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1 METAHEURÍSTICA GRASP APLICADA AO PROBLEMA DE CORTE COM DIMENSÃO ABERTA GUILHOTINADO Dayanne Gouveia Coelho, Marcelus Xavier Oliveira, Elizabeth Fialho Wanner, Marcone Jamilson Freitas Souza, Sérgio Ricardo de Souza Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CEFET/MG Campus II CEP: Belo Horizonte MG Brasil Universidade Federal de Ouro Preto - ICEB Campus Universitário UFOP CEP Ouro Preto MG Brasil s: dayagc@gmail.com, marcelusxavier@gmail.com, efwanner@gmail.com, marcone@iceb.ufop.br, sergio@dppg.cefetmg.br Abstract This article presents an application of GRASP metaheuristic for solving the Guillotine Open Dimensional Problem. The problem consists of placing a set of small items within a large object such that the overall height must be minimized. To solve the problem, it is incorporated the Best-Fit Decreasing Height Level Algorithm into GRASP to perform the fitting of the items in the object. This methodology was evaluated through computational experiments carried out on a set of test problems found in the literature. The results showed optimal values for instances up to items, and for larger instances, or the optimal value was found or it was obtained, at a low computational cost, a lower bound of the value of the evaluation function better than the one determined by using the package computational CPLEX. Keywords Open Dimensional Problem, GRASP, Level algorithms Resumo Este artigo apresenta uma aplicação da metaheurística GRASP para a solução do Problema de Corte com Dimensão Aberta (PCDA) Guilhotinado. O problema consiste em alocar um conjunto de peças menores (itens) dentro de uma peça maior (objeto), de forma que a altura utilizada deste objeto seja minimizada. Para resolver o problema, incorpora-se ao GRASP o Algoritmo de Nível Best-Fit Decreasing Height para realizar o encaixe dos itens no objeto. Essa metodologia foi avaliada a partir de experimentos computacionais em um conjunto de problemas-teste encontrados na literatura. Foram encontrados valores ótimos para instâncias até itens e, para instâncias de maior dimensão, ou foi encontrado o valor ótimo ou foi determinado, a um baixo custo computacional, um limitante inferior do valor da função de avaliação melhor que aquele determinado pelo uso do pacote computacional CPLEX. Palavras-chave Problema de Corte com Dimensão Aberta, GRASP, Algoritmo de Nível Introdução Em muitas indústrias, o Problema de Corte é essencial para o planejamento da produção. A matéria-prima utilizada nas indústrias de vidro, de papel e metalúrgicas, por exemplo, são produzidas no primeiro momento em tamanhos grandes e padronizados. Conforme a necessidade, para atender as demandas internas ou externas das indústrias, essa matéria-prima é reduzida a itens de tamanhos menores, variados, e geralmente não padronizados. Planejar como será o corte não é uma tarefa fácil, visto que esta operação gera perdas da matéria-prima. Porém, um bom planejamento evita a necessidade de constantes preparações das máquinas para os tamanhos dos produtos requisitados, minimizando os efeitos negativos gerados pelo desperdício sobre os custos de produção. Neste trabalho é estudado o Problema de Corte com Dimensão Aberta (PCDA), uma subclasse dos Problemas de Corte e Empacotamento (PCE). Essa classe geral de problemas possui grande interesse, tanto teórico quanto prático, em especial pela grande aplicação em diversos setores industriais. O PCE consiste em determinar o melhor arranjo de um conjunto de peças menores sobre uma peça maior, que precisa ser cortada ou empacotada. As peças menores são chamadas de itens e as peças maiores de objeto. O problema consiste em cortar o objeto em um conjunto de itens, satisfazendo uma determinada função objetivo, que, em geral, minimiza os efeitos negativos do processode corte. Um exemplode funçãoobjetivo é minimizar o desperdício da matéria-prima. O PCDA consiste em