Algoritmos Evolutivos Mono e Multiobjetivos para Problemas Bidimensionais de Corte

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional Algoritmos Evolutivos Mono e Multiobjetivos para Problemas Bidimensionais de Corte Dissertação de Mestrado, submetida ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno: Mariana Silva Faleiro de Andrade Engenheira de Produção Civil (CEFET/MG) Orientador: Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza (CEFET/MG) Co-Orientador: Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza (UFOP) Belo Horizonte, setembro de 2009.

2 ii Aos meus pais, Carlos e Lúcia.

3 Agradecimentos Agradeço a Deus, pela incrível dádiva da vida e por ter colocado no meu caminho, durante esse período, tantas pessoas boas, generosas e solidárias. Agradeço aos meus pais, Carlos e Lúcia, pelo amor imenso e incondicional, pelo calor do ninho e pelo constante incentivo, em todos os momentos da minha vida. Ao meu orientador, Sérgio Ricardo de Souza, pela amizade dispensada desde os tempos da graduação, pela extrema paciência, pela confiança, e, principalmente, por acreditar em mim, tantas e tantas vezes, muito mais do que eu mesma. Ao meu professor e co-orientador Marcone Jamilson Freitas Souza, pelo conhecimento transmitido em sua disciplina, pela permanente boa vontade e pelas valiosas sugestões durante o desenvolvimento deste trabalho. Às minhas irmãs, Valéria e Siomara, pelo carinho e apoio durantes esses anos. A minha irmã Isabela, por ser minha querida amiga e companheira de todas as horas. A minha irmãzinha Gabriela, por tornar minha vida mais alegre e mais leve neste período tão atribulado. A minha sobrinha Catarina, por ter chegado e por ser a prova de que as pessoas ainda têm esperança num mundo melhor. Agradeço especialmente ao meu querido amigo, Elias, pela parceria na programação (pela paciência em me ensinar a programar) e pela generosa colaboração no desenvolvimento de todo este trabalho. Agradeço, em especial, ao meu querido noivo Elias, por ser o amigo do agradecimento anterior e por ser, agora, esse noivinho que tenta, a todo custo, me fazer feliz (tendo alcançado, muitas vezes, resultados ótimos). A todos os professores que contribuíram para meu aperfeiçoamento, através das disciplinas que cursei durante o mestrado. iii

4 Aos colegas do CEFET-MG, em especial os irmãos Fábio e Felipe, que me incentivaram e com quem compartilhei bons momentos. A CAPES e ao CEFET-MG, pela credibilidade e apoio financeiro. Enfim, agradeço a todas as pessoas que contribuíram, direta ou indiretamente, na elaboração deste trabalho. iv

5 O correr da vida embrulha tudo, a vida é assim: esquenta e esfria, aperta e daí afrouxa, sossega e depois desinquieta. O que ela quer da gente é coragem. Guimarães Rosa v

6 Resumo Diversas indústrias têm a necessidade de cortar peças maiores, de modo a produzir peças menores, atendendo a uma determinada demanda, ou, ainda, necessitam empacotar peças menores. Estes problema são chamados de Problemas de Corte e Empacotamento (PCE), e, geralmente, são problemas difíceis de serem solucionados, sendo, muitos deles, classificados como problemas NP-Difíceis. Em muitas situações reais, as peças maiores (objetos) e as peças menores (itens) possuem duas dimensões relevantes para o corte, além de serem retangulares, como ocorre, por exemplo, no corte de placas de madeira. Dentre estes problemas, classificados como Problemas de Corte Bidimensionais, existem aqueles nos quais cada corte deve ser feito de forma paralela a um dos lados do retângulo, se estendendo de um lado até o lado oposto do objeto. Cortes que apresentam essa restrição são conhecidos como cortes guilhotinados. Problemas com as características descritas acima são chamados de Problemas de Corte Bidimensionais Guilhotinados. Métodos de solução para estes problemas constituem o tema central dessa dissertação. Foram estudados dois problemas de corte muito citados na litetatura: o Problema de Corte com Dimensão Aberta (PCDA) (mais conhecido como Open Dimension Problem ou Strip Packing Problem) e o Problema de Corte de Estoque Bidimensional (PCEB). No primeiro, o corte para produção de itens retangulares é feito a partir de um único objeto, que possui uma dimensão fixa e a outra grande o bastante para cortar todos os itens, como ocorre no corte de rolos e bobinas. No problema de corte de estoque, temos vários objetos idênticos em estoque, com as duas dimensões fixas, que devem ser cortados para a produção de itens com uma demanda pré-definida. Devido à natureza NP-Difícil destes, desenvolvemos métodos heurísticos para sua resolução, tendo em vista a comprovada eficiência destes métodos na solução de tais problemas. No PCDA, consideramos como critério de otimização a minimização da perda de material. Para solucioná-lo, utilizamos um algoritmo genético híbrido, que incorpora a um algoritmo genético tradicional operadores de busca local e metaheurísticas, em diferentes etapas do processo. Foram testadas diferentes metaheurísticas, assim como diferentes métodos aproximados para o encaixe dos itens. Nos testes realizados em problemas-teste da literatura, foram obtidas soluções ótimas em quase todos os casos. O algoritmo também mostrou um bom desempenho, em termos de tempo de execução. Tais evidências empíricas mostram a possibilidade de utilização deste algoritmo na resolução de problemas-teste associados a problemas reais. No PCEB, consideramos como objetivos, além da minimização da perda, a minimização do número de padrões distintos. Estes objetivos são, geralmente, conflitanvi

