PROPOSTA DE ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO BIDIMENSIONAL UTILIZANDO DOIS NÍVEIS E RECOZIMENTO SIMULADO

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1 PROPOSTA DE ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO BIDIMENSIONAL UTILIZANDO DOIS NÍVEIS E RECOZIMENTO SIMULADO André Kubagawa Sato, Thiago de Castro Martins, Marcos de Sales Guerra Tsuzuki Laboratório de Geometria Computacional, Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Avenida Prof. Melo Morais, 2231, CEP São Paulo, SP, Brasil. s: andre.kubagawa@usp.br, thiago@usp.br, mtsuzuki@usp.br Abstract Cutting and Packing problems impacts several areas such as garment, wood and ship industries. This work deals with the two-dimensional irregular open dimension problem. The proposed approach represents the solution as an ordered list of items and sequentially builds the solution using the collision free region concept. The collision free region may consist of degenerated edges and vertices. A new placement heuristic that gives priority to placement on degenerated edges and vertices is proposed. A two-level algorithm that uses an simulated annealing algorithm as the internal level was developed and tested with benchmark data sets. Results show that the proposed algorithm generated highly competitive solutions. Moreover, our algorithm updated some best known results. Keywords Cutting and Packing, Combinatorial Optimization, Simulated Annealing. Resumo O problema de empacotamento impacta diversas áreas da indústria como a têxtil, moveleira e naval. O problema considerado neste trabalho considera um contêiner retangular com uma dimensão variável que deve ser minimizada. Os itens podem ser polígonos irregulares não necessariamente convexos. O algoritmo proposto representa a solução como uma lista ordenada de itens e se utiliza do conceito de região livre de colisão para construir um leiaute sem sobreposição entre os itens. A região livre de colisão pode apresentar arestas ou vértices salientes, que são elementos desconexos. Uma nova heurística de posicionamento que prioriza arestas e vértices salientes é proposta. Um algoritmo de dois níveis em que o nível interno consiste de um algoritmo de recozimento simulado foi adotado para realizar testes utilizando problemas da literatura e foi capaz de obter resultados competitivos, melhorando os resultados na literatura em alguns casos. Palavras-chave Empacotamento, Otimização Combinatória, Recozimento Simulado. 1 Introdução Problemas de corte e empacotamento são problemas clássicos de busca pelo leiaute mais eficiente para um conjunto de itens de entrada e um contêiner com o objetivo de minimizar o desperdício de material. As áreas de aplicação são numerosas: indústrias têxtil, naval, moveleira, etc. Este trabalho está relacionado à indústria têxtil, em que itens devem ser extraídos de um rolo de tecido que possui uma largura fixa e um comprimento muito maior do que sua largura. O objetivo é encontrar o menor comprimento de tecido em que é possível realizar o corte de todos os itens. Segundo Wäscher et al. (2007), que propôs uma tipologia que classifica os problemas de empacotamento, este problema é definido como bidimensional de itens irregulares em que o contêiner possui uma dimensão variável (two-dimensional irregular open dimension problem). O problema é NP-completo (Fowler et al., 1981) e como consequência as soluções propostas usualmente se utilizam de heurísticas probabilísticas ou determinísticas. O recozimento simulado (RS) foi originalmente proposto por Kirkpatrick et al. (1983) para abordar problemas de otimização combinatória, e neste trabalho foi utilizado o RS adaptado por Martins and Tsuzuki (2009). O algoritmo proposto neste trabalho procura exclusivamente por leiautes factíveis, i.e., leiautes em que não há sobreposição de itens, que estão totalmente contidos no contêiner. Os itens são ordenados em uma lista e aplica-se uma regra de posicionamento baseada na região livre de colisão (RLC) para criar leiautes. O texto está estruturado da seguinte forma. A seção 2 explica alguns conceitos básicos. A seção 3 apresenta os motivos para a adoção de operações Booleanas não regularizadas. A seção 4 apresenta o algoritmo com dois níveis hierárquicos desenvolvido para resolver o problema de empacotamento e a heurística de posicionamento adotada. Na seção 5 os resultados são mostrados e as conclusões são apresentadas na seção 6. 