Quantization Noise on Image Reconstruction Using Model-Based Compressive Sensing

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1 1167 Quantization Noise on Image Reconstruction Using Model-Based Compressive Sensing J. C. Ferreira Member IEEE E. L. Flores and G. A. Carrijo Abstract The Compressive Sensing (CS) allows the acquisition of signals already compressed and the posterior reconstruction with much less number of measures than the minimum required by the Nyquist theorem. A subarea of CS which improves the performance at the reconstruction stage is named Model-Based CS. Some works have been developed within this subarea. However most of them consider only the noise generated by sparse approximation disregarding the noise generated by the quantization stage and its influence on efficiency and robustness of CS. The objective of this study is to investigate the influence of the noise generated by the quantization stage in Model-Based CS efficiency for images with different levels of sparsity and different distributions of coefficients in the frequency domain. In this work the image acquisition stage is implemented using the partial Fourier matrix which results in a vector of measures. Then different steps of uniform scalar quantization are added to this vector and the image reconstruction stage is performed using the Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP) on a quadtree model. PSNR and bits rate (BR) are then used to evaluate the efficiency of CoSaMP with quantization noise. The performance of this proposed Model-Based CS using different quantization steps were slightly better than other studies using the same model in terms of PSNR but with the advantage of obtaining smaller values of bit rate (BR < 2 bpp). Keywords Compressive Sensing Image Reconstruction Quantization Tree Data Structures Matching Pursuit Algorithms. I. INTRODUÇÃO V ÁRIOS desafios em termos de processamento armazenamento e transmissão de sinais surgiram devido à revolução digital imposta pela sociedade pós-moderna. Os avanços tecnológicos e a necessidade do homem tem acarretado uma enorme quantidade de dados que devem ser comprimidos para ocupar menos espaço de armazenamento e facilitar a transmissão. Para compressão de sinais que são limitados em banda é utilizado o teorema de amostragem de Shannon Whittaker [1]. Por outro lado em sinais que não são limitados em banda a taxa de amostragem é determinada pela resolução espacial ou temporal. Mesmo assim esse teorema está implícito pois antes da amostragem são utilizados filtros passa-baixa antialiasing para limitar a banda do sinal. Neste sentido a teoria clássica de compressão de sinais tem tido um desempenho bastante satisfatório para a maioria das aplicações práticas de compressão de sinais. J. C. Ferreira Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Uberlândia Minas Gerais Brasil ferreira@ieee.org E. L. Flôres Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Uberlândia Minas Gerais Brasil edna@ufu.br G. A. Carrijo Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Uberlândia Minas Gerais Brasil gilberto@ufu.br A teoria clássica de compressão de sinais apresenta resultados insatisfatórios em pelo menos duas situações específicas: quando os dispositivos amostradores não são capazes de alcançar as altas taxas de amostragem exigidas pelo limite de Nyquist lembrando que este consagrado teorema demonstra que a reconstrução exata de um sinal a partir de suas amostras é matematicamente possível se o sinal é limitado em banda e a taxa de amostragem é superior ao dobro de sua largura de banda [2]; e quando o custo de aquisição do sinal é elevado ou o tempo de exposição do ser humano ao equipamento de aquisição torna-se proibitivo. Alguns exemplos de aplicações com estas características são encontradas nas áreas de imagens médicas imagens de radar imagens de sensoriamento remoto e imagens fora do comprimento de onda visível no espectro de frequência. Com a finalidade de resolver as deficiências da teoria clássica de sinais surgiu em 2006 uma nova teoria denominada Compressive Sensing (CS) [3]-[5]. A CS é uma teoria matemática probabilística capaz de adquirir poucas medidas não adaptativas já na forma comprimida e reconstruir o sinal original com eficiência. Ela surge como uma alternativa à teoria clássica de sinais e é constituída das etapas de aquisição e reconstrução. Na etapa de aquisição são amostrados apenas os coeficientes mais significativos como se fosse possível adivinhá-los e na reconstrução são utilizados algoritmos de otimização para encontrar o sinal original. A CS começou com um problema de reconstrução de imagem de ressonância magnética apresentado aos pesquisadores do Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech). A solução proposta por eles foi reconstruir a imagem original por meio de otimização convexa baseada na minimização da norma Total Variation (TV) a partir de apenas 5% dos coeficientes de Fourier adquiridos [4]. A partir desse trabalho na Caltech os pesquisadores perceberam que era possível estender o procedimento para sinais representados por outras bases de representação. Algumas aplicações utilizando CS são: câmera de 1 pixel [6]-[8]; reconstrução com maior qualidade e velocidade de imagens ruidosas utilizando CS baseado em informações de borda [9]; compressão de vídeo [10]-[12]; imagens hiperespectrais [13]; imagens médicas [14]; imagens Terahertz [15]-[17]; subtração de fundo utilizando poucas medidas [18]; reconstrução e interpretação de sub-imagens de sensoriamento remoto obtidas de uma série de câmeras utilizando CS [19]; reconstrução de imagens obtidas por sensoriamento remoto aeroespacial com melhoramento de 6461% em relação às técnicas tradicionais [20]; técnicas que reduzem a distorção espectral de imagens fundidas de sensoriamento remoto com resultados superiores aos métodos de fusão convencionais [21]