7 tes. Tratamos o problema com uma abordagem de otimização multiobjetivo, com o intuito de obter soluções que apresentem um compromisso entre os dois objetivos. Para tanto, utilizamos um algoritmo evolutivo multiobjetivo, baseado no método NSGA-II. Para a geração dos padrões, utilizamos um método de duas fases. Na resolução do problema, ainda são utilizadas metaheurísticas em diversas partes do algoritmo evolutivo. Nos testes realizados, na resolução de problemas da literatura e de problemas gerados aleatoriamente, verificamos que o algoritmo é capaz de encontrar soluções competitivas em termos da perda de material, além de ser capaz de encontrar um conjunto de soluções que mostram o compromisso entre os dois objetivos. Verificamos também que o algoritmo apresenta curvas de trade-off que melhoram ao longo das gerações. Ressaltamos que não foram encontramos trabalhos que tratassem do problema de corte bidimensional considerando os objetivos de minimizar a perda e o número de padrões distintos. Palavras-Chave: Problema de Corte com Dimensão Aberta, Problema de Corte de Estoque Bidimensional, Metaheurísticas, Otimização Multiobjetivo. vii

8 Abstract This paper deals with the development of heuristic methods for solving two bidimensional cutting problems: the Open Dimensional Problem (ODP) and the Cutting Stock Multiobjective Problem (CSMP). In the first problem, given a set of rectangular small items and a rectangular large object of fixed width and variable length, the problem consists of placing all the items within the large object, such that the material waste is minimised. To solve this problem, a hybrid genetic algorithm is proposed, which incorporates local search and metaheuristics, in different stages of the solution process, in one traditional genetic algorithm. Variations of this hybrid algorithm are evaluated, as well as different approximate methods to fit the items. Computational experiments realized with instances from the literature show that the proposed algorithms are able to reach the optimal solution in almost all cases. The algorithms also showed a good performance in terms of run time. Such empirical evidences indicate the possibility of using these algorithms to solve instances associated with real problems. In the CSMP, several identical objects with two fixed dimensions are in stock, which must be cut to the production of items with a pre-defined demand. The objectives are to minimize loss material and number of different patterns. These objectives are usually conflicting. It is therefore a problem with multiobjective optimization approach, in order to obtain solutions to present a compromise between the two goals. A multiobjective evolutionary algorithm, based on NSGA-II method, is proposed to solve the problem. For the pattern generation, it is used a two-staged method. Computational experiments realized with instances from the literature and randomly generated instances show that the proposed method is able to find a set of competitive solutions in terms of loss of material as well as being able to find a set of solutions that show compromise between the two goals. The trade-off curves showed by the algorithm are improved over the generations. It is noteworthy that no research were found that addressed the problem of two-dimensional considering simultaneously the objectives of minimizing both the loss of material and the number of distinct patterns. Keywords: Open Dimensional Problem; Bidimensional Cutting Stock Problem; Metaheuristic; Multiobjective Optimization; Evolutionary Algorithm. viii

9 Sumário 1 Introdução Considerações Iniciais Objetivos Motivação Organização do Trabalho Problemas de Corte e Empacotamento Caracterização dos Problemas de Corte e Empacotamento Tipologia de Dyckhoff Problemas de Corte Bidimensional Problema de Corte com Dimensão Aberta Definição Revisão Bibliográfica Formulação Matemática Problema de Corte de Estoque Multiobjetivo Caracterização do Problema Revisão Bibliográfica Formulação Matemática do Problema Métodos Heurísticos 26.1 Otimização Combinatória Mono-objetivo Heurísticas Construtivas Heurísticas de Refinamento Método de Descida Método de Descida Randômico Metaheurísticas Metaheurísticas baseadas em Busca Local Algoritmos evolutivos Algoritmos Genéticos Híbridos Otimização Combinatória Multiobjetivo Otimização Multiobjetivo Evolutiva Algoritmos Multiobjetivos baseados em Algoritmos Géneticos 42 4 Algoritmos Evolutivos aplicados ao PCDA Representação de uma solução Operadores genéticos Operadores de Recombinação ix

10 4.2.2 Operadores de Mutação Função de custo e função de aptidão dos indivíduos Seleção dos indivíduos para a próxima geração Geração da população inicial Geração da população inicial - ILS Geração da população inicial - Multi-Start Experimentos Computacionais Problemas teste para o PCDA Resultados do AEH-MS Resultados do AEH-ILS Conclusões Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo aplicado ao PCEB Geração de Padrões Etapa de Geração das Faixas Etapa de Geração dos Padrões Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo aplicado ao Problema de Corte Bidimensional Representação da solução Geração da População Inicial Avaliação das soluções e Função de Aptidão Operadores Genéticos Experimentos Computacionais Problemas-teste de um indústria de móveis Experimentos com exemplos aleatórios Conclusões Conclusões Gerais e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Trabalhos Futuros Referências 88 x

11 Lista de Tabelas.1 Método da Roleta: análise de aptidão Método da Roleta: seleção Problemas-teste de Hopper e Turton (2001) Parâmetros dos métodos AEH MS e AEH ILS, sendo n o número de itens do problema-teste Resutados do AEH MS aplicado ao PCDA Resutados do AEH ILS aplicado ao PCDA Exemplo de solução Parâmetros do algoritmo Problemas-teste de Figueiredo (2006)- Armário de 5 portas (15 mm) Problemas-teste de Figueiredo (2006) - Cômoda (12 mm) Resultados - Armário de 5 portas (15 mm) Resultados - Cômoda (12 mm) Problemas gerados aleatoriamente Resultados Médios para os 10 exemplos de cada classe xi