2 Conceitos Básicos Para resolver o problema de obtenção de leiautes factíveis foi empregada a RLC. Esta é calculada a partir dos conceitos de polígono de obstrução (PO) e polígono de posicionamento interno (PPI). Esta seção apresenta estes conceitos que serão empregados no algoritmo proposto. 2.1 Polígono de Obstrução (PO) Considere dois itens. Um item já está posicionado no espaço, denominado item fixo. Para o próximo item, móvel, existem translações que o sobrepõem ao item fixo. O polígono de obstrução é a região que representa o conjunto de translações proibidas ISSN: Vol. X 9

2 Pi Pj Figura 1: PO (contorno definido pelas arestas orientadas) induzido pelo item P i ao item item P j. O ponto de referência coincide com o vértice inferior esquerdo do polígono P j. Figura 2: PPI (em cinza) para um dado item e seu contêiner. para o item móvel, isto é, posições onde este item se intersecciona com o item fixo. Diz-se que o PO é induzido pelo item fixo ao item móvel. O PO é representado por regiões no plano. Para tal, deve-se definir um ponto de referência ao item móvel. A região é definida pelo conjunto de translações aplicadas ao ponto de referência. Um exemplo de PO pode ser visto na Fig. 1. Para um item P, considere i(p ) o seu interior, P o seu contorno e c(p ) seu complemento. Definição 1 Supondo dois polígonos P i e P j fixos. O PO induzido pelo item P i ao item P j, denotado por Υ(P i, P j ), é o conjunto de vetores de translação que aplicado a P j o levam a colidir com P i. Desta forma, Υ(P i, P j ) = i(p i ) i(p j ) (1) = { v a i(p j ), a + v i(p i )} O PO pode ser calculado facilmente para polígono convexos utilizando a soma de Minkowski (Agarwal et al., 2002). O resultado da soma de Minkowski de dois polígonos convexos é um polígono convexo construído a partir das arestas dos polígonos originais ordenadas no sentido anti-horário. Polígonos não-convexos podem ser decompostos em uma etapa de pré-processamento do algoritmo, visto que as transformações aplicadas (de rotação e translação) não afetam tal decomposição. 2.2 Polígono de Posicionamento Interno (PPI) O PPI é um conceito derivado do PO e representa o conjunto de translações possíveis para o posicionamento de um item dentro de um contêiner C. O PPI pode ser computado através do deslizamento de um item contido no contêiner, ao longo de seu contorno (Fig. 2). Definição 2 O PPI induzido por um contêiner C ao item P j, denotado por Λ(C, P j ), é o conjunto de vetores de translação que, aplicados a P j, o posiciona dentro do contêiner. Segue, Λ(C, P i ) = c(c(c) ( i(p i ))) (2) = { v a i(p i ), a + v C} Figura 3: A RLC (regiões hachuradas) para o posicionamento de um item em um contêiner com obstáculos (em cinza). 2.3 Região Livre de Colisão (RLC) Considere um contêiner C e um conjunto de itens P = {P 1,, P n } já posicionados, sem colisão, como pode ser visto na Fig. 3. Deseja-se inserir um novo item P m, m > n no interior do contêiner, sem sobreposição com os itens já posicionados. A RLC representa o conjunto de translações possíveis para o item P m. Definição 3 A RLC é o conjunto de todas as translações que, aplicadas a um item específico, o posiciona no interior do contêiner sem que haja colisão com os itens já posicionados. Quando não existem itens posicionados, a RLC é o próprio PPI. Para um determinado item, o cálculo do PPI é o primeiro passo para se determinar a RLC. Na sequência, deve-se remover do PPI os POs induzidos pelos itens já posicionados. Assim, a RLC, denotada por Π(C, P, P m ), pode ser determinada através da expressão: Π(C, P, P m ) = Λ(C, P m ) P i P 2.4 Arestas e Vértices Salientes i(p i ) i(p m ) (3) Quando se utiliza o conceito de RLC para determinar todas as posições possíveis para o posicionamento de um novo item, existem ocasiões em que a região não pode ser representada por polígonos. A RLC pode apresentar contornos fechados, arestas salientes e vértices salientes. Arestas e vértices salientes são sempre externos aos contornos, representando posições adicionais para o posicionamento de um novo item. ISSN: Vol. X 10

