LGN BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS

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1 LGN BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS AULA 3: MAPAS GENÉTICOS II Antonio Augusto Franco Garcia Roland Vencovsky Departmento de Genética ESALQ/USP 007

2 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

3 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

4 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

5 DELINEAMENTOS GENÉTICOS

6 RC Função de verossimilhança para r no RC1: ( 1 r L(r) = ) n1 ( r ) n ( r.. ) n3. ( 1 r ) n4 Estimador de máxima verossimilhança para r: ˆr = n + n 3 n 1 + n + n 3 + n 4 = n R n R + n NR r (fração de recombinação): Probabilidade de ocorrer uma recombinação num dado intervalo entre locos

7 RC Função de verossimilhança para r no RC1: ( 1 r L(r) = ) n1 ( r ) n ( r.. ) n3. ( 1 r ) n4 Estimador de máxima verossimilhança para r: ˆr = n + n 3 n 1 + n + n 3 + n 4 = n R n R + n NR r (fração de recombinação): Probabilidade de ocorrer uma recombinação num dado intervalo entre locos

8 RC Função de verossimilhança para r no RC1: ( 1 r L(r) = ) n1 ( r ) n ( r.. ) n3. ( 1 r ) n4 Estimador de máxima verossimilhança para r: ˆr = n + n 3 n 1 + n + n 3 + n 4 = n R n R + n NR r (fração de recombinação): Probabilidade de ocorrer uma recombinação num dado intervalo entre locos

9 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar valores da verossimilhança considerando diferentes valores dos parâmetros θ: valor do parâmetro sob H 0 ˆθ: valor do parâmetro sob H 1 Estatística razão de verossimilhanças: LRT = log L(θ) = [l(θ) l(ˆθ)] L(ˆθ) LOD (log of the odds): LOD = log 10 L(ˆθ) L(θ)

10 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar valores da verossimilhança considerando diferentes valores dos parâmetros θ: valor do parâmetro sob H 0 ˆθ: valor do parâmetro sob H 1 Estatística razão de verossimilhanças: LRT = log L(θ) = [l(θ) l(ˆθ)] L(ˆθ) LOD (log of the odds): LOD = log 10 L(ˆθ) L(θ)

11 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar valores da verossimilhança considerando diferentes valores dos parâmetros θ: valor do parâmetro sob H 0 ˆθ: valor do parâmetro sob H 1 Estatística razão de verossimilhanças: LRT = log L(θ) = [l(θ) l(ˆθ)] L(ˆθ) LOD (log of the odds): LOD = log 10 L(ˆθ) L(θ)

12 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar valores da verossimilhança considerando diferentes valores dos parâmetros θ: valor do parâmetro sob H 0 ˆθ: valor do parâmetro sob H 1 Estatística razão de verossimilhanças: LRT = log L(θ) = [l(θ) l(ˆθ)] L(ˆθ) LOD (log of the odds): LOD = log 10 L(ˆθ) L(θ)

13 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar valores da verossimilhança considerando diferentes valores dos parâmetros θ: valor do parâmetro sob H 0 ˆθ: valor do parâmetro sob H 1 Estatística razão de verossimilhanças: LRT = log L(θ) = [l(θ) l(ˆθ)] L(ˆθ) LOD (log of the odds): LOD = log 10 L(ˆθ) L(θ)

14 RC EXEMPLO Uso de um Sistema Algébrico Computacional (MAXIMA)

15 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

16 POPULAÇÃO F Genótipo Código freq. esp. (p i ) freq. obs. (f i ) AB AB AB Ab 1 Ab (1 r) 4 n 1 r(1 r) n Ab 0 r 4 n 3 AB ab 1 Ab r(1 r) n 4 ab 11 r n 5 AB ab 11 Ab ab 10 ab (1 r) n 5 r(1 r) n 6 ab 0 r 4 n 7 ab ab 01 ab ab 00 r(1 r) n 8 (1 r) 4 n 9

17 F Função de verossimilhança para r: L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ ] (1 r) n r Estimador de máxima verossimilhança para r: Uso do MAXIMA

18 F Função de verossimilhança para r: L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ ] (1 r) n r Estimador de máxima verossimilhança para r: Uso do MAXIMA

19 F Função de verossimilhança para r: L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ ] (1 r) n r Estimador de máxima verossimilhança para r: Uso do MAXIMA Maxima encountered a Lisp error: Error in PROGN [or a callee]: The storage for CONS is exhausted. Currently, 4873 pages are allocated. Use ALLOCATE to expand the space.

