César Augusto Torres Paitan. Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados

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1 César Augusto Torres Paitan Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Rio de Janeiro Maio de 2013

2 César Augusto Torres Paitan Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Prof. Tácio Mauro Pereira de Campos. Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Dra. Raquel Quadros Velloso. EDTCT - PUC-Rio Prof. Luís Manuel Ribeiro e Sousa. Universidade do Porto Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Janeiro, 20 de maio de 2013

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. César Augusto Torres Paitan Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Nacional de Engenharia UNI de Lima, Peru, em Ingressou no mestrado na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) em 2010, desenvolvendo a dissertação na linha de pesquisa de Geotecnia Ambiental. Ficha Catalográfica Paitan, Torres César Augusto. Modelagem numérica de fluxo em meio fraturados e meios porosos fraturados / César Augusto Torres Paitan; orientador: Eurípides do Amaral Vargas Junior v.,107f.: il.; 29,7 cm. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia civil Teses. 2. Fluxo em meio poroso. 3. Fluxo em meio fraturado. 4. Fluxo em meio poroso fraturado. 5. Geração de fraturas. 6. Método dos elementos finitos. I. Vargas Júnior, Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 A Deus, à minha mãe, e ao meu pai que está no céu.

5 Agradecimentos Ao professor Eurípedes Vargas Jr., pela orientação, ajuda e dedicação no acompanhamento do meu trabalho. Muito obrigado professor. À minha irmã Mercedes, à minha sobrinha Danna, meus primos Lorena e Marcial e meu cunhado Richard, que sempre foram meu apoio à distância. À Raquel Q. Velloso pela valiosa ajuda e sugestões na última etapa da tese. Ao Wagner N. Ribeiro pelo apoio e recomendações. Muito obrigado amigo. À Jackeline Castañeda pela ajuda e apoio durante esse tempo de estudos. À Isabelle A. Telles e ao João P. Castagnoli pela ajuda em resolver as dúvidas no manejo dos programas de cálculo. A meus amigos no Peru, que compartilharam tantos momentos inesquecíveis comigo à distância. A meus amigos da Peña de los Sábados A todos meus amigos da pós-graduação PUC-Rio pelos momentos de estudo, conversa e amizade. Às belas pessoas brasileiras e de outras nacionalidades que conheci durante esse tempo. À CAPES, pelo apoio financeiro prestado para a realização deste trabalho.

6 Resumo Paitan, César Augusto Torres; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Este trabalho apresenta o desenvolvimento/montagem de um sistema computacional para análise de fluxo em meios porosos, meios fraturados, porosos fraturados e em combinações destes meios, considerando regime permanente ou transiente, sob condições saturadas e não saturadas. O sistema consiste de quatro programas, três programas de funções específicas interligadas por rotinas de programação feitas na linguagem C++ e o quarto é um visualizador de resultados. O FracGen 3D (Telles, 2006) gera fraturas ou famílias de fraturas de forma determinística ou probabilística. O programa ICEM CFD v.14 divide o domínio de interesse em sub-dominios, através da geração de malha de elementos finitos. O programa FTPF-3D (Telles, 2006) utiliza o método de elementos finitos para discretizar as equações governantes no espaço e em diferenças finitas no tempo, e para resolver a não linearidade, utiliza o método iterativo de Picard ou o método iterativo BFGS e finalmente O Pos3D é o responsável pela visualização dos resultados. Neste trabalho foram desenvolvidos cinco exemplos, dois deles para a validação deste procedimento, e três aplicados a um talude típico do Rio de Janeiro, os quais incluem fraturas verticais e juntas de alívio. Estes casos estudados verificam a influência das fraturas nos meios porosos em termos de carga de pressão, totais e campo de velocidades, para a verificação do comportamento hidráulico dos maciços e de eventuais instabilidades. Palavras-chave Fluxo em meios fraturados; fluxo em meios porosos fraturados; geração de fraturas; métodos dos elementos finitos; ICEM CFD.

7 Abstract Paitan, César Augusto Torres; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Numerical modelling of flow in fractured and fractured porous media. Rio de Janeiro, p. MSc. Dissertation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This work presents the development/assembly of a computational system for flow analysis in porous media, fractured and fractured porous media and in combination of both media, considering steady or transient states under saturated and unsaturated conditions. The system comprehends four computational programs, three of them of specific functions interconnected by C++ programing routines and the last program is an output viewer. FracGen 3D program (Telles, 2006) generates fractures or fracture families in a determinist or probabilistic way. ICEM CFD v.14 program divides the interest domain in sub-domains by means of the element finite mesh generation. FTPF-3D program (Telles, 2006) uses the element finite method to discretize the governing equations in the space domain and the difference finite method for the time domain and for solving the nonlinearity is used the iterative Picard or BFGS method, so that, finally, Pos3D viewer program is answerable by visualization of the results. In the present dissertation five examples were developed, two of them for the validation of this procedure and the three others applied to a typical slope in Rio de Janeiro, which include vertical fractures and relief joints on their slopes. All those studied cases evaluate the influence of the fractures on porous media in terms of pressure and total heads and velocity fields for verifying of the hydraulic behavior of solid masses and eventual instabilities. Keywords Flow in fractured media; flow in fractured porous media; fracture generation; finite element method; ICEM CFD.

8 Sumário 1 Introdução Contribuição da Dissertação Estrutura da Dissertação 20 2 Comportamento hidráulico do meio poroso fraturado Meio poroso Fluxo em meios porosos Fraturas Características das fraturas Sistemas de fraturas Meios porosos fraturados Fluxo em meios porosos fraturados Modelos conceituais de fluxo em meios porosos fraturados Modelo contínuo equivalente Modelo de fraturas discretas Modelo com dupla porosidade 37 3 Modelos matemáticos e formulação numérica Equações governantes Método numérico de solução Métodos dos elementos finitos Solução numérica Discretização do espaço Discretização do tempo Estratégia de solução 47 4 Procedimento para a modelagem Geração do domínio e das fraturas Geração de fraturas - FracGen 3D Procedimento Discretização do domínio Geração da malha ICEM CFD v

9 Procedimento Solução numérica e visualização de resultados Procedimento 61 5 Exemplos Exemplo 1 análise de fluxo em um meio poroso fraturado Análise de fluxo em regime permanente exemplo Análise de fluxo em regime transiente exemplo Exemplo 2 análise de fluxo em um meio poroso e um meio poroso fraturado Análise de fluxo em regime permanente exemplo Análise de fluxo em regime transiente exemplo Exemplo 3 análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura vertical Análise de fluxo em regime permanente exemplo Exemplo 4 análise de fluxo aplicado a um talude com fraturas verticais e uma junta de alivio Análise de fluxo em regime permanente exemplo Exemplo 5 análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura vertical e uma junta de alivio Análise de fluxo em regime permanente exemplo Conclusões e Sugestões Conclusões Sugestões 97 Referências Bibliográficas 100

10 Lista de Figuras Figura 2.1: Tamanho do VER, Bear (1972) Figura 2.2: Fractal Auto-similar vs. Fractal Autofin, Morales (2008) Figura 2.3: Quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas paralelas. ETS. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011).. 30 Figura 2.4:Sequência do conceito desde fratura natural até o conceito de placas paralelas, Morales (2008) Figura 2.5: Fluxo entre duas placas paralelas, Morales (2008) Figura 2.6: (a) VER para o meio poroso, (b) VER para o meio fraturado, ETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011) Figura 2.7: (a) Meio poroso fraturado real, (b) Modelo continuo equivalente (c) Modelo continuo equivalente com zonas de alto fraturamento que representam zonas com alta condutividade hidráulica, (d) Modelo de dupla porosidade, (e) Modelo de fraturas discretas.cook (2003) Figura 2.8: Família de fraturas de espessura b e separação s que apresentam orientação diferente aos eixos de interesse, vista 2D Figura 2.9: Fraturas cruzadas com alta permeabilidade, bordeada por bloques de baixa permeabilidade, Bourgeat et al. (2003) Figura 3.1: (a) Zona de influencia de um poço, (b) Modelo discretizado pelo MDF, (c) Modelo discretizado pelo MEF Figura 4.1: Etapas para modelagem de fluxo e transporte em meios porosos e fraturados, Telles (2006) Figura 4.2: Fraturas geradas no FracGen 3D de forma determinística Figura 4.3: Famílias de fratura geradas no FracGen 3D de forma estatística Figura 4.4: Distribuição espacial com 2738 fraturas geradas aleatoriamente, Telles (2006) Figura 4.5: Fraturas geradas com FracGen 3D Figura 4.6: Compatibilidade dos nós dos elementos representativos do meio poroso e dos elementos representativos das fraturas, Telles (2006) Figura 4.7: Entorno gráfico ICEM CFD v

11 Figura 4.8: Geração das fraturas a partir do script Figura 4.9: Geometria inicial das fraturas Figura 4.10: Geometria após edição das fraturas Figura 4.11: Verificação da qualidade da malha gerada no ICEM Figura 5.1: Geometria do exemplo 1 contendo as famílias de fraturas e a malha de elementos finitos triangulares Figura 5.2: A malha de elementos finitos tetraédricos do meio poroso e das fraturas com elementos triangulares Figura 5.3: Condições iniciais e de contorno do exemplo Figura 5.4: Distribuição das cargas de pressõesdo exemplo Figura 5.5: Distribuição das cargas totais do exemplo Figura 5.6: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 1 dia Figura 5.7:Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 7 dias Figura 5.8: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 30 dias Figura 5.9: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 800 dias Figura 5.10: Geometria do exemplo 2 contendo as famílias de fraturas e a malha de elementos finitos triangulares Figura 5.11: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e das fraturas com elementos finitos triangulares Figura 5.12: Condições iniciais do exemplo Figura 5.13: Condições de contorno do exemplo Figura 5.14: Distribuição das cargas de pressões do exemplo Figura 5.15: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do exemplo Figura 5.16: Distribuição das cargas totais do exemplo Figura 5.17: Distribuição das cargas totais das fraturas do exemplo Figura 5.18: Campo de velocidades das fraturas do exemplo Figura 5.19 Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 no tempo zero

12 Figura 5.20:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 10 dias Figura 5.21: Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 100 dias Figura 5.22:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 1000 dias Figura 5.23:Geometria do exemplo 3 contendo a fratura isolada e a malha de elementos finitos triangulares Figura 5.24:A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e da fratura isolada com elementos finitos triangulares Figura 5.25: Condições de contorno do exemplo Figura 5.26: Distribuição das cargas de pressões no talude sem fratura do Exemplo Figura 5.27: Distribuição das cargas de pressões no talude com fratura do Exemplo Figura 5.28: Distribuição das cargas totais no talude sem fratura do Exemplo Figura 5.29: Distribuição das cargas totais no talude com fratura do Exemplo Figura 5.30: Campo de velocidades no talude sem fratura do Exemplo Figura 5.31: Campo de velocidades no talude com fratura do Exemplo Figura 5.32: Campo de velocidades na fratura e em no meio poroso do exemplo Figura 5.33: Campo de velocidades do talude no ponto B da Figura Figura 5.34: Campo de velocidades do talude no ponto A da Figura Figura 5.35:Geometria do exemplo 4 contendo a família de fraturas, junta do alivio e a malha de elementos finitos triangulares Figura 5.36: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios, fraturas e a junta do alívio com elementos finitos triangulares Figura 5.37: Condições de contorno do exemplo

13 Figura 5.38: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas e na junta de alivio do exemplo Figura 5.39: Distribuição das cargas totais nas fraturas e na junta de alivio do exemplo Figura 5.40: Campo de velocidades no talude do exemplo Figura 5.41: Campo de velocidades das fraturas e da junta de alivio do exemplo Figura 5.42:Geometria do exemplo 5 contendo a fratura isolada vertical, a junta do alivio e a malha de elementos finitos Figura 5.43: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios porosos, a fratura e junta de alivio com elementos triangulares Figura 5.44:Condições de contorno do exemplo Figura 5.45: Distribuição das cargas de pressões no talude do exemplo Figura 5.46: Distribuição das cargas totais no talude do exemplo Figura 5.47: Distribuição das cargas totais da fratura e junta de alivio do exemplo Figura 5.48: Campo de velocidades do talude do exemplo Figura 5.49: Campo de velocidades da fratura e junta de alivio do exemplo

14 Lista de Tabelas Tabela 2-1: Vantagens e desvantagens dos modelos conceituais Cook (2003) Tabela 5-1: Características geométricas das famílias de fraturaspara o exemplo Tabela 5-2: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 1 para a função analítica de Van Genuchten (1980) Tabela 5-3: Resumo dos elementos da malha do exemplo Tabela 5-4:Características geométricas das famílias de fraturas para o exemplo Tabela 5-5: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 2 para a função analítica de Van Genuchten (1980) Tabela 5-6: Resumo dos elementos da malha do exemplo Tabela 5-7: Características geométricas da fratura do exemplo Tabela 5-8: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo Tabela 5-9: Resumo dos elementos da malha do exemplo Tabela 5-10:Características geométricas da fratura do exemplo Tabela 5-11: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo Tabela 5-12: Resumo dos elementos da malha do exemplo Tabela 5-13: Características geométricas da fratura do exemplo Tabela 5-14: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo Tabela 5-15: Resumo dos elementos da malha do exemplo

15 Lista de Símbolos 2 D h =2 h h p h T k,, = abertura da fratura diâmetro hidráulico abertura da fratura abertura da fratura aceleração da gravidade gradiente hidráulica na direção. carga de pressão carga total número de fratura da família superfícies da fratura permeabilidade intrínseca condutividade hidráulica saturada da fratura condutividade hidráulica saturada coeficiente de permeabilidade da rocha intacta tensor de condutividade hidráulica permeabilidade relativa do meio permeabilidade relativa da fratura medida de rugosidades das paredes das fraturas condutividade hidráulica tensor de permeabilidade equivalente parâmetro da relação analítica de Van Genuchten número total de nós número total de fraturas da família cossenos diretores da fratura normal pressão de capilaridade vazão através da fratura termo de transferência de fluido entre o meio poroso e a superfície da fratura termo de transferência de fluido entre o meio poroso e a superfície da fratura fonte ou um sumidouro.