3 Figura 4: Problema com dois itens à esquerda e o contêiner retangular à direita. Posicionamento do item côncavo. RLC do item retangular, considerando o ponto de referência no centro. Leiaute final com o item retangular posicionado em uma aresta saliente. ao polígono. O cálculo da RLC pode envolver um PO, que não deve ter o seu contorno considerado. Isso decorre da definição do PO, que representa translações proibidas. O contorno do PO representa uma translação válida, já que o posicionamento neste contorno resulta em dois itens que apenas se encostam e não se interseccionam. Desta forma, para a correta determinação da RLC e de vértices e arestas salientes é necessário empregar operações Booleanas não regularizadas. Para este trabalho, foi desenvolvido um novo algoritmo de operações Booleanas não regularizadas baseado em operações Booleanas regularizadas. As propostas de operações Booleanas regularizadas existentes (Vatti, 1992) possuem em comum a divisão em três passos: a determinação das intersecções entre arestas, a classificação das arestas e contornos e a coleta das arestas e contornos apropriados para compor o resultado final. O novo algoritmo desenvolvido também adotou os mesmos passos, com modificações mais significativas nas etapas de classificação e coleta (Sato, 2011). Estas modificações estão associadas com a geração e a coleta de arestas e vértices salientes, que não existem em operações Booleanas regularizadas. 4 Algoritmo proposto Figura 5: Problema com dois itens à esquerda e o contêiner retangular à direita. Posicionamento do item côncavo. RLC do item retangular, considerando o ponto de referência no centro. Leiaute final com o item retangular posicionado em um vértice saliente. Arestas salientes representam posições em que a movimentação sem colisão do item só pode ocorrer em uma direção, excetuando-se os pontos de intersecção. Na Fig. 4, em que o posicionamento foi realizado em uma aresta saliente, é possível observar que só é possível movimentar o item horizontalmente. A Fig. 5 exibe o caso do posicionamento em um vértice saliente em que o item posicionado não pode se movimentar em nenhuma direção. 3 Operações Booleanas não Regularizadas A determinação da RLC se utiliza de operações Booleanas entre polígonos. No entanto, estas operações Booleanas não podem ser regularizadas, uma vez que assumem que o contorno pertence O problema estudado considera o contêiner retangular com uma dimensão variável a ser minimizada. Para resolver este problema, foi proposto um algoritmo de dois níveis hierárquicos (veja Fig. 6). O nível interno considera que o contêiner possui dimensões fixas. Cada solução é representa por uma lista ordenada de itens e o posicionamento ocorre de forma sequencial, segundo a RLC para evitar colisões com itens já posicionados. Um RS controla a sequência, a orientação e a posição de cada item. A função objetivo adotada é o espaço desperdiçado no contêiner. A convergência global do RS ocorre quando, para uma dada temperatura, todas as soluções possuem o mesmo espaço desperdiçado que o melhor já encontrado. A convergência local, para cada temperatura, é um número limite pré-determinado de soluções geradas. Para o problema associado ao nível interno, o espaço desperdiçado assume apenas valores discretos (Martins and Tsuzuki, 2010). O nível externo controla a temperatura e solução iniciais do nível interno, assim como o valor da dimensão variável do contêiner. Caso o nível interno convirja para um leiaute factível em que todos os itens foram posicionados, o nível externo diminui o contêiner e reinicia o RS. Já para o caso em que uma solução em que nem todos os itens foram inseridos no contêiner, o nível externo deve aumentá-lo e reiniciar o nível interno. Para este nível são definidos dois novos parâmetros p dim e p aum, que controlam o comprimento do contêiner. ISSN: Vol. X 11