20 MÉTODOS NUMÉRICOS Em várias situações, não é possível obter formas explicítas para os MLE s Nesses casos, é comum a utilização de métodos numéricos (algoritmos) Um algoritmo muito usado é o algoritmo EM E: Expectation; M: Maximization (Esperança e Maximização)

21 MÉTODOS NUMÉRICOS Em várias situações, não é possível obter formas explicítas para os MLE s Nesses casos, é comum a utilização de métodos numéricos (algoritmos) Um algoritmo muito usado é o algoritmo EM E: Expectation; M: Maximization (Esperança e Maximização)

22 MÉTODOS NUMÉRICOS Em várias situações, não é possível obter formas explicítas para os MLE s Nesses casos, é comum a utilização de métodos numéricos (algoritmos) Um algoritmo muito usado é o algoritmo EM E: Expectation; M: Maximization (Esperança e Maximização)

23 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

24 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

25 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

26 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

27 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

28 ALGORITMO EM EM: método iterativo para obter estimativas de máxima verossimilhança Muito usado em análises de mapeamento genético Mostrou-se muito poderoso na prática, principalmente quando as observações possuem dados incompletos quanto à informação EXEMPLOS 1 Numa população F, não é possível separar as classes Ab/aB e AB/ab Para marcadores dominantes, AA = Aa 3 No mapeamento de QTL s, não é possível separar QQ, Qq e qq, já que os genótipos dos QTL s não são observáveis

29 ALGORITMO EM O EM faz uma clara distinção entre os dados observados (Y ), que são incompletos, e os dados completos (X), não observáveis Alguma função t(x) = Y associa X e Y Idéia básica: tomar X tal que a obtenção de estimativas de máxima verossimilhança torne-se trivial para os dados completos

30 ALGORITMO EM O EM faz uma clara distinção entre os dados observados (Y ), que são incompletos, e os dados completos (X), não observáveis Alguma função t(x) = Y associa X e Y Idéia básica: tomar X tal que a obtenção de estimativas de máxima verossimilhança torne-se trivial para os dados completos

31 ALGORITMO EM O EM faz uma clara distinção entre os dados observados (Y ), que são incompletos, e os dados completos (X), não observáveis Alguma função t(x) = Y associa X e Y Idéia básica: tomar X tal que a obtenção de estimativas de máxima verossimilhança torne-se trivial para os dados completos

32 ALGORITMO EM Assume-se que os dados completos tenham função de densidade f(x/θ) Passo E: calcula-se a esperança condicional Q(θ/θ n ) = E [log f(x/θ) Y, θ n ] (θ n é o valor estimado atual de θ) Passo M: maximiza-se Q(θ/θ n ) com respeito à θ, fornecendo uma nova estimativa para θ n (denominada θ n+1 ) Os dois passos são repetidos até haver convergência

33 ALGORITMO EM Assume-se que os dados completos tenham função de densidade f(x/θ) Passo E: calcula-se a esperança condicional Q(θ/θ n ) = E [log f(x/θ) Y, θ n ] (θ n é o valor estimado atual de θ) Passo M: maximiza-se Q(θ/θ n ) com respeito à θ, fornecendo uma nova estimativa para θ n (denominada θ n+1 ) Os dois passos são repetidos até haver convergência

34 ALGORITMO EM Assume-se que os dados completos tenham função de densidade f(x/θ) Passo E: calcula-se a esperança condicional Q(θ/θ n ) = E [log f(x/θ) Y, θ n ] (θ n é o valor estimado atual de θ) Passo M: maximiza-se Q(θ/θ n ) com respeito à θ, fornecendo uma nova estimativa para θ n (denominada θ n+1 ) Os dois passos são repetidos até haver convergência