16 (,) () fonte ou um sumidouro espaçamento entre fraturas coeficiente específico de armazenamento grau de saturação de água grau de saturação da fratura saturação residual velocidade de descarga carga de elevação carga de elevação da fratura parâmetro da relação analítica de Van Genuchten contorno do modelo contorno no elemento variação do tempo peso específico do fluido teor de umidade volumétrica de saturação teor de umidade volumétrica teor de umidade volumétrica residual viscosidade dinâmica do fluido viscosidade cinemática do fluido densidade do fluido funções de interpolação linear carga de pressão cargas de pressões da fratura carga de pressão nodal domínio do modelo domínio no elemento

17 1 Introdução A hidráulica dos meios fraturados tem sido investigada desde a década de 40, cujo interesse inicial foi estudar os problemas que ocasiona o escoamento de fluxo nestes meios. Louis (1974) indica que estudos referentes à hidráulica das rochas iniciaram-se em diversos países. Na universidade Karlsruhe, na Alemanha, começou um vasto programa de estudos e foi prosseguida pela Imperial College, na Inglaterra. Esse programa tinha como objetivos analisar propriedades e características hidráulicas dos maciços rochosos fraturados, estudar o fenômeno de escoamento e seus efeitos, e finalmente, explicar o comportamento dos maciços rochosos submetidos à ação da água subterrânea. Durante décadas, as formações geológicas fraturadas têm-se mostrado um campo interessante de investigação por estarem relacionadas a aplicações em reservatórios de petróleo e de gás, aquíferos, atividades mineiras bem como em diversas obras civis. Nos últimos 30 anos, grandes progressos têm sido desenvolvidos no entendimento geral do comportamento hidráulico do meio poroso fraturado. As engenharias de petróleo, civil, minas e das águas subterrâneas, cada vez mais necessitam compreender o fenômeno de fluxo de fluidos nestes meios. Mas foi a preocupação ambiental que deu impulso às investigações neste campo, devido a que hoje em dia há uma grande demanda na avaliação do armazenamento de resíduos radioativos ou químicos em formações geológicas estáveis e de baixa permeabilidade. Este campo de estudo tem aproximado países e instituições de investigação, vinculados ao estudo desses processos. O fluxo do fluido em maciços fraturados está intimamente relacionado às fraturas, por estas poderem representar caminhos preferenciais para o fluxo. Representar esta heterogeneidade estrutural das formações geológicas para simular o escoamento do fluido originou a definição de modelos conceituais que simplificassem o problema. Existem diversos modelos conceituais, mas basicamente estão organizados em três grupos: a) Modelo contínuo equivalente

18 18 (Jeong & Lee, 1992; Liu et al., 2001; Liu et al., 2003; Li et al., 2008 ehe & Chen 2012), b) Modelo discreto de redes de fraturas (Long et al., 1982 e Pan et al., 2010) e c) Modelos mistos (Barenblatt et al., 1960; Gerke & Van Genuchten, 1993; Therrien & Sudicky, 1996; Juanes & Samper, 2000; Bourgeat et al., 2003 e Lewandowska et al., 2004). Cada uma destas famílias de modelos mostram suas próprias vantagens e limitações. De qualquer forma, não existe regra geral para a escolha do melhor modelo, cada um deles é apropriado para uma situação em particular. Uma comparação numérica destes três modelos pode ser verificada em Samardzioska & Popov (2005). O desenvolvimento de modelos numéricos e melhoras na capacidade computacional têm permitido, atualmente, usar modelos tridimensionais para resolver problemas em hidrogeologia subterrânea. A representação das fraturas no maciço rochoso está conseguindo que os resultados de modelagens de fluxo sejam mais coerentes. Neste contexto, a modelagem tridimensional tornou-se uma ferramenta essencial no entendimento do comportamento hidráulico em meios porosos fraturados. Existem diversos trabalhos de modelagem numérica tridimensional em meios porosos fraturados, alguns deles podem ser encontrados em Taniguchi & Fillion (1996), Telles (2006), Alvarenga (2008), Blöcher et al. (2010), Pan et al. (2010) e Dreuzy et al., (2013). Na presente dissertação apresenta-se o desenvolvimento/montagem de um sistema computacional para análise de fluxo em meios porosos, meios fraturados e porosos fraturados e em combinações destes meios. O modelo conceitual usado é um modelo de fraturas inseridas em um meio poroso, podendo ser catalogado como um modelo misto. Nesta formulação, os nós, que pertençam aos planos de fraturas, pertencem também aos elementos tetraédricos adjacentes do meio poroso, permitindo, desta forma, garantir a continuidade de cargas e também, dispensar o termo de transferência, característico em definições de modelos mistos. Este modelo resolve as equações de fluxo do meio poroso e das fraturas simultaneamente, e pode ser usado para modelar grandes fraturas com meios porosos de alta ou baixa permeabilidade. O inconveniente neste modelo está basicamente relacionado à localização das fraturas. Juanes & Samper (2000) indicam que este tipo de modelo foi implementado desde os anos setenta, e que foi adaptado por Kiraly (1987) e posteriormente generalizado por Perrochet (1995), sendo que atualmente vem apresentando um notável desenvolvimento. Trabalhos

19 19 relacionados a este modelo podem ser encontrados em Kiraly (1987), Telles (2006), Alvarenga (2008). O desenvolvimento/montagem proposta nesta dissertação usa programas específicos para cada etapa. Estes programas em conjunto compõem um sistema que será usado neste trabalho para modelar e analisar fluxo em domínios porosos fraturados. Uma sucinta descrição da metodologia é feita a seguir: o procedimento inicia-se com a etapa de geração de fraturas de modo probabilístico ou determinístico, usando o programa FracGen (Telles, 2006), que gera a localização espacial das fraturas sob características particulares. Posteriormente, determina-se a geometria do domínio do modelo e discretiza-se pelo método de elementos finitos, tanto as fraturas quanto os meios porosos, sendo o tempo discretizado pelo método das diferenças finitas. Para a geração da malha de elementos finitos usouse o programa ICEM CFD v.14. Seguidamente, passa-se à etapa de análise de fluxo na qual se poderão considerar análises de fluxo em condições permanente ou transiente, saturado ou não saturado. Para esta etapa usou-se o programa FTPF- 3D (Telles, 2006) e para a visualização de resultados utilizou-se o programa Pos3D. Programas integrados para análises de fluxo em meios porosos fraturados e meios fraturados existem na literatura. Diodato (1994) elaborou um resumo de alguns deles, indicando suas vantagens e limitações. Um resumo mais atual dos programas envolvidos em análises de fluxos em meios porosos fraturados é descrito em Telles (2006). Programas que realizam estes tipos de análises estão disponíveis, porém sob um custo relativamente alto, apresentando códigos de programação e rotinas fechadas que os tornam um tanto limitados de implementar e diversificar suas aplicações, sendo esta uma clara vantagem para o desenvolvimento/montagem que se apresenta neste trabalho Contribuição da Dissertação A contribuição principal desta dissertação é o desenvolvimento/montagem de um sistema de modelagem tridimensional de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados capaz de permitir implementações e modificações para

20 20 melhorar e diversificar as aplicações de análises segundo o problema a ser abordado. Este sistema de análise proposto relaciona e interage programas de cálculo e rotinas de programação que criam fraturas, geram malhas de elementos finitos e desenvolvem análises numéricas de fluxo. Neste contexto, este trabalho detalha um procedimento sequencial para implementar um modelo físico e sua posterior análise numérica. Esta metodologia proposta contém passos e sugestões para o uso de programas como o FracGen (Telles, 2006) encarregado de gerar as fraturas de forma determinística ou probabilística, para posteriormente usar o programa ICEM, um programa versátil, com ferramentas de qualidade e edição de malhas, entre outras características. Este programa discretiza o domínio do problema criando malhas de elementos finitos. A partir desses resultados o programa FTPF-3D (Telles, 2006) é responsável pela análise numérica, baseado no método de elementos finitos para resolver as equações governantes de fluxo. Como passo final, a visualização dos resultados é feito no programa POS3D Estrutura da Dissertação Esta dissertação está estruturada em seis capítulos, inicia-se com o capítulo 1 no qual é feita uma introdução referente a estudos de fluxo em meios porosos fraturados e ao procedimento seguido para a modelagem de análise de fluxo, bem como uma rápida descrição da importância deste estudo. É apresentado também o objetivo principal deste trabalho, indicando os alcances e vantagens deste sistema montado de análise proposto. E finalmente apresenta-se a estrutura da dissertação. No capítulo 2 descreve-se os conceitos básicos e definições importantes relacionadas ao comportamento do fluxo em meios porosos fraturados e das fraturas, assim como os modelos conceituais gerais usados em análises de fluxo nestes meios. No capítulo 3 apresenta-se o modelo matemático empregado neste trabalho, sua formulação numérica para o desenvolvimento da análise de fluxo e a estratégia de solução das equações governantes.

21 21 No capítulo 4 apresenta-se a metodologia usada para gerar e modelar o fluxo em meios porosos fraturados. Indicam-se sugestões para gerar as fraturas usando o programa FracGen3D, e também para a geração da malha de elementos finitos com o programa ICEM CFD v.14. Algumas sugestões são indicadas para a criação e edição das malhas tridimensionais. Finalmente, é descrito o uso do programa numérico de análise de fluxo FTPF-3D e sua visualização gráfica no programa POSD 3D. No capítulo 5 apresentam-se cinco exemplos em meios porosos fraturados, os dois primeiros analisados em condições de fluxo permanente e transiente e em condições não saturadas. Os três restantes tratam de taludes típicos nas formações geológicas do Rio de Janeiro. Estes taludes foram analisados em regime permanente e em condições não saturadas. Os resultados das análises para as variáveis quantitativas estão expressas em termos de cargas de pressões, cargas totais e campo de velocidades, sendo necessárias para o entendimento do comportamento hidráulico destes meios. No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e algumas sugestões para futuros trabalhos, seguidas das referências bibliográficas.