2 1168 e utilização de tecnologia de câmera de 1 pixel para aplicações em sensoriamento remoto [22] [23]. As principais áreas de pesquisa em CS são: representação de sinais baseado em união de subespaços algoritmos de reconstrução algoritmos de reconstrução baseado em modelos e aplicações utilizando CS. Na representação de sinais baseado em união de subespaços Blumensath e outros [24] quantificaram o número de medidas necessárias para que as matrizes de medidas aleatórias e as matrizes que levam o sinal à esparsidade sejam altamente ortogonais. Neste trabalho eles obtiveram teoremas que garantem a eficiência na etapa de reconstrução de CS utilizando matrizes aleatórias sub-gaussianas. Em [25] foi mostrado que não é necessário satisfazer todas as restrições sobre a alta ortogonalidade de matrizes de medidas e mesmo assim consegue-se reconstruir o sinal a partir de medidas esparsas. Em algoritmos de reconstrução Candès e outros [26] desenvolveram um algoritmo de otimização convexa e TV para encontrar o sinal mais minimizando as normas esparso dentro de um subespaço conhecido. Em [27] foi criado o algoritmo de busca gulosa denominado Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP). Como o próprio nome sugere esse algoritmo é da família dos algoritmos de busca por correspondência ortogonal mas que utiliza características de algoritmos combinatoriais para acelerar e melhorar a eficiência na etapa de reconstrução do sinal. Estes dois tipos de algoritmos constituem grande parte dos algoritmos utilizados na abordagem convencional daqui para frente denominada de CS convencional. No algoritmo de reconstrução baseado em modelos Baraniuk e outros [28] integraram o algoritmo CoSaMP de reconstrução com modelos de representação de sinais baseado em união de subespaços. Utilizando os modelos esparsos em blocos e hierárquico wavelet eles reduziram o número de medidas necessárias para a obtenção do mesmo grau de eficiência ou alternativamente aumentaram a eficiência para um mesmo número de medidas adquiridas quando comparado com a CS convencional. Esta subárea de CS foi denominada por Baraniuk como CS baseada em modelo. Baraniuk realizou diversos experimentos com sinais unidimensionais mas apresentou apenas um resultado para imagens [28]. Além disso o teste realizado por ele com a imagem Peppers não leva em consideração o ruído gerado pela etapa de quantização. Explorando a característica incipiente do trabalho de Baraniuk nós objetivamos verificar a influência de ruídos gerados pela etapa de quantização e pela aproximação à esparsidade na eficiência de CS baseada em modelo para diferentes imagens. Esta verificação é realizada utilizando o algoritmo CoSaMP integrado ao modelo quadtree em imagens com diferentes distribuições de coeficientes no domínio da frequência diferentes níveis de esparsidade e diferentes passos de quantização. Este artigo está estruturado como segue: a seção II apresenta a fundamentação teórica de CS convencional e CS baseado em modelo; a seção III descreve a metodologia utilizada neste trabalho; a seção IV mostra os resultados obtidos. E finalmente a seção V apresenta as conclusões deste trabalho. II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Todas as definições apresentadas nesta seção procuram fundamentar que a CS possibilita a reconstrução de sinais com eficiência a partir de um pequeno número de projeções lineares não adaptativas de sinais esparsos ou compressíveis. Sinal esparso é definido como um sinal com poucos coeficientes diferentes de zero e muitos coeficientes iguais a zero. Por outro lado sinal compressível é o sinal que é apenas aproximadamente esparso ou seja os muitos coeficientes são apenas aproximadamente iguais a zero. A. CS Convencional Após a aquisição de todos os coeficientes do sinal a ser comprimido a teoria clássica de compressão de sinais é realizada em três etapas principais. A primeira representa todo o sinal em uma base esparsa a segunda faz a quantização e a terceira etapa codifica apenas os coeficientes mais significativos levando em consideração a localização desses coeficientes. Promovendo uma mudança drástica de paradigma a CS convencional adquire o sinal já na forma comprimida sem se preocupar com a localização dos coeficientes mais significativos. Assim durante a etapa de aquisição utiliza-se as mesmas funções de medidas Φ para qualquer tipo de sinal adiando a representação em base esparsa para a etapa de reconstrução. Um esboço matemático da etapa de aquisição é apresentada na Fig. 1. A CS convencional é uma teoria matemática probabilística cujos conceitos definições e teoremas garantem robustez a ruídos e eficiência na reconstrução de sinais esparsos ou compressíveis [29]. As duas etapas principais da CS convencional são aquisição por sensoriamento e reconstrução do sinal por otimização. Figura 1. Etapa de aquisição de medidas utilizando a teoria CS. é o sinal original de dimensão Ψ é a matriz que leva o sinal à esparsidade é o sinal esparso de dimensão ΦΩ é a matriz de medidas são as medidas adquiridas de dimensão muito menor que e Θ = Φ Ψ. 1) Aquisição do Sinal: O processo de aquisição por sensoriamento consiste em adquirir poucas medidas não adaptativas = [ ] como o produto interno de diferentes funções de medidas com o sinal original = [ ] onde é a dimensão do sinal original e é o número de medidas adquiridas [29]. Após obtidas as medidas não adaptativas a reconstrução consiste em encontrar ou tal que um dos sistemas = Φ ou = Θ deve ser resolvido por um algoritmo de otimização

3 FERREIRA et al.: QUANTIZATION NOISE ON IMAGE sabendo-se que é o sinal original esparso é o sinal original levado à esparsidade por uma base Ψ de modo que = Ψ ] é a matriz composta pelas funções de Φ=[ medida Θ = Φ Ψ e Ω denota os índices dos coeficientes amostrados. A teoria CS garante a reconstrução com eficiência a partir de medidas não adaptativas desde que as bases Φ e Ψ sejam apropriadamente escolhidas. Dois conceitos são imprescindíveis nesta teoria: o princípio da incerteza e a coerência entre as bases Φ e Ψ. O princípio da incerteza estabelece que um sinal não pode ser simultaneamente esparso e denso em duas bases incoerentes e a coerência entre bases cujos valores estão no intervalo 1 (Φ Ψ) define o quanto as bases são ortogonais entre si. Baseado no princípio da incerteza e na medida de coerência Candés e Tao [30] definiram a Propriedade de Isometria Restrita (RIP). Esta propriedade exibe a constante de isometria restrita que é muito útil para garantir a reconstrução com eficiência e robustez a ruídos desde que o sinal original seja suficientemente esparso. Para a realização desta reconstrução é necessário que a matriz Θ = Φ Ψ possua RIP. Conforme apresentado em [30] matrizes possuem RIP desde que suas colunas sejam linearmente independentes. Entretanto isto não é possível pois essas matrizes são gordas ou seja possuem mais colunas do que linhas e consequentemente não geram sistemas determinados. Neste momento entra em cena o caráter probabilístico da teoria CS. A aleatoriedade garante que quaisquer colunas aleatórias de matrizes Θ = Φ Ψ se comportam como linearmente independentes desde que tais matrizes sejam bem escolhidas e possuam dimensão suficientemente grande [5]. Utilizando esta propriedade surgiram teoremas que garantem RIP para um conjunto significativo de matrizes. Algumas exemplos de matrizes que possuem RIP são as gaussianas as projeções aleatórias as binárias as formadas por conjunto de medidas ortogonais gerais as parciais de fourier entre outras [3] [27] [31]. 