35 ALGORITMO EM Assume-se que os dados completos tenham função de densidade f(x/θ) Passo E: calcula-se a esperança condicional Q(θ/θ n ) = E [log f(x/θ) Y, θ n ] (θ n é o valor estimado atual de θ) Passo M: maximiza-se Q(θ/θ n ) com respeito à θ, fornecendo uma nova estimativa para θ n (denominada θ n+1 ) Os dois passos são repetidos até haver convergência

36 ALGORITMO EM Maximizando-se Q(θ/θ n ), há aumento em log g(y/θ) (verossimilhança dos dados observados) No passo E, estimam-se as estatísticas para os dados completos, condicionados aos dados incompletos observados No passo M, os dados completos estimados são usados para obter as estimativas de máxima verossimilhança

37 ALGORITMO EM Maximizando-se Q(θ/θ n ), há aumento em log g(y/θ) (verossimilhança dos dados observados) No passo E, estimam-se as estatísticas para os dados completos, condicionados aos dados incompletos observados No passo M, os dados completos estimados são usados para obter as estimativas de máxima verossimilhança

38 ALGORITMO EM Maximizando-se Q(θ/θ n ), há aumento em log g(y/θ) (verossimilhança dos dados observados) No passo E, estimam-se as estatísticas para os dados completos, condicionados aos dados incompletos observados No passo M, os dados completos estimados são usados para obter as estimativas de máxima verossimilhança

39 ESTIMANDO r NUM F Vimos que f(x/θ) = L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ (1 r) r Logo, log f(x/θ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + n 51 log (1 r) + n 5 log r + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 E portanto E [log f(x/θ)] = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) E(n 51 ) + log r E(n 5) + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 ] n5

40 ESTIMANDO r NUM F Vimos que f(x/θ) = L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ (1 r) r Logo, log f(x/θ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + n 51 log (1 r) + n 5 log r + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 E portanto E [log f(x/θ)] = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) E(n 51 ) + log r E(n 5) + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 ] n5

41 ESTIMANDO r NUM F Vimos que f(x/θ) = L(r) = [ ] (1 r) n1 +n 9 [ ] n +n r(1 r) 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ (1 r) r Logo, log f(x/θ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + n 51 log (1 r) + n 5 log r + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 E portanto E [log f(x/θ)] = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) E(n 51 ) + log r E(n 5) + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 ] n5

42 ESTIMANDO r NUM F Note que a Esperança foi calculada em relação à n 51 e n 5 que, se fossem conhecidos, tornariam o problema bem mais simples (essa é a idéia do EM!) n 51 e n 5 : podem ser modelados usando a distribuição binomial Lembrete: X B(n, p), E(X) = np P (n 51 ) = (1 r) (1 r) + r E(n 51 ) = n 5 (1 q); E(n 5 ) = n 5 q = 1 q; P (n 5 ) = r (1 r) + r = q

43 ESTIMANDO r NUM F Note que a Esperança foi calculada em relação à n 51 e n 5 que, se fossem conhecidos, tornariam o problema bem mais simples (essa é a idéia do EM!) n 51 e n 5 : podem ser modelados usando a distribuição binomial Lembrete: X B(n, p), E(X) = np P (n 51 ) = (1 r) (1 r) + r E(n 51 ) = n 5 (1 q); E(n 5 ) = n 5 q = 1 q; P (n 5 ) = r (1 r) + r = q

44 ESTIMANDO r NUM F Note que a Esperança foi calculada em relação à n 51 e n 5 que, se fossem conhecidos, tornariam o problema bem mais simples (essa é a idéia do EM!) n 51 e n 5 : podem ser modelados usando a distribuição binomial Lembrete: X B(n, p), E(X) = np P (n 51 ) = (1 r) (1 r) + r E(n 51 ) = n 5 (1 q); E(n 5 ) = n 5 q = 1 q; P (n 5 ) = r (1 r) + r = q

