degrau para Ka =

11 xi LISTA DE TABELAS Tabela Uso final do gás natural por setor [4]... 2 Tabela Tipos de medidores de vazão [8] Tabela 4.1 Tipo de válvulas e funcionamento [10] Tabela 4.2 Parâmetros da válvula[12]... 29

12 CAPÍTULO Termelétricas e o gás natural As usinas termelétricas vêm ganhando um grande espaço na produção elétrica brasileira. Diversas dificuldades na transmissão e distribuição da energia geram o que conhecemos como sistemas isolados (sistemas não conectados ao Sistema Interligado Nacional). Tais sistemas são predominantemente térmicos [1]. Além disso, as usinas termelétricas vêm se apresentando como uma boa solução para o aumento da oferta devido à facilidade da implantação em termos burocráticos. Outro fator que também vem contribuindo bastante para a implantação de novas usinas termelétricas é a possível complementaridade que elas podem oferecer juntamente com outras usinas (por exemplo, hidrelétricas) formando os então conhecidos, sistemas híbridos. As usinas termelétricas também possuem a possibilidade da instalação da usinas próximo aos centros de consumo devido ao seu reduzido tamanho. Elemento esse que reduz gastos com linhas de transmissão. Outro tema que vem também tomando bastante espaço e favorecendo a implantação de novas usinas termelétricas são os chamados biocombustíveis tais como o bagaço da cana de açúcar, esterco animal entre outros. Estes biocombustíveis permitem um maior rendimento de certos processos industriais, como por exemplo, nas usinas sucro-alcooleiras onde o bagaço da cana colhida pode ser utilizada para a geração de energia elétrica. Outro combustível que vem ganhando muito espaço no Brasil e no mundo é o gás natural. Em 2008 o gás natural representava 10,2% da produção de energia no Brasil fruto de um aumento de 15,4% anual segundo o MME. De acordo com a Agência Nacional do Petróleo (ANP) em 2008 o Brasil possuía uma reserva provada total de 364 bilhões de metros cúbicos de gás a ser explorado, valor esse que deve aumentar a partir do desenvolvimento das reservas do pré-sal [2], [3]. Nesse mesmo ano a produção de gás natural, descontadas as perdas, chegou ao valor de 12,6 bilhões/ano que fornece um valor médio de 34,5 milhões de metros cúbicos diários. Desses 12,6 bilhões podemos ver o uso final do recurso através da Tabela 1.1 [4].

13 2 Tabela Uso final do gás natural por setor [4] Setor % Industrial 52,1 Automotivo 13,4 Residencial 1,5 Comercial 1,2 Geração Elétrica 26,9 Co-Geração 4,5 Outros 1,4 De acordo com a Tabela 1.1 podemos ver que a geração de energia elétrica apresenta a segunda maior utilização desse recurso com um valor de 26,9%. Tendo em vista isso juntamente com a previsão do Plano Decenal de Expansão de Energia 2008/2017, de que, até 2017, a produção de gás nacional poderá atingir 140,1 milhões de metros cúbicos diários, é fácil ver que o gás natural se apresentará mais forte na repartição de produção de energia elétrica nos próximos anos. Outros fatores importantes que contribuirão para a utilização do gás natural são a independência que ele produz de recursos provenientes do petróleo e que possuem flutuações no mercado como foi visto na crise do petróleo em Além disso, a baixa poluição ambiental se comparado a outros combustíveis fosseis (a titulo de informação o gás natural libera em torno de 20 a 30% menos Gases do Efeito Estufa (GEE s) na atmosfera se comparado com óleos combustíveis e entre 40 e 50% menos se comparado a combustíveis sólidos tal qual o carvão) é algo muito atrativo em meio a essa nova política de energias limpas. Podemos também citar a geração de royalties para o município, facilidade para implantação de uma usina termelétrica se comparado com a hidrelétrica, a possibilidade da instalação das usinas próximo aos consumidores por se tratar de usinas de pequeno porte gerando assim diminuição com os gastos em transmissão [1] Motivação O Brasil, apesar da grande diversificação da matriz energética produzida nos últimos anos, ainda possui uma forte dependência da energia hidroelétrica. Há poucos anos o país possuía 90% da sua produção provinda dessa fonte. Em 2008, esse número já havia caído para 74%.

14 3 Não obstante essa redução de 16%, o país ainda possui uma grande dependência dos recursos hidrológicos. Essa dependência cria uma situação desconfortável, pois um longo período de estiagem pode limitar consideravelmente a produção de energia no país. Além disso, motivado pela menor poluição se comparado com outras fontes baseadas em combustíveis fosseis, o gás natural e a biomassa se tornaram uma alternativa para a matriz energética. Nesse contexto, foi estabelecido o Plano Prioritário de Termelétricas a partir do Decreto n de 24 de fevereiro de 2000 [5]. Segundo o Banco de Informações de Geração da Aneel, em novembro de 2008 existiam 302 termelétricas movidas à biomassa no país, que correspondem a um total de 5,7 mil MW (megawatts) instalados. Outro fator também importante que agrega valor as usinas termelétricas é o estabelecimento de sistemas híbridos acoplados com usinas térmicas onde a usina térmica compensará o déficit de outra fonte de energia em períodos de ponta ou em períodos de estiagem, no caso de hidrelétricas. Vale salientar também a possibilidade da utilização de um ciclo fechado no processo de produção de energia para o reaproveitamento do vapor gerado. Sabe se também que durante a produção de energia elétrica usando gás natural um grande percentual do gás é perdido o que a partir da utilização de métodos de controle pode ser estabelecido condições de utilização ótimas para tais usinas na qual obteremos um rendimento máximo. Dessa forma se tornam evidentes as motivações para um melhor entendimento da vazão por métodos matemáticos em um tubo e sua automação em usinas termelétricas Objetivos O objetivo do presente trabalho é compreender os principais métodos, dispositivos e equacionamentos da vazão em um tubo de gás em uma usina termelétrica além de sua automação. Esta compreensão será estabelecida a partir de uma análise matemática da vazão do sistema em questão (vazão do fluido dentro dos dutos de transporte em regime permanente), descrição e funcionamento dos dispositivos de medição, análise dos dispositivos de automação Metodologia O presente trabalho aborda inicialmente uma análise fluido-mecânica da vazão em