determinar o melhor arranjo de um conjunto de itens retangulares sobre um objeto maior, que possui largura fixa e altura variável. Esta variação do PCE é encontrada, principalmente, em indústrias que realizam o corte de bobinas ou rolos, com o objetivo de minimizar a altura utilizada desses objetos. Na literatura, podemos encontrar vários trabalhos que estudam e desenvolvem técnicas para resolver o PCDA. Nos trabalhos de Dyckhoff (0) e Wäscher et al. (00) são apresentadas tipologias para tratar dos PCE. Neste artigo, é utilizada a tipologia de Wäscher et al. (00), que denominam o problema como Open Dimensional Problem (ODP). Os trabalhos de Hopper and Turton (00b)e Lodi et al.(00)fazem uma revisão ISSN: -0 - Vol. X

2 dos problemas apresentando o número de trabalhos publicados e os métodos desenvolvidos para resolver o problema. Por pertencer à classe de problemas NPdifíceis (Garey and Johnson, ) técnicas heurísticas têm sido adotadas para a solução do PCDA por diversos autores. Dentre estes, podese citar os trabalhos de (Kroger, ), (Liu and Teng, ), (Yeung and Tang, 00), (Bortfeldt, 00) e (de Andrade, 00), que apresentam métodos baseados em algoritmos evolutivos. Os trabalhos Hopper and Turton (00a) e Burke et al. (00) utilizam o método Simulated Annealing. O trabalho de (Alvarez-Valdez et al., 00) propõem uma metodologia de solução do PCDA baseada na metaheurística GRASP, mas para a versão não-guilhotinada desse problema. Ortmann et al. (00) propõem heurísticas de níveis para resolver o PCDA guilhotinado com orientação fixa dos itens e compara os resultados com resultados de outras heurísticas de encaixe da literatura. O presente artigo apresenta uma solução do PCDA guilhotinado utilizando a metaheurística Greedy randomized adaptive search procedure GRASP (Feo and Resende, ) em conjunto com heurísticas de encaixe para a avaliação de cada solução encontrada. O artigo está estruturado como segue: a próxima seção discute o Problema de Corte e Empacotamento e apresenta definições de interesse do presente trabalho; a seção apresenta a metodologia de solução proposta; a seção mostra os resultados computacionais advindos da aplicação desta metodologia a instâncias da literatura; a seção finaliza o artigo e apresenta conclusões a respeito do desenvolvimento realizado. Problema de Corte com Dimensão Aberta Os Problemas de Corte com Dimensão Aberta podem apresentar variações conforme as restrições de corte e aorientaçãodositens, podendoser classificados de acordo com: (i) Orientação: define se o item poderá ou não sofrer rotação em relação a alguns eixos. Se não for permitido rotacionar os itens, dizemos que os itens possuem orientação fixa; (ii) Tipo de corte: guilhotinado, se o corte se estende de um lado ao outro do objeto, produzindo a cada corte dois retângulos, ou não-guilhotinado, seocorteacompanhaocontornodoitem, semdescaracterizar o objeto. O corte guilhotinado ainda pode ser classificado de acordo com o número de estágios de corte. Ou seja, um problema em que o corte é guilhotinado em k estágios significa que é permitido apenas duas direções de corte. A partir dessa classificação, é definido o Problema de Corte com Dimensão Aberta (PCDA), estudado neste trabalho. O problema trata do corte de um único objeto, que possui uma de Figura : Solução para o PCDA guilhotinado envolvendo itens. suas dimensões variáveis, sendo definido para itens e objetos retangulares. Ele é caracterizado, segundo de Andrade (00), por (i) alocar os itens de forma ortogonal no objeto; (ii) os itens apresentarem orientação fixa; (iii) o corte ser do tipo guilhotinado; e (iv) o corte ser feito em -estágios. O problema consiste, então, em um objeto S de largura W, tendo altura grande o suficiente ( altura infinita ) para a alocação de todos os itens, e uma lista de itens retangulares I = {r,,r n }, em que r i = (w i,h i ), tal que w i W, para i =,,n, possui largura w i e altura h i. O objetivo do problema