4 4.1 Heurística de Posicionamento A heurística de posicionamento utilizada neste trabalho prioriza posições de encaixe, onde o item móvel encosta em algum item fixo ou contêiner em pelo menos dois pontos. O posicionamento de um item em uma posição de encaixe muitas vezes possibilita o posicionamento de mais itens ao contêiner. Pela RLC, calculada a partir de operações Booleanas não regularizadas, algumas posições de encaixe são facilmente identificadas: arestas e vértices salientes. Desta forma, estas posições foram priorizadas. Outra posição de encaixe são os vértices côncavos do PO que considera todos os itens fixos, ou seja, a união de todos os polígonos de obstrução. x <solução inicial aleatória> T 0 <temperatura inicial> L <comprimento inicial do contêiner> enquanto <Não terminado> faça enquanto <condição global não satisfeita> faça T i T i α; i i + 1 enquanto <condição local não satisfeita> faça val random(0, 1) se val < 0.5 então x <modificar sequência de posicionamento> senão <seleciona o item móvel> x <seleciona um vértice da RLC para posicionar> E = F (x ) F (x) se E < 0 então x x senão se random(0, 1) < e E/kT então x x se <todos os itens foram posicionados> então L (1 p dim )L <comprimento do contêiner> L <condição global de parada satisfeita> se <algum item não foi posicionado> então L (1 + p aum )L <comprimento do contêiner> L i 0; T 0 <temperatura inicial> Figura 6: Algoritmo proposto. O posicionamento sempre ocorre em algum vértice da RLC. Trabalhos anteriores mostraram que este tipo de posicionamento contribui para Tabela 1: Problemas da literatura. NTP: número total de polígonos; NMV: numero médio de vértices; OP: orientações possíveis Caso NTP NMV OP Albano 24 7,25 0, 180 Dagli 30 6,30 0, 180 Dighe1 16 3,87 0 Dighe2 10 4,70 0 Fu 12 3,58 0, 90, 180, 270 Jakobs1 25 5,60 0, 90, 180, 270 Jakobs2 25 5,36 0, 90, 180, 270 Mao 20 9,22 0, 90, 180, 270 Marques 24 7,37 0, 90, 180, 270 Shapes0 43 8,75 0 Shapes1 43 8,75 0, 180 Shapes2 28 6,29 0, 180 Shirts 99 6,63 0, 180 Trousers 64 5,06 0, 180 o algoritmo encontrar a solução final em menor tempo sem comprometer a qualidade do resultado (Sato et al., 2010). Existem casos em que a utilização desta heurística não converge para o melhor resultado, no entanto, são casos especiais que raramente ocorrem na prática (Sato et al., 2010). A heurística de posicionamento adotada nos algoritmos desenvolvidos possui a seguinte ordem de prioridade: posicionamento em um vértice saliente, vértice de uma aresta saliente e vértices convexos de contorno da RLC. Se a RLC possuir mais que um vértice saliente, a heurística escolhe de forma aleatória um deles. Se não possuir vértices salientes, mas sim arestas salientes, um sorteio será realizado para escolher um dos vértices dessas arestas. Finalmente, caso existam apenas contornos fechados, a heurística de posicionamento escolhe um dos vértices convexos destes contornos. 5 Resultados Neste trabalho, o algoritmo foi avaliado utilizando 13 problemas da literatura, que podem ser encontrados no site da ESICUP (EURO Special Interest Group on Cutting and Packing). São problemas de itens irregulares com o objetivo de minimizar o comprimento de um contêiner retangular de largura fixa. Cada item pode ser rotacionado de um conjunto finito de ângulos (0, 90, 180 ou 270 ), admitindo até quatro orientações possíveis. A Tabela 1 mostra os problemas estudados. Todos os testes foram executados com um processador i7 860 com 4 GB de memória RAM. Os parâmetros de redução p dim e de expansão p aum do comprimento do contêiner adotados foram 1% e 0, 3%, respectivamente. A Tabela 2 apresenta os menores comprimentos obtidos e a ISSN: Vol. X 12