2) Reconstrução do Sinal: A teoria CS convencional consiste em subamostrar um sinal e então utilizar um algoritmo de reconstrução baseado em otimização para reconstruí-lo. Essa teoria é assimétrica em termos de processamento. Isso indica que o processo de aquisição é rápido mas o processo de reconstrução é de alto custo computacional. Segundo [27] abordagens de reconstrução podem ser agrupadas em três categorias: algoritmos de relaxamento convexo algoritmos combinatoriais e algoritmos de busca gulosa. Os algoritmos de relaxamento convexo funcionam bem com um número pequeno de medidas mas possuem alto custo computacional. Por outro lado os algoritmos da categoria combinatorial são extremamente rápidos mas exigem um grande número de amostras. Já os algoritmos de busca gulosa ocupam uma posição intermediária em relação aos dois algoritmos anteriores tanto em relação ao tempo de execução quanto em relação à eficiência de amostragem. Uma abordagem bastante utilizada em reconstrução é o algoritmo de relaxamento convexo desenvolvido e nomeado 1169 por [26] como L1-Magic. Esta abordagem reconstrói o sinal original esparso ou compressível a partir de medidas. A ideia central nessa abordagem é resolver o sistema Φ = utilizando como restrição a esparsidade do sinal original. Em outras palavras tem-se poucas medidas a matriz de medidas Φ com RIP e deseja-se encontrar o sinal. É importante ressaltar que este sinal a ser encontrado deve ser suficientemente esparso. A utilização da esparsidade como restrição para a solução do sistema pode ser considerada genérica pois sinais que são significativos para os seres humanos mesmo que não sejam esparsos podem ser levados à esparsidade em alguma base de representação Ψ. Essa propriedade garante generalidade e eficiência na etapa de reconstrução utilizando relaxamento convexo. A esparsidade de pode ser quantificada pela quasenorma = { : ( ) 0}. A quasenorma representa o número de coeficientes diferentes de zero no vetor candidato a ser o mais esparso durante a resolução do sistema. A implementação de algoritmos utilizando a quasenorma é combinatorial e NPdifícil [32]. Devido a essas dificuldades o algoritmo é reformulado para utilizar a norma. Esta reformulação permite resolver Φ = utilizando o algoritmo de relaxamento convexo. Com a finalidade de reconstruir imagens com melhor qualidade visual utiliza-se a norma Total Variation (TV) ao invés da norma [4]. A norma TV é a minimização da norma do gradiente do sinal devidamente discretizado. Needell [27] observou que L1-Magic utilizando norma ou TV funciona para várias matrizes com RIP e permite a reconstrução de sinais S-esparsos a partir de = ( log ) medidas não adaptativas. Os resultados obtidos pelo L1-Magic são satisfatórios para sinais esparsos e compressíveis corrompidos ou não por ruído. Para uma matriz de medidas com nenhuma estrutura especial o pior tempo de reconstrução de um sinal S-esparso é ( ) para os métodos de ponto interior [26] [27]. Outra abordagem muito utilizada como algoritmo de reconstrução é o algoritmo de busca gulosa desenvolvido e nomeado por [27] como Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP). Como o próprio nome sugere este algoritmo é baseado em busca por correspondência ortogonal. Contudo ele incorpora características de algoritmos combinatoriais para acelerar e fornecer garantia de desempenho. Como pode ser observado em [27] o algoritmo CoSaMP utiliza como entrada a matriz de medidas Φ o vetor com as amostras ruidosas do sinal a ser reconstruído o nível de esparsidade da aproximação a ser obtida e o critério de parada do algoritmo. A saída do CoSaMP é a aproximação esparsa do sinal original a ser reconstruído. A matriz de medidas Φ é obtida respeitando a RIP. Para a escolha do nível de esparsidade podem ser utilizadas uma das duas abordagens a seguir: estimar ou escolher após a execução do CoSaMP usando uma série de níveis de esparsidade segundo uma progressão geométrica [27].

4 1170 Resultados realizados com o algoritmo CoSaMP apresentados em [27] garantem a reconstrução para uma grande quantidade de classes de matrizes de medidas desde que o número de amostras seja proporcional à esparsidade do sinal e logarítmica em relação à dimensão. Para todas as etapas do algoritmo CoSaMP o tempo de execução e o armazenamento é e ( ) respectivamente [27]. Em termos do tempo de execução o algoritmo CoSaMP possui melhor desempenho do que o L1-Magic. Seu tempo de ) para matrizes de medidas com nenhuma execução é ( estrutura especial. Por outro lado embora o CoSaMP seja mais lento do que os algoritmos combinatoriais essa ineficiência é compensada pela utilização de matrizes de medidas mais gerais e pela possibilidade do número de medidas ser menor do que = ( log ). B. CS Baseada em Modelo Na CS convencional a matriz de medidas Φ é não adaptativa ou seja a estrutura do sinal é totalmente desconhecida. Por outro lado o estado da arte da teoria clássica de sinais utiliza a estrutura do sinal conhecida por meio de alguma representação mais fiel desta estrutura. Esta representação pode ser obtida por meio da transformada wavelet como no padrão JPEG2000 [33]. A teoria CS baseada em modelo integra a teoria de CS convencional com representações mais realísticas de sinais utilizadas na teoria clássica. A etapa de representação baseada em modelos é utilizada somente na etapa de reconstrução do sinal. Devido a isto a matriz de medidas continua sendo não adaptativa. Com a integração entre a CS convencional e a teoria clássica é possível assegurar robustez a ruídos e eficiência a um novo algoritmo denominado CoSaMP baseado em modelo. A implementação deste algoritmo pode ser realizada desde que seja possível encontrar modelos com Nested Approximation Property (NAP) e matrizes de medidas com a Restricted Amplification Property (RaMP). A NAP é definida como a união de pequenos subespaços gerados pela diferença entre a melhor aproximação no instante e a melhor aproximação no instante + 1. A RaMP é uma generalização da RIP. Baraniuk mostrou que essa teoria melhora o desempenho e diminui o custo computacional da CS convencional para sinais unidimensionais. Além disso ele sugeriu que resultados semelhantes podem surgir para imagens sem a presença de ruído [28]. A ideia central da CS baseada em modelo é a construção e a utilização de modelos de representação de sinais que exploram a localização dos maiores coeficientes e a interdependência entre os valores destes coeficientes. Utilizando esses modelos é possível definir sinais modelo-esparso e modelo-compressível como representações de sinais que vão além do esparso e do compressível respectivamente. Com a utilização desses modelos é possível reduzir o grau de liberdade dos sinais permitindo somente certas configurações de suporte do sinal. Isto reduz o espaço de busca permite um relaxamento dos algoritmos de reconstrução e consequentemente diminui o tempo de processamento desse algoritmo. 