12 Lista de Figuras 2.1 Problema de corte de bobinas Problema de corte de placas: (a)objetos em estoque, (b)itens demandados Problema de carregamento de contêineres Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento Estrutura Intermediária dos PCE - Minimização do consumo Tipos de corte: (a)guilhotinado, (b)não-guilhotinado Exemplo de itens com orientação fixa e rotacionados Problema de corte com dimensão aberta Faixas no PCDA Problema de corte de estoque bidimensional Padrão de corte bidimensional Exemplo de problema de corte de estoque Padrões do exemplo de problema de corte de estoque Solução viável com 5 padrões Solução viável com 4 padrões pseudocódigo de Heurística Construtiva Pseudocódigo do método de descida pseudocódigo do Método de Descida Randômico Pseudocódigo da Metaheurística ILS Esquema do método ILS, para o caso de funções contínuas pseudocódigo do Método Multi-Start pseudocódigo de um AG simples Representação da Roleta - Seleção do primeiro indivíduo Fronteiras geradas pelo método Fast-non-dominated-sort pseudocódigo do procedimento Fast Non Dominated Sort Crowding distance Pseudocódigo do procedimento crowding distance Pseudocódigo do procedimento NSGA-II Comportamento do NSGA II Ação dos algoritmos aproximados First-Fit e Best-Fit pseudocódigo do algoritmo First-Fit pseudocódigo do algoritmo Best-Fit Operador de Recombinação Operador de mutação: troca Operador de mutação: realocação xii

13 4.7 Pseudocódigo da Metaheurística ILS para geração de solução inicial para o PCDA Exemplo da Abordagem Faixa formada pela Abordagem Pseudocódigo da Abordagem 1 para a geração de faixas Pseudocódigo da Abordagem 2 para a geração de faixas Faixas formadas pela Abordagem Pseudocódigo da Abordagem para a geração de faixas Faixas formadas pela Abordagem Padrões formados pela abordagem Crossover uniforme Fronteiras no problema dos armários de 5 portas Fronteiras no problema das cômodas Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe Curva de trade-off entre a perda e o número de padrões distintos no exemplo da classe xiii

14 Capítulo 1 Introdução Neste capítulo, além da introdução sobre o trabalho desenvolvido, são apresentados os objetivos, motivação e organização do trabalho. 1.1 Considerações Iniciais Problemas que envolvem o corte de matéria-prima são comuns a diversas atividades produtivas. Geralmente, deseja-se atender uma demanda por peças menores (itens), que devem ser cortadas a partir de peças maiores (objetos), a um custo mínimo. Isso ocorre, por exemplo, quando é preciso cortar placas de vidro para produção de portas e janelas, ou cortar placas de madeira em peças menores, para a confecção de móveis. Podem ser citadas ainda diversas indústrias, tais como as de aço, papel, alumínio e espuma, em que situações como estas fazem parte do cotidiano industrial. Geralmente, os problemas de corte têm como objetivo minimizar a quantidade de material utilizado, ou seja, minimizar o número de objetos utilizados ou a perda (desperdício) de material. Esses objetivos interferem diretamente sobre os custos da produção. Entretanto, outros custos podem ser importantes na atividade de corte, como, por exemplo, o tempo de preparação de máquina para a troca de padrões de corte (setup), ou seja, o número de padrões de corte distintos utilizados, e os custos de estoque para a produção excedente. Outra atividade comum nas indústrias, análoga à atividade de corte, é o empacotamento de itens dentro de objetos, que ocorre, por exemplo, no carregamento de containers. Devido à semelhança na estrutura lógica dos problemas de corte e empacotamento, e à grande variedade de situações práticas que envolvem essas atividades, tais problemas foram agrupados em uma classe de problemas de otimização combinatória conhecidos na literatura como Problemas de Corte e Empacotamento (PCE). As pesquisas sobre os PCE foram iniciadas por Kantorovich (1960), sendo intensificadas nos anos 60, a partir do trabalho de Gilmore e Gomory (1961). Desde então, os PCE têm sido extensivamente tratados na literatura. Isso se deve a sua importância econômica, aliada à dificuldade de resolução destes problemas. Nas últimas duas décadas, vários artigos, de revisão bibliográfica, relacionados ao problema de corte e empacotamento foram publicados, sendo relevante citar os devidos 1

15 1.1 Introdução 2 a Dyckhoff (1990), Sweeney e Parternoster (1992), Dowsland e Dowsland (1992) e Wäscher et al. (2006). Um PCE, dependendo do número de dimensões relevantes para o corte ou empacotamento, pode ser unidimensional (corte de barras de aço), bidimensional (corte de placas de madeira) ou tridimensional (corte de espuma para produção de colchões). Existem, entretanto, diversos outros critérios necessários para definir um PCE. Essa fato, somado à grande diversidade de problemas, originou a proposição de sistemas de classificação dos PCE. O sistema mais recente de classificação é a tipologia proposta por Wäscher et al. (2006). Nela, são considerados aspectos como dimensionalidade, tamanho e variedade dos itens e objetos, além de diversos outros critérios que buscam diferenciar e definir de maneira única cada problema de corte. Neste trabalho, são estudados os problemas de corte bidimensionais classificados, segundo Wäscher et al. (2006), como: Problema de Corte Bidimensional com Dimensão Aberta - PCDA (Open Dimensional Problem): o problema consiste em cortar da melhor forma possível um objeto retangular, dado que uma dimensão do objeto é variável, para a produção de itens retangulares. Esse problema ocorre, por exemplo, quando a produção envolve o corte de itens a partir de uma bobina ou de um rolo de material. Diversos problemas de corte que surgem nas indústrias papeleira, têxtil e metalúrgica podem ser modelados como um PCDA. Problema Bidimensional de Corte de Estoque - PCEB: trata-se do problema classificado, segundo a tipologia de Wäscher et al. (2006), como Single Stock- Size Cutting Stock Problem - SSSCSP. Consiste em cortar, da melhor maneira, objetos retangulares idênticos disponíveis em estoque, de forma a produzir itens também retangulares. Como exemplo, tem-se os problemas de corte da indústria de móveis, que geralmente são modelados como um PCEB. Como estes problemas são bidimensionais, ainda são acrescidas outras restrições, além dos critérios propostos por Wäscher et al. (2006). Tais restrições se devem a detalhes do processo de produção e à características do equipamento de corte. Dentre elas, estão as restrições relativas ao tipo de corte, que pode ser guilhotinado ou não; à limitação no número de cortes em uma determinada direção (restritos pelo equipamento); além de imposições relativas à orientação do corte (com rotações permitidas ou não), que acrescentam maiores dificuldades à resolução do problema. Em geral, os PCE são formulados como problemas de otimização linear inteira e são difíceis de serem tratados, devido ao grande número de variáveis envolvidas e à restrição de integralidade das variáveis. Estes problemas pertencem à classe de problemas NP-Difícil, o que significa que é improvável obter soluções exatas em tempos computacionais razoáveis. Esse fato justifica a intensa utilização de heurísticas para solução destes problemas. Neste trabalho, para solucionar o PCDA, tendo como objetivo, a minimização da perda de material, foram utilizados métodos heurísticos e algoritmos aproximados. Os últimos são algoritmos desenvolvidos especificamente para a resolução do PCDA. Quanto às heurísticas, foram utilizados algoritmos conhecidos como metaheurísticas, que apresentam uma série de vantagens em relação aos métodos heurísticos