15 4 regime permanente em um tubo de gás em uma usina termoelétrica. Em um segundo momento é descrito os principais dispositivos de medição de vazão usados em meios industriais utilizando-se de princípios discutidos na primeira parte do trabalho sobre vazão em regime permanente. A terceira e ultima parte consta de uma análise do sistema empregado nas válvulas dos dutos usadas para a automação do sistema Estrutura da monografia Esta monografia apresenta a descrição detalhada da vazão em um tubo de transmissão de gás natural destinado à produção de energia elétrica além de sua automação. A monografia esta organizada nos seguintes capítulos: inicialmente temos esta introdução onde foi apresentada a situação atual das termelétricas no setor elétrico brasileiro como base para a compreensão e motivação do estudo de uma termelétrica. No Capítulo 2 descreve-se a geração em uma termelétrica a gás natural além de ser feita a análise do sistema em regime permanente. O Capítulo 3 é destinado ao detalhamento de diversos dispositivos de medição de vazão utilizados em meio industrial. O Capítulo 4 é feita uma analise das válvulas empregadas no meio industrial e seu respectivo mecanismo de automação. Finalmente, no Capítulo 5 são feitas as conclusões sobre o estudo em questão além de uma discussão sobre trabalhos futuros.

16 5 CAPÍTULO 2 CARACTERIZAÇÃO DE UMA PLANTA A GÁS NATURAL E SUA DESCRIÇÃO EM TERMOS MATEMÁTICOS 2.1. Elementos fundamentais da produção de energia elétrica à gás natural Praticamente todas as atuais formas de produção de energia elétrica funcionam baseadas no principio de indução magnética (uma exceção é a fotovoltaica), onde uma espira (no caso o rotor do gerador) esta imersa em um campo magnético e é atravessada por um determinado fluxo. Através da rotação dessa espira tem-se a geração de uma força eletromotriz induzida dada por [6]: d E n (2.1) dt Sendo, E é tensão induzida, n é o numero de espiras e ϕ o fluxo magnético. Tendo a Equação 2.1 em vista, para se produzir energia elétrica é necessária uma fonte de energia que produza tal rotação. Por exemplo, nas hidrelétricas é utilizada a energia potencial da água armazenada nos reservatórios para girar as turbinas. Por outro lado nas termelétricas pode ser usada a energia proveniente do vapor d água aquecido em uma caldeira por determinada fonte de energia, tal qual, carvão óleo e etc. Dessa forma, podemos ver na Figura 2.1 um esquema simplificado de uma termelétrica de ciclo fechado[7]: Figura 2.1 Perfil esquemático de uma usina termelétrica utilizando caldeira [7]

17 6 Outra forma de se obter a rotação do gerador em uma usina termelétrica é a partir da combustão direta do gás natural. No momento da combustão os gases resultantes são acelerados e passam pela turbina provocando então o movimento da mesma. Os gases resultantes da combustão podem ser expelidos por uma chaminé sendo caracterizado como um processo simples ou aberto. Esse processo pode ser visto na Figura 2.2. Figura 2.2 Perfil esquemático de uma usina termelétrica de ciclo aberto [1] Outro possível destino para os gases da combustão é utilizá-los para o aquecimento de água até a ebulição. Dessa maneira, o vapor de água produzido também passará pela turbina ajudando assim o processo. Esse ciclo é chamado de ciclo combinado, por conter a combinação de dois métodos. Em ambos os casos, o transporte de um fluido (vapor d água, gás natural) dentro do sistema é de fundamental importância para o funcionamento da usina. Com isso, se faz necessária a completa compreensão dos processos fluidomecânicos que regem o deslocamento de fluidos assim como a obtenção de diversas grandezas como a pressão e vazão do fluido para que seja possível o estabelecimento do controle da usina Conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos A mecânica dos fluidos é a ciência que estuda os comportamentos cinemáticos, estáticos e dinâmicos dos fluidos além das trocas de energias com o meio [8]. A mecânica dos fluidos sempre interagirá com as seguintes variáveis de estudo: pressão, temperatura, velocidade, aceleração, deformação, compressão e expansão dos fluidos. Dessa forma o conhecimento dessas variáveis é necessário para a análise de tais sistemas.