5 (e) (f) (e) (g) (h) (f) Figura 7: Melhores leiautes obtidos pelo algoritmo proposto. albano. shapes0. dagli. fu. (e) dighe1. (f) dighe2. (g) mao. (h) marques. Figura 8: Melhores leiautes obtidos pelo algoritmo proposto. shapes1. shapes2. shirts. trousers. (e) jakobs1. (f) jakobs2. ISSN: Vol. X 13

6 Tabela 2: CM: Comprimento mínimo. D: Densidade. I: (Imamichi et al., 2009). B: (Bennell and Song, 2008). E: (Egeblad et al., 2007) G: (Gomes and Oliveira, 2006). Os resultados representados com são os melhores da literatura Caso Algoritmo proposto Melhor CM D (%) D (%) Albano 9848,72 88,39 88,16 (I) Dagli 57,82 87,71 87,87 (B) Dighe (BG) Dighe (BG) Fu 30,99 91,96 92,03 (E) Jakobs1 11,00 89,07 89,07 (E) Jakobs2 22,75 84,83 82,51 (I) Mao 1753,20 84,07 85,15 (E) Marques 76,85 90,01 89,82 (E) Shapes0 59,03 67,59 68,44 (E) Shapes1 55,51 71,88 73,84 (EI) Shapes2 25,93 83,30 84,25 (I) Shirts 61,65 87,59 89,69 (B) Trousers 241,83 90,07 90,46 (E) densidade dos leiautes, as Figs. 7.-(h) e 8.- (f) apresentam os melhores leiautes obtidos pelo algoritmo proposto. 6 Conclusões O algoritmo de operações Booleanas não regularizadas desenvolvido permitiu determinar vértices e arestas salientes. Uma nova heurística de posicionamento foi proposta considerando a importância do posicionamento nos elementos salientes. Um algoritmo de dois níveis foi proposto para resolver o problema de empacotamento com contêiner retangular de uma dimensão variável. Os resultados obtidos considerando os problemas propostos na literatura se mostraram competitivos, obtendo o melhor resultado em alguns casos. O algoritmo possui dois parâmetros que controlam o aumento e redução do contêiner. Nos testes executados, estes foram considerados constantes. No entanto um estudo mais aprofundado para controlar estes parâmetros através de um algoritmo deve ser realizado. Agradecimentos A. K. Sato foi suportado pelo CNPq. M. S. G. Tsuzuki foi parcialmente suportado pelo CNPq. Esta pesquisa foi suportada pela FAPESP (processos 2008/ e 2010/ ). Referências Agarwal, P. K., Flato, E. and Halperin, D. (2002). Polygon decomposition for efficient construction of minkowski sums, Comp. Geom. 21: Bennell, J. A. and Song, X. (2008). A comprehensive and robust procedure for obtaining the no-fit polygon using minkowski sums, Eur. J. Oper. Res. 35: Egeblad, J., Nielsen, B. K. and Odgaard, A. (2007). Fast neighborhood search for twoand three dimensional nesting problems, Eur. J. Oper. Res. 183: Fowler, R. J., Paterson, M. and Tanimoto, S. L. (1981). Optimal packing and covering in the plane are np-complete, Inf. Proc. Letters 12(3): Gomes, A. M. and Oliveira, J. F. (2006). Solving irregular strip packing problems by hybridising simulated annealing and linear programming, Eur. J. Oper. Res. 171: Imamichi, T., Yagiura, M. and Nagamochi, H. (2009). An iterated local search algorithm based on nonlinear programming for the irregular strip packing problem, Disc. Optim. 6: Kirkpatrick, S., Gellat, C. D. and Vecchi, M. P. (1983). Optimization by simulated annealing, Science 220: Martins, T. C. and Tsuzuki, M. S. G. (2009). Placement over containers with fixed dimensions solved with adaptive neighborhood simulated annealing, B. Pol. Acad. Sci. Tech. Sci. 57: Martins, T. C. and Tsuzuki, M. S. G. (2010). Simulated annealing applied to the irregular rotational placement of shapes over containers with fixed dimensions, Expert Sys. Appl. 37: Sato, A. K. (2011). Proposta de algoritmo para determinação da região livre de colisão e sua aplicação na solução de leiautes bidimensionais irregulares com recozimento simulado, Master s thesis, Escola Politécnica da USP. Sato, A. K., Martins, T. C. and Tsuzuki, M. S. G. (2010). Rotational placement using simulated annealing and collision free region, Proc. of the 10 th IFAC Workshop on IMS, pp Vatti, B. R. (1992). A generic solution to polygon clipping, CACM 35: Wäscher, G., Haussner, H. and Schumann, H. (2007). An improved typology of cutting and packing problems, Eur. J. Oper. Res. 183: ISSN: Vol. X 14