22 2 Comportamento hidráulico do meio poroso fraturado Os estudos e investigações do comportamento hidráulico dos meios porosos e meios fraturados têm sido desenvolvidos durante muitos anos. Os meios porosos têm sido investigados com mais antecedência que os meios fraturados; mas nas últimas décadas os meios fraturados têm capturado o interesse e, consequentemente, acrescentado o conhecimento nesta área. Isso foi possível na medida das necessidades de precisar representar com maior realidade o meio segundo escalas definidas e da utilidade que se desejava dele. As novas tecnologias e o avanço no estudo permitiu uma representação mais realista da verdadeira geometria e orientação espacial das estruturas geológicas inseridas no maciço rochoso. Telles (2006) descreve quatro aspectos que devem ser levados em conta quando se faz um estudo de fluxo em meios porosos fraturados: Desenvolvimento conceitual de modelos Desenvolvimento de soluções analíticas e numéricas Descrição das características hidráulicas da fratura Desenvolvimento de técnicas probabilísticas para descrever o fluxo em fraturas e distribuições de parâmetros hidrogeológicos. Neste capítulo desenvolve-se brevemente os modelos conceituais, descrevendo as características hidráulicas da fratura e do fluxo em fraturas e sistemas de fraturas Meio poroso Um meio poroso pode-se definir como um meio sólido que contém poros, estes poros são vazios que estão interconectados ou não entre eles e estão distribuídos aleatoriamente. Estes vazios por sua vez, com formas e tamanhos variáveis, permitem a percolação de fluidos, e quando conectados constituem

23 23 redes que podem chegar a ser muito complexas. São exemplos destes meios: a matriz rochosa e maciços de solo Fluxo em meios porosos O estudo de fluxo em meios porosos requer o conhecimento da condutividade hidráulica ou coeficiente de permeabilidade que se define como a capacidade de um meio para permitir o fluxo de água. Este coeficiente reflete ambas as propriedades, as do meio e do fluido e pode-se expressar como: = (2.1) Na equação (2.1), é a condutividade hidráulica, é a permeabilidade intrínseca do meio, é a densidade do fluido, é a aceleração da gravidade, é a viscosidade dinâmica do fluido. A equação de Navier-Stokes é a lei fundamental que descreve a dinâmica dos fluidos viscosos mais comuns, este em conjunto com as leis de conservação da massa e da energia permitem descrever seu movimento. No entanto, esta lei não descreve imediatamente a dinâmica de fluidos que circula por um meio poroso, em virtude da sua tortuosidade e resistência oferecida pelo meio. Em 1856, Henri Darcy propôs uma lei que descreve adequadamente a dinâmica de um fluxo incompressível num meio poroso, esta lei deu início ao entendimento do comportamento dos fluidos em um meio poroso. Esta lei se postulou para fluidos na zona saturada e originalmente só para uma direção, cujo valor só tem validade para fluxos em regime laminar. = h (2.2) Na equação (2.2), é a velocidade de descarga, é a condutividade hidráulica, h/ é o gradiente hidráulico na direção. Bear (1972) indica que para descrever o comportamento de um fluido em um domínio de meio poroso, faz-se necessário utilizar o conceito de Volume Elementar Representativo, VER (volume onde os parâmetros hidráulicos são considerados constantes). Na Figura 2.1, pode-se observar a que se refere o VER.

24 24 Figura 2.1: Tamanho do VER, Bear (1972). O conceito do VER permite substituir o meio real por um modelo teórico de meio continuo no qual pode-se atribuir valores constantes aos parâmetros como porosidade, permeabilidades, etc., descrevendo o fluxo dentro de um domínio por meio de equações diferenciais. A teoria do comportamento dinâmico dos fluidos em meios porosos é amplamente descrito em Bear (1972) Fraturas De acordo com Telles (2006), as rochas podem apresentar algumas feições geológicas como planos de acamamento, falhas, fissuras, fraturas, juntas e outros. Tais feições são caracterizadas pelo termo descontinuidade. Esse termo foi primeiramente adotado anos atrás por vários autores (Fookes e Parrish 1969; Attewell e Woodman 1969; Priest 1975; Goodman 1976) para cobrir uma gama de imperfeições mecânicas encontradas em formações rochosas. Vargas e Barreto (2003) explicam como a geologia distingue e define feições como fraturas, falhas, juntas, diaclases, que são resultados de ações mecânicas sobre os maciços rochosos em algum momento da sua história geológica. No caso de fraturas, Telles (2006) aponta algumas características comuns destas formações como, de baixa resistência cisalhante, resistência à tração praticamente nula e alta condutividade hidráulica comparado com a massa rochosa. As descontinuidades podem ser falhas, juntas, fissuras ou fraturas.

25 25 Uma fratura é um plano de ruptura da rocha. Em geral, uma fratura se forma devido a tensões concentradas ao redor de defeitos, heterogeneidades e descontinuidades físicas. Estas se formam em reposta a tensões tectônicas, térmicas e pressões altas dos fluxos. Hidraulicamente, cada fratura se comporta como um canal na qual o fluxo passa, e quase sempre estão conectadas a outras, e assim, estas formam um sistema de condutividade preferencial dentro do meio. Neste trabalho a palavra fratura é usada como um termo geral Características das fraturas Blöcher et al. (2010) indicam que as fraturas podem representar caminhos preferenciais para os fluxos, ou podem atuar como barreiras geológicas. Estas duas opções dependerão essencialmente da origem e da orientação das fraturas em relação a seu recente campo de esforços (Barton et al., 1995; Gudmundsson, 2001; Moeck et al., 2008; Sheck-Wenderoth et al., 2008; Magri et al., 2010). A caracterização da geometria de uma família de fraturas dependerá da caracterização das fraturas que conformam esta família. Esta caracterização geral para as famílias envolve definições de: Orientação Frequência Espaçamento Forma Tamanho Abertura Material de preenchimento. Telles (2006) apresenta detalhes dessa caracterização. Os materiais de preenchimento que se encontram dentro das fraturas podem ter origem de soluções pneumatolíticas, soluções hidrotermais etc. Quando a fratura apresenta material de preenchimento, a condutividade hidráulica da fratura poderia chegar a ter o valor da condutividade hidráulica deste material. Contudo, isso não seria tão real ou padrão devido a que às vezes este material de

26 26 preenchimento atua como um material quase-impermeável, tornando a condutividade hidráulica da fratura menor do que seria se considerar a fratura sem preenchimento. Com relação à forma e dimensão das fraturas naturais, estas não são bem conhecidas, devido à complexidade que apresentam em três dimensões. Esta é uma das maiores incertezas ao se fazerem medições in-situ das fraturas no maciço rochoso. Mesmo assim, a geometria é o fator principal para caracterizar e compreender os processos e fenômenos que ocorrem nele. Consequentemente, as medidas destas características devem seguir procedimentos adequados para um maior aprimoramento. Morales (2008) aponta que as formas geométricas na natureza não têm formas regulares; sua análise apropriada está condicionada a representar do jeito mais confiável estas irregularidades. Os fractais têm a particular propriedade de ter a mesma ou estatisticamente a mesma forma em toda escala. A influência da rugosidade das paredes das fraturas no escoamento e transporte vem sendo estudada, mostrando que as paredes são geralmente irregulares, possuindo propriedades e natureza fractal com auto-afinidade Berkowitz (2002 apud Marin, 2011). Na Figura 2.2 pode-se observar as características do fractal auto-similar e o fractal auto-afim. Figura 2.2: Fractal Auto-similar vs. Fractal Autofin, Morales (2008). A fractalidade da rugosidade parece não depender da mineralogia, direção da fratura ou mecanismo de formação da mesma. O entendimento do motivo da

27 27 fractalidade com auto-afinidade e as diversas escalas de rugosidade são ainda um problema aberto, apesar dos avanços recentes (Davy et al., 2010; Bae et al., 2011). Para descrever características similares das fraturas que podem aparecer a diferentes escalas, a análise fractal poderia ser uma alternativa para caracterizálas. O uso dos fractais também tem sido usado para modelar fluxo em fraturas (Morales, 2008). Para descrever aleatoriamente as características geométricas das fraturas se usam diversas distribuições estatísticas, entre elas, a distribuição normal, lognormal etc. Bonnet et al. (2001 apud Marin, 2011) explicam como estudos recentes de propriedades de escala têm mostrado um ajuste melhor usando descrições baseadas em leis de potência e características fractais. Bear et al. (1993 apud Marin, 2011) indicam que um dado interessante sobre os sistemas que mostram comportamento fractal é a ausência de uma escala de homogeneização, o que previne o uso da definição do volume elementar representativo VER. Porém, o uso dos métodos fractais para descrever características das fraturas ainda continua em discussão. Para maior detalhe revisar Sahimi (1995), Giménez et. al. (1997), Morales (2008), Monachesi & Guarracino (2010). Em resumo, devido a que as fraturas têm uma variedade de tamanhos, formas e espaçamentos dentro de um mesmo maciço rochoso, o maior desafio, portanto, seria compreender o comportamento do fluido em meios fraturados que permita gerar uma melhor representação espacial das condições geométricas que as fraturas apresentam Sistemas de fraturas Existem dois caminhos para esquematizar as famílias de fraturas de um maciço rochoso, a maneira determinística e a probabilística. No modo determinístico as fraturas apresentam características conhecidas, e no modo probabilístico, as fraturas são geradas de maneira aleatória, na qual suas características seguem distribuições probabilísticas. Para maiores detalhes revisar Telles (2006).

28 28 Entre os métodos mais comuns para caracterizar um maciço rochoso deterministicamente, podem-se citar os seguintes: Levantamentos geológicos Técnicas geofísicas Exploração geotécnica por meio de sondagens (à percussão, rotativas, etc.). Marin (2011) indica que medidas diretas das características das fraturas não são possíveis de serem obtidas com os métodos mencionados acima, porque geralmente são medidas as respostas devido à presença de fraturas. Então para o estudo de fraturas, as descrições probabilísticas e de interpolação são complementares e comumente usadas. Os maciços rochosos contêm famílias de fraturas que estão entrecortadas entre elas, cada família com suas próprias características geométricas. Porem não necessariamente o alto grau de fraturamento indica uma boa condutividade hidráulica. Um maciço rochoso pode apresentar famílias de fraturas, mas elas não necessariamente estão conectadas, e como resposta este maciço apresenta uma permeabilidade menor da esperada. Para estimar a conectividade das fraturas em uma região, o conceito de percolação é uma ferramenta válida, esta poderia ser verificada, por exemplo, em testes em poços, entre outros. Como a rugosidade na fratura, a percolação poderia ser tratada sob a teoria fractal. Idealizando desta forma a conectividade das famílias dentro de um maciço rochoso. Trabalhos sobre este tema podem ser revisados em Berkowitz (2002); Neuman (2005) e Hunt (2005) Meios porosos fraturados O estudo das formações geológicas fraturadas é de interesse considerável devido à aplicação que pode ser feita em diversos campos como em petróleo, exploração de reservatórios, fundações de barragens, depósitos de resíduos e fontes de água. O meio poroso fraturado pode ser descrito como uma rede de fraturas interligadas dentro de um meio contínuo ou em um meio contínuo equivalente.

29 29 Esta descrição vai depender da intensidade de fraturamento, da escala do problema e da disponibilidade de dados. Para entender e quantificar o fluxo nestas formações fraturadas é importante ter em conta a compreensão das propriedades hidráulicas deste meio e a interação entre meio poroso e rede de fraturas. Modelar uma rede de fratura inserida em um meio poroso precisa de uma investigação detalhada dos condicionantes geológicos que regem a circulação da água nestes meios. Estas investigações deverão ser os adequados para que permitam inferir caminhos preferenciais de fluxo, e que possibilitem a eleição do modelo conceitual que represente melhor a realidade física do problema. Apesar de que em rochas fraturadas os aspectos quantitativos são poucos conhecidos, como por exemplo, a porosidade, permeabilidade entre outras que apresentam maior incerteza, estas serão estimadas a partir de testes de campo, ensaios de laboratório, analiticamente ou inferidos estatisticamente que permitam modelar o fluxo para o modelo conceitual eleito Fluxo em meios porosos fraturados Compreender o que acontece com o comportamento do fluxo em uma rede de fraturas inserida um meio poroso não é uma tarefa fácil, ao contrário, apresenta complexidade para análise do fenômeno de percolação por ser um meio essencialmente heterogêneo e anisotrópico, no qual as fraturas oferecem ao fluxo caminhos preferenciais dentro do meio. Para conseguir entender a questão do fluxo nas redes de fraturas dentro do meio poroso, o tratamento fundamental é saber o que acontece em uma única fratura. Louis (1969) sugere que a primeira etapa seja o estudo das leis de percolação em uma fratura elementar em regimes laminar e turbulento, levando-se em consideração todos os parâmetros que possam intervir, dentre desses, a rugosidade, a forma geométrica da fratura e a presença de materiais de preenchimento. Para maiores alcances desta parte, revisar Louis (1969). Similarmente aos meios porosos, os meios fraturados também precisam da determinação da condutividade hidráulica. O modelo mais simples para uma fratura é o modelo de placas paralelas, na qual a fratura tem uma abertura constante, não apresenta material de preenchimento nem rugosidade. Na Figura