45 ESTIMANDO r NUM F Note que a Esperança foi calculada em relação à n 51 e n 5 que, se fossem conhecidos, tornariam o problema bem mais simples (essa é a idéia do EM!) n 51 e n 5 : podem ser modelados usando a distribuição binomial Lembrete: X B(n, p), E(X) = np P (n 51 ) = (1 r) (1 r) + r E(n 51 ) = n 5 (1 q); E(n 5 ) = n 5 q = 1 q; P (n 5 ) = r (1 r) + r = q

46 ESTIMANDO r NUM F Note que a Esperança foi calculada em relação à n 51 e n 5 que, se fossem conhecidos, tornariam o problema bem mais simples (essa é a idéia do EM!) n 51 e n 5 : podem ser modelados usando a distribuição binomial Lembrete: X B(n, p), E(X) = np P (n 51 ) = (1 r) (1 r) + r E(n 51 ) = n 5 (1 q); E(n 5 ) = n 5 q = 1 q; P (n 5 ) = r (1 r) + r = q

47 ESTIMANDO r NUM F Finalmente, Q(θ/θ n ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) n 5 (1 q) + log r n 5q + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 Agora é possível derivar e encontrar o ponto de máximo Com ajuda do MAXIMA: ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n

48 ESTIMANDO r NUM F Finalmente, Q(θ/θ n ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) n 5 (1 q) + log r n 5q + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 Agora é possível derivar e encontrar o ponto de máximo Com ajuda do MAXIMA: ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n

49 ESTIMANDO r NUM F Finalmente, Q(θ/θ n ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) n 5 (1 q) + log r n 5q + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 Agora é possível derivar e encontrar o ponto de máximo Com ajuda do MAXIMA: ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n

50 ESTIMANDO r NUM F Finalmente, Q(θ/θ n ) = n 1 log (1 r) 4 + n log r(1 r) + n 3 log r 4 + n 4 log r(1 r) + log (1 r) n 5 (1 q) + log r n 5q + n 6 log r(1 r) + n 7 log r 4 + n 8 log r(1 r) + n 9 log (1 r) 4 Agora é possível derivar e encontrar o ponto de máximo Com ajuda do MAXIMA: ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n

51 USO DO EM PARA ESTIMAR r NUM F Passo E: dado um valor inicial (chute) para r, obtém-se q = r (1 r) + r Passo M: usando esse valor de q, r é estimado novamente ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n O processo é repetido até a convergência

52 USO DO EM PARA ESTIMAR r NUM F Passo E: dado um valor inicial (chute) para r, obtém-se q = r (1 r) + r Passo M: usando esse valor de q, r é estimado novamente ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n O processo é repetido até a convergência

53 USO DO EM PARA ESTIMAR r NUM F Passo E: dado um valor inicial (chute) para r, obtém-se q = r (1 r) + r Passo M: usando esse valor de q, r é estimado novamente ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n O processo é repetido até a convergência

54 USO DO EM EXEMPLO - MAIZE DATA Obtenhar ˆr entre M 1 e M usando o algoritmo EM

55 USO DO EM EXEMPLO - MAIZE DATA Usando o R Uso do EM F o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Fração de Recomb o o o r.est= Iteração

56 FORMA GERAL PARA ˆr USANDO O EM Liu (1998): Vimos que ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n Forma geral: ˆr = 1 f i P i (R/G) n i P i (R/G): prob. de um dado genótipo possuir um gameta recombinante Essa última expressão pode ser usado com combinações de marcadores, p. ex., dominante e co-dominante, etc.

57 FORMA GERAL PARA ˆr USANDO O EM Liu (1998): Vimos que ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n Forma geral: ˆr = 1 f i P i (R/G) n i P i (R/G): prob. de um dado genótipo possuir um gameta recombinante Essa última expressão pode ser usado com combinações de marcadores, p. ex., dominante e co-dominante, etc.

58 FORMA GERAL PARA ˆr USANDO O EM Liu (1998): Vimos que ˆr = (n + n 4 + n 6 + n 8 ) + (n 3 + n 7 + qn 5 ) n Forma geral: ˆr = 1 f i P i (R/G) n i P i (R/G): prob. de um dado genótipo possuir um gameta recombinante Essa última expressão pode ser usado com combinações de marcadores, p. ex., dominante e co-dominante, etc.