1) Aquisição do Sinal: Na CS convencional a RIP garante reconstrução estável tanto para sinais esparsos quanto para sinais compressíveis. Entretanto para a CS baseada em modelo é apresentada a RIP baseada em modelo e a RAmP. A RIP baseada em modelo garante a reconstrução estável para sinais modelo-esparso e a RAmP para sinais modelo-compressível. Antes de apresentar os modelos e o algoritmo de reconstrução CoSaMP são apresentadas nesta subseção as principais definições e resultados que permitem garantir a RAmP para a matriz de medidas Φ. A RamP é uma generalização para a RIP e para a RIP baseada em modelo [28]. Esta propriedade é extremamente importante na escolha de matrizes de medidas Φ. Uma escolha adequada possibilita robustez a ruídos na reconstrução de sinais modeloesparso e modelo-compressível. A RAmP se baseia no controle da amplificação da aproximação residual baseada em modelo utilizando Φ. Em outras palavras esse controle consiste em encontrar um modelo que obedeça a NAP. De posse da RamP apresentada em [28] é possível apresentar matrizes de medidas que possuem RAmP e consequentemente garantir o número de medidas necessárias para que exista reconstrução robusta a ruídos de sinais modelo-compressível. 2) Reconstrução do Sinal: A partir das definições e dos teoremas apresentados por Baraniuk em [28] é possível fazer a integração de modelos de sinais com o algoritmo de reconstrução CoSaMP. Este algoritmo foi escolhido para ser modificado por Baraniuk devido ao CoSaMP ser de fácil manuseio e alcançar os mesmos resultados que o estado da arte em algoritmos de relaxamento convexo utilizado em CS convencional. A modificação realizada por Baraniuk [28] no CoSaMP é muito simples. As etapas de identificação e de poda são alteradas durante cada iteração. Nestas etapas os passos de aproximação são substituídos pela melhor aproximação em coeficientes baseado em um modelo ℳ previamente escolhido. Desse modo a cada iteração o CoSaMP faz a busca em subespaços de ℳ ao invés de subespaços de Σ. É natural que menos medidas sejam necessárias para se obter o mesmo grau de reconstrução robusta a ruídos do sinal. Esta melhoria pode ser vista por outro ângulo ou seja utilizando o mesmo número de medidas pode-se alcançar uma reconstrução mais precisa. A robustez a ruídos no desempenho de reconstrução de sinais utilizando o algoritmo CoSaMP baseado em modelo é garantida por teoremas apresentados em [28]. O primeiro teorema garante a robustez a ruídos no desempenho de reconstrução a partir de medidas ruidosas obtidas em sinais modelo-esparso desde que a matriz de medidas tenha RIP baseada em modelo. O segundo garante robustez a ruídos no desempenho de reconstrução a partir de medidas ruidosas em sinais model-sparse e modelcompressible desde que a matriz de medidas tenha RAmP e o modelo utilizado obedeça a NAP. Segundo [28] as complexidades computacionais de algoritmos de reconstrução de sinais baseado em modelos diferem dos algoritmos padrões em CS convencional por dois fatores. O primeiro fator é que a diminuição do número de medidas necessárias para a reconstrução no algoritmo

5 FERREIRA et al.: QUANTIZATION NOISE ON IMAGE CoSAmP baseado em modelo reduz a complexidade computacional uma vez que a maioria dos algoritmos de reconstrução convencionais tem complexidade computacional linear no número de medidas. O segundo fator está relacionado com o custo computacional relativamente baixo da etapa de aproximação do CoSAmP baseado em modelo que é da ( ln ). 3) Modelo Quadtree: Em processamento de sinais sinais suaves são classificados como compressíveis em bases Fourier e sinais localmente suaves são classificados como compressíveis em bases wavelet. No estado da arte da teoria clássica de processamento de sinais alguns modelos proporcionam representações realísticas para sinais suaves e localmente suaves. Alguns desses modelos são os modelos wavelet binário e wavelet quadtree. Este último modelo é consagrado no padrão JPEG2000 [33]. O modelo wavelet binário é utilizado para representar sinais unidimensionais e o modelo wavelet quadtree é usado para representar sinais bidimensionais ou imagens. A principal característica desses modelos é que os coeficientes wavelets de sinais e imagens naturais ou artificiais podem ser organizados em estrutura de árvore de modo que os maiores coeficientes agrupam-se ao longo dos galhos dessa árvore. O algoritmo CoSaMP baseado em modelo desenvolvido por [28] integra o estado da arte em processamento e compressão de sinais baseado em transformada wavelet com a CS convencional. Especificamente em imagens o CoSaMP baseado em modelo integra o algoritmo CoSaMP à representação utilizada no padrão de compressão JPEG2000. É importante compreender o que representa esparsidade em árvore no que diz respeito à decomposição wavelet. A descrição abaixo é realizada sobre sinais de uma dimensão e modelo em árvore wavelet binário mas pode ser estendida para sinais de dimensões e modelos em árvore wavelet superiores. Considere um sinal de tamanho = 2 onde é inteiro. Em (1) é mostrada a representação wavelet de onde é a função de escala e é a função wavelet na escala e deslocamento. Deste modo os coeficientes wavelet são constituídos de coeficientes de escala e coeficientes wavelets. + (1) = Utilizando a notação de matrizes tem-se que = Ψ onde Ψ é composta pelas funções de escala e funções wavelets. Além disso no vetor coluna = tem-se o coeficiente de escala e os coeficientes wavelets. A decomposição em diversas escalas utilizando wavelet cria uma relação de parentesco entre os coeficientes. É possível dizer que é pai de e que são filhos de e [28]. A propriedade em árvore conectada é a principal justificativa para o amplo uso da transformada wavelet no estado da arte da teoria clássica de processamento e compressão de sinais [28]. Essa propriedade está fundamentada no conceito de suporte de sinais. O suporte é definido como um conjunto cujos coeficientes não pertencentes a ele são nulos As funções wavelets agem como detectoras de descontinuidades locais e possuem suporte agrupado em diferentes escalas. Este suporte garante a existência de cadeias determinadas pelos maiores coeficientes wavelets ao longo dos galhos da árvore. Estes coeficientes diminuem à medida que se aproxima da raiz. Por outro lado regiões suaves originam cadeias determinadas pelos menores coeficientes. Desse modo um conjunto de coeficientes wavelets Ω forma uma subárvore conectada quando os coeficientes filho e pai pertencem a Ω. Cada um desses Ω define um subespaço do sinal cujo suporte está contido em Ω. Assim o número de subespaços é o número de subárvores conectadas distintas de tamanho em uma árvore binária de tamanho. Conforme observado no algoritmo CoSaMP é necessário aproximar um sinal original compressível a um sinal aproximadamente compressível. Procedimento análogo acontece para CoSaMP baseado em modelo ou seja deve-se aproximar um sinal original modelo-compressível a um sinal aproximadamente modelo-compressível. Portanto para reconstruir um sinal natural ou artificial com robustez a ruídos é necessário um algoritmo de