16 1. Introdução convencionais, sendo que a principal delas é sua capacidade de escapar de ótimos locais. Foram implementadas e comparadas, mais especificamente, metaheurísticas populacionais e metaheurísticas populacionais híbridas. Na resolução do PCEB, foi considerado mais de um objetivo: buscou-se solucionar o problema de forma a mostrar o compromisso entre a minimização da perda de material e a redução no número de padrões distintos (tempo de preparação de máquina - setup). Trata-se o problema, portanto, com uma abordagem multiobjetivo. Para gerar as soluções do problema, utilizou-se um método exato da literatura (método das duas fases, Hifi e Hallah (2006) e (Morabito e Garcia, 1998)) para a geração dos padrões de corte. Para a resolução do problema de corte de estoque multiobjetivo, foi implementado um algoritmo evolutivo multiobjetivo, baseado em um algoritmo bastante eficiente, conhecido como NSGA-II (Deb et al., 2002). Para comprovar o potencial da técnica proposta e a possibilidade de sua utilização em situações práticas, os algoritmos acima foram testados, utilizando-se problemasteste da literatura. Os resultados obtidos foram comparados com outros relatados em trabalhos anteriores. 1.2 Objetivos O presente trabalho tem como objetivos principais: Desenvolver métodos heurísticos híbridos eficientes para a minimizar as perdas no PCDA. Tratar, através de uma abordagem da otimização multiobjetivo o PCBE, com os objetivos de minimizar, simultaneamente, a perda e o número de padrões distintos. Mais especificamentte, este trabalho buscou: Testar algoritmos aproximados propostos na literatura para o encaixe de itens, no PCDA. Combinar heurísticas de refinamento e metaheurísticas, tanto aquelas baseadas em busca local quanto as metaheurísticas evolutivas (ou populacionais), com o intuito de obter um algoritmo híbrido eficiente para solucionar o PCDA. Apresentar, com base nos modelos para o caso unidimensional, um modelo matemático para tratar o PCEB multiobjetivo. Gerar os padrões necessários à solução do PCBE, através de um método de duas fases. Desenvolver um algoritmo evolutivo híbrido, inspirado nos algoritmos descritos na literatura, para a resolução do PCBE. Analisar a adequação dos métodos de solução, através de testes com problemas da literatura e instâncias geradas aleatoriamente.

17 1.4 Motivação 4 1. Motivação A motivação para estudar e solucionar um problema de corte vem, principalmente, do grande número de aplicações práticas deste problema. Em particular, os problemas de corte bidimensional aparecem na fabricação de chapas de aço, vidro, papel, móveis, dentre outros. Além disso, o estudo dos PCE por diversos autores tem contribuído de forma significativa para o desenvolvimento de diversas áreas do conhecimento, tais como programação linear, programação dinâmica, complexidade computacional, algoritmos de aproximação e metaheurísticas. Os problemas de corte, apesar de serem facilmente entendidos, têm uma natureza complexa, sendo que muitos deles são comprovadamente problemas da classe NP-Difícil. A dificuldade de resolução destes problemas levou ao emprego de métodos heurísticos na resolução dos mesmos. Assim, além de solucionar o problema, este trabalho foi motivado pelo interesse em estudar, desenvolver e combinar métodos heurísticos, assim como verificar a adequação destes métodos aos problemas estudados. 1.4 Organização do Trabalho Este trabalho está organizado da seguinte maneira: no próximo capítulo, é feita a caracterização dos problemas de corte estudados, além de uma revisão bibliográfica acerca dos PCE. No capítulo, são apresentados os conceitos básicos sobre otimização mono e multiobjetivo, além de serem descritos os métodos de resolução aplicados neste trabalho. No capítulo 4, é apresentada a metodologia de resolução do PCDA, além de serem descritos os testes computacionais e apresentados os resultados obtidos e sua respectiva análise. O capítulo 5 descreve os métodos de resolução do PCEB, além de apresentar os testes utilizados para validá-lo, assim como os resultados obtidos. No capítulo 6, são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

18 Capítulo 2 Problemas de Corte e Empacotamento Neste capítulo, são apresentados os principais sistemas de classificação dos Problemas de Corte e Empacotamento (PCE), além de serem caracterizados, de uma forma geral, os Problemas de Corte Bidimensionais (PCB) tratados neste trabalho: Problema de Corte com Dimensão Aberta e Problema de Corte de Estoque. 2.1 Caracterização dos Problemas de Corte e Empacotamento A estrutura lógica de diferentes PCE pode ser compreendida através de exemplos como: O corte de bobinas de aço em estoque (Fig. 2.1(a)), que serão usadas para a produção de bobinas menores (Fig. 2.1(b)), que devem ser produzidas para atender a uma determinada demanda. (a) (b) Figura 2.1: Problema de corte de bobinas. 5