59 FORMA GERAL - F Genótipo freq. esp. (p i ) freq. obs. (f i ) P i (R/G) AB AB AB Ab 1 Ab AB ab 1 (1 r) 4 n 1 0 r(1 r) n 1/ Ab 0 r 4 n 3 1 r(1 r) n 4 1/ Ab r ab 11 (1)r n / 5 r /+(1 r) / = q AB ab 11 Ab ab 10 ab (1 r) n 5 r(1 r) n 6 1/ ab 0 r 4 n 7 1 ab ab 01 ab ab 00 r(1 r) n 8 1/ (1 r) 4 n 9 0

60 FORMA GERAL - L(r) Vimos que L(r) = [ (1 r) 4 ] n1 +n 9 [ r(1 r) ] n +n 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ ] (1 r) n5 4 + r Forma geral: L(r) = i p f i i

61 FORMA GERAL - L(r) Vimos que L(r) = [ (1 r) 4 ] n1 +n 9 [ r(1 r) ] n +n 4 +n 6 +n 8 [ ] r n3 +n 7 [ ] (1 r) n5 4 + r Forma geral: L(r) = i p f i i

62 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

63 GRUPOS DE LIGAÇÃO Biologicamente: grupos de genes no mesmo cromossomo Estatisticamente: grupos de locos que segregam conjuntamente Critérios: Para um par de locos i e j, sejam r ij : estimativa de dois pontos de r p ij : p-valor relativo à H 0 : r ij = 1/ z ij : LOD Score

64 GRUPOS DE LIGAÇÃO Biologicamente: grupos de genes no mesmo cromossomo Estatisticamente: grupos de locos que segregam conjuntamente Critérios: Para um par de locos i e j, sejam r ij : estimativa de dois pontos de r p ij : p-valor relativo à H 0 : r ij = 1/ z ij : LOD Score

65 GRUPOS DE LIGAÇÃO Biologicamente: grupos de genes no mesmo cromossomo Estatisticamente: grupos de locos que segregam conjuntamente Critérios: Para um par de locos i e j, sejam r ij : estimativa de dois pontos de r p ij : p-valor relativo à H 0 : r ij = 1/ z ij : LOD Score

66 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

67 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

68 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

69 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

70 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

71 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

72 FORMAÇÃO DOS GRUPOS Usualmente: OU Se [r ij c e p ij b], i e j pertencem ao mesmo grupo Se [r ij c e z ij a], i e j pertencem ao mesmo grupo c: máx. fração recomb. para declarar ligação b: máx. valor do p-valor para declarar ligação a: mín. valor do LOD para declarar ligação a, b e c: atribuídos pelo usuário Usual: c = 0.5 e a = 3 (como saber se estão corretos?) Uso da propriedade transitiva

73 LIGAÇÃO EXEMPLO - MAIZE DATA Há evidências de que os marcadores M 1 e M estejam no mesmo grupo de ligação?

74 LIGAÇÃO EXEMPLO - MAIZE DATA Há evidências de que os marcadores M 1 e M estejam no mesmo grupo de ligação? Sim, já que ˆr = 0, 3074; LRT = 7, 974; p = 8, e LOD = 6, 07

75 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

76 INTRODUÇÃO Sturtevant (1913): ordenação é um processo de minimizar o número de crossing-over Princípio: locos mais próximos possuem menor probabilidade de ocorrência de c.o. As estatísticas usadas para avaliar ordens são extensões das empregadas nos testes de três pontos

77 INTRODUÇÃO Sturtevant (1913): ordenação é um processo de minimizar o número de crossing-over Princípio: locos mais próximos possuem menor probabilidade de ocorrência de c.o. As estatísticas usadas para avaliar ordens são extensões das empregadas nos testes de três pontos

78 INTRODUÇÃO Sturtevant (1913): ordenação é um processo de minimizar o número de crossing-over Princípio: locos mais próximos possuem menor probabilidade de ocorrência de c.o. As estatísticas usadas para avaliar ordens são extensões das empregadas nos testes de três pontos

79 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

80 TESTE DE TRÊS PONTOS EXEMPLO ˆr AB = 0, 10 ˆr AC = 0, ˆr BC = 0, 30 Qual a ordem dos locos? Difícil de generalizar e implementar. Não há garantia de obter a melhor ordem.