é cortar os itens de I em S minimizando a altura H total utilizada, como mostra a Figura. Para a formulação matemática do PCDA, considere, conforme proposto em Lodi et al. (00), que, para uma dada solução, (a) o primeiro item seja alocado em cada faixa mais à esquerda e possua maior altura; (b) a primeira faixa do objeto (mais baixa) é a mais alta; (c) os itens sejam ordenados de forma decrescente em relação à altura (h h h n ). A altura de cada faixa corresponde à altura h i do primeiro item i a ser alocado. Dessa forma, considerando n o número de faixas formadas para alocar os itens, então a variável de decisão y i = se o item i inicializa a faixa i, para i =,,n; e y i = 0, caso contrário. Além disso, apenas os itens j tal que j > i podem ser colocados na faixa. Isso porque, dado um item j tal que j = i inicializa a faixa i, ele não poderá ser atribuído à faixa novamente. Dessa forma, a variável x ij = se o item j está alocado na faixa i, para i =,,n e j > ; e x ij = 0, caso contrário. Com base nessas considerações, a formulação matemática do problema é dada por: min suj. a: n j=i+ n h i.y i () i= j x ij +y j =, j =,,n () i= w j x ij (W w i )y i, i =,,(n )() x ij {,0} i =,,(n ); () y i {0,} i =,,n; () ISSN: -0 - Vol. X

3 A função objetivo () tem como critério minimizar a altura utilizada do objeto. A restrição () garante que o item só será alocado uma vez no objeto; a restrição () garante que a largura do objeto não será ultrapassada em nenhuma das faixas; as restrições () e () definem o tipo de variável do problema. Metodologia Proposta Nesta seção é descrita a representação de uma solução para o PCDA, a técnica de encaixe utilizada para a alocação dos itens dentro do objeto, a função de avaliação utilizada, a estrutura de vizinhança utilizada para explorar o espaço de soluções do problema e o algoritmo proposto para resolver o problema.. Representação de uma solução Cada solução do PCDA é representada por uma sequência de números inteiros, em que cada posição da sequência representa a ordem na qual o item é encaixado. Para um problema com quatro itens, por exemplo, a solução s = ( ) indica que o item é o primeiro a ser encaixado e o, o último.. Técnicas de Encaixe Técnicas de encaixe (ou Algoritmos de Nível) são técnicas para a realização do encaixe dos itens em objetos. Nesses algoritmos, os itens são alocados em faixas, da esquerda para a direita, sendo que o de uma nova faixa coincide com o topo do item mais alto da faixa anterior. A utilização destas técnicas se deve ao fato delas serem mais rápidas e gerarem padrões guilhotináveis. Os algoritmos de níveis mais utilizados são: Next- Fit (NF); First-Fit (FF); Best-Fit (BF); Next- Fit Decreasing Height (NFDH); First-Fit Decreasing Height (FFDH); e Best-Fit Decreasing Height (BFDH). Para uma revisão a respeito, veja Ntene and van Vuuren (00). Neste trabalho, para realizar o encaixe dos itens, é utilizado o algoritmo de nível Best-Fit Decreasing Height (BFDH). Nesta técnica, a primeira faixa é iniciada pelos itens na ordem em que eles aparecem na solução. Os itens são inseridos no canto inferior esquerdo do objeto até que a largura do objeto não seja mais suficiente. No BFDH, apósinserir o primeiroitem, é pesquisada a largura disponível nas faixas existentes. A seguir, o próximo item é inserido na faixa que resultar no menor espaço residual em relação à largura. Uma nova faixa só é formada se o item não puder ser inserido em nenhuma das faixas existentes. Sendo assim, é permitido que as faixas formadas fiquem abertas, possibilitando que o item seja inserido apenas na faixa que resultar o melhor encaixe, como observado em Ortmann (00). A Figura mostra como é feito o encaixe, para uma sequência de seis itens. O pseudocódigo do BFDH é apresentado no Algoritmo. Figura : Uma sequência de seis itens (a) encaixadosemumabobina(b)deacordocomoalgoritmo de Nível Best Fit Decreasing Height. Algoritmo : Best-Fit Decreasing Height 0 