18 7 Além dessas variáveis é necessário um conhecimento básico das leis que regem os fluidos. No caso em questão, para o cálculo da vazão do gás em estado permanente em um tubo, será necessário o conhecimento da equação da conservação de massa e da equação de Bernoulli [8]. A conservação de massa estabelece que um dado sistema possua uma massa constante durante todo o tempo. No caso dos fluidos essa definição pode ser melhor entendida utilizando-se do conceito de vazão. Para qualquer seção de tubo na qual escoa um fluido, a vazão é constante. equações: Em termos matemáticos, e considerando a Figura 2.3, podemos escrever as seguintes dm Fluxo de Massa (2.2) dt dv dl Adl (2.3) vdt (2.4) dm dv (2.5) Sendo, A área que está sendo atravessada por um fluido de massa m a uma velocidade v e que ocupa um volume V, l o comprimento de um dado elemento de fluido em estudo e ρ a densidade volumétrica do fluido em questão. Dessa forma, Fluxode Massa Av (2.6) Figura 2.3 Elemento diferencial de volume para uma dada seção no escoamento de um fluido [8] Dessa forma o princípio da conservação de massa pode ser escrito da seguinte forma

19 8 utilizando a Figura 2.4: Figura 2.4 Vazão em duas seções distintas de um tubo [8] Av A v (2.7) A segunda equação importante para o estudo dos fluidos é a equação de Bernoulli [8] que nada mais é que a conservação de energia entre dois pontos. Vale ressaltar também que a equação de Bernoulli só é válida para fluidos incompressíveis, não viscosos, em escoamento permanente e estacionário. Para as outras condições de escoamento são necessários a inserção de determinadas constantes para compensar as perdas. Estas constantes serão melhor explicadas no próximo tópico. Utilizando a Figura 2.4 novamente podemos fazer o balanço energético do sistema. Dessa forma temos: dw de de (2.8) c p Sendo, W o trabalho realizado em uma determinada porção do fluido e E c e E p respectivamente as variações de energia cinética e potencial geradas por esse trabalho.

20 9 A Equação 2.8 estabelece que o trabalho é igual à variação das energias cinéticas e potenciais. A energia cinética do fluido no instante 1 e 2 são dadas por: 1 2 Ec dvv Ec dvv dec Ec E ( 2 c dv v 1 2 v1) 2 (2.9) Observe que a densidade volumétrica (ρ) é a mesma nas duas condições, pois estamos considerando fluidos incompressíveis. Para a energia potencial temos, Ep dvgy 1 1 Ep dvgy 2 2 dep Ep E ( 2 p dvg y 1 2 y1) (2.10) O trabalho realizado para deslocar o elemento 1 e o elemento 2 em uma quantidade diferencial é dado por: W1 PdV 1 W2 P2dV dw W1 W2 ( P1 P2 ) dv (2.11) Substituindo esses valores na Equação 2.8 e cancelando o termo dv que aparece em todas as equações obtemos: 2 2 P1 P2 g y2 y1 1 ( v ) 2 v1 (2.12) 2 Rearranjando os termos: P1 gy1 v1 P2 gy2 v2 (2.13) 2 2

21 10 Ou de forma mais geral como é mais comumente escrita: 1 (2.14) 2 2 P gy v const A Equação 2.14 é conhecida como a equação de Bernoulli [8] Estabelecimento da equação da vazão em um tubo Para o estabelecimento da equação de vazão em regime permanente em um tubo utilizase a equação de Bernoulli juntamente com a equação de conservação de massa. Ao se analisar a Equação 2.6 percebe-se que a vazão em uma determinada seção depende exclusivamente de três parâmetros: densidade volumétrica, área da seção e velocidade do fluido. A densidade volumétrica é uma característica intrínseca do fluido, logo esse valor é determinado a partir da escolha do fluido. A área do tubo é uma questão de projeto de instalação que dependerá do porte da usina. Dessa forma nos resta a calcular apenas a velocidade do fluido no tubo. Essa velocidade é obtida a partir da equação de Bernoulli. Para facilitar os cálculos será considerado que o tubo está em posição horizontal, o que acontece normalmente nas usinas. Dessa forma, y y (2.15) 1 2 Com essa consideração temos a partir da Equação 2.13, 2 2 P1 P2 v2 v1 (2.16) 2 Da Equação 2.7, considerando que a densidade é constante ao longo de todo o trajeto (fluidos incompressíveis), Av A v (2.17)

22 11 O que implica em: v Av (2.18) A1 Substituindo os valores na Equação 2.16, obtemos: P P 1 A v A (2.19) Isolando o valor desejado, no caso, a velocidade: v A 2( P P) A 2 1 A (2.20) Considerando o tubo cilíndrico de diâmetros d e D temos, 2 D A1 4 2 d A2 4 (2.21) Substituindo os valores das áreas na Equação 2.20 e substituindo o valor da velocidade então obtido na Equação 2.6 obtemos finalmente: 2 1 d qm 2 ( P1P 2) 4 d 4 1 D Sendo q m a vazão mássica. Daqui em diante faremos as seguintes simplificações de notação: (2.22)

23 12 d D P P1 P2 (2.23) Contudo, ao aceitarmos as condições estabelecidas pela equação de Bernoulli obtemos um valor teórico de vazão. Com isso, faz se necessário a utilização de certas constantes para corrigir esse erro. A primeira delas, chamada fator de expansão isentrópica (ε) corrige os efeitos da consideração de que o fluido não era compressível. O fator de expansão isentrópica é dado pela seguinte equação empírica estabelecida na norma ISO [8] P k 2 1 0,351 0, 256 0,93 1 P1 (2.24) Sendo, k o coeficiente isentrópico que é dado pela razão do calor específico a pressão constante (c p ) pelo calor específico a volume constante (c v ). cp k (2.25) c v Além do fator de expansibilidade isentrópica, devido às considerações impostas pela equação de Bernoulli (fluidos incompressíveis, não viscosos, em escoamento permanente e estacionário) também existem perdas devido à viscosidade e devido à turbulência no fluido. Essas perdas serão corrigidas através do chamado coeficiente de descarga (C). Dentre os medidores a serem estudados no próximo capítulo, a placa de orifício é a mais afetada por esse parâmetro. Motivo pelo qual se cita apenas a expressão para tal medidor. O coeficiente de descarga pela ISO é dado por: C 6 0, ,5961 0, 261 0, 216 0, ,3 10L 7L 4 3,5 10 A 4 0,188 0, , 031 M 0,8M 1,1 1,3 Re Re 0, 043 0, 08e 0,123 e (1 11 A) 1 (2.26)