30 pode-se observar um quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas paralelas. Na Figura 2.4 se indica a sequência a partir de uma fratura natural até o conceito de placas paralelas. Figura 2.3: Quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas paralelas. ETS. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011). Figura 2.4:Sequência do conceito desde fratura natural até o conceito de placas paralelas, Morales (2008). Nesta analogia, o fluxo é considerado laminar e com uma distribuição de velocidades parabólicas na seção transversal da fratura, como representado na Figura 2.5. Figura 2.5: Fluxo entre duas placas paralelas, Morales (2008). O estudo de fluxo no plano de fratura é baseado nas equações de Navier- Stokes. De acordo com Vargas e Barreto (2003) a partir da integração das

31 31 equações de Navier-Stokes para a geometria de duas placas paralelas saturadas, com abertura constante, fluxo viscoso e incompressível e desprezando as forças de inércia, chega-se á: = h (2.3) 12 Na equação (2.3), é a velocidade de escoamento, é o peso especifico do fluido, é a viscosidade dinâmica do fluido, é bertura da fratura eh/ é o gradiente hidráulico na direção. A vazão ( ) através da fratura também pode ser obtida a partir da equação (2.4): = h (2.4) 12 Da equação (2.4) pode-se notar que a vazão é proporcional ao cubo da abertura, sendo chamada, portanto, de lei cúbica. Vargas e Barreto (2003) indicam que o fluxo em fraturas passa do regime laminar para turbulento de acordo com um valor crítico do número Reynolds, sendo este valor crítico dependente da relação k/d h onde k é uma medida da rugosidade das paredes das fraturas e D h é o diâmetro hidráulico que é basicamente função de e da abertura da fratura. Para mais detalhes revisar Louis (1969). O modelo de placas paralelas não representa um comportamento do fluxo na fratura tão real, este modelo apresenta muitas simplificações, como por exemplo, assume que as fraturas são planas, que a rugosidade é desprezível, não existindo perda de carga; que as fraturas não contêm material de preenchimento, fraturas com abertura constante. No entanto, sabe-se que a abertura real de uma fratura vai depender do campo de tensões, dos deslocamentos tangenciais produzindo aumento ou diminuição da abertura, e da profundidade onde se encontram as fraturas, na qual as fraturas horizontais poderiam estar mais fechadas, entre outras. Outra questão importante levantada por Vargas e Barreto (2003) está relacionada à validade da lei cúbica para quaisquer valores de abertura. Relacionado a este aspecto, distinguem-se duas definições de abertura. Uma abertura real da fratura e outra abertura hidráulica, sendo que esta última obedece à lei cúbica. De acordo com os autores, experimentos demostram que a abertura real da fratura coincide com a abertura hidráulica até valores pequenos da abertura

32 32 real a partir do qual o modelo da lei cúbica perde rapidamente a validade. Portanto, considerar a lei cúbica válida para análises de fluxo subterrâneo em hidrogeologia é aceite com certas restrições. Na análise do fluxo subterrâneo, massas de rochas que se encontrem a pouca profundidade podem apresentar várias famílias de fraturas com diferentes aberturas e material de preenchimento; porém, este maciço rochoso pode ser considerado como um conjunto de blocos de rochas intactas separadas por descontinuidades, que para o presente trabalho denominamos fraturas; assim estes blocos de massa rochosa podem ser considerados como meios porosos contínuos que estão separados das outras pelas fraturas e que tem comportamento hidráulico diferente. Assim o fluxo através deste meio complexo dependerá da magnitude de condutividade hidráulica destes dois regimes (Pan et al., 2010). Todavia, a condutividade hidráulica da rocha intacta poderia ser muito menor que da fratura, portanto, a permeabilidade do maciço rochoso dependerá quase totalmente das fraturas, de suas famílias e de sua interligação delas dentro do meio. Para os meios fraturados, que são essencialmente meios altamente heterogêneos o VER poderia não existir ou ser muito maior que a escala de observação do problema. A Figura 2.6 permite observar a diferença do VER para um meio poroso e para um meio fraturado. Figura 2.6: (a) VER para o meio poroso, (b) VER para o meio fraturado, ETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011).

33 33 O meio fraturado tem um caráter heterogéneo maior do que o meio poroso, sendo desnecessário pensar na média de parâmetros como permeabilidade ou porosidade para análises rigorosas por não representar o comportamento hidráulico do meio mais próximo ao comportamento real; mas como foi mencionado anteriormente, este vai depender do grau de faturamento, da escala e do problema físico a analisar. A avaliação do comportamento do fluxo em um meio poroso fraturado pode ser enfocada, essencialmente, de três formas. A primeira considerando um meio hidraulicamente equivalente, na qual a condutividade hidráulica do sistema de fraturas será concebida por um tensor de permeabilidade resultante. A segunda forma considerando um meio discreto, na qual as fraturas mantenham sua orientação espacial e geometria natural, e estas serão mantidas assim na resolução do problema. E a terceira forma, a partir do conceito de dupla porosidade que é, fundamentalmente, uma combinação das duas formas anteriores Modelos conceituais de fluxo em meios porosos fraturados Alvarenga (2008) explica que a modelagem dos sistemas naturais têm duas componentes básicas: o modelo conceitual e o modelo matemático. O modelo conceitual é a representação simbólica qualitativa do sistema através de ideias, palavras, figuras, esquemas, etc. O modelo matemático é a representação do modelo conceitual através de equações. Os modelos simplificados, segundo a abordagem da heterogeneidade associada às fraturas, têm três enfoques gerais. O primeiro deles é o meio contínuo equivalente, na qual as propriedades hidráulicas do meio são estimadas usando coeficientes equivalentes, tais como a permeabilidade e porosidade, e que represente o comportamento das fraturas dentro do volume do maciço rochoso. O segundo modelo conceitual é um meio com enfoque discreto, na qual o meio é heterogêneo, apresentando propriedades diferenciadas dentro de seu domínio, as características singulares das fraturas são levadas em consideração na modelagem. E um terceiro com uma abordagem mista deles, na qual as propriedades do meio equivalente são diferenciadas das propriedades das fraturas, e se define um termo de transferência entre estes meios.

34 34 Na análise do fluxo em meios porosos fraturados, a escolha do modelo conceitual adequado não tem regra geral, e será feita essencialmente segundo a escala do problema e também do grau de fraturamento do maciço rochoso. Na Figura 2.7 podem-se observar para um mesmo problema hidráulico os diferentes modelos conceituais que poderiam ser abordados. Figura 2.7: (a) Meio poroso fraturado real, (b) Modelo continuo equivalente (c) Modelo continuo equivalente com zonas de alto fraturamento que representam zonas com alta condutividade hidráulica, (d) Modelo de dupla porosidade, (e) Modelo de fraturas discretas.cook (2003). Geralmente uma rocha fraturada é considerada heterogênea e anisotrópica, e não é uma boa aproximação considerá-la como um meio homogêneo, porém, quando a rocha apresenta um forte fissuramento, e dependendo da escala do problema, poderia ser tratada dessa forma. Esta simplificação é feita para quando os cálculos não necessitam muito detalhe nem precisão como se fosse para uma análise de transporte de solutos por exemplo. Estes modelos podem ser usados para os casos de análise de fluxo em condições saturadas e não saturadas. Para o caso de fluxo não saturado em meios porosos, a análise parte da teoria do fluxo capilar. Para o caso de fluxo não saturado em fraturas, a análise é baseada na teoria do fluxo capilar e também na teoria do fluxo tipo película. Para mais detalhes revisar Alvarenga (2008). A seguir, descrevem-se de maneira resumida os modelos que têm sido desenvolvidos na literatura para conceituar o comportamento hidráulico do meio poroso fraturado.

35 Modelo contínuo equivalente Este modelo geralmente representa um meio na qual se pode estimar um VER (Volume elementar representativo). Este é aplicável em meios porosos e em meios fraturados que apresentem fraturamento intenso para a escala do problema. Neste modelo o meio fraturado com alto grau de fissuramento é tratado como um meio poroso equivalente, mas esta abordagem pode apresentar algumas limitações devido a sua escala e as características geológicas do maciço rochoso. Em alguns casos o VER pode resultar muito maior ao tamanho físico do problema e não ser mais representativo. Dentro de um meio poroso fraturado se sabe que existem várias famílias de fraturas entrecruzadas, cada uma delas com suas próprias características geométricas, assim assume-se que estas famílias estão conformadas por fraturas planas com aberturas constantes, um espaçamento uniforme e uma orientação dominante. Na Figura 2.8 apresenta-se uma família de fraturas em 2D. Figura 2.8: Família de fraturas de espessura b e separação s que apresentam orientação diferente aos eixos de interesse, vista 2D. Uma solução analítica simples para uma rede de fraturas dentro de um maciço rochoso pode ser abordada mediante o cálculo de um tensor de permeabilidade equivalente. He & Chen (2012) indicam que o tensor de permeabilidade equivalente é essencial para a aplicação do modelo do meio poroso equivalente que é comumente usado na simulação numérica de percolação para maciços rochosos fraturados. O tensor de permeabilidade equivalente fica definido na equação (2.5).

36 36 = (2.5) Na equação (2.5), é o tensor de permeabilidade equivalente, é o número total de fraturas da família, é o número de fratura da família, é a abertura da fratura, é o espaçamento entre fraturas,,, são os cossenos diretores do vetor unitário normal à fratura, é o coeficiente de permeabilidade da matriz rochosa, é o coeficiente de viscosidade cinemática e é a aceleração da gravidade. Para maiores alcances desta parte recomenda-se revisar Li et al. (2008) e He & Chen (2012) Modelo de fraturas discretas O modelo de redes de fraturas discretas é um modelo mais realista para modelar fraturas em comparação com os modelos anteriores, em virtude à localização espacial das fraturas, e é utilizado para redes de fraturas inseridas em matriz rochosa com permeabilidade intrínseca muito baixa, porém, podem encontrar-se fissuras pequenas e tênues que poderiam dar um caráter de efeito de dupla porosidade ao meio; mas como foi explicado nos itens anteriores, a depender da escala do problema. Neste modelo a localização espacial das fraturas tem um papel determinante na modelagem do meio fraturado, mas como uma grande desvantagem deste modelo apropriado para os meios fraturados é a obtenção dos dados de campo. Na análise de fluxo em meio poroso fraturado, o meio mesmo às vezes pode ser simplificado considerando somente as redes de fraturas, em virtude à baixa permeabilidade que pode ter a matriz em comparação à permeabilidade da rede de fraturas. Porém, às vezes a matriz rochosa deverá ser considerada quando o problema compreende a análise de transporte de solutos. Neste caso, a fraturas seriam canais preferencias de fluxo e apresentariam coeficiente de armazenamento

37 37 baixo, na matriz rochosa pelo contrário, o meio apresenta uma permeabilidade baixa e um coeficiente de armazenamento considerável Modelo com dupla porosidade O modelo de dupla porosidade consiste de dois subdomínios que interatuam com propriedades hidráulicas diferenciadas, uma delas consiste em uma matriz porosa e outra em um conjunto de macroporos, fissuras, ou fraturas que são altamente condutoras em comparação com a matriz (Lewandowska et al., 2004). O modelo foi introduzido por Barenblatt et al. (1960), o qual considera dois tipos de meios porosos com diferente condutividade hidráulica, uma delas com blocos de poros de baixa permeabilidade, denominada comumente de matriz, que abraça outro meio poroso conectado com maior permeabilidade, denominado, comumente de rede de fraturas. Na Figura 2.9, mostra-se um exemplo de modelo de dupla porosidade. Figura 2.9: Fraturas cruzadas com alta permeabilidade, bordeada por bloques de baixa permeabilidade, Bourgeat et al. (2003). Neste modelo que contém duas regiões uma de alta e outra de baixa permeabilidade são tratadas como dois meios que se sobrepõem, com duas equações, um para cada subdomínio. Estas equações estão acopladas por um termo de transferência que descreve a troca de água entre as duas regiões. Este termo de transferência é o componente mais critico a ser estimado. Desses três enfoques para descrever o comportamento do fluxo em um meio poroso fraturado, cada uma delas têm suas vantagens e desvantagens. Na Tabela 2-1, foi elaborado um resumo das vantagens e desvantagens destes modelos, originalmente descrito por Cook (2003).