aproximação eficiente ( ) para resolver a aproximação ótima apresentada em (2). = min (2) O Condensing Sort and Select Algorithm (CSSA) é um algoritmo eficiente que desempenha o papel de aproximar o sinal a um sinal aproximadamente modelo-compressível [34] [35]. No modelo em árvore wavelet binário quando os coeficientes wavelets decrescem monotonicamente ao longo dos galhos da árvore a aproximação em subárvore coincide com a aproximação em termos utilizada na teoria de CS convencional. Isto significa que a aproximação é feita pela simples ordenação dos coeficientes. Por outro lado quando os coeficientes são gerais o CSSA resolve a aproximação dos coeficientes não monotônicos com a condensação dos segmentos dos galhos da árvore utilizando uma rotina iterativa de classificação e cálculo de média. O custo computacional global da etapa da reconstrução é ( log ). Entretanto transformando o problema de otimização com restrição apresentado em (2) no problema de pela otimização sem restrição min + introdução do multiplicador de lagrange é possível diminuir o custo computacional da etapa de aproximação para ( ) utilizando programação dinâmica. Esta programação consiste em calcular a solução ótima global a partir das soluções ótimas locais previamente calculadas e memorizadas de subproblemas que compõem o problema original evitando cálculos repetidos [27] [28]. Finalmente utilizando os resultados apresentados em [28] é possível verificar as condições do corolário 1 para as quais a matriz Φ tem a RAmP. Corolário 1 ( para o modelo-compressível em árvore) Seja Φ uma matriz sub-gaussiana independente e identicamente distribuída. Se é maior ou igual a

6 ln ( + 1)(2 + 1) ln log > log 1 então a matriz Φ tem o ( )-RAmP para o modelo e. todo > 05 com probabilidade 1 O limite simplificado tanto para log quanto para > ( ). log é Este número de medida é consideravelmente menor do que = log medidas necessárias observadas utilizando a teoria de CS convencional. Na parte final desta seção foi apresentado um conjunto de técnicas e procedimentos que permitem a utilização do modelo quadtree em CS. A próxima seção apresenta a metodologia utilizada neste trabalho. III. METODOLOGIA Considerando o modelo quadtree apresentado e detalhado no item 3 subseção B da seção anterior é possível garantir que a teoria CS baseada em modelos mantém as principais características da CS convencional. Dentre essas características é possível citar o caráter não adaptativo da etapa de aquisição e a capacidade de reconstrução da imagem com um número de medidas muito menor do que o exigido pelo teorema de Nyquist [2]. Devido ao fato dos equipamentos de aquisição que utilizam tecnologia CS ainda serem protótipos este trabalho simula a aquisição da cena ao invés de adquiri-la. Inicialmente é realizado o empilhamento da matriz com linhas e colunas de cada imagem no formato PGM P5 na forma de um vetor com = linhas e 1 coluna. O processo de simulação de aquisição foi realizado por meio da combinação linear de funções parciais de Fourier com o vetor. Após o passo de simulação de aquisição é realizada a quantização das medidas adquiridas utilizando a técnica de quantização escalar uniforme. As imagens Phantom Lena Text e Cameraman utilizadas neste trabalho todas com resolução pixels e 256 níveis de cinza são diferentes em relação à distribuição de coeficientes de maior energia no domínio da frequência e em relação ao nível de esparsidade. Estas imagens são apresentadas na Fig. 2. A imagem sintética para testes em ressonância magnética Phantom apresentada na Fig. 2a é uma imagem artificial constante por partes e consequentemente muito esparsa. A imagem Lena ilustrada na Fig. 2b é uma imagem natural suave. Tanto na imagem Phantom quanto na imagem Lena a energia está mais concentrada nos coeficientes de baixa frequência porém existem alguns coeficientes espalhados ao longo do espectro. Em situação oposta às imagens Phantom e Lena a imagem Text apresentada na Fig. 2c é caracterizada por variações abruptas de intensidade de níveis de cinza de modo que sua energia é espalhada ao longo de todo o domínio da frequência. Finalmente a imagem Cameraman ilustrada na Fig. 2d representa um meio termo entre a suavidade da Lena e as variações abruptas da imagem Text. Figura 2. Imagens com resolução pixels e diferenças em relação ao nível de esparsidade e à distribuição dos coeficientes de maior energia no domínio da frequência. (a) Phantom - constante por partes (b) Lena - suave (c) Text - variações abruptas de níveis de cinza (d) Cameraman - localmente suave. Na teoria clássica de sinais a digitalização de imagens é composta das etapas de amostragem e quantização. É importante ressaltar que o tamanho de armazenamento gerado pela etapa de amostragem é inviável se for utilizada uma precisão arbitrariamente grande para representar a intensidade de cada pixel. Com o objetivo de minimizar este problema utiliza-se a etapa de quantização. Infelizmente esta etapa gera ruídos na imagem reconstruída posteriormente. Além destes ruídos quando é utilizado um tamanho de passo menor a reconstrução é mais precisa e são necessários mais bits para o armazenamento da imagem. Por outro lado quando é utilizado um tamanho de passo maior a reconstrução é menos precisa e são necessários menos bits para o armazenamento da imagem. Diferentemente dos trabalhos que utilizam a teoria clássica de sinais ou a CS convencional trabalhos anteriores que utilizaram CS baseada em modelo não implementaram a etapa de quantização. Este trabalho utiliza os passos de quantização iguais a 001; 005; 01; 02; 05; 1; 2; 4; 8; 16; 32 e 64 para observar a eficiência de CS baseada em modelo quadtree na presença de ruídos gerado na etapa de simulação da aquisição da cena. Ainda recordando a teoria clássica de sinais e complementando a etapa de digitalização existe a etapa de codificação. Embora esta etapa seja importante na compressão de uma imagem ela não foi implementada neste trabalho. O motivo da não implementação da etapa de codificação é a dificuldade em prever qual é o símbolo que mais ocorre devido a existência de grande incoerência entre a base de medidas e a base que leva à esparsidade. Diante disso assume-se neste trabalho a equiprobabilidade de ocorrência dos níveis de cinza e define-se a banda igual a log. A relação onde é o número de medidas adquiridas e é o nível de aproximação à esparsidade utilizado no modelo quadtree foi fixada em 35 conforme o trabalho de Baraniuk [28]. As abordagens de aquisição por sensoriamento e reconstrução das imagens utilizadas neste trabalho são avaliadas em relação à Taxa Sinal Ruído de Pico (PSNR) à taxa de bits (BR) e à inclinação das curvas que representam os passos de quantização (IC). A PSNR é definida em (3) onde pixels é a dimensão da imagem é o valor máximo de intensidade de cinza ( ) é a imagem original e ( ) é a imagem reconstruída.