19 2.2 Tipologia de Dyckhoff 6 O corte de uma placa de vidro, ou de um painel de madeira, que consiste em encontrar a melhor forma de cortar o objeto (Fig. 2.2). (a) (b) Figura 2.2: Problema de corte de placas: (a)objetos em estoque, (b)itens demandados. O corte de blocos de espuma para produção de colchões, ou o carregamento de contêineres (Fig. 2.). Figura 2.: Problema de carregamento de contêineres. Os problemas apresentados mostram como são diversas as aplicações práticas dos PCE. Em decorrência disso e devido à dificuldade de resolução desses problemas, foram publicados, a partir dos anos 60, diversos estudos tratando deste tema. Os trabalhos pioneiros foram realizados por Kantorovich (1960), que apresentou modelos matemáticos de programação linear e métodos de solução para o planejamento e organização da produção, e por Gilmore e Gomory (1961), que propuseram uma técnica de geração de colunas para obtenção de uma solução aproximada para os problemas de corte. A grande quantidade de estudos feitos a partir de então levou Dyckhoff (1990) a propor uma classificação que considera a estrutura lógica dos PCE e suas principais características. Esta classificação é descrita a seguir. 2.2 Tipologia de Dyckhoff Em Dyckhoff (1990) é apresentada uma sistematização dos diversos tipo de Problemas de Corte e Empacotamento (PCE). Os seguintes critérios são utilizados para classificá-los:

20 2.2 Tipologia de Dyckhoff 7 1. Dimensionalidade: esta característica está relacionada com o número de dimensões relevantes para o processo de corte. Um problema de corte pode ser: Unidimensional: quando o corte do objeto é feito em apenas uma dimensão, como ocorre no corte de bobinas de aço. Bidimensional: nesse caso, duas dimensões, largura e comprimento, são relevantes para o problema. Esses problemas são encontrados, por exemplo, nas indústrias de móveis e vidros. Tridimensional: nestes problemas, uma terceira dimensão é considerada. Ele acontece, por exemplo, em empresas de transporte, que querem minimizar o número de viagens e, por isso, têm que empacotar as caixas nos caminhões da melhor maneira possível. n-dimensional: ocorre quando mais de três dimensões são relevantes para o problema. Neste caso, além das dimensões dos objetos, outras características do problema podem ser consideradas, como, por exemplo, o tempo disponível para realizar os cortes. 2. Seleção de itens e objetos: os itens a serem produzidos são combinados respeitando-se restrições associadas aos objetos. Itens e objetos podem ser selecionados de acordo com as seguintes possibilidades de combinação: Alocar todos os objetos e uma parte dos itens. Alocar uma parte dos objetos e todos os itens.. Sortimento dos Objetos: classifica o corte quanto à diversificação dos objetos. O corte pode ser realizado a partir de: Um objeto; Objetos idênticos; Objetos diferentes. 4. Sortimento dos itens: classifica o corte quanto à diversificação dos itens. O conjunto de itens a serem cortados pode ser constituído de: Poucos itens (diferentes); Muitos itens de muitos tamanhos diferentes; Muitos itens com relativamente poucos tamanhos diferentes; Tamanhos congruentes. A tipologia de Dyckhoff (1990) foi um marco na pesquisa dos PCE, pois, ao destacar a estrutura básica comum entre os problemas de corte e os problemas de empacotamento, promoveu a integração dessas duas áreas de pesquisa, vistas até então separadamente. No entanto, a tipologia de Dyckhoff tornou-se limitada para acompanhar o desenvolvimento dos estudos sobre o problema. Motivado pela constatação das limitações da tipologia de Dyckhoff (1990) e pelo crescente número de publicações sobre PCE, principalmente nas últimas duas décadas, Wäscher et al. (2006) desenvolveram uma nova tipologia, parcialmente baseada

21 2.2 Tipologia de Dyckhoff 8 na tipologia de Dyckhoff (1990). Atualmente, a tipologia de Wäscher et al. (2006) é utilizada em vários trabalhos, além de ser adotada pelo European Special Interest Group on Cutting and Packing (ESICUP) para fins de classificação de trabalhos. Trata-se de uma classificação mais consistente e abrangente que a de Dyckhoff. Para comprovar essa abrangência e a maior aplicabilidade de sua tipologia, em Wäscher et al. (2006) é apresentada a classificação de diversos trabalhos da literatura, publicados entre 1995 e A nova tipologia introduziu novos critérios de classificação à tipologia de Dyckhoff (1990), definindo, assim, novas categorias de problemas. A tipologia de Wäscher classifica os PCE com base em cinco critérios: 1. Dimensionalidade: os problemas são divididos, segundo esse critério, em problemas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. 2. Tipo de Designação (Alocação): Os problemas, de acordo com este critério, podem ter objetivos de: Maximização da produção (output maximisation): neste caso, os objetos disponíveis não são suficientes para alocar todos os itens, ou seja, não é possível produzir todos os itens. Como o objetivo é maximizar a produção dos itens, serão utilizados todos os objetos. Assim, em geral, tem-se um problema de seleção de itens; Minimização do consumo (input minimisation): neste caso, os objetos disponíveis são suficientes para alocar todos os itens. Assim, é necessário acomodar todos os itens, buscando minimizar o valor dos objetos necessários para o atendimento da demanda, de acordo com a função objetivo adotada, que pode ser, por exemplo, o custo ou a quantidade de material desperdiçado.. Tipo dos Itens: Idênticos; Pouco heterogêneos; Muito heterogêneos. 4. Tipo de Objetos: Um único objeto: com todas dimensões fixas; com uma ou mais dimensões variáveis. Muitos objetos idênticos; pouco heterogêneos; muito heterogêneos. 5. Forma dos Itens: regulares; irregulares.