Entrada: Conjunto de itens (I), de dimensões (w i,h i ), e a largura do objeto (W); Saída: sequência do encaixe, altura utilizada; n = quantidade de itens; faixa =, i = ; Insira o primeiro item na primeira faixa; Altura(faixa) = h(i i ); para i= até n faça Insira o item na faixa que resultar o melhor encaixe; se o item não puder ser inserido em nenhuma das faixas então Forme uma nova faixa: faixa = faixa+;. Função de Avaliação O objetivo do problema é minimizar a altura utilizada do objeto. Desse modo, a função de avaliação é dada pelo somatório da altura do primeiro item de cada faixa, na forma: n h i.y i i= (i =,,n) sendo n a quantidade de itens que serão encaixados, h i a altura do item i, e y i variável de decisão binária que determina se o item i inicializa a faixa ou não.. Estrutura de Vizinhança A vizinhança de uma solução s é o conjunto de soluçõesn(s), em que cadasoluçãos N(s) é obtida a partir de um movimento feito na solução corrente s. Para determinar a vizinhança de uma dada solução s, é aplicado neste trabalho o movimento de troca de dois itens dentro do objeto. Porexemplo, se a soluçãocorrenteés=( ), então s = ( ) é um vizinhode s, obtido pela troca de posição dos itens e. ISSN: -0 - Vol. X

4 . Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) Para resolver o PCDA, propõe-se o algoritmo GRASP, Feo and Resende (), cujo pseudocódigo está ilustrado no Algoritmo. GRASP é um método de duas fases, construção e refinamento, que são aplicadas repetidamente, retornando a melhor das soluções encontradas. As subseções seguintes mostram como esse algoritmo foi adaptado ao PCDA. Algoritmo : GRASP 0 Entrada: f(.), g(.), N(.), GRASPmax, s Saída: s f ; para Iter= até GRASPmax faça Construção( g(.), k, s); Buscalocal (f(.),n(.),s); se (f(s) < f ) então s s; f f(s); s s ; Retorne s; nova faixa, iniciada com este item, e assim sucessivamente, até que todos os itens sejam encaixados. As faixas possuem largura fixa e o de uma nova faixa coincide com o topo do item mais alto da anterior. Esta técnica é utilizada para realizar o encaixe dos itens apenas na fase de construção, que termina quando todos os itens são encaixados. Algoritmo : Construção 0 Entrada: g(.), k,s Saída: s s ; Inicialize o conjunto C de itens candidatos; Ordene o Conjunto C de acordo com g(.); enquanto C faça LRC = {conj. dos k melhores itens de C}; Selecione, aleatoriamente, um item t LRC; s s {t}; Atualize o conjunto C de itens candidatos; s First-Fit de s ; Retorne s;.. Fase de Construção Na fase de construção do Algoritmo GRASP (linha do Algoritmo ), uma solução é construída pela inserção dos itens, sendo um de cada vez. O pseudocódigo dessa fase está apresentado no Algoritmo. Este procedimento inicia na linha do Algoritmo com a construção de uma lista de itens candidatos C. Os elementos (itens) dessa lista são ordenados de forma decrescente, de acordo com a função g(t) que avalia o benefício do candidato ser incluído na solução. Cada item t dessa lista C recebe um nota g(t) que representa a altura do item. Para itens com a mesma altura, sobressaem os que tiverem a maior largura. A cada iteração da fase de construção, os k melhores itens da lista C são colocados em uma Lista Restrita de Candidatos (LRC). Na implementação feita, adotou-se k =. O componente aleatório do método consiste em selecionar, para cada inserção na solução, um item aleatoriamente dentre os k itens candidatos da LRC. A seguir, atualizam-se as listas C e LRC, e repete-se o processo até que todos os itens tenham sido incluídos na solução. O encaixe inicial dos itens é feito de forma gulosa, pela aplicação da técnica de encaixa First-Fit (Ntene and van Vuuren, 00). Assim, o primeiro item é encaixado, iniciando a primeira faixa. A seguir, verifica-se a altura do segundo item. Se esta altura for menor ou igual à do primeiro item, e ele couber no objeto (isto é, a largura residual do objeto não for ultrapassada), este item será inserido na