7 FERREIRA et al.: QUANTIZATION NOISE ON IMAGE = 10 log [ ( ) ( )] 1173 (3) Em (4) é definida a taxa de bits BR onde é número de coeficientes do vetor de medidas é o número de coeficientes total e é a entropia da medida para um passo de quantização calculada sobre a distribuição de probabilidade dos níveis de cinza. (4) = A IC é definida como a taxa de crescimento da PSNR em relação ao número de medidas ou em relação à taxa de bits BR. Ela também pode ser considerada como a primeira derivada no ponto ou BR. A PSNR é expressa em decibéis (db) a BR em bits por pixel (bpp) e a IC é um número puro. Valores típicos de PSNR variam entre 20 e 40. Quanto maior a PSNR mais a imagem reconstruída se aproxima da original. Na BR valores menores do que 8 caracterizam compressão da imagem como preconiza a teoria da informação. Por último quanto maior a IC mais eficiente é a reconstrução em termos da PSNR em um determinado número de medidas ou valor de BR. A ordem de eficiência entre os passos de quantização em uma configuração específica pode ser encontrada analisando a IC de cada uma das 12 curvas. A base que leva o sinal original à esparsidade utilizada neste trabalho é a wavelet daubechies implementada e integrada ao CoSaMP convencional por Baraniuk [28]. Os coeficientes de escala e wavelet de daubechies são calculados e fornecidos ao algoritmo CSSA para serem condensados de acordo com o modelo quadtree apresentado na seção anterior. Este modelo foi escolhido entre os dois modelos apresentados por Baraniuk [28] porque ele é utilizado no padrão JPEG2000 [33] e porque é fácil obter ferramentas para sua implementação. Trabalhos anteriores que avaliaram o CoSaMP convencional e o CoSaMP baseado em modelo quadtree utilizaram matrizes de aquisição sub-gaussianas independentes e identicamente distribuídas [28] [36] e [37]. Diferentemente destes autores neste trabalho é utilizado a matriz parcial de Fourier para CoSaMP quadtree. Esta matriz consiste de um conjunto uniformemente aleatório de linhas obtidas da transformada discreta de Fourier [27]. Optou-se por escolher a matriz parcial de Fourier pois Needell e colegas [27] garantem que apesar de ser necessário o uso de um número um pouco maior de medidas do que as matrizes sub-gaussianas e gaussianas o uso da matriz parcial de Fourier tem algumas vantagens. Dentre estas vantagens pode-se citar a existência de equipamentos que adquirem medidas de Fourier aleatórias com pouco custo por amostra baixo tempo de execução da ( log ) e baixa capacidade de armazenamento exigida que é ( log ). Os experimentos apresentados neste trabalho foram realizados em um computador desktop com processador AMD Sempron E GHz memória cache 512Kb e 2GB de memória RAM. O sistema operacional Microsoft Windows XP Professional TM service pack 2 e versão 2002 Matlab TM versão 2008b juntamente com alguns pacotes específicos de processamento digital de imagens. Dois cenários foram verificados neste trabalho denominados a partir deste ponto de cenário A e cenário B. O cenário A foi implementado com o objetivo de avaliar os efeitos dos ruídos adicionados pela etapa de quantização e pela etapa de aproximação à esparsidade sobre a eficiência da CS baseada em modelo quadtree. O resumo deste cenário é apresentado na Tabela I. TABELA I. CONFIGURAÇÃO UTILIZADA NO CENÁRIO A. Quatro imagens com resoluções pixels Variação de 20 valores de medidas Variação de 12 passos de quantização uniforme Aquisição pela matriz parcial de Fourier Método CSSA para aproximação ao modelo quadtree Nível de aproximação à esparsidade = 35 < 10 Critério de parada: 50 iterações ou Como pode ser observado na Tabela I o cenário A é constituído de 960 testes obtidos da variação de 4 imagens 20 valores de medidas e 12 passos de quantização. O passo de quantização = 1 é considerado o passo de quantização de controle visto que a imagem utilizada para simulação possui valores inteiros não negativos representando a intensidade dos 256 níveis de cinza. A etapa de quantização utilizada neste trabalho é baseada na quantização escalar uniforme e é implementada após a aquisição do vetor de medidas. O cenário B foi realizado com o objetivo de comparar o desempenho do CoSaMP quadtree utilizado neste trabalho com o resultado apresentado por Baraniuk [28]. Neste cenário a imagem Peppers pixels foi reconstruída com apenas = 5000 medidas e utilizando uma aproximação ao modelo quadtree com = 7 2 = 1429 em duas situações distintas: sem forçar esparsidade e após termos forçado sua esparsidade em = 1429 coeficientes. Este último teste preserva os 1429 coeficientes maiores e ajusta os demais para zero. Com isto objetiva-se observar o desempenho da CS baseada em modelo quadtree quando aplicado em imagens com representações em bases ótimas. Para a aquisição da imagem Peppers Baraniuk utilizou a matriz de medidas aleatória gaussiana e no cenário B foi utilizada a matriz de medidas parciais de Fourier. Entretanto a principal diferença em relação ao teste realizado por Baraniuk é a utilização do passo de quantização = 4 no cenário B. No trabalho de Baraniuk a Raiz do Erro Médio Quadrático (RMSE) para a imagem Peppers foi de 111 que convertida para PSNR pela fórmula = 20 log é igual a A próxima seção apresenta os resultados obtidos nos testes realizados neste trabalho. IV. RESULTADOS OBTIDOS O comportamento da CS baseada em modelo quadtree na presença de ruído de quantização é avaliado realizando os testes denominados de cenário A e apresentados na Tabela I. As Fig e 6 apresentam a relação entre PSNR x BR para as imagens Lena Cameraman Phantom e Text respectivamente. As Fig e 10 apresentam a relação entre a PSNR x M utilizadas na reconstrução das imagens Lena Cameraman Phantom e Text respectivamente.