22 Tipo de Atribuição Objetos Tipo de Itens Idênticos Problema de Empacotamento de Itens Idênticos Maximização da Saída Todas dimensões fixas Fracamente Heterogêneos Problema de Alocação Fortemente Heterogêneos Problema da Mochila Problema de Corte e Empacotamento Dimensão(ões) variáveis Arbitrário Open Dimensional Problem Minimização da Entrada Todas dimensões fixas Fracamente Heterogêneos Problema de Corte e Estoque Fortemente Heterogêneos Problema de Empacotamento 2.2 Tipologia de Dyckhoff 9 Figura 2.4: Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento.

23 2.2 Tipologia de Dyckhoff 10 A partir do objetivo do problema e dos critérios apresentados acima, a classificação de um PCE, de acordo com a tipologia de Wäscher et al. (2006), é realizada da seguinte maneira: Os critérios tipo de designação e tipo de itens são combinados, definindo assim a estrutura básica do PCE. A estrutura básica dos PCE é apresentada na Fig Em seguida, o critério tipo de objetos é combinado ao problema básico, formando assim a estrutura intermediária. Na Fig. 2.5, é apresentada a estrutura intermediária para os problemas que possuem como objetivo geral a minimização da entrada. Este é o foco deste trabalho. Estão destacados nessa figura os problemas a serem tratados neste trabalho. Tipo de Objetos Tipo de Itens Pouco Heterogêneos Muito Heterogêneos Idênticos Single Stock Size Cutting Stock Problem (SSSCSP) Single Bin Size Bin Stock Problem (SBSBSP) Todas Dimensões Fixas Pouco Heterogêneo Mutiple Stock Size Cutting Stock Problem (MSSCSP) Mutiple Bin Size Bin Stock Problem (MBSBSP) Muito Heterogêneo Residual Cutting Stock Problem (MSSCSP) Residual Bin Stock Problem (MBSBSP) Um único objeto com uma dimensão variável Open Dimensional Problem ODP Figura 2.5: Estrutura Intermediária dos PCE - Minimização do consumo Por fim, são adicionados os critérios dimensionalidade e forma dos itens à estrutura intermediária do problema, sendo definida, assim, a classe do mesmo. O resultado final da estrutura proposta por Wäscher et al. (2006), portanto, é dado pela seguinte regra: {1,2,}-D {retangular, circular,..., irregular} {classificação intermediária}. Nos termos da classificação de Wäscher, neste trabalho são estudados os problemas de corte classificados como: 2D - (Rectangular) Open Dimensional Problem - ODP: Problema de corte bidimensional (retangular) com uma dimensão aberta; 2D - (Rectangular) Single Stock Size Cutting Stock Problem - SSSCSP: Problema de corte de estoque bidimensional (retangular), com um único tipo de objeto em estoque.

24 2. Problemas de Corte Bidimensional 11 Neste trabalho, denota-se o Problema de Corte Bidimensional com Dimensão Aberta apenas por PCDA, e o Problema do Corte de Estoque por PCEB. O PCDA e o PCEB possuem as seguintes características em comum: São problemas bidimensionais (com objetos e itens retangulares); Os objetos disponíveis são suficientes para alocar todos os itens (minimização da entrada); Tratam de itens muito heterogêneos. As características que diferenciam os dois problemas são: Número de objetos: no PCDA, é utilizado um único objeto para cortar todos os itens, ao passo que, no PCEB, são utilizados vários objetos idênticos para atender à demanda dos itens. Número de dimensões fixas: no PCDA, uma dimensão é fixa e a outra é considerada infinita. No PCEB, as duas dimensões são fixas. As características gerais dos problemas de corte bidimensional são discutidas na próxima seção. 2. Problemas de Corte Bidimensional O problema do corte bidimensional aparece quando, no processo de corte, os objetos em estoque e os itens a serem produzidos possuem duas dimensões relevantes. Este problema é bastante comum em indústrias que utilizam como matéria-prima placas de vidro, aço, papel, plástico, couro, tecidos, madeira, dentre outros produtos. A combinação dos itens dentro do objeto é chamada de padrão de corte. Os padrões de corte, no caso bidimensional, devem obedecer a diversas restrições físicas impostas pelo tipo de material (por exemplo, no caso da madeira, quando é necessário o corte ao longo de suas fibras) e aos equipamento de corte (por exemplo, quando há limitação no número de facas). Essas restrições têm que estar presentes nos algoritmos desenvolvidos para solucioná-los. As características mais relevantes e presentes na literatura para problemas de corte bidimensionais são descritas a seguir. Tipo de corte Em muitos casos, o equipamento de corte opera somente de forma paralela aos lados do objeto e sempre corta o material de um lado ao outro. Este tipo de corte é conhecido como corte guilhotinado. Nesse tipo de corte, a cada corte são gerados, sempre, dois retângulos, como pode ser visto pela Fig.2.6(a). No caso contrário, ou seja, quando o corte descaracteriza o objeto (o corte contorna o item), o corte é dito não-guilhotinado, como na Fig.2.6(b)). Neste trabalho, para os dois problemas, consideram-se cortes guilhotinados.