24 13 Se D < 71,12 mm, deve ser acrescido o termo: Sendo, 0, 011(0, 75 ) 2,8 D 25,4 (2.27) 0, A Re 2L M 1 vd Re 0, tomadas do tipo canto 25,4 L, tomadas do tipo flange D 0,47, tomadas do tipo raio (2.28) Na formula estão sendo mostrados apenas os três principais tipos de tomada de pressão. O tipo de tomada é determinado através do ponto no qual será efetuada a medição da pressão diferencial. Para mais detalhes, ver a sessão sobre medidores indiretos e placa de orifício. Dessa forma, considerando os valores dos coeficientes de ajustes, a equação da vazão se torna: q m C 1 4 d 4 2 2P (2.29) A Equação 2.29 possui grande aplicação prática nos meios industriais e obtém valores bastante próximos aos reais. Vale também salientar que as informações aqui discutidas são amplamente utilizadas juntamente com os diversos dispositivos de medição indireta da vazão que são explicados adiante no Capítulo 3. Vale também ressaltar que a equação de Bernoulli aqui desenvolvida é também vastamente utilizada na modelagem do sistema de atuação que é discutido no Capítulo 4. Sistema esse que torna possível a automação e controle da planta.

25 14 CAPÍTULO 3 ESTUDO DOS PRINCIPAIS DISPOSITIVOS DE MEDIÇÃO DE VAZÃO Devido à importância da vazão para diversos processos que envolvem o deslocamento de fluidos existem diversos tipos de medidores de vazão nos processos industriais que podem ser aplicados em diversas situações por possuírem características diferentes. Esses medidores podem ser separados em medidores diretos, indiretos ou especiais conforme a Tabela 3.1. Tabela Tipos de medidores de vazão [8] Tubo de Pitot Medidores indiretos Medidores diretos Medidores especiais Perda de carga variável Perda de carga constante Deslocamento positivo do fluido Por impacto do fluido Eletromagnetismo Vortex Por tempo de passagem Por efeito Doppler Coriolis Tubo de Venturi Bocal Annubar Placa de orifício Rotâmetro Disco nutante Pistão flutuante Rodas ovais Roots Tipo hélice Tipo turbina 3.1. Medidores indiretos Existem diversos medidores indiretos, como pode ser visto na Tabela 3.1. Esse grupo de medidores de vazão se baseia na medição através da perda de carga. A perda de carga em uma tubulação nada mais é do que uma queda da pressão no fluido gerada por atrito, viscosidade, mudanças devido a curvas na tubulação, estrangulamento da tubulação e outras.

26 15 Em geral, os medidores mais conhecidos desse grupo são a placa de orifício, tubo de Venturi, bocal, tubo de Pitot e rotâmetro Placa de orifício A placa de orifício é tida como um dos elementos mais simples utilizados para a medição da vazão. Consiste em uma chapa metálica com um furo de diâmetro diferente do da tubulação em questão e é inserida perpendicularmente ao eixo da tubulação entre flanges como pode ser vista na Figura 3.1. Figura 3.1 Placa de orifício [8] Este método se assemelha bastante com o equacionamento obtido no Capítulo 2. A diferença aqui reside no fato de se tratar de apenas uma seção na tubulação e não um trecho. Dessa forma, o ponto de obtenção da velocidade na placa de orifício tem que ser devidamente estabelecido. Dessa forma, surge a definição de tomada de pressão. A tomada de pressão nada mais é do que o local onde será medida a pressão para o cálculo da vazão. Existem 5 tipos de tomada de pressão. Flange A tomada é feita uma polegada antes da placa e uma polegada após. A tomada do tipo flange é a mais utilizada no Brasil. Canto As tomadas são feitas rente a placa, sendo considerada uma distância igual a zero. Raio

27 16 A tomada é feita a uma distância D a montante e 0,5D a jusante. Sendo D o diâmetro da tubulação. Veia contraída Essa tomada, teoricamente é a que oferece o menor erro relativo. Contudo, seu posicionamento é variável e depende do diâmetro do furo da placa de orifício. Logo, após a mudança da placa teria que ser feito a realocação da tomada. Manuseio esse indesejado. Essa tomada pode ser vista na Figura 3.2. Figura 3.2 Perfil da veia contraída e diferencial de pressão [8] Tubo Tomada a 2,5D à montante e 8D a jusante. Outra questão importante nesse método de medição está na posição do orifício. Este pode ser concêntrico (normalmente utilizado para líquido, gases e vapores sem sólidos em suspensão) Figura 3.3, excêntrico (utilizado em fluidos com sólidos em suspensão que podem ficar acumulados na base inferior) Figura 3.4 ou segmental (utilizada normalmente para fluidos em regime laminar com alta taxa de sólidos em suspensão) Figura 3.5.