8 1174 As PSNR das imagens Lena e Cameraman mostradas nas Fig. 3 e 4 são aproximadamente iguais devido a essas duas imagens possuírem características semelhantes quanto à esparsidade. Por outro lado pode-se observar nas Fig. 5 e 6 que a maior eficiência na etapa de reconstrução representada por valores significativamente maiores de PSNR na Fig. 5 em relação à Fig. 6 depende fortemente do nível de aproximação à esparsidade S. Este resultado é devido à melhor aproximação à esparsidade da imagem Phantom comparada com a imagem Text para o modelo de representação que foi utilizado neste trabalho. Este resultado demonstra que o erro de aproximação à esparsidade é menor do que o ruído gerado pela etapa de quantização para diversos valores de ou seja a imagem Phantom é suficientemente compressível e o modelo de representação utilizado é eficiente. Por outro lado como pode ser verificado na Fig. 6 o aumento da taxa de bits BR e a diminuição dos valores dos passos de quantização praticamente não altera a PSNR. Este resultado demonstra que o erro de aproximação à esparsidade é maior do que o ruído gerado pela etapa de quantização para muitos valores de ou seja a imagem é pouco compressível e o modelo de representação utilizado não foi eficiente. Neste último caso o pouco aumento da PSNR acontece a custo de grande elevação do número de medidas como pode ser observado nas curvas mais curtas que representam os menores passos de quantização apresentadas na Fig. 6. Nestes casos por mais que se aumente o número de medidas não é possível melhorar a eficiência. Como pode ser observado nas Fig. 7 e 8 as nove primeiras curvas que representam os passos de quantização iguais a 001; 005; 01; 02; 05; 1; 2; 4 e 8 se sobrepõem para quase todos os números de medidas. Este resultado obtido para as imagens Lena e Cameraman é devido ao fato do ruído gerado pela esparsidade ser aproximadamente igual ao ruído gerado pela etapa de quantização. Em situação bem melhor é possível verificar na Fig. 9 que as nove primeiras curvas que representam os passos de quantização citados acima se sobrepõem apenas para pequenos números de medidas o que é explicado pelo fato da imagem Phantom possuir o ruído gerado pela esparsidade muito menor do que o ruído gerado pela etapa de quantização. Oposto a estas duas situações anteriores a Fig. 10 apresenta sobreposição para todos os números de medidas o que é assegurado pelo fato da imagem Text possuir ruído gerado pela esparsidade muito maior do que o ruído gerado pela etapa de quantização. Em todos os casos os passos de quantização e 64 possuem valores de PSNR muito inferiores independente do quanto a imagem é compressível. Observa-se que todas as curvas se sobrepõem até que o número de medidas seja grande o suficiente para que o ruído de esparsidade não exceda o ruído de quantização. Desse modo a imagem Phantom é pouco afetada as imagens Lena e Cameraman são razoavelmente afetadas e a imagem Text é fortemente afetada pelos erros de aproximação à esparsidade. Como pode ser verificado nas Fig e 10 os passos de quantização 001; 005; 01; 02; 05; 1; 2; 4 e 8 possuem maiores valores de eficiência em termos da PSNR para menores passos de quantização diminuindo a eficiência à medida em que se aumenta os valores de para um determinado valor de. Este resultado é facilmente verificado analisando a IC de cada curva que representa estes 9 passos de quantização. É possível observar também que a IC é um pouco maior para a imagem Cameraman do que para a imagem Lena e muito maior para a imagem Phantom do que para a imagem Text. Este resultado demonstra um maior potencial na etapa de reconstrução para as imagens mais compressíveis confirmando as observações anteriores. Uma das principais características da CS é a possibilidade de obtenção de resultados satisfatórios na reconstrução de imagens para pequenos valores de medidas. Considerando a IC observada nas Fig e 10 é possível constatar que os passos de quantização 001; 005; 01; 02; 05; 1; 2; 4 e 8 geram PSNR semelhantes para pequenos valores de medidas e geram valores de BR cada vez menores para os passos de quantização 2 4 e 8 nesta ordem. Isto demonstra que a utilização de passos de quantização maiores que 1 tais como os passos 2 4 e 8 reduzem bastante o espaço de armazenamento da imagem comprimida utilizando a CS baseada em modelo quadtree. Para a imagem compressível Phantom bem representada pelo modelo quadtree neste trabalho obtivemos que a utilização do passo de quantização igual a 4 resulta em PSNR maiores para uma BR baixa quando comparada com o mesmo teste utilizando o passo de quantização igual a 1 ou menor. A Tabela II apresenta o resumo dos resultados mais importantes obtidos neste trabalho para o cenário A. TABELA II. RESULTADOS OBTIDOS AVALIANDO E RELAÇÃO A PSNR E BR PARA O CENÁRIO A. Imagens Mais compressível Mais compressível Menos compressível Mais compressível Menos compressível Passos de Quantização e e 8 EM Resultados (Aumenta: Diminui: ) PSNR BR e Q PSNR BR e Q não altera PSNR M percepção dos passos Q M sem percepção dos passos Q Resultados (Aumenta: Diminui: ) PSNR semelhantes para pequenos BR e PSNR Figura 3. Resultado da avaliação PSNR x BR de 12 passos de quantização e 20 medidas para Lena com resolução

9 FERREIRA et al.: QUANTIZATION NOISE ON IMAGE 1175 Figura 4. Resultado da avaliação PSNR x BR de 12 passos de quantização e 20 medidas para Cameraman com resolução Figura 8. Resultado da avaliação PSNR x M de 12 passos de quantização e 20 medidas para Cameraman com resolução Figura 5. Resultado da avaliação PSNR x BR de 12 passos de quantização e 20 medidas para Phantom com resolução Figura 9. Resultado da avaliação PSNR x M de 12 passos de quantização e 20 medidas para Phantom com resolução Figura 6. Resultado da avaliação PSNR x B de 12 passos de quantização e 20 medidas para Text com resolução Figura 10. Resultado da avaliação PSNR x M de 12 passos de quantização e 20 medidas para Text com resolução Figura 7. Resultado da avaliação PSNR x M de 12 passos de quantização e 20 medidas para Lena com resolução Com o objetivo de enfatizar o resultado encontrado no cenário A deste trabalho que demonstra a relação direta da eficiência do CoSaMP quadtree com o nível de esparsidade da imagem avaliada 4 resultados dos 960 realizados são apresentados na Tabela III. Os 4 testes que são apresentados utilizaram o passo de quantização = 4 e os números de