38 38 Tabela 2-1: Vantagens e desvantagens dos modelos conceituais Cook (2003) Modelo Vantagens Desvantagens Modelo contínuo equivalente Modelo de fraturas discretas Modelo de dupla porosidade -Um enfoque mais simples com uma menor quantidade de dados necessários. -As zonas altamente fraturadas podem ser simuladas como zonas com alta porosidade e condutividade hidráulica. -Mais conveniente para aplicações à escala regionais de fluxo permanente, mas não representa as fraturas a grandes escalas. -Uma representação explícita de fraturas isoladas e redes de fraturas. -Pode permitir o intercâmbio de água e soluto entre a matriz e a fratura. -Bom para entender o processo conceptual dentro de um marco simplificado. -Útil para a determinação de parâmetros contínuos equivalentes baseados em caracterização explicita. -Adequada para sistemas na qual a matriz tem alta porosidade e permeabilidade. -Um enfoque simples, faz deste um modelo atrativo. -Permite o intercâmbio de água e soluto entre a matriz e a fratura. -Pode-se registrar as demoras das respostas de intercâmbio de água e soluto entre a matriz e fraturas devido à armazenagem da matriz. -Aplicação limitada para problemas de fluxo transiente. -Aplicação limitada para problemas de transporte de solutos. -Supõe-se que o VER pode ser definido, predições confiáveis somente podem ser feitas apenas em escalas maiores ou igual à escala que foi definida o VER. -A determinação dos parâmetros a estas escalas podem ser difícil. -Requer o conhecimento mais detalhado do campo, isto é raramente disponível. -Dificuldade para extrapolar parâmetros de pequenas escalas para escalas maiores de interesse. -Requer uma capacidade computacional alta para simular redes complexas. -Este modelo tende a sobre regularizar e simplificar a geometria do problema. -Apresenta dificuldade para quantificar os parâmetros necessários de entrada para este modelo. -Assume que o VER pode ser definido. -Predições confiáveis podem ser feitas apenas em escalas maior que ou igual à dimensão que foi definida o VER.

39 3 Modelos matemáticos e formulação numérica Os modelos matemáticos para fluxos em meios porosos fraturados que transformam os modelos conceituais em equações seguem basicamente a equação de Richards que se baseia na lei de Darcy e na equação de continuidade. A formulação numérica usada para resolver estas equações diferenciais de fluxo será solucionada pelo método dos elementos finitos. Neste capítulo se aborda brevemente as equações diferenciais governantes dos fluxos em meios porosos fraturados e o enfoque para sua solução numérica Equações governantes As equações que descrevem o fluxo em meios porosos fraturados com saturação variável requerem que as equações cumpram certas condições tanto para a matriz porosa quanto para as fraturas. Therrien & Sudicky (1996) indicam as seguintes suposições a serem consideradas na modelagem: a) o fluido é incompressível, b) o meio poroso fraturado não é deformável e c) o sistema está em condições isotérmicas. A seguir, brevemente indicam-se as equações que vêm sendo usadas para estas análises de fluxo em meios porosos fraturados. A equação que descreve o fluxo para um modelo contínuo equivalente de um meio não saturado é uma forma modificada da equação de Richards, Cooley (1983) e Huyakorn et al. (1984). + ±=,=1,2,3 (3.1) Na equação (3.1), é o tensor de condutividade hidráulica, = ( é a permeabilidade relativa do meio com relação ao grau de saturação de água,

40 40 =, é a carga de pressão, é a carga de elevação, e é teor de umidade volumétrica de saturação ou porosidade, pode ser uma fonte ou um sumidouro. O grau de saturação pode ser obtido da equação (3.2). = (3.2) sendo a umidade volumétrica. A equação (3.1) é altamente não linear e pode ser resolvida em termos e, sendo =, na qual esta relação geralmente é obtida experimentalmente. A permeabilidade relativa pode ser expressa em termos de carga total ou grau de saturação. As relações usadas para fluxo não saturado seguem as relações apresentadas por Van Genuchten (1980) que baseou seu trabalho no de Mualem (1976 apud Therrien & Sudicky, 1996), na qual a relação saturação pressão é expressa na equação (3.3): 1 = 1+,=1 1 ; 0<<1 (3.3) E a permeabilidade relativa é expressa na equação (3.4). = / 1 1 / (3.4) Nestas expressões, representa o grau de saturação, e são parâmetros obtidos de ajustar as equações (3.3) e (3.4) com resultados experimentais, = é a pressão de capilaridade e pode ser obtida da equação(3.5): = 1 = (3.5) onde, é a saturação residual, é o teor umidade volumétrica residual e é o teor umidade volumétrica de saturação. Para maiores detalhes desta parte, revisar Van Genuchten (1980), Bear et al. (1993), Therrien & Sudicky (1996), Šimůnek et al. (2003) e Telles (2006).

41 41 Zhou et al.(2003) indicam que para a zona não saturada do meio poroso fraturado, o modelo de redes de fraturas discretas precisa da capacidade de simular o fluxo na matriz, assim como nas fraturas. Cada fratura deverá ter assinado uma curva de condutividade hidráulica e uma curva de retenção. Estas curvas características serão obtidas a partir das formulações de Van Genuchten (1980) para pressões capilares e permeabilidade relativa. Therrien & Sudicky (1996) indicam que as fraturas são idealizadas como um modelo de placas paralelas em duas dimensões, isto implica que, a carga total seja uniforme através da fratura. Berkowitz et al. (1988), Sudicky e McLaren (1992) indicam que a equação que descreve o fluxo não saturado para um modelo de fraturas discretas de uma abertura uniforme 2b pode ser conseguida a partir da equação de fluxo não saturado de uma fratura. Esta equação é descrita a seguir: + 2 +± =2 (3.6),=1,2 Na equação (3.6), 2 é a abertura da fratura, é a permeabilidade relativa da fratura, = e são as cargas de pressões e de elevação, para a fratura respectivamente, é o grau de saturação da fratura, e indicaria uma fonte ou um sumidouro. De acordo com Bear (1972) a condutividade hidráulica saturada da fratura e dada por: = 2 12 (3.7) Na equação (3.7), e são a densidade do fluido e viscosidade, respectivamente, e é a aceleração da gravidade. As equações (3.1) e (3.6) estão relacionadas através da transferência de fluxo e que são os termos de transferência nas superfícies e da fratura com o meio poroso ou meio contínuo equivalente.

42 42 Para maiores detalhes desta parte, revisar Bear et al. (1993), Therrien & Sudicky (1996), Šimůnek et al. (2003), Zhang e Fredlund (2003) e Liu et al. (2003) Método numérico de solução As equações governantes estabelecidas anteriormente necessitam ser resolvidas para validar as hipóteses do modelo assumido do comportamento de fluxo no meio poroso fraturado, de acordo a condições inicias e de contorno particulares. As soluções das equações parciais podem ser obtidas de forma analítica ou usando métodos numéricos. De forma analítica podem obter-se soluções exatas, mas precisaria que os parâmetros e contornos sejam quase ideais. A vantagem da uma solução analítica é que oferece uma solução que resulta ser relativamente simples de se obter. Existem soluções analíticas para a equação de fluxo, a maioria destas relacionadas a resolver a questão hidráulica de poços que mostram uma simetria radial simplificando a solução. Para os casos no qual o método analítico de resolução não proporciona uma adequada adaptação física do problema, um caminho alternativo é a aproximação numérica. Isto se consegue fazendo que as variáveis contínuas sejam substituídas por variáveis discretas que são definidas nas células ou nós da malha, desta forma, a equação diferencial que estava definida em todo o domínio do problema é substituída por um número de equações algébricas finitas que poderão ser resolvidas utilizando técnicas matriciais. Telles (2006) aponta que neste tipo de solução se pode considerar qualquer tipo de variação no espaço e no tempo dos parâmetros dentro do domínio do problema. Konikow & Mercer (1988) indicam que existem essencialmente duas categorias de métodos numéricos aceitas para resolver estas equações de fluxo, o método de diferencias finito (MDF) e o método dos elementos finitos (MEF). Estas por sua vez têm alternativas e diferentes tratamentos quando implementadas. Ambas as abordagens requerem que o domínio seja subdivido por uma grelha (malha) para um número de subdomínios pequenos (células ou elementos) que estão associadas com os pontos nodais (sejam nos centros ou

43 43 periferias das subáreas). Um estudo mais detalhado sobre este assunto pode ser encontrado em Remson et al. (1971), Mercer & Faust (1981) e Wang & Anderson (1982). Estes métodos numéricos apresentam vantagem e limitações, de acordo com a utilidade e problema físico a abordar. No caso das diferenças finitas, sua matemática é mais simples e relativamente mais fácil de implementar computacionalmente, por apresentarem malhas retangulares regulares, facilitando, desta forma, o ingresso dos dados. Nos métodos dos elementos finitos a matemática relacionada à solução de problemas é mais complexa, o ingresso de dados é mais caprichoso, desde que este método permite a elaboração de malha de formas mais irregulares. Porém, na maioria dos casos os resultados são mais precisos em comparação ao método das diferenças finitas. No método dos elementos finitos as malhas podem contornar geometrias complexas e mais reais, com adaptabilidade e flexibilidade aceitável, permitindo refinar a malha em zonas que requer maior precisão dos resultados. Em contraparte, o método de diferenças finitas não permite que a malha se ajuste a geometrias irregulares, sendo esta uma limitação deste método de marcada diferença com o método dos elementos finitos. Na Figura 3.1 podemos observar uma aplicação hipotética das malhas de diferenças finitas e de elementos finitos para um domínio de contorno irregular. Figura 3.1: (a) Zona de influencia de um poço, (b) Modelo discretizado pelo MDF, (c) Modelo discretizado pelo MEF. Para o presente trabalho, o método de elementos finitos será usado como método para resolver as equações governantes de fluxo.

44 Métodos dos elementos finitos O método de elementos finitos (MEF) é um procedimento de análise numérico que divide o domínio de integração contínuo em um número finito de pequenas regiões que se denominam elementos finitos. Desta forma, o meio continuo torna-se um meio discreto na qual os pontos de interseção das linhas dos elementos finitos se denominam nós e é nos nós onde se calculamos valores pontuais (ex. carga de pressão, etc.) utilizando-se uma função base para determinar o valor da variável de estado dentro do elemento. Para este trabalho se utilizará o método de Galerkin para transformar as equações diferenciais em equações algébricas. Para maiores detalhes sobre a formulação do método recomenda-se revisar Neuman (1975), Zienkiewicz (1977) e Pinder & Gray (1977) Solução numérica O método dos elementos finitos será aplicado para discretizar o domínio e o método de diferenças finitas para discretizar o tempo. Com esta metodologia se dará solução a equação (3.1) correspondente a um modelo contínuo equivalente. A mesma metodologia poderá ser usada posteriormente para o tratamento da equação (3.6) relacionado aos meios porosos fraturados. Neste item, apenas para a equação (3.1), a discretização do domínio e do tempo está sendo desenvolvida Discretização do espaço O primeiro passo é definir uma função de aproximação para a carga de pressão. Neste caso :,,,=,,, (3.8) Na equação (3.8), são funções lineares básicas ou funções de interpolação linear, é a carga de pressão nodal desconhecida, solução da equação (3.1), e é o numero total de nós.