28 17 Figura 3.3 Orifício concêntrico [8] Figura 3.4 Orifício excêntrico [8] Figura 3.5 Orifício segmental [8] Vale salientar também a existência de um dispositivo conhecido por porta placa que nada mais é do que um dispositivo para facilitar a entrada e retirada da placa de orifício sem a necessidade de parar o processo. Dessa forma, a placa de orifício se torna um dispositivo de

29 18 fácil troca e manutenção Tubo de Venturi O tubo de Venturi é outro método que utiliza os equacionamentos obtidos no Capítulo 2. Esse dispositivo, ao contrário da placa de orifício, possui um estreitamento gradual da tubulação e posteriormente um alongamento da mesma até o valor inicial da mesma, de forma mais gradual, como pode ser visto na Figura 3.6. Figura 3.6 Tubo de Venturi [8] O tubo de Venturi possui uma melhor precisão que a placa de orifício, além de evitar um acúmulo de partículas sólidas que por ventura estejam em suspensão e permite o cálculo da vazão com baixas perdas de carga, pois não existe estrangulação abrupta. Contudo, o tubo de Venturi possui grandes dimensões e dificuldades na instalação Bocal O bocal é uma estrutura com um perfil projetado para guiar o fluido através da veia contraída que seria gerada pela mudança de seção da placa de orifício. No caso, o bocal não possuirá dimensões tão grandes quanto o tubo de Venturi e também não terá os problemas de

30 19 perda de carga gerados pela placa de orifício. Dessa forma o bocal é muitas vezes considerado um meio termo entre a placa de orifício e o tubo de Venturi Tubo de Pitot Figura 3.7 Bocal [8] O tubo de Pitot estabelece um método para o cálculo da vazão sem a necessidade da estrangulação da tubulação. O tubo de Pitot se baseia na velocidade detectada em um determinado ponto da tubulação, como mostrado na Figura 3.8. Figura 3.8 Tubo de Pitot

31 20 Pela Figura 3.8 podemos ver que o ponto 1 possui velocidade nula. Logo a pressão no tubo correspondente ao ponto 1 é a pressão estática do fluido mais a pressão da velocidade que é convertida em pressão estática naquele ponto. Na região 2 podemos ver que o fluido se desloca em uma determinada velocidade, dessa forma, na tubulação correspondente temos apenas a pressão estática. Com isso, a partir da diferença de pressão nos dois pontos podemos obter a pressão dinâmica. Pressão essa que é causada unicamente pela velocidade. Com essa pressão pode-se calcular a velocidade e conseqüentemente a vazão Rotâmetro Um rotâmetro (Figura 3.9) constitui-se principalmente de uma seção do tubo em posição vertical que contém uma escala e um flutuador que mudará sua posição de acordo com a vazão estabelecida. Figura 3.9 Rotâmetro [8] No momento que não existe fluido o flutuador simplesmente estará no ponto zero

32 21 devido ao seu próprio peso. No momento que se estabelece uma vazão o fluido exerce um empuxo no flutuador. Empuxo esse que normalmente não é suficiente para elevar o objeto. Contudo, a vazão também gera uma força de arraste no flutuador que tende a levantá-lo. À medida que se aumenta a vazão, a força de arraste aumenta e tende a retirar o flutuador de sua posição de equilíbrio. Uma vez que existe uma força resultante para cima (nesse caso a força de arraste) o flutuador tende a subir indefinidamente enquanto a força de arraste for maior que seu peso. Para que o flutuador entre em equilíbrio em uma nova posição, o tubo é feito em formato cônico. Dessa forma, a medida que o flutuador sobe, há uma área maior para que o fluido passe e diminua a força de arraste. Com isso basta criar uma escala calibrada e pode ser facilmente obtida a vazão do fluido a partir da altura do flutuador. Existem diversos tipos de flutuadores que são usados de acordo com as características do fluido. Entre os tipos de flutuadores podemos citar o esférico (utilizado em baixas pressões e em fluidos de baixa viscosidade) e o cilíndrico com bordo saliente contra fluxo (sofre baixa influência da viscosidade) Medidores diretos Os medidores diretos são dispositivos que utilizam de alguma forma a velocidade do fluido diretamente como parâmetro para o cálculo da vazão, ao contrário dos medidores indiretos que utilizavam a perda de carga para o posterior cálculo da vazão. Dentre os medidores indiretos o mais conhecido é o tipo turbina Medidor tipo turbina O medidor tipo turbina (Figura 3.10) obtém a vazão em um tubo através da rotação de sua turbina que gira em uma velocidade angular que é proporcional à velocidade do fluido. Uma vez com a velocidade do fluido torna-se evidente a obtenção da vazão. Figura 3.10 Medidor tipo turbina [8]

33 22 A medição da velocidade da turbina por sua vez pode ser calculada por intermédio de uma bobina produzindo um campo magnético que envia um sinal no momento da passagem de cada palheta da turbina, que no caso é metálica. Com esses pulsos de tensão podemos obter a velocidade angular da turbina (a velocidade é diretamente proporcional à freqüência de aparecimento dos pulsos). Os medidores do tipo turbina, se bem projetados (tipo de mancais, tamanho, quantidade e ângulos das palhetas), podem oferecer uma elevada precisão em uma elevada faixa de vazão. São normalmente utilizados com petróleo e gás Medidores especiais Os medidores especiais são dispositivos que conseguem calcular a vazão sem uma interferência no deslocamento do fluido, provocando assim uma perda de carga próxima a zero. Entre os mais conhecidos medidores desse tipo temos os medidores por ultra-som (por tempo de passagem e por efeito Doppler). Além de não interferir no fluido, também podemos mencionar como vantagem dos medidores por ultra-som a exatidão da medição na ordem de 0,5%. Estes medidores não possuem desgastes das peças, pois não há contato direto com o liquido em movimento, medição independente das condições do fluido tais como temperatura, densidade, viscosidade e outras Medidor por tempo de passagem O medidor por tempo de passagem (Figura 3.11) utiliza-se do principio básico de alteração da velocidade de propagação de uma onda em um meio em movimento [8]. Dessa forma, um sinal sonoro se propaga no sentido de deslocamento do fluido e um se propaga no sentido oposto percorrendo em tempos diferentes a mesma distância. Visto que no primeiro caso a velocidade do fluido se soma ao do som, no segundo se subtrai. A partir da diferença de tempo podemos obter a velocidade do fluido e, consequentemente, a vazão.