10 1176 medidas = 2400 e = 4000 para duas imagens distintas quanto à esparsidade: a imagem Phantom e a imagem Text. Observe que os valores de medidas = 2400 e = 4000 representam respectivamente somente 1465% e 2441% da dimensão da imagem. Como pode ser observado na Tabela III é possível reconstruir a imagem Phantom a partir de poucas medidas com nível de eficiência satisfatórios. O grau de eficiência da reconstrução utilizando CoSaMP quadtree é reduzido para a imagem Text devido ao menor nível de esparsidade desta imagem. Em qualquer um dos quatro testes apresentados a taxa de bits BR é bastante reduzida. TABELA III. RESULTADOS PONTUAIS EXTRAÍDOS DO CENÁRIO A: IMAGENS PHANTOM E TEXT COM 2400 E 4000 MEDIDAS E = 4. Imagens Phantom Text Medidas PSNR (db) BR (bpp) Por último os resultados obtidos dos testes denominados cenário B são apresentados. Os resultados deste cenário foram comparados com o resultado apresentado por Baraniuk em [28] para a imagem Peppers pixels com apenas = 5000 medidas. Como pode ser observado na Fig. 11 o resultado do teste sem forçar esparsidade primeiro teste do cenário B é ligeiramente melhor do que o resultado apresentado por Baraniuk em relação à PSNR. Por outro lado o nosso resultado apresenta uma taxa de bits = 199 que é consideravelmente menor que a taxa de bits = 261 calculada para o resultado apresentado por Baraniuk em [28]. Figura 11. Resultado da aquisição e reconstrução da imagem Peppers pixels (16384 coeficientes) utilizando apenas 5000 medidas. (a) Peppers original (b) Peppers com Q=1 (Baraniuk [28]): PSNR=2722 db e BR calculado considerando Q=1 em 261 bpp (c) Peppers sem forçar esparsidade e Q=4 (primeiro teste do cenário B): PSNR=2775 db e BR=199 bpp (d) Peppers forçando esparsidade em S=1429 coeficientes e Q=4 (segundo teste do cenário B): PSNR=4404 db e BR=199 bpp. Ainda na Fig. 11 é apresentado o resultado do cenário B após termos forçado esparsidade em = 1429 coeficientes. Os resultados altamente positivos obtidos para este segundo teste do cenário B (PSNR=4404 db e BR=199 bpp) tanto a PSNR alta quanto a BR baixa demonstram a importância de uma boa representação para a imagem original utilizando CoSAmP baseado em modelo quadtree. Nesta seção foram apresentados os resultados obtidos da avaliação sobre o impacto da presença de ruído de quantização no processo de aquisição e reconstrução de imagens utilizando CS baseada em modelo quadtree. V. CONCLUSÃO Neste trabalho foi apresentada uma nova abordagem que objetiva verificar o comportamento do algoritmo CoSaMP quadtree em imagens sujeitas a dois tipos de ruídos: os gerados pela etapa de quantização e os gerados pela etapa de aproximação à esparsidade utilizando o modelo quadtree. Com este objetivo foi utilizada uma ampla quantidade de números de medidas e de passos de quantização além de imagens com características diferentes quanto ao nível de esparsidade e à distribuição dos coeficientes mais significativos. Também inovou-se utilizando a matriz parcial de Fourier na aquisição das medidas para posterior reconstrução utilizando o CoSaMP quadtree. O controle sobre o ruído de aproximação à esparsidade é mais difícil do que o controle sobre o ruído gerado pela etapa de quantização. Isto é devido ao fato do ruído de aproximação à esparsidade ser probabilístico e o ruído gerado pela etapa de quantização ser determinístico. Este trabalho mostrou que a relação de ordem entre esses ruídos é um dos fatores determinantes da eficiência do CoSaMP quadtree. Os diferentes níveis de esparsidade e distribuição de coeficientes das imagens utilizadas influenciam fortemente na eficiência do CoSaMP quadtree. Quando o nível de esparsidade da imagem é maior do que o ruído de quantização é possível perceber a diferença entre os passos de quantização empregados para um determinado valor de ou de BR. Por outro lado quando o nível de esparsidade é menor do que o ruído de quantização não é possível melhorar os resultados alterando o passo de quantização ou o número de medidas. Desse modo a utilização da CS baseada em modelo quadtree é bastante satisfatória quanto à robustez a ruídos gerados pela etapa de quantização desde que a imagem avaliada apresente alto nível de esparsidade ou seja possível levá-la à esparsidade utilizando um modelo ótimo de representação da imagem. Além disso este trabalho demonstrou que é possível manter os mesmos números de medidas apresentados em trabalhos que utilizam matrizes sub-gaussianas e gaussianas e ainda usufruir das vantagens estabelecidas por Needell quando utilizamos a matriz parcial de Fourier a saber: a existência de equipamentos que adquirem medidas de Fourier aleatórias com pouco custo por amostra tempo de execução da ( log ) e capacidade de armazenamento da ( log ). Como trabalho futuro sugere-se a exploração de novos modelos mais realísticos de representação de imagens para reduzir o impacto do ruído gerado pela aproximação à esparsidade sobre o CoSaMP quadtree e consequentemente a melhora da percepção da eficiência sobre os passos de quantização. Sugere-se também a verificação da influência da etapa de codificação sobre o CoSaMP quadtree. AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer ao Dr. Eduardo Antônio Barros da Silva pelas úteis discussões durante o desenvolvimento deste trabalho.

11 FERREIRA et al.: QUANTIZATION NOISE ON IMAGE REFERÊNCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] C. E. Shannon A mathematical theory of communication The Bell System Technical Journal Vol. 27 pp H. Nyquist Certain topics in telegraph transmission theory Transactions of the American Institute of Electrical Engineers pp April E. J. Candès J. Romberg and T. Tao Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements Communications on Pure and Applied Mathematics Vol. 59 No. 8 pp August E. J. Candès J. Romberg and T. Tao Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information IEEE Transactions on Information Theory Vol. 52 No. 2 pp February E. J. Candès Compressive sampling In Proceedings on the International Congress of Mathematicians: Madrid August Vol. 3 pp M. Duarte M. Davenport D. Takhar J. Laska T. Sun K. Kelly and R. 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Tanner Improved bounds on restricted isometry constants for Gaussian matrices SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications Vol. 31 No. 5 pp Júlio César Ferreira é graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás (UFG) em Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em Atualmente ele é aluno de doutorado na UFU em cotutela com a Université de Rennes 1 França. Ele é professor de Matemática Aplicada e Computacional no Instituto Federal Goiano. Suas pesquisas se concentram em compressive sensing aproximações esparsas problemas inversos aprendizagem de manifolds e aplicações. Edna Lucia Flores é graduada e Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em 1982 e 1988 respectivamente. Obteve o título de Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Campinas (Unicamp) em Ela é atualmente professora de Engenharia Elétrica na Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Suas principais áreas de pesquisas incluem processamento digital de sinais e processamento de imagens digitais. Gilberto Arantes Carrijo é graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade de Brasília (UnB) em Ele é Mestre e Doutor em Engenharia Eletrônica e Computação pelo Instituto Tecnológico da Aeronautica (ITA) em 1976 e 1983 respectivamente. Ele fez o pós-doutorado na The University of Western Australia Austrália em Atualmente ele é professor de Engenharia Elétrica na Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Suas pesquisas se concentram nas áreas de processamento digital de sinais e imagens propagação e comunicação móvel.