primeira faixa. Caso contrário, forma-se uma.. Fase de busca local A fase de refinamento do algoritmo proposto (linha do Algoritmo ) consiste na aplicação do procedimento de busca local Best Improvement (BI). Nestemétodo, parte-sede umasoluçãose, a cada iteração, são analisados todos os possíveis vizinhos, movendo-se somente para aquele que tiver o valor mais favorável da função de avaliação, isto é, a solução melhor é aquela cujo somatório das alturas dos itens que estão na primeira posição de cada faixa é menor. Dada uma solução, aplica-se a técnica de encaixe BFHD, descrita no Algoritmo, para determinar o valor da função de avaliação. O método para quando encontra um ótimo local. O Algoritmo ilustra o pseudocódigo deste procedimento de busca local. Algoritmo : Best Improvement 0 Entrada: f(.), s Saída: s V = {s N(s) f(s ) < f(s)}; (Avalie toda a vizinhança de s) enquanto V faça Selecione s V, sendo s = arg min{f(s ) s V}; se (f(s ) < f(s)) então s s; V = {s N(s) f(s ) < f(s)}; Retorne s; ISSN: -0 - Vol. X

5 Resultados Computacionais O algoritmo GRASP foi desenvolvido utilizando a plataforma JAVA, e os testes foram feitos em um PC Intel Core Duo. GHz, com GB de memória RAM, em ambiente Windows. Para testá-lo, foram utilizados os problemas-teste apresentados em(hopper and Turton, 00a), que estão disponíveis na OR-Library (Beasley, 0). Estes problemas estão divididos em sete categorias, sendo que cada categoria é subdividida em três problemas, formando um total de problemas-teste, como mostra a Tabela. Cada problema apresenta o número de itens e largura do objeto próprios. Por exemplo, nessa tabela, o problema-teste CP consiste em um objeto de largura 0 com itens. Tabela : Problemas-teste de Hopper and Turton (00a) Categoria Número de itens (n) Largura do P P P objeto C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 Para realizar os testes computacionais, o algoritmo proposto foi executado 0 vezes para cada problema-teste. Os parâmetros utilizados foram: onúmerode iteraçõesrealizadasfoiiguala00, ou seja, GRASPmax = 00 e o valor de k = 0,0, que interfere diretamente no tamanho da LRC. A Tabela apresenta os resultados encontrados na aplicação do algoritmo proposto na solução do Problema de Corte com Dimensão Aberta Guilhotinado, utilizando os problemas-teste mostrados na Tabela. A terceira coluna mostra os resultados listados em de Andrade (00) para a resolução do modelo matemático do problema pelo software de otimização CPLEX, versão.0, limitado a uma hora de processamento. As colunas, e apresentam os resultados encontrados para as 0 execuções do algoritmo, na forma de pior resultado, a média dos resultado e a melhor solução encontrada, respectivamente, para cada problema-teste. Também na Tabela, na última coluna, é mostrado o tempo médio de cada execução do algoritmo GRASP, em segundos. De acordo com a Tabela, é possível notar que a metaheurística GRASP fornece soluções muito boas para o problema, em um tempo computacional baixo. Paraasinstânciascom atéitens e paraa instância CP foram obtidas as soluções ótimas. Para as instâncias CP, CP, CP, CP e CP, os resultados encontrados foram melhores que os resultados obtidos pelo software de otimização CPLEX mostrados na coluna desta Tabela. Conclusão Este artigo apresentou uma solução do Problema de Corte de Dimensão Aberta Guilhotinado utilizando a metaheurística GRASP em conjunto com o algoritmo de encaixe Best Fit Decreasing Height. Os resultados mostram-se auspiciosos, na medida em que foram encontrados, para as instâncias propostas em Hopper and Turton (00a), valores ótimos para instâncias até itens. Para instâncias de maior dimensão, ou foi encontrado o valor ótimo ou foi determinado um limitante inferior do valor da função de avaliação melhor que aquele determinado pelo CPLEX em uma hora de processamento. Além disso, o custo computacional para a obtenção desses resultados é baixo, em comparação ao despendido pelo