34 Medidor à efeito Doppler Figura 3.11 Medidor por tempo de passagem [8] Outra forma possível de se obter a vazão em um tubo pelo som é utilizando-se do efeito Doppler. O efeito Doppler é o nome dado à variação da frequência de uma onda devido ao movimento relativo entre a fonte e o receptor (Figura 3.12). Figura 3.12 Medidor à efeito Doppler [8] Este procedimento só pode ser usado em fluidos que contenham partículas ou bolhas para que estes causem uma reflexão da onda transmitida. Essa onda refletida pela partícula possui uma diferença na frequência devido ao movimento da partícula. O receptor está posicionado ao lado do emissor e recebe a onda transmitida pela partícula com uma frequência diferenciada. Através dessa diferença de freqüência podemos calcular a velocidade da partícula e conseqüentemente a vazão. Além dos medidores de vazão é importante mencionar aqui a existência de outros tipos de medidores que são de fundamental importância em gasodutos, por exemplo, os medidores de pressão. Os medidores de pressão são importantes durante a transmissão de gases (principalmente gases inflamáveis), pois elevadas pressões podem causar diversos acidentes, inclusive explosões. Com os medidores de pressão pode ser efetuada a medição

35 24 dessa grandeza ao longo de diversos trechos. Existem diversos medidores de pressão como manômetros, strain gauges e medidores diferenciais capacitivos. Vale salientar que a utilização de medidores em meio industrial é uma peça fundamental para a supervisão do sistema, pois é através desses medidores, juntamente com sensores, que as informações do sistema de controle são obtidas. Dessa forma, o estabelecimento de um sistema de controle e automação para a planta só pode ser completo se um completo entendimento desses dispositivos for adquirido.

36 25 CAPÍTULO 4 ESTUDO DAS VÁLVULAS, DISPOSITIVOS E SISTEMAS DE AUTOMAÇÃO E CONTROLE DE VAZÃO O circuito hidráulico de uma planta à gás natural possui diversos elementos importantes para o seu funcionamento. Além dos medidores que foram citados no capitulo anterior, existe também uma infinidade de outros dispositivos como válvulas, atuadores e posicionadores que são imprescindíveis para o controle da planta. Além disso, o circuito hidráulico pode ser caracterizado por ter uma atuação discreta ou contínua dependendo do tipo de sinal empregado para o seu funcionamento. Eles normalmente funcionam como resposta a um sinal de acionamento, por exemplo, um sinal elétrico objetivando o controle e a automação do sistema Sistema de automação e controle Um sistema de automação é um conjunto de componentes interconectados com o objetivo de realização de tarefas (normalmente físicas, como um movimento translacional ou rotacional) programadas segundo uma lógica em resposta a certos dados de entrada. Por outro lado, o sistema de controle constitui-se de um sistema de informação e instrumentos, que são capazes de processar informações e tomar decisões lógicas tais como um CLP (Controlador Lógico Programável) [8]. Os dois sistemas, informação e físico, estão ligados por dispositivos que permitem uma troca de informação tais quais sensores (que levam informações sobre o sistema para o sistema de informação para que uma vez tratados seja tomada uma decisão lógica) e atuadores (responsáveis pela execução física da tarefa através da informação processada no sistema de informação). No caso de um circuito hidráulico, essas tarefas são executadas por meio de atuadores e válvulas Válvulas As válvulas podem ser divididas, basicamente, em quatro grupos conforme o método de funcionamento. Os quatro funcionamentos básicos podem ser visto na Tabela 4.1.

37 26 Tipo Tipo Borboleta Tipo globo e de agulha Tipo diafragma Tipo esférica e gaveta Tabela 4.1 Tipo de válvulas e funcionamento [10] Funcionamento É constituída por um disco de mesmo diâmetro o qual pode ser rotacionado por volta da lentilha dentro da tubulação, limitando a área livre e assim permitindo uma maior ou menor passagem de fluxo. Baseia-se no lançamento de um disco contra uma abertura para bloquear o fluxo. A válvula agulha normalmente é utilizada para controles muito finos de vazão. Tal válvula consiste em um corpo cilíndrico no qual, na parte superior existe uma membrana plástica interna que é movimentada perpendicularmente na direção do fluxo por um pistão controlado externamente Possui uma esfera com um furo, ou cunha, que ao deslizar por uma abertura proporciona o estrangulamento ou abertura do fluxo, sendo este deslizamento externamente controlado. Podemos também caracterizar as válvulas conforme certas aplicações específicas como: válvulas para bloqueio (essa válvula permite a interrupção da transmissão do fluido em determinado trecho para realização de manutenção ou em caso de emergências), válvulas de alívio de pressão (atuam automaticamente para evitar sobre pressões no sistema) e válvulas reguladoras de pressão (normalmente são do tipo diafragma onde uma maior ou menos abertura tende a manter os níveis de pressão em um determinado valor) [10]. Para que uma válvula possa funcionar, é necessário um elemento que forneça a força necessária para o deslocamento da mesma. O elemento responsável por essa tarefa é o atuador. Existem quatro tipos de atuadores: pneumáticos, elétricos, hidráulicos e mecânicos [10]. Outro elemento que também pode vir incorporado a válvula são os posicionadores. Os posicionadores são controladores que funcionam por intermédio de sinais pneumáticos ou eletro-eletronicos tendo como função manter uma relação entre o sinal de controle aplicado e o sistema. Quando uma válvula é dotada de posicionadores acionados eletricamente, a válvula é chamada de válvula proporcional. Esse tipo de válvula permite controlar a vazão dentro do tubo por intermédio de uma tensão aplicada. Esse tipo de válvula tem grande aplicações em gasodutos. Uma válvula proporcional converte um sinal elétrico em um sinal proporcional de outra variável hidráulica.