81 TESTE DE TRÊS PONTOS EXEMPLO ˆr AB = 0, 10 ˆr AC = 0, ˆr BC = 0, 30 Qual a ordem dos locos? Difícil de generalizar e implementar. Não há garantia de obter a melhor ordem.

82 TESTE DE TRÊS PONTOS EXEMPLO ˆr AB = 0, 10 ˆr AC = 0, ˆr BC = 0, 30 Qual a ordem dos locos? Resp: B-A-C Difícil de generalizar e implementar. Não há garantia de obter a melhor ordem.

83 TESTE DE TRÊS PONTOS EXEMPLO ˆr AB = 0, 10 ˆr AC = 0, ˆr BC = 0, 30 Qual a ordem dos locos? Resp: B-A-C Difícil de generalizar e implementar. Não há garantia de obter a melhor ordem.

84 SARF, PARF, SALOD SARF : Sum of Adjacent Recombination Fraction SARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 P ARF : Product of Adjacent Recombination Fraction P ARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 SALOD: Sum of Adjacent Lod Score SALOD = m 1 i=1 ẑ ai a i+1 OBJETIVO: Menor SARF, menor P ARF, maior SALOD

85 SARF, PARF, SALOD SARF : Sum of Adjacent Recombination Fraction SARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 P ARF : Product of Adjacent Recombination Fraction P ARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 SALOD: Sum of Adjacent Lod Score SALOD = m 1 i=1 ẑ ai a i+1 OBJETIVO: Menor SARF, menor P ARF, maior SALOD

86 SARF, PARF, SALOD SARF : Sum of Adjacent Recombination Fraction SARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 P ARF : Product of Adjacent Recombination Fraction P ARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 SALOD: Sum of Adjacent Lod Score SALOD = m 1 i=1 ẑ ai a i+1 OBJETIVO: Menor SARF, menor P ARF, maior SALOD

87 SARF, PARF, SALOD SARF : Sum of Adjacent Recombination Fraction SARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 P ARF : Product of Adjacent Recombination Fraction P ARF = m 1 i=1 ˆr ai a i+1 SALOD: Sum of Adjacent Lod Score SALOD = m 1 i=1 ẑ ai a i+1 OBJETIVO: Menor SARF, menor P ARF, maior SALOD

88 VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar a verossimilhança das ordens: L(θ) = i p f i i (cuidado, essa fórmula não é multiponto) A ordem com maior verossimilhança é a ordem mais provável para o conjunto de dados Dadas as propriedades estatísticas da verossimilhança, é o melhor critério Principais problemas: 1 Cálculos complexos e demorados Embora forneça valores da verossimilhança, não é claro como esses valores podem ser comparados, já que não há GL s para tanto

89 VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar a verossimilhança das ordens: L(θ) = i p f i i (cuidado, essa fórmula não é multiponto) A ordem com maior verossimilhança é a ordem mais provável para o conjunto de dados Dadas as propriedades estatísticas da verossimilhança, é o melhor critério Principais problemas: 1 Cálculos complexos e demorados Embora forneça valores da verossimilhança, não é claro como esses valores podem ser comparados, já que não há GL s para tanto

90 VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar a verossimilhança das ordens: L(θ) = i p f i i (cuidado, essa fórmula não é multiponto) A ordem com maior verossimilhança é a ordem mais provável para o conjunto de dados Dadas as propriedades estatísticas da verossimilhança, é o melhor critério Principais problemas: 1 Cálculos complexos e demorados Embora forneça valores da verossimilhança, não é claro como esses valores podem ser comparados, já que não há GL s para tanto