45 45 O método de Galerkin usado para discretizar um domínio, a partir da equação (3.1), propõe a seguinte forma: + ± =0 (3.9) os termos: Podem ser expressos: + (3.10) = (3.11) Sendo o coeficiente específico de armazenamento do meio poroso. Então, a equação (3.9) é reescrita como: + + ± =0 (3.12) Separando os termos da integral, a equação (3.9) pode ser reescrita como: =0 (3.13) No segundo termo da equação (3.13), a integral se desenvolve por partes, sendo esta modificada para: + = +

46 46 + (3.14) Na equação (3.14), o termo é o fluxo normal ao contorno do domínio. Como a carga de elevação não tem variação nos eixos x e y, então: = =0, =1 A equação (3.14) é reescrita desta forma: + = + (3.15) Substituindo a equação (3.15) na equação (3.13), temos: =0 (3.16) Substituindo a equação (3.8) na equação (3.16) para um elemento, temos: A equação (3.17) pode ser expressa da seguinte forma: + =0 (3.17) + + +=0 (3.18)

47 47 onde, = (3.19) = + (3.20) = = = (3.21) (3.22) (3.23) A solução numérica da equação de fluxo para meios fraturados é descrita em Telles (2006) Discretização do tempo Para discretizar o tempo é usado o método das diferenças finitas, assim, a equação (3.18) é expressa de seguinte forma: (3.24) Na equação (3.24), +1 é o passo de tempo na qual a solução esta sendo analisada, é o passo de tempo anterior, é variação do tempo Estratégia de solução A equação (3.24) é uma equação algébrica não linear, para resolvê-la se terá que usar um método iterativo para obter soluções das equações da matriz global correspondente a um tempo determinado. Os métodos iterativos são métodos que progressivamente vão calculando a solução de uma equação fazendo aproximações, este vai-se repetindo, melhorando o resultado anterior até que o

48 48 resultado mais recente satisfaça as tolerâncias indicadas. Para cada iteração, o sistema de equações já deverá ter sido relacionado com suas condições de contorno. A solução do sistema de equações é feita usando-se a eliminação de Gauss para problemas com um número de nós menor a 500 ou com uma largura de banda menor a 20, e nos outros casos, que são a maioria, se resolverá com o método do gradiente conjugado pré-condicionado com matriz simétrica desenvolvido por Mendoza et al. (1991). Para maiores detalhes revisar Šimůnek et al. (1995). Existem vários métodos iterativos para aproximar a solução de sistemas de equações não lineares, entre eles podemos citar: o Método de Newton, Método de Newton- Raphson, Método Picard, Método de Picard Modificado e Método BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). Este método BFGS, que é um método quase - Newton foi desenvolvido por Arora (1989) e foi implementado no programa de análise utilizado nesta dissertação por Telles (2006). Para o presente trabalho se usarão os métodos de Picard e BFGS. Uma comparação entre os métodos Picard e BFGS pode ser encontrada em Telles (2006). Para maiores referências desta parte, revisar Celia et al. (1987), Paniconi et al. (1991) e Telles (2006).

49 4 Procedimento para a modelagem O sistema desenvolvido para o modelamento de fluxo em meios porosos fraturados consiste de várias etapas de trabalho. Como primeira etapa é necessário determinar as características intrínsecas do próprio meio, isto é, definir e modelar espacialmente as fraturas dentro de um volume estabelecido como domínio físico do problema. Os passos seguintes compreendem em determinar as propriedades hidráulicas do meio poroso e das fraturas, identificar as condições iniciais e de contorno do problema, discretizar o domínio com uma metodologia de métodos numéricos, que para este trabalho será a metodologia de elementos finitos, e resolver as equações governantes de fluxo determinadas para cada problema em particular dentro do domínio. Como último passo, calcular as soluções e visualizar os resultados graficamente. Telles (2006) sugere uma sequência de etapas para proceder com a modelagem de fluxo e transporte em meios porosos e fraturados, as etapas são apresentadas na Figura 4.1 Figura 4.1: Etapas para modelagem de fluxo e transporte em meios porosos e fraturados, Telles (2006).

50 50 Neste capitulo descreve-se brevemente as etapas que estão sendo seguidas, a partir da metodologia recomendada por Telles (2006), a serem aplicadas nesta modelagem. Estas etapas compreendem a geração de fraturas, posteriormente, a discretização do domínio e do tempo, a solução numérica e a visualização dos resultados Geração do domínio e das fraturas Em capítulos anteriores propôs-se como modelo conceitual de fluxo a usar, um modelo de fraturas discretas inseridas em um meio poroso, nesse sentido a determinação das particularidades geométricas é essencial. Nesta etapa a geração da geometria do domínio do problema vem sucedida da identificação da área em estudo, logo é feita uma coleta de informação das características das fraturas consideradas para a escala definida, onde o volume de problema a considerar seja o suficiente para modelar com uma boa aproximação o comportamento hidráulico do maciço rochoso, deixando de lado pequenas fissuras que não sejam significativas para o problema. Além disso, é necessário que este volume não seja muito pequeno, onde famílias de fraturas sejam consideradas e o gasto computacional seja alto. Uma vez determinada a geometria do espaço de interesse e suas dimensões, identificam-se as famílias de fraturas que influem no comportamento hidráulico. A geração de fraturas seguirá dois tratamentos, um determinístico que implica ter as características das fraturas que são determinadas in-situ, e outro aleatório para fraturas que não são fácies de serem determinadas in-situ, esta geração de fraturas seguirem distribuições probabilísticas Geração de fraturas - FracGen 3D Nesta fase de trabalho a geração das fraturas será feita com o programa FracGen 3D (Three-dimensional Fracture Generator), desenvolvido por Telles (2006) na linguagem C++. Este programa tem um entorno gráfico-iterativo com diferentes características e funcionalidades, das quais podem-se destacar:

51 51 Geração de regiões Geração de poços Importação de geometria de poços Importação de dados de campo relacionado a poços Importação de superfícies Aplicação de condições de contorno de fluxo e transporte de soluto Aplicação de condições iniciais de fluxo e transporte de soluto Definição das propriedades do fluido Definição dos dados para análise numérica. O FracGen permite gerar fraturas tridimensionais nos modos determinísticos e probabilísticos. A geração determinística da fratura (single frature SF) é condicionada pela entrada de dados iniciais relacionadas à fratura como: Coordenadas do centro da fratura Direção de mergulho Mergulho Abertura Tamanho Número de lados. Na Figura 4.2 pode se verificar 2 regiões simples em forma de paralelepípedo, nelas foram geradas 4 fraturas determinísticas, 3 delas de similares características.

52 52 Figura 4.2: Fraturas geradas no FracGen 3D de forma determinística. Na geração de fraturas estatísticas (multi-fracture MF) duas metodologias foram implementadas no programa FracGen3D, denominadas de Metodologia 1 e Metodologia 2. Na metodologia 1, as fraturas são geradas ao longo de uma direção cujo ponto inicial é gerado aleatoriamente dentro dos limites da região, enquanto que na metodologia 2, o número de fraturas geradas na região é definido pela freqüência e a localização dos centros, geradas aleatoriamente dentro dos limites da região. Na Figura 4.3 pode ser visto uma região cúbica e nela foi gerada 8 famílias de fraturas, 5 delas com a metodologia 1 e 3 delas com a metodologia 2. No total tem-se 78 fraturas. Figura 4.3: Famílias de fratura geradas no FracGen 3D de forma estatística.

53 53 Telles (2006) avaliou a capacidade do FracGen 3D em gerar fraturas, gerando 60 famílias de fraturas em uma região com dimensões 500 x 500 x 500 m. No total foram geradas 2738 fraturas (Figura 4.4), concluindo-se que o gerador não apresenta limitações em relação ao número de fraturas obtidas. Uma descrição mais detalhada das vantagens deste programa pode ser encontrada em Telles (2006). Figura 4.4: Distribuição espacial com 2738 fraturas geradas aleatoriamente, Telles (2006) Procedimento A geometria do domínio do problema é gerada no FracGen, nesta geração cria-se superfícies e contornos. O FracGen permite a importação de superfícies criadas no programa Gocad, programa editor de superfícies, de extensões (*.ts). O próximo passo é a geração das famílias de fraturas, de modo determinístico ou probabilístico, segundo a particularidade do problema. Posterior à geração de fraturas dentro do volume fechado do domínio, o FracGen cria um arquivo com extensões (*.frc) onde se armazena mas informações das fraturas, informações de nome da família que pertence, numeração da fratura, coordenadas dos vértices das fraturas, etc. Do nosso interesse são as coordenadas dos vértices das fraturas. Esta

54 54 informação de coordenadas serão usadas para esquematizar as fraturas no programa ICEM CFD v.14, programa que será usado para discretizar o domínio mediante malhas de elementos finitos. Esta etapa conclui com a correta geração do arquivo de extensão (*.frc). Na Figura 4.5 pode ser visto o entorno FracGen com a geração de famílias de fraturas de modo probabilístico. Figura 4.5: Fraturas geradas com FracGen 3D Discretização do domínio No método dos elementos finitos o domínio é dividido em pequenos subdomínios que se denominam elementos finitos, na qual as equações diferenciais propostas são supostas válidas em cada elemento, as variáveis de estado (ex. carga total) são resolvidas em um conjunto de pontos denominado pontos nodais, que são os pontos vértices dos elementos finitos, e as variáveis de estado dentro do elemento são calculadas usando funções de interpolação. A geração destes elementos finitos (malha de elementos finitos) é umas das etapas mais importantes da modelagem. Uma boa discretização do domínio garante uma melhor aproximação do fenômeno físico de fluxo, esta malha representa o domínio continuo de nosso problema de uma maneira discreta, esta

55 55 discretização permite que as equações governantes possam ser resolvidas numericamente. Existem dois tipos de malhas, a estruturada e a não estruturada. A malha estruturada refere uma malha na qual os elementos tem igual número de elementos vizinhos. Esta é implementada geralmente pelo método das diferenças finitas e apresenta-se muito conveniente para geometrias de domínio simples, além de requerer um gasto computacional aceitável. Na malha não estruturada não necessariamente cada elemento apresenta igual número de elementos vizinhos, geralmente está é implementada pelo método de elementos finitos. Esta última apresenta vantagens como flexibilidade para contornos irregulares de geometrias complexas, mas sua solução requer um gasto computacional maior em comparação com o da malha estruturada. O método dos elementos finitos é empregado neste trabalho para discretizar o domínio do espaço com elementos não estruturados, que para o caso de geometrias planas (fraturas e contorno), serão discretizadas com elementos triangulares, e para o espaço tridimensional (meio poroso e meio intensamente fraturado), serão discretizados com elementos tetraédricos. Esta discretização gera uma malha compatível, na qual os nós dos elementos planos (fraturas) são coincidentes com os nós dos elementos de volume (ex. meio poroso), ver Figura 4.6. Desta forma os nós apesar de que pertençam a elementos diferentes, compartilham as mesmas coordenadas e numeração, garantindo uma continuidade da carga hidráulica na interface entre os dois meios,telles (2006). Figura 4.6: Compatibilidade dos nós dos elementos representativos do meio poroso e dos elementos representativos das fraturas, Telles (2006).

56 Geração da malha ICEM CFD v. 14 Para a geração da malha é usado o programa ICEM CFD v.14, com este é gerado uma malha não estruturada que se compõe de elementos volumétricos tetraédricos e de superfícies triangulares (tetra/mixed). O ICEM tem como vantagem ter uma geração de malha automática, muito adequada para geometrias complexas. No entanto, requer-se de um processo de edição intenso para eliminar os erros que se produzem e assim garantir uma melhor aproximação à geometria do problema. O ICEM permite importar geometrias em diversas extensões além de permitir a importação de arquivos de dados de pontos que conformam alguma geometria. Complementarmente apresenta uma geração eficiente da malha, um diagnóstico e edição com ferramentas interativas, um entorno gráfico (ver Figura 4.7) que facilita a manipulação do programa e uma grande variedade de saídas para diversos solvers e formatos neutros. Para maiores detalhes revisar ANSYS ICEM CFD v (2009). Figura 4.7: Entorno gráfico ICEM CFD v.14

57 Procedimento Nesta etapa descreve-se brevemente alguns passos e sugestões para gerar as geometrias do problema e sua posterior malha na interface do programa ICEM. Esta etapa é requerida para gerar arquivos de saída com dados da malha que serão usadas na seguinte fase. O programa FracGen 3D gera um arquivo de saída de extensão (*frc) com as características geométricas das fraturas. Para unir os dois programas, FracGen e ICEM, faz-se necessário implementar um código de programação para a criação de um script (*.rpl) que permite a geração automática de fraturas no ICEM a partir do arquivo (*.frc) do FracGen. Esta rotina em linguagem C++ foi feita como parte desta dissertação, com o intuitivo de gerar as geometrias das fraturas no ICEM. (Figura 4.8). Figura 4.8: Geração das fraturas a partir do script. Após de terem sido geradas as fraturas no ICEM, se terá de fazer uma edição na geometria das fraturas segundo a particularidade do problema. Aqui no programa existem ferramentas disponíveis para a mencionada edição. Nas figuras

58 e 4.10, podemos ver a geometria inicial e a geometria depois da edição, respetivamente. Figura 4.9: Geometria inicial das fraturas. Figura 4.10: Geometria após edição das fraturas. Nesta etapa continua-se com a geração da malha de elementos finitos. No ICEM tem-se um critério de desenho com respeito às entidades, respeita-se as

59 59 hierarquias, isto é, primeiro se define os pontos, depois as curvas, áreas e volumes. O programa só gera malha em geometrias definidas e volumes fechados, nesse sentido devera-se definir as geometrias antes de começar este processo sob a prévia escolha do tamanho dos elementos. O tamanho dos elementos não é fácil de especificar e só se poderia avaliar posteriormente na etapa de validação de resultados. Neste trabalho não se avaliarão os tamanhos dos elementos. A partir da malha criada deve-se eliminar os erros provocados pela geração automática dos elementos. Para esta fase existem ferramentas no ICEM que permitem a edição dos elementos. Uma vez feita as correções se verificará a qualidade da malha. O programa tem um verificador de qualidade e um suavizador de elementos. A qualidade da malha tem um impacto considerável na análise computacional da solução e no tempo que se requer para resolver. Existem vários critérios para avaliar a qualidade da malha de elementos triangulares e tetraédricos, como a de razão de aspecto e avaliação dos ângulos mínimos e máximos, entre outros. A avaliação da razão de aspecto vem de dividir duas razões, o raio inscrito do elemento pelo raio circunscrito do elemento, este quociente é um indicador da qualidade do elemento. O ICEM normaliza este quociente assim: (_/_)_ (_/_)_, na qual o quociente ideal corresponde a um triangulo equilátero. Para elementos tetraédricos se tem as mesmas considerações de raio inscrito e circunscrito. Assim os valores do indicador de qualidade normalizado ficaram entre 0 1. Idealmente os valores da razão deveriam de estar acima de 0.2, mas em geometrias complexas é aceitável uma razão acima de Com relação à qualidade dos ângulos interiores dos elementos, estes deveriam ficar entre valores de 15º e 165º graus sexagesimais para assumir que os elementos da malha sejam de boa qualidade. Mas em casos de geometrias complexas se poderia considerar a faixa entre 10º e 170º graus sexagesimais. Na Figura 4.11 podemos ver uma verificação da qualidade feita com o ICEM.