25 2. Problemas de Corte Bidimensional 12 1º 2º 4º 2º º (a) º º (b) Figura 2.6: Tipos de corte: (a)guilhotinado, (b)não-guilhotinado. Estágios de corte Como pode ser visto na Fig.2.6, no corte do tipo guilhotina ocorrem mudanças ortogonais na direção do corte. Cada uma dessas mudanças, ou seja, cada sequência de cortes, feitos na mesma direção, é chamada de estágio de corte. A Fig.2.6(a) mostra o exemplo de um corte em 4 estágios. Em muitos processos de corte, o número estágios, deve ser limitado. Os cortes guilhotinados, com estágios limitados, são muito comuns na indústria, devido ao intenso uso de guilhotinas. Neste trabalho, para os dois problemas de corte, são considerados cortes feitos em 2 estágios (ou seja, é necessária apenas uma mudança na direção de corte). Rotação dos itens Em algumas indústrias, o material dos objetos possui uma característica que determina a orientação do corte (fibras de madeira, estampas em tecidos, etc). Quando os itens não podem ser rotacionados, diz-se que os itens têm orientação fixa e, caso contrário, diz-se que os itens têm rotação permitida. Considere objetos com dimensões L W e itens i de dimensões l i h i. No caso de rotação permitida dos itens, se o problema original tem n itens, o problema da geração de padrões de corte passa a ter, no máximo, o dobro do número de itens (2n), pois os itens tais que h i > L ou l i > H não podem ser incluídos no padrão de corte depois de rotacionados. A rotação dos itens pode permitir um melhor aproveitamento da matéria-prima, como pode ser visto pela Fig Quantidade de itens por padrão Em problemas nos quais são usados mais de um objeto, pode haver uma limitação na quantidade de vezes que um determinado item pode ser cortado a partir de um objeto. Nesse caso, trata-se de um problema restrito. Caso contrário, tem-se um problema irrestrito. Neste trabalho, ambos os problemas são considerados irrestritos.

26 2.4 Problemas de Corte Bidimensional h 1 1 h l 1 l Itens não-rotacionados Item 2 rotacionado Figura 2.7: Exemplo de itens com orientação fixa e rotacionados. Objetivos Os objetivos relacionados aos problemas de corte podem envolver os itens, o objeto, os padrões, ou ainda o processo de alocação. Exemplos de critérios de otimização são: Minimização da quantidade de objetos utilizados; Minimização do custo dos objetos utilizados (neste caso, cada objeto deve ter um custo associado); Minimização do desperdício (perda) nos padrões; Maximização do valor dos itens produzidos. Apesar desses exemplos serem os mais tratados, existem outros objetivos considerados, como a minimização do número de pilhas abertas (uma pilha é aberta quando se inicia a produção (corte) de um determinado item, sendo fechada apenas quando sua demanda é totalmente produzida) e a minimização do número de trocas de padrões (que geralmente implicam em perda de tempo de produção (setup)). Outros trabalhos ainda consideram mais de um objetivo. Um exemplo é o trabalho de Pileggi et al. (2006), no qual os autores buscaram minimizar, de forma integrada, a perda de material e o número de pilhas abertas, considerando o compromisso entre os objetivos. Outro exemplo é o trabalho de Golfeto et al. (2007), que desenvolveu um algoritmo genético simbiótico para o problema de corte unidimensional multiobjetivo (minimização da perda de material e tempo de preparação da máquina de corte (setup)). Nesta dissertação, são desenvolvidos algoritmos para solucionar problemas de corte com os seguintes objetivos: Para o PCDA: minimização da utilização do objeto; Para o PCEB: minimização da perda de material e minimização do número de padrões distintos. A seguir serão apresentados, para cada um dos problemas tratados neste trabalho, sua definição, caracterização e formulação matemática.

27 2.4 Problema de Corte com Dimensão Aberta Problema de Corte com Dimensão Aberta Definição O PCDA é um problema que trata do corte em objetos com dimensões variáveis, sendo, portanto, definido para itens e objetos com duas ou mais dimensões. Além disso, usualmente este problema trata do corte de um único objeto. Conforme dito no Capítulo 1, neste trabalho é tratado o PCDA bidimensional, com o objeto e os itens retangulares. Considerando estas características, o PCDA pode ser enunciado como na Definição 1 a seguir. Definição 1 Dado um objeto com o comprimento (L) fixo e altura (H) grande o bastante para cortar todos itens, o PCDA consiste em determinar sobre ele o arranjo de um conjunto de itens (l i h i ) que minimize a altura utilizada. A Fig. 2.8 ilustra o PCDA conforme definido. Este problema ocorre, por exemplo, em fábricas de papel, ou de tecidos, onde grandes rolos devem ser cortados. A largura destes rolos geralmente é bem definida, mas sua altura pode ser considerada infinita, pois é muito maior que a altura necessária para cortar todos os itens demandados. O PCDA também é muito comum na indústria de polímeros e na metalurgia. Conforme dito na seção 2., o PCDA tratado neste trabalho considera que os cortes são guilhotinados em 2-estágios e que os itens possuem orientação fixa. Altura utilizada h i l i Figura 2.8: Problema de corte com dimensão aberta L Revisão Bibliográfica O PCDA é bastante estudado, devido ao grande interesse teórico e prático despertados por esse problema. O PCDA é encontrado na literatura, principalmente, com o nome de (Rectangular) Strip Packing Problem ou Two-Dimensional Strip Packing Problem, conforme pode ser visto em Hopper e Turton (2001b), Martello et al. (200) e Yeung e Tang (2004). Outro nome foi dado por Jakobs (1996), Hopper