CPLEX. Essa afirmativa é baseada nos resultados encontrados para as instâncias com maior número de itens (instâncias CP, CPeCP), em que, apósum horade processamento, o CPLEX encontrou resultados piores em até,% (caso da instância CP) aos obtidos pela metodologia proposta, com um tempo computacional maior em vezes. Novos resultados devem buscar enfocar a relação entre as fases da metaheurística GRASP e o ganho obtido em cada uma delas, além de avaliar o desempenho de outras técnicas de encaixe em conjunto com o GRASP. Agradecimentos Os autores agradecem ao CEFET-MG, à CA- PES, à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio. Referências Alvarez-Valdez, R., Parreno, F. and Tamarit, J. M. (00). Reactive grasp for the strippacking problem, Computers & Operations Research : 0 0. Beasley, J. E. (0). Or - library: Distributing test problems by electronic mail., Journal of the Operation Research Society : 0 0. Bortfeldt, A. (00). A genetic algorithm for the two-dimensional strip packing problem with rectangular pieces, European Journal of Operations Research :. Burke, E., Kendal, G. and Whitwell, G. (00). A simulaated annealing enhancement of the best-fit heuristic for the orthogonal stock cutting problem, INFORMS Journal on Computing (): 0. de Andrade, M. S. F. (00). Algoritmos evolutivos mono e multiobjetivos para problemas bidimensionais de corte, Dissertação de mestrado, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Belo Horizonte. ISSN: -0 - Vol. X

6 Tabela : Resultados obtidos pelo algoritmo GRASP. *Solução ótima. Problemas- N o de Solução do Solução ótima Tempo médio Testes itens Método Exato Pior Média Melhor (segundos) CP * * * * 0,0 CP * * * * 0,0 CP * * * * 0,0 CP 0* 0* 0* 0* 0, CP * * * * 0, CP * * * * 0, CP 0* 0* 0* 0* 0, CP * * * * 0, CP * * * * 0, CP * * * *, CP * * * *, CP 0* 0* 0* 0*, CP 0, CP 0* 0* 0* 0*,0 CP 0 0 0, 0,0 CP 0,0 CP, CP,0 CP, CP,0 0,0 CP, 0, Dyckhoff, H. (0). A typology of cutting and packing problems, European Journal of Operations Research :. Feo, T. A. and Resende, M. G. C. (). Greedy randomized adaptive search procedures, Journal of Global Optimization :. Garey, M. R. and Johnson, D. S. (). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W. H. Freeman and Company, Freeman, San Francisco. Hopper, E. and Turton, B. C. (00a). An empirical investigation of meta-heuristic and heuristic algorithms for a d packing problem, European Journal of Operations Research : 00. Hopper, E. and Turton, B. C. (00b). A review of the application of meta-heuristic algorithm to d strip packing problems, Artificial Intelligence Review : 00. Kroger, B. (). Guillotineable binpacking: A genetic approach, European Journal of Operations Research :. Ntene, N. and van Vuuren, J. H. (00). A survey and comparison of guillotine heuristics for the d oriented offline strip packing problem, Discrete Optimization :. Ortmann, F. G.(00). Heuristics for Offline Rectangular Packing Problems, PhD thesis, Department of Logistics, Stellenbosch University. Ortmann, F. G., Ntene, N. and van Vuuren, J. H. (00). New and improved level heuristics for the rectangular strip packing and variablesized bin packing problems, European Journal of Operations Research 0: 0. Wäscher, G., HauBner, H. and Schumann, H. (00). An improved typology of cutting and packing problems, European Journal of Operations Research : 0 0. Yeung, L.H.W. andtang,w. K.S.(00). Strippacking using hybrid genetic approach, Engineering Applications of Artificial Intelligence :. Liu, D. and Teng, H. (). An improved blalgorithm for genetic algorithm of the orthogonal packing of rectangles, European Journal of Operations Research : 0. Lodi, A., Martello, S. and Monaci, M. (00). Two-dimenseional packing problems: A survey, European Journal of Operations Research :. Lodi, A., Martello, S. and Vigo, D. (00). Models and bounds for two-dimensional level packing problems, Journal of Combinatorial Optimization :. ISSN: -0 - Vol. X