60 60 Figura 4.11: Verificação da qualidade da malha gerada no ICEM Em termos de desempenho nos programas de análise, o ICEM dispõe uma opção para otimizar a numeração dos nós uma vez feita a malha e terminada sua edição. Esta renumeração é importante para ter uma largura de banda de acordo com um bom desempenho do modelo numérico, conseguindo, desta maneira, otimizar o tempo de cálculo, produzindo um menor gasto computacional. Após a verificação e correção da malha de elementos finitos e a posterior otimização da largura de banda, identificam-se os nós dos elementos que apresentarem condições de contorno e se identificarão também as fraturas. O passo seguinte é a exportação de dois arquivos de saída necessários para a seguinte etapa. Um deles é um arquivo com extensão (*.dat) envolvido na conectividade dos elementos planos triangulares de fratura e elementos tetraédricos do meio poroso. Este arquivo (*.dat) também identifica os nós que tem condições de contorno e a qual elementos estes pertencem. O outro arquivo de saída de extensão (*.exp) está envolvido na entrada de coordenadas dos nós dos elementos. Esta etapa conclui com a correta exportação dos arquivos referidos.

61 61 As figuras apresentadas neste item como parte ilustrativa foi feito especificamente para explicar este procedimento. A análise deste modelo não foi desenvolvida por conter mais de 500,000 elementos finitos, superando a capacidade computacional disponível para este trabalho Solução numérica e visualização de resultados O programa de análise usado para esta etapa foi o FTPF-3D (Simulating Flow and Solute Transport in Porous and Fractured Media Three-dimensional) desenvolvido por Telles (2006). Este programa resolve análise de fluxo, transporte de soluto e trajetória de partículas em meios porosos e fraturados, usando como código fonte o programa SWMS3D Code for Simulating Water Flow and Solute Transport in Three-Dimensional variably- Saturated Media (Šimůnek et al.,1995) desenvolvido na linguagem Fortran 77. Este programa usa o método de elementos finitos para resolver as equações de fluxo em regimes transiente e permanente em condições saturadas e não saturadas. Os métodos de Picard e BFGS são empregados para resolver a não linearidade das equações. Para resolver o sistema de equações usa o método de eliminação de Gauss para problemas com largura de banda menor a 20 ou com um numero menor de 500 nós. Para os outros casos usa o método de gradiente conjugado pré-condicionado com matriz simétrica. Para maiores alcances das vantagens deste código revisar Šimůnek et al. (1995). A validação dos resultados das análises feita pelo programa FTPF-3D éverificado em Telles (2006). Para a visualização dos resultados usou-se o programa Pos3D - A Generic Three-Dimensional Postprocessor ( ) desenvolvido pelo TeCGraf- PUC/RIO CENPES/PETROBRAS Convention Procedimento Na etapa de geração de malha com o programa ICEM obteve-se dois arquivos: com extensões (*.dat) e (*.ex). Com estes arquivos gera um arquivo neutral file (*.nf) que contém informação da malha, condições inicias e de

62 62 contorno assim como informação das propriedades hidráulicas do meios físicos. Além disso, este arquivo neutral file contém os valores das propriedades do fluido, tolerâncias de análise e o tipo de análise (transiente ou permanente). Para obter este arquivo neutral file se usou um código de programação na linguagem C++ que foi desenvolvido por Castagnoli em Este código foi ligeiramente modificado nesta dissertação com algumas considerações adicionais para diversificar as aplicações. O programa de análise FTPF-3D para resolver as equações governantes de fluxo usa como arquivo de entrada de dados o arquivo neutral file (*.nf), e como resultado da análise se obtem-se um arquivo de saída (*.pos). Este arquivo de saída contém os resultados de cargas de pressão, cargas totais e vetores de velocidades. Estas poderão ser visualizadas graficamente usando o programa POSD3D.

63 5 Exemplos Neste capítulo são apresentados cinco exemplos para avaliar a metodologia de análise aplicada à modelagem de fluxo em meios porosos fraturados que está sendo proposto neste trabalho Exemplo 1 análise de fluxo em um meio poroso fraturado No exemplo 1 apresenta-se um modelo simples de análise numérica para validar a consistência dos resultados para condições particularmente impostas. Este modelo é composto de um domínio de forma cúbica com duas famílias de fraturas inseridas em uma região porosa não saturada. A análise foi feita para duas condições; uma primeira análise de fluxo em regime permanente e uma segunda em condições de regime transiente. Para ambas as análises o método iterativo empregado foi o método de Picard. Nas figuras 5.1 e 5.2 podem-se observar o modelo em análise, isto é, a geometria das fraturas e o meio de forma cúbica, respectivamente. Figura 5.1: Geometria do exemplo 1 contendo as famílias de fraturas e a malha de elementos finitos triangulares.

64 64 Figura 5.2: A malha de elementos finitos tetraédricos do meio poroso e das fraturas com elementos triangulares. O cubo do modelo tem dimensões de 100 x 100 x 100 m. As características geométricas das famílias de fraturas estão apresentadas na Tabela 5-1. Tabela 5-1: Características geométricas das famílias de fraturas para o Exemplo 1. Características geométricas Família 1 Família 2 Número de fraturas 3 3 Metodologia de geração FracGen Metodologia 1 Metodologia 2 Orientação: direção de mergulho e mergulho 90º e 45º 180º e 60º Tamanho m. Tamanho m. Tamanho e forma da (distribuição uniforme) (distribuição uniforme) fratura Poligonal de 8 lados Poligonal de 8 lados Os parâmetros hidráulicos dos meios físicos estão listados na Tabela 5-2.

65 65 Tabela 5-2: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 1 para a função analítica de Van Genuchten (1980). Meios físicos Meio poroso Famílias 1 e 2 ( ) ( ) ( ) (/) ( ) x x x x10-6 A malha gerada apresenta as características descritas na Tabela 5-3. Tabela 5-3: Resumo dos elementos da malha do exemplo 1. Elementos Nós Triangulares (fraturas) Tetraédricas (meio poroso) Total de elementos As condições iniciais e de contorno deste exemplo podem ser verificadas na Figura 5.3. Apresentam-se 2 fases, uma a 25.0m da base em condições saturada e o resto em condições não saturadas. Há uma única condição de contorno de carga de pressão, esta carga está aplicada no topo e é igual a 50.0m. Os outros contornos são impermeáveis. O modelo comporta-se como um copo que vai sendo enchido de água e que apresenta caminhos preferenciais representados pelas fraturas. h p = 50 m hpi=-75 m h=100 m LF hpi=25 m Figura 5.3: Condições iniciais e de contorno do exemplo 1.

66 66 1. A seguir apresentam-se os resultados obtidos das análises feitas no exemplo Análise de fluxo em regime permanente exemplo 1 Na Figura 5.4 apresenta-se a distribuição das cargas de pressão para as condições de contorno indicadas. h p (m) Figura 5.4: Distribuição das cargas de pressões do exemplo1. Da mesma forma, na Figura 5.5 verifica-se o valor de carga total de 150 m para todo o domínio inteiro. h T (m) Figura 5.5: Distribuição das cargas totais do exemplo 1.

67 Análise de fluxo em regime transiente exemplo 1 Apresenta-se a seguir alguns resultados obtidos da análise em regime transiente. As figuras 5.6, 5.7, 5.8 e 5.9 mostram a distribuição das cargas de pressão nas fraturas obtidas nos tempos 1 dia, 7 dias, 30 dias, 800 dias, respectivamente. Esta variação das cargas no tempo permite verificar como a frente de saturação vai avançando pelas fraturas implicando em mudanças nas cargas de pressão. h p (m) Figura 5.6: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 1 dia. h p (m) Figura 5.7:Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 7 dias.

68 68 h p (m) Figura 5.8: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 30 dias. h p (m) Figura 5.9: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1 para um tempo de 800 dias Exemplo 2 análise de fluxo em um meio poroso e um meio poroso fraturado No exemplo 2 apresenta-se um modelo que compreende duas regiões, um meio poroso e um meio poroso fraturado. O meio poroso fraturado contém 2 famílias de fraturas. A análise foi feita de duas formas; uma análise de fluxo em regime permanente e a outra análise em condições de regime transiente. Para ambas as análises o método iterativo usado foi o método de Picard. Na Figura 5.10 e Figura 5.11 podem-se observar a geometria das fraturas e dos meios respectivamente.

69 69 Meio Poroso Meio Poroso Fraturado Figura 5.10: Geometria do exemplo 2 contendo as famílias de fraturas e a malha de elementos finitos triangulares. 50 m 100 m 100 m 200 m Figura 5.11: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e das fraturas com elementos finitos triangulares. De acordo com a Figura 5.11, o paralelepípedo tem dimensões de 200m de largura, 100m de espessura e 150 m de altura. As características geométricas das famílias de fraturas são apresentadas na Tabela 5-4.

70 70 Tabela 5-4:Características geométricas das famílias de fraturas para o exemplo 2. Características geométricas Família 1 Família 2 Numero de fraturas 7 8 Metodologia de geração FracGen Metodologia 2 Metodologia 2 Orientação: direção de mergulho e mergulho 180º e 60º 90º e 60º Tamanho 50 70m. Tamanho m. Tamanho e forma da (distribuição uniforme) (distribuição uniforme) fratura Poligonal de 8 lados Poligonal de 8 lados Os parâmetros hidráulicos dos meios físicos estão listados na Tabela 5-5 Tabela 5-5: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 2 para a função analítica de Van Genuchten (1980). Meios físicos Meio poroso Meio poroso fraturado Famílias de fraturas 1 e 2 ( ) ( ) ( ) (/) ( ) x x x x10-6 A malha gerada apresenta as características descritas na Tabela 5-6.

71 71 Tabela 5-6: Resumo dos elementos da malha do exemplo 2. Elementos Nós Triangulares (fraturas) Tetraédricas (meio poroso) Total de elementos As condições iniciais e de contorno em termos de carga de pressão estão esquematizadas nas figuras 5.12 e 5.13 respectivamente. h pi =-50m. Meio Poroso MeioPoroso Fraturado Figura 5.12: Condições iniciais do exemplo 2. h p = 125 m h p = 150 m Figura 5.13: Condições de contorno do exemplo 2.

72 72 exemplo. A seguir se apresentam os resultados obtidos das análises feitas para este Análise de fluxo em regime permanente exemplo 2 Neste item apresentam-se resultados da análise de fluxo em regime permanente. A partir das figuras 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18 pode-se verificar as distribuições de cargas de pressão, cargas totais e campo de velocidades. Neste exemplo verifica-se a diferença no comportamento hidráulico de dois meios, um poroso e o outro poroso fraturado. Pode-se verificar um decaimento das cargas totais no meio poroso maior em comparação à rede de fraturas inseridas no meio poroso, isto é, em virtude da mostrar menor resistência ao fluxo. Na Figura 5.18 pode-se observar este comportamento constatando os valores das velocidades. h p (m) Figura 5.14: Distribuição das cargas de pressões do exemplo 2.