38 27 Existem diferente tipos de válvulas proporcionais [8]: Válvulas proporcionais de controle de pressão (permitem um controle de pressão ajustável por intermédio de um solenóide proporcional); Válvulas proporcionais de controle de vazão (são válvulas de controle de velocidade ajustáveis baseadas no deslocamento do carretel da válvula) Válvulas proporcionais direcionais Através da curva característica da válvula podemos ver uma região de não atuação da válvula conhecida como região de tempo morto. Podemos ver também a saturação da vazão para um determinado tempo. Essa saturação ocorre no momento em que a válvula esta em sua abertura máxima para as válvulas de controle de vazão por controle de abertura. As válvulas de controle de vazão também podem ser por compensação de pressão, ou seja, um aumento da pressão em um determinado ponto aumenta a energia do fluido aumentando assim sua velocidade. Além das válvulas proporcionais também existem as servo-válvulas. As servo-válvulas são válvulas direcionais capazes de controlar tanto a quantidade de fluido deslocado como sua direção. Podemos citar dois tipos de servo-válvulas: Servo-válvulas mecânico-hidraulicas Servo-válvulas eletrohidraulicas (comandada por sinal elétrico) Dentre essas duas válvulas será feito o estudo de modelagem da servo-válvula eletrohidraulica devido ao fato desta válvula oferecer a utilização de sinais elétricos para o controle o que torna o sistema mais rápido em suas respostas Modelagem de uma servo-válvula proporcional eletrohidraulica Uma servo-válvula proporcional eletrohidraulica é um dispositivo que, dada uma tensão elétrica de entrada, oferece uma saída em termos de deslocamento de uma carga acoplada ao sistema. Tal sistema pode ser representado simplificadamente pelo diagrama de blocos seguinte. Figura 4.1 Sistema simplificado de atuação da servo-válvula [11]

39 28 Para o possível estabelecimento de uma estratégia de controle baseada em tal válvula é necessário um estudo mais aprofundado desse sistema. Para isso, pode-se separar os elementos do sistema K em três outros componentes segundo [11] como visto na Figura 4.2. Figura 4.2 Sistema de atuação de uma servo-válvula [11] Sendo, Vr a tensão de entrada referente a posição desejada, Vf a tensão que representa a posição atual do sistema, Ve a tensão que representa o erro de posicionamento e Vea a tensão de erro amplificada para o ajuste de posição. Na Figura 4.2 pode ser visto o sistema pneumático de posicionamento responsável pelo ajuste do deslocamento desejado a partir do sinal de tensão de entrada (representado por H(s)), um sensor de posição (representado por K s ) e um amplificador (representado por Ka). Para obtermos a função de transferência H(s) referente ao sistema pneumático é necessária a análise da válvula por intermédio dos valores de pressões e vazões dentro dela como mostrada na Figura 4.3. Figura 4.3 Componentes internos da servo-válvula

40 29 A partir desse do estudo do funcionamento dos componentes da válvula pode ser obtida a função de transferência H(s) que é dada pela Equação 4.1 [12]. Hs () Xa() s Keqo Ap Vea( s) ( Ma Vt / 4 e) s ( Ma Kco BVt / 4 e) s ( B Kco Ap ) s (4.1) Sendo, Ap = Área da coroa do pistão; B = coeficiente de atrito viscoso; Kco = variação da vazão quando se varia a pressão próxima do ponto de operação; Keqo = variação da vazão obtida experimentalmente; βe = modulo de elasticidade efetivo; Vt = volume total de óleo contido em ambas as linhas. Com essa função podemos completar o estudo do sistema em malha fechada representado na Figura 4.2. Logo, a função transferência total será: Sendo, Gs () Xa() s Ka Ap Keqo Vr() s A s A s A s A (4.2) ) Utilizando-se dos valores encontrados em [12], referentes a válvula modelada em questão, e listados na Tabela 4.2 podemos realizar simulações para a abertura da válvula para diferentes valores de Ka. Tabela 4.2 Parâmetros da válvula[12] Ap(m 2) T( o C) Ma (Kg) Ks(V/m) Kco((m 3 /s)/pa) Keqo((m 3 /s)/v) B(N.s/m) βe(pa) Ps(Pa) Vt(m 3 ) , , , A rotina no MATLAB utilizada para a plotagem dos gráficos de resposta ao degrau da função de transferência do sistema pode ser vista no apêndice

41 30 Figura 4.4 Resposta ao degrau da função de transferência do sistema Uma vez que o sistema esta sendo analisado para uma entrada unitária o valor do deslocamento final deve ser de 1/40 referente ao valor de Ks (40V/m). Observe-se pela Figura 4.4 que para vários valores de Ka a resposta da função a uma entrada em degrau unitário converge para o valor de 0,025 de deslocamento, como esperado. Observa-se também que a medida que o valor dessa variável aumenta a convergência é mais rápida. Contudo, para elevados valores de Ka a resposta ao degrau começa a oscilar como pode ser visto na Figura 4.5.