91 VEROSSIMILHANÇA Princípio: comparar a verossimilhança das ordens: L(θ) = i p f i i (cuidado, essa fórmula não é multiponto) A ordem com maior verossimilhança é a ordem mais provável para o conjunto de dados Dadas as propriedades estatísticas da verossimilhança, é o melhor critério Principais problemas: 1 Cálculos complexos e demorados Embora forneça valores da verossimilhança, não é claro como esses valores podem ser comparados, já que não há GL s para tanto

92 CONTEÚDO 1 ANÁLISE DE LIGAÇÃO (CONT.) Revisão Teste de Dois Pontos (F ) Grupos de Ligação ORDENAÇÃO DOS LOCOS Fundamentos Estatísticas (Critérios) Algoritmos de Ordenação

93 BUSCA EXAUSTIVA Princípio: comparar todas as ordens possíveis, segundo algum critério (ex: veross.) EXEMPLO - MOUSE DATA (M1, M3 E M14) L ABC (ˆr 1, ˆr ) = 1, L ACB (ˆr 3, ˆr ) = 4, L BAC (ˆr 1, ˆr 3 ) = 6, MAPMAKER/EXP Ordem ABC ACB BAC LOD log 10 1, , = 0 log 10 4, = 35, 61 1, , log = 19, 45 1,

94 BUSCA EXAUSTIVA Princípio: comparar todas as ordens possíveis, segundo algum critério (ex: veross.) EXEMPLO - MOUSE DATA (M1, M3 E M14) L ABC (ˆr 1, ˆr ) = 1, L ACB (ˆr 3, ˆr ) = 4, L BAC (ˆr 1, ˆr 3 ) = 6, MAPMAKER/EXP Ordem ABC ACB BAC LOD log 10 1, , = 0 log 10 4, = 35, 61 1, , log = 19, 45 1,

95 BUSCA EXAUSTIVA Princípio: comparar todas as ordens possíveis, segundo algum critério (ex: veross.) EXEMPLO - MOUSE DATA (M1, M3 E M14) L ABC (ˆr 1, ˆr ) = 1, L ACB (ˆr 3, ˆr ) = 4, L BAC (ˆr 1, ˆr 3 ) = 6, MAPMAKER/EXP Ordem ABC ACB BAC LOD log 10 1, , = 0 log 10 4, = 35, 61 1, , log = 19, 45 1,

96 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Problema: Deve visitar n cidades. Qual a rota mais curta? Solução: somar o caminho total percorrido e escolher a menor rota

97 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Problema: Deve visitar n cidades. Qual a rota mais curta? Solução: somar o caminho total percorrido e escolher a menor rota

98 PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Problema: Com aumento do número de cidades, o processo torna-se inviável, mesmo com supercomputadores EXEMPLO Computador que faz 1 bilhão de somas por segundo Locos Ordens Tempos 5 5!/ Insignificante ,016 seg ,547 horas 0 1, ,4 anos 5 7, ,7 anos

99 PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Problema: Com aumento do número de cidades, o processo torna-se inviável, mesmo com supercomputadores EXEMPLO Computador que faz 1 bilhão de somas por segundo Locos Ordens Tempos 5 5!/ Insignificante ,016 seg ,547 horas 0 1, ,4 anos 5 7, ,7 anos

100 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

101 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

102 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

103 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

104 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

105 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

106 ALGORITMOS ALTERNATIVOS 1 Comando TRY Ordena sub-ordem exaustivamente, e depois testa posição dos marcadores remanescentes, um a um Comando ORDER Idem, mas de forma automática (cuidado!) 3 Comando RIPPLE Verifica possíveis inversões entre marcadores próximos 4 Seriation 5 Rapid Chain Delineation 6 Branch and Bound 7 Simulated Annealing 8...