28 2.4 Formulação Matemática 15 e Turton (2001a) e Martello et al. (200), que o denominam de Orthogonal Rectangular Strip Packing Problem, enquanto Lodi et al. (2004) denominam o problema de Level Packing Problem. Diversos autores já mostraram que o PCDA pertence à classe dos problemas NP-Difíceis (Hochbaum e Wolfgang, 1985), (Leung et al., 1990). Esse fato, aliado ao enorme número de aplicações práticas do problema, como, por exemplo, no corte de bobinas de papel (Maculan, 1988), de tecido (Richter, 1992), de bobinas de alumínio (Helmberg, 1995), dentre outras, são as principais motivações para que vários trabalhos na literatura tenham seu foco em técnicas para resolvê-lo. Dentre os trabalhos que solucionam o PCDA de forma exata, podemos citar Hifi (1998), que apresenta um método para o PCDA guilhotinado e com rotações ortogonais, baseado em um procedimento branch-and-bound, que soluciona problemas de pequeno porte. Lesh et al. (2004) também apresenta um método baseado em branch-and-bound para o PCDA sem perdas, para problemas com até 0 itens. No entanto, os métodos exatos não se mostraram capazes de solucionar problemas de grande porte, sendo estimulada, assim, a utilização de métodos heurísticos. A maioria dos trabalhos que propõem uma solução heurística para o PCDA utilizam algoritmos evolutivos, em especial algoritmos baseados em Algoritmos Genéticos (AG). Dentre eles, podemos citar Yeung e Tang (2004), que tratam um PCDA não-guilhotinado através de uma heurística de encaixe de itens, que transforma o PCDA em um simples problema de permutação, que, então é solucionado pelo AG. Métodos baseados em AG também são apresentados em Kroger (1995), Liu e Teng (1999) e Yeung e Tang (2004). Uma revisão sobre a utilização de AG na resolução do PCDA é feita em Kroger (1995). Neste trabalho, para representar o PCDA, foi utilizado o modelo de programação linear inteira proposto por Lodi et al. (2004), apresentado a seguir Formulação Matemática O modelo de Lodi et al. (2004) trata do PCDA guilhotinado, de forma que os itens alocados no objeto formam faixas ou níveis (com altura corresponde à altura do item mais alto da faixa), conforme indicado na Fig.2.9. Assim, minimizar a perda de material corresponde, nesta formulação, à minimização da soma das alturas das faixas. 2ª Faixa 1ª Faixa Figura 2.9: Faixas no PCDA.

29 2.4 Formulação Matemática 16 As seguintes observações acerca do modelo são feitas no trabalho de Lodi et al. (2004): (i) Os itens são previamente ordenados de forma decrescente com relação à altura; (ii) Em cada faixa, o item mais à esquerda é o mais alto; (iii) A primeira faixa é a faixa mais alta. Sejam, então, os seguintes dados de um PCDA: - L: comprimento do objeto; - l i : comprimento do item, para i = 1,..., n. - h i : altura do item, para i = 1,...,n; Sendo n o número de faixas formadas para alocar todos os itens demandados, pode-se definir a seguinte variável de decisão: y i : é uma variável binária que assume valor 1 se o item i inicializa a faixa i e assume valor 0 caso contrário. Deve-se observar que, devido à observações (i) e (iii), somente os itens j, tais que j > i, podem ser alocados na faixa iniciada pelo item i. Essa condição se deve ao fato de que, se um item j, tal que j = i, inicializa a faixa i, não pode ser atribuído novamente a essa faixa. Assim sendo, uma segunda variável de decisão é dada por: x ij : variável binária, que assume valor 1 se o item j estiver alocado na faixa i e assume valor 0 caso contrário,j > i. O modelo de Programação Linear Inteira, segundo Lodi et al. (2004), é apresentado a seguir: min f = n h i y i (2.1) i=1 sujeito a j 1 x ij + y j = 1, (j = 1,...,n); (2.2) n i=1 j=i+1 l j x ij (L l i )y i, (i = 1,...,n); (2.) x ij, y i {0, 1}, i, j (2.4) A função objetivo, representada pela expressão (2.1), tem, como critério de otimização, a minimização da altura utilizada do objeto. A restrição (2.2) garante que cada item é alocado apenas uma vez, ou seja, ou o item inicializa a faixa ou está

30 2.5 Problemas de Corte de Estoque Multiobjetivo 17 numa faixa inicializada por outro item. A restrição (2.) garante que, em cada faixa, o comprimento L do objeto não será ultrapassada. A restrição (2.4) define o tipo das variáveis do problema. Ressalta-se que o modelo de Lodi et al. (2004) trata do PCDA restrito, enquanto o presente trabalho considera o caso irrestrito. O modelo de Lodi et al. (2004) é restrito, pois considera que todos os itens são de tipos diferentes, mesmo que tenham as mesmas dimensões, ou seja, mesmo que sejam itens idênticos. Neste trabalho, apesar de se considerar que os métodos propostos são aplicavéis a problemas irrestritos, utilizou-se, para validar tais métodos, o modelo de Lodi et al. (2004). Isso pode ser feito, sem maiores problemas, porque é possível solucionar um problema irrestrito utilizando o modelo de Lodi et al. (2004). Para isso, basta considerar os itens com uma demanda d, tal que d > 1, com d itens com demanda igual a 1. Assim, tranforma-se um problema irrestrito em um problema restrito. O capítulo 4 apresenta a metodologia utilizada para a resolução do PCDA. 2.5 Problema de Corte de Estoque Multiobjetivo Caracterização do Problema Os problemas de corte de estoque bidimensionais (PCEB) consistem, de um modo geral, em determinar a melhor maneira de se cortar objetos em estoque, com dimensões L H, de forma a produzir um conjunto de itens com uma demanda d i, de dimensões l i h i, e otimizar uma função objeto de interesse, como, por exemplo, minimizar a perda de material. Neste trabalho, considera-se o comprimento (L) como a dimensão horizontal e a altura (H) como a dimensão vertical. A Fig mostra um exemplo de problema de corte de estoque bidimensional. Objetos em estoque Itens demandados H h i L Cl i Figura 2.10: Problema de corte de estoque bidimensional. Para introduzir a formulação do problema de corte de estoque aqui tratado, é necessário definir formalmente um padrão de corte. Definição 2 Cada arranjo geométrico dos itens dentro do objeto é chamado de padrão de corte.