42 31 Figura 4.5 Resposta ao degrau para Ka = 90 Podemos observar pelas Figuras 4.4 e 4.5 que uma sintonização manual do valor de Ka para a obtenção de um valor ideal de funcionamento apresenta relativa dificuldade.para obtermos uma execução ótima do sistema, podemos substituir o bloco referente a Ka por um bloco de controle proporcional integral derivativo (PID). Depois de realizada a substituição resta a realização da sintonização do controle por intermédio, por exemplo, do método de sintonização de Ziegler-Nichols [13].

43 32 CONCLUSÃO O principal objetivo desse trabalho foi a análise qualitativa dos elementos associados à vazão em um tubo de transmissão de gás natural e o respectivo sistema de automação para o controle da mesma em um termelétrica. O estudo mostrou diversos aspectos da vazão iniciando por um estudo em estado permanente que se mostrou de fácil aplicação e que é comumente usado em meio industrial. As equações desenvolvidas no Capítulo 2 se mostraram uteis para a posterior compreensão dos dispositivos diretos de medição de vazão apresentados no Capítulo 3 que se apresentaram praticamente com uma aplicação das mesmas. Estes dispositivos mostrados no Capítulo 3 mostraram-se ideais para a utilização em meios industriais possibilitando também a utilização dos mesmos em diversas condições, assim como para diversos fluidos. Estes dispositivos se apresentam também como elementos de fundamental importância para o estabelecimento de um sistema de controle e supervisão, pois para o estabelecimento do mesmo são necessárias variáveis de entrada que podem ser obtidas através dos mesmos. Além disso, é importante reforçar aqui a importância da compreensão do funcionamento dos dispositivos apresentados no Capítulo 4 para o estabelecimento de uma metodologia de controle eficaz. Tais dispositivos são a pedra angular do sistema de controle como mostrado por intermédio do estudo de caso presente no mesmo capítulo. Vale ressaltar as dificuldades matemáticas presentes na modelagem de tal sistema, assim como a necessidade dos conhecimentos sobre deslocamento dos fluidos apresentados no Capítulo 2. Uma vez que ao término do presente trabalho foi obtida uma representação matemática do deslocamento dos fluidos em tubulações por intermédio da equação de Bernoulli, assim como a modelagem matemática do sistema de válvula (peça fundamental para o processo de automação da vazão), pode-se concluir que os objetivos do trabalho foram alcançados. Para trabalhos futuros propõem-se a obtenção do sistema PID para o controle da válvula apresentada no Capítulo 4, assim como os seus parâmetros de sintonia utilizando o método de Ziegler-Nichols (LEA) na Universidade Federal do Ceará.

44 33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ANEEL, Balanço energético nacional, Atlas de Energia Elétrica do Brasil, Brasilia, Dezembro [2] Disponível em < Acesso em 10 de maio de [3] Disponível em < Acesso em 10 de maio de [4] Tavares, W. M., Breve Panorama do gás natural no Brasil, Biblioteca digital da câmara dos deputados, [5] Decreto n de 24 de fevereiro de 2000, Disponível em < acesso em 10 de maio de [6] Gray, A., Wallace, G.A., Eletrotécnica Princípios e Aplicações, sétima edição, AO livro técnico S.A, Rio de janeiro, [7] Cardoso, E. M., Apostila Educativa Energia Nuclear, Comissão Nacional de Energia Nuclear. [8] Curso de inspeção de sistemas de medição de gás natural, Modulo 4 Medição de vazão, CTGAS Centro de Tecnologias em Gás. [8] De Negri, V.J., Kinceler, R, Silveira, J., Curso de pós-graduação em Engenharia Mecânica, Automação e controle experimental em hidráulica e pneumática, UFSC, Florianópolis, novembro de [10] Felleto, F.P., Monografia: Controle e Supervisão de pressão e vazão em gasodutos, Universidade Federal de Itajubá, [11] Scucuglia, J.W., Sistema de Controle de Escoamento de Gás Natural em Dutos de Distribuição com Detecção de Vazamentos Utilizando Redes Neurais, Universidade Estadual

45 34 Paulista UNESP. [12] DE NEGRI V.J., ATTIÉ, S.S., TOLEDO L.B., Controle de posição utilizando servoválvulas e válvulas proporcionais eletro-hidráulicas (parte I), Revista ABHP, 106 (1997) [13] Yu, C. C, Autoruning of PID controllers, 2nd edition, Springer, 2006

46 35 APÊNDICE A ROTINA EM MATLAB UTILIZADA PARA A RESPOSTA AO DEGRAU DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UMA VÁLVULA PARA DIVERSOS VALORES DE KA for Ka = 3:2:9 Ap = Ma = 150 Ks = 40 Kco = 3.3*10^-12 Keqo = 2*10^-5 B = 1.2*10^3 Be = 7*10^8 Ps = 2*10^7 Vt = 7.9*10^-5 A1 = Ma*Vt/(4*Be) A2 = Ma*Kco+B*Vt/(4*Be) A3 = B*Kco+Ap*Ap A4 = Ks*Ka*Ap*Keqo Xa = Ka*Ap*Keqo Vr = [A1 A2 A3 A4] H = tf(xa,vr) step(h) hold on end hold off