73 73 h p (m) Figura 5.15: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do exemplo 2. h T (m) Figura 5.16: Distribuição das cargas totais do exemplo 2. h T (m) Figura 5.17: Distribuição das cargas totais das fraturas do exemplo 2.

74 74 (m/dia) Figura 5.18: Campo de velocidades das fraturas do exemplo Análise de fluxo em regime transiente exemplo 2 Na etapa transiente desta análise de fluxo, os resultados obtidos podem ser verificados nas figuras 5.19, 5.20, 5.21 e 5.22 para distribuição de cargas totais nas fraturas e meio poroso obtido nos tempos 0 dias,10 dias, 100 dias, 1000 dias respectivamente. h T (m) Figura 5.19 Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 no tempo zero.

75 75 h T (m) Figura 5.20:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 10 dias. h T (m) Figura 5.21: Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 100 dias. h T (m) Figura 5.22:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do Exemplo 2 para um tempo de 1000 dias.

76 Exemplo 3 análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura vertical Neste exemplo é analisado um talude que compreende de duas regiões, um meio poroso e um meio poroso fraturado. O meio poroso fraturado contém uma fratura vertical isolada. A análise de fluxo foi feita para condições de regime permanente, de duas formas; uma primeira análise sem considerar a fratura e a segunda considerando a fratura. Isto com o intuito de verificar a influência da fratura no comportamento hidráulico do talude. Em ambas as análises, o método iterativo usado foi o método de Picard. Nas figuras 5.23 e 5.24 podem-se observar a geometria da fratura e dos meios, respectivamente. Meio Poroso Fratura Vertical Figura 5.23:Geometria do exemplo 3 contendo a fratura isolada e a malha de elementos finitos triangulares. 15 m 25 m 30 m 10 m 50 m 100 m Figura 5.24:A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e da fratura isolada com elementos finitos triangulares.

77 77 O talude tem dimensões de 100 m de largura, 30 m de espessura, 25m de altura à jusante e 50 m de altura à montante, como se mostra na Figura A fratura está localizada no centro do talude e equidistante dos lados do talude. As características geométricas da fratura estão apresentadas na Tabela 5-7 Tabela 5-7: Características geométricas da fratura do exemplo 3. Características Fratura isolada geométricas Numero de fraturas 1 Metodologia de geração Determinística Orientação: direção de 90º e 90º mergulho e mergulho Tamanho e forma da Tamanho 60 x 25 m. fratura Polígono de 4 lados Os parâmetros hidráulicos dos meios físicos estão descritos na Tabela 5-8. Tabela 5-8: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 3. Meios físicos (/) ( ) Meio poroso 5.79x Meio poroso 5.79x fraturado Fratura 5.79x x10-6 A malha gerada apresenta as características descritas na Tabela 5-9. Tabela 5-9: Resumo dos elementos da malha do exemplo 3. Elementos Nós Triangulares (fraturas) Tetraédricas (meio poroso) Total de elementos

78 78 As condições de contorno em termo de carga de pressão podem ser verificadas na Figura Meio Poroso Meio Poroso Fraturado h p = 40 m h p = 20 m Figura 5.25: Condições de contorno do exemplo 3. A seguir apresentam-se os resultados obtidos das análises de fluxo permanente e transiente para o talude sem fratura e com fratura Análise de fluxo em regime permanente exemplo 3 Os resultados da análise em regime permanente estão elaborados em termos de cargas totais, cargas de pressão e campo de velocidades, para ambos os domínios, isto é, para o talude com fratura e sem fratura. Quando se analisam estes modelos como um meio contínuo equivalente, isto é, sem modelar a fratura, não há como verificar a influência da fratura nas cargas de pressão, totais e campo de velocidades que poderiam ocasionar, eventualmente, alguns problemas de instabilidade. Um modelo considerando a fratura apresenta um comportamento diferenciado, como podemos verificar nas figuras 5.27, 5.29 e Nesta análise pode-se verificar a notável influência da fratura. Isto é importante, por exemplo, quando se analisa transportes de solutos.

79 79 h p (m) Vista no plano XZ para o eixo y =15 m Figura 5.26: Distribuição das cargas de pressões no talude sem fratura do Exemplo 3. h p (m) Vista no plano XZ para o eixo y =15 m Figura 5.27: Distribuição das cargas de pressões no talude com fratura do Exemplo 3.

80 80 h T (m) Vista no plano XZ para o eixo y =15 m Figura 5.28: Distribuição das cargas totais no talude sem fratura do Exemplo 3. h T (m) Vista no plano XZ parao eixo y =15 m Figura 5.29: Distribuição das cargas totais no talude com fratura do Exemplo 3.

81 81 (m/dia) Vista no plano XZ para o eixo y =15 m Figura 5.30: Campo de velocidades no talude sem fratura do Exemplo 3. (m/dia) Vista no plano XZ parao eixo y =15 m Figura 5.31: Campo de velocidades no talude com fratura do Exemplo 3.

82 82 (m/dia) B (x = 80 m) A (x = 20m) Figura 5.32: Campo de velocidades na fratura e em no meio poroso do exemplo 3. (m/dia) Figura 5.33: Campo de velocidades do talude no ponto B da Figura (m/dia) Figura 5.34: Campo de velocidades do talude no ponto A da Figura 5.32.

83 Exemplo 4 análise de fluxo aplicado a um talude com fraturas verticais e uma junta de alivio No exemplo 4 apresenta-se um talude, que consiste de duas regiões, um meio poroso e um meio poroso fraturado. O meio poroso fraturado contém 3 fraturas verticais e 1 junta do alivio que é uma formação comum nos taludes do Rio de Janeiro. A análise de fluxo foi feita em regime permanente. Para a análise o método iterativo de Picard foi usado. Nas figuras 5.35 e 5.36 pode-se observar a geometria das fraturas e dos meios, respectivamente. 10 m 10 m 10 m Junta de alivio Fraturas Figura 5.35:Geometria do exemplo 4 contendo a família de fraturas, junta do alivio e a malha de elementos finitos triangulares. 70 m 35 m 30 m 100 m Figura 5.36: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios, fraturas e a junta do alívio com elementos finitos triangulares.

84 84 O modelo tem dimensões de 100 m de largura, 30 m de espessura, 35 m de altura no talude à jusante e 70 m de altura no talude à montante, tal como se indicam nas figuras 5.35 e As fraturas estão espaçadas a cada 25 m ao longo do eixo X, a junta do alívio é paralela à superfície do contato como uma interface entre o meio poroso e o meio poroso fraturado. As características geométricas das fraturas e da junta de alívio estão apresentadas na Tabela Tabela 5-10:Características geométricas da fratura do exemplo 4. Características geométricas Família de fraturas Junta de alívio Numero de fraturas 3 1 Metodologia de geração Determinística Determinística Orientação: direção de mergulho e mergulho 180º e 90º 90º e 0º Paralela à superfície de Tamanho e forma da Tamanho 10 x 30 m. contato entre os dois fratura Polígono de 4 lados meios Os parâmetros hidráulicos dos meios físicos estão detalhados na Tabela Tabela 5-11: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 4. Meios físicos Meio poroso Meio Poroso fraturado Fratura e junta de alivio (/) ( ) 5.4x x x x10-6 A malha gerada apresenta as características resumidas na Tabela 5-12

85 85 Tabela 5-12: Resumo dos elementos da malha do exemplo 4. Elementos Nós Triangulares Tetraédricas Total de elementos (fraturas) (meio poroso) estudo. A Figura 5.37 indica as condições de contorno aplicadas neste caso de Meio Poroso Meio Poroso Fraturado h p = 70 m h p = 25 m Figura 5.37: Condições de contorno do exemplo 4. A seguir estão sendo apresentados os resultados obtidos da análise de fluxo. Este exemplo permitiu observar o comportamento hidráulico de um talude típico do Rio de Janeiro Análise de fluxo em regime permanente exemplo 4 Os resultados da análise de fluxo permanente estão expressos em termos de cargas de pressão, cargas totais e campo de velocidades, de acordo com as figuras 5.38, 5.39 e 5.40 respectivamente. Isto nos permite verificar as condições hidráulicas na que se encontraria o talude sob estas condições de contorno. Além disso, podemos verificar a posição da linha freática no talude e da distribuição das cargas pressões nas fraturas e nos meios para controlar eventuais problemas de instabilidade.

86 86 h p (m) Figura 5.38: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas e na junta de alivio do exemplo 4. h T (m) Figura 5.39: Distribuição das cargas totais nas fraturas e na junta de alivio do exemplo 4.

87 87 (m/dia) Figura 5.40: Campo de velocidades no talude do exemplo 4. (m/dia) Figura 5.41: Campo de velocidades das fraturas e da junta de alivio do exemplo Exemplo 5 análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura vertical e uma junta de alivio No exemplo 5 apresenta-se um talude deformação geológica típica do Rio de Janeiro. Este consiste de duas regiões, um meio poroso e um meio poroso fraturado, um sobrepondo o outro. O meio poroso fraturado contém 1 fratura isolada vertical e 1 junta de alívio que é paralela à superfície de contato. A análise foi feita em condições de regime permanente. Para esta análise, o método iterativo

88 88 BFGS foi usado. Nas figuras 5.42 e 5.43 permitem observar a geometria das fraturas e dos meios,respectivamente. Junta de Alivio Meio Poroso Fratura Vertical Figura 5.42:Geometria do exemplo 5 contendo a fratura isolada vertical, a junta do alivio e a malha de elementos finitos. 10 m 65 m 35 m 15 m 30 m 100 m Figura 5.43: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios porosos, a fratura e junta de alivio com elementos triangulares. O talude tem dimensões de 100 m de largura, 30 m de espessura, 35 m de altura do talude à jusante e 65m de altura do talude à montante, tal como se indica na Figura A fratura isolada está localizada no centro do talude e se inicia em

89 89 x= 10 m indo até um x=50 m. A junta do alívio é paralela à superfície do contato entre o meio poroso e o meio poroso fraturado. As características geométricas das fraturas e junta de alívio estão resumidas na Tabela Tabela 5-13: Características geométricas da fratura do exemplo 5. Características geométricas Fratura isolada Junta de alívio Numero de fraturas 1 1 Metodologia de geração Determinística Determinística Orientação: direção de mergulho e mergulho 90º e 90º 90º e 0º Tamanho e forma da Paralela à superfície de Tamanho 40 x 25 m. fratura contato Os parâmetros hidráulicos dos meios físicos estão detalhados na Tabela Tabela 5-14: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 5. Meios físicos Meio poroso Meio poroso fraturado Fratura e junta de alivio (/) ( ) 5.8x x x x10-6 A malha gerada apresentam as características mostradas na Tabela Tabela 5-15: Resumo dos elementos da malha do exemplo 5.

90 90 Elementos Nós Triangulares Tetraédricas Total de Elementos (fraturas) (meio poroso) As condições de contorno deste caso de estudo podem ser verificadas na Figura Meio Poroso Meio Poroso Fraturado h p = 65 m h p = 25 m Figura 5.44:Condições de contorno do exemplo 5. A seguir apresentam-se os resultados obtidos da análise do fluxo Análise de fluxo em regime permanente exemplo 5 Este exemplo tem uma variante na conformação espacial das estruturas quando comparado com o exemplo 4, de acordo com as figuras 5.35 e Os resultados da análise de fluxo permanente estão expressos em termos de cargas de pressão, cargas totais e campo de velocidades, de acordo com as figuras 5.45, 5.46 e O comportamento hidráulico deste talude típico é diferente do exemplo 4, o qual pode ser observado a partir do campo de velocidades, figuras 5.48 e 5.49, indicando uma subida do fluxo pela fratura vertical, a qual pode nos indicar uma

91 91 possível ocorrência de problemas de instabilidade do talude sob estas condições de contorno. h p (m) Figura 5.45: Distribuição das cargas de pressões no talude do exemplo 5. h T (m) Figura 5.46: Distribuição das cargas totais no talude do exemplo 5.

92 92 h T (m) Figura 5.47: Distribuição das cargas totais da fratura e junta de alivio do exemplo 5. (m/dia) Figura 5.48: Campo de velocidades do talude do exemplo 5.

93 93 (m/dia) Figura 5.49: Campo de velocidades da fratura e junta de alivio do exemplo 5.