107 RAPID CHAIN DELINEATION (DOERGE E WEIR, 1996) A partir da matriz de frações de recombinação: 1 Inicie o primeiro grupo de ligação com o par de marcas com o menor ˆr O grupo de ligação é estendido com a adição de marcas remanescentes. Os terminais do grupo de ligação são candidatos à extensão da cadeia. As marcas com os menores ˆr são adicionadas uma a uma (somente ligações significativas). 3 Repetir o passo até que nenhum marcador possa ser adicionado à cadeia. 4 Iniciar o passo 1, com a obtenção de outra cadeia. Repetir os passos e 3. 5 Encerrar o processo quando não restarem marcas remanescentes, ou quando as restantes não estiverem significativamente ligadas a nenhuma outra.

108 RAPID CHAIN DELINEATION (DOERGE E WEIR, 1996) A partir da matriz de frações de recombinação: 1 Inicie o primeiro grupo de ligação com o par de marcas com o menor ˆr O grupo de ligação é estendido com a adição de marcas remanescentes. Os terminais do grupo de ligação são candidatos à extensão da cadeia. As marcas com os menores ˆr são adicionadas uma a uma (somente ligações significativas). 3 Repetir o passo até que nenhum marcador possa ser adicionado à cadeia. 4 Iniciar o passo 1, com a obtenção de outra cadeia. Repetir os passos e 3. 5 Encerrar o processo quando não restarem marcas remanescentes, ou quando as restantes não estiverem significativamente ligadas a nenhuma outra.

109 RAPID CHAIN DELINEATION (DOERGE E WEIR, 1996) A partir da matriz de frações de recombinação: 1 Inicie o primeiro grupo de ligação com o par de marcas com o menor ˆr O grupo de ligação é estendido com a adição de marcas remanescentes. Os terminais do grupo de ligação são candidatos à extensão da cadeia. As marcas com os menores ˆr são adicionadas uma a uma (somente ligações significativas). 3 Repetir o passo até que nenhum marcador possa ser adicionado à cadeia. 4 Iniciar o passo 1, com a obtenção de outra cadeia. Repetir os passos e 3. 5 Encerrar o processo quando não restarem marcas remanescentes, ou quando as restantes não estiverem significativamente ligadas a nenhuma outra.

110 RAPID CHAIN DELINEATION (DOERGE E WEIR, 1996) A partir da matriz de frações de recombinação: 1 Inicie o primeiro grupo de ligação com o par de marcas com o menor ˆr O grupo de ligação é estendido com a adição de marcas remanescentes. Os terminais do grupo de ligação são candidatos à extensão da cadeia. As marcas com os menores ˆr são adicionadas uma a uma (somente ligações significativas). 3 Repetir o passo até que nenhum marcador possa ser adicionado à cadeia. 4 Iniciar o passo 1, com a obtenção de outra cadeia. Repetir os passos e 3. 5 Encerrar o processo quando não restarem marcas remanescentes, ou quando as restantes não estiverem significativamente ligadas a nenhuma outra.

111 RAPID CHAIN DELINEATION (DOERGE E WEIR, 1996) A partir da matriz de frações de recombinação: 1 Inicie o primeiro grupo de ligação com o par de marcas com o menor ˆr O grupo de ligação é estendido com a adição de marcas remanescentes. Os terminais do grupo de ligação são candidatos à extensão da cadeia. As marcas com os menores ˆr são adicionadas uma a uma (somente ligações significativas). 3 Repetir o passo até que nenhum marcador possa ser adicionado à cadeia. 4 Iniciar o passo 1, com a obtenção de outra cadeia. Repetir os passos e 3. 5 Encerrar o processo quando não restarem marcas remanescentes, ou quando as restantes não estiverem significativamente ligadas a nenhuma outra.

112 RAPID CHAIN DELINEATION EXEMPLO Com base na matriz abaixo, ordene os marcadores usando o RCD m 1 m m 3 m 4 m 1 0, 030 0, 035 0, 04 m 0, 100 0, 15 m 3 0, 30 m 4

113 RAPID CHAIN DELINEATION EXEMPLO Com base na matriz abaixo, ordene os marcadores usando o RCD m 1 m m 3 m 4 m 1 0, 030 0, 035 0, 04 m 0, 100 0, 15 m 3 0, 30 m 4 Resp: m3 m1 m m4

114 ANÁLISE DE DADOS EXEMPLO Uso do R para construção de mapas