ADAPTAÇÃO DE UM ALGORITMO BASEADO EM ENXAME DE PARTÍCULAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COM DOIS OBJETIVOS

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA DE SISTEMAS ADAPTAÇÃO DE UM ALGORITMO BASEADO EM ENXAME DE PARTÍCULAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COM DOIS OBJETIVOS Monografia submetida à banca examinadora designada pelo Coordenador da Especialização em Engenharia de Sistemas da Universidade Estadual de Montes Claros, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Especialista em Engenharia de Sistemas. por Felipe Túlio de Castro Orientador: Prof. Dr. Renato Dourado Maia Abril

2 Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências da Computação Especialização em Engenharia de Sistemas ADAPTAÇÃO DE UM ALGORITMO BASEADO EM ENXAME DE PARTÍCULAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COM DOIS OBJETIVOS Autor: Felipe Túlio de Castro Orientador: Prof. Dr. Renato Dourado Maia Monografia submetida à banca examinadora designada pelo Coordenador da Especialização em Engenharia de Sistemas da Universidade Estadual de Montes Claros, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Especialista em Engenharia de Sistemas. Banca Examinadora Prof. Dr. Renato Dourado Maia (Unimontes) (Orientador) Prof. Me. Allysson Steve Mota Lacerda (Unimontes) Prof. Dr. João Batista Mendes (Unimontes) Montes Claros, MG Abril/2015

3 Resumo Esse trabalho visa adaptar um algoritmo intitulado Particle Swarm Opmization (PSO), que é baseado em inteligência de enxame, para trabalhar com problemas de otimização com dois objetivos. Foram utilizadas técnicas e ferramentas de desenvolvimento de software, específicas da área de inteligência Computacional, comumente aplicadas a problemas considerados de alta complexidade. Para a fase de testes optou-se por fazer uso dos problemas clássicos da linha de pesquisa denominada Otimização Multiobjetivo. O algoritmo desenvolvido para a adaptação mostrou uma capacidade razoável e satisfatória para obter os resultados nos problemas de benchmark ZDT, que conceitualmente falando, formam a chamada Fronteira Pareto, ou conjunto de pontos Pareto-ótimos. Palavras-chave: Otimização Multiobjetivo, algoritmo PSO, Problemas ZDT. Abstract This work aims to adapt an algorithm, called Particle Swarm Opmization (PSO), based on swarm intelligence, to work with optimization problems that require solving two objectives to achieve satisfactory results. Were used techniques, specific to the area of computational intelligence, commonly applied to problems that are considered as high complexity. For testing phase, we decided to make use of the classic problems of research line called Multi-objective Optimization. The algorithm developed for adaptation demonstrated a reasonable and satisfactory ability to get the results of ZDT benchmark problems, that conceptually speaking, form the so-called Pareto frontier, or Pareto-optimal set of points. Keywords: Multi-objective Optimization, PSO algorithm, ZDT problems.

4 Agradecimentos Primeiramente, gostaria de agradecer a meu orientador, o Prof. Dr. Renato Dourado Maia, pela enorme paciência durante todo o tempo investido na elaboração desse trabalho. Em seguida, agradeço a minha namorada, Aline Angélica Costa Teixeira, por ceder parte do nosso tempo juntos para que eu me dedicasse ao desenvolvimento da pesquisa científica. Por fim, agradeço ao amigo Breno Peixoto dos Santos pela colaboração firme nos processos de leitura, avaliação e revisão do texto escrito.

5 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Otimização Mono-objetivo (Otimização Escalar) Otimização Multiobjetivo (Otimização Vetorial) A determinação das soluções eficientes Algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) Multi-objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) Caracterização do problema Metodologia Organização do trabalho DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO Ambiente de desenvolvimento Algoritmo implementado Parâmetros de configuração do algoritmo Verificação da dominância entre dois pontos Rankeamento das soluções não-dominadas RESULTADOS Problema ZDT Experimentos e resultados Problema ZDT Experimentos e resultados Problema ZDT Experimentos e resultados Problema ZDT Experimentos e resultados Problema ZDT Experimentos e resultados CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 59

6 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Superfície tridimensional e curvas de nível de uma função Figura 2 - A linha corresponde ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem a restrição de igualdade hx = 0. Essa linha é a região factível de um problema de otimização Figura 3 - Superfícies que representam o gráfico de uma função não-linear de duas variáveis reais. Essas superfícies poderiam representar uma função Figura 4 a) Dominância do ponto y A em relação ao ponto y B. b) Situação onde tem-se vários pontos dominando vários outros pontos Figura 5 a) Conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem I da função f(. ) da Figura 4a. b) Conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem I da função f(. ) da Figura 4b Figura 6 - Exemplos de conexão entre as partículas. A figura à esquerda apresenta um exemplo do método gbest. A figura à direita, por outro lado, representa o método lbest Figura 7 Fronteira Pareto-ótima conhecida para o problema ZDT Figura 8 Os 4 primeiros gráficos apresentados mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 50 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 100 partículas e as mesmas variações nas iterações Figura 9 - Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 150 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 200 partículas e as mesmas variações nas iterações Figura 10 Fronteira Pareto-ótimo conhecida do problema ZDT Figura 11 Os gráficos apresentados mostram os resultados obtidos pelo algoritmo MOPSO configurado com 50 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200) Figura 12 Os gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 100 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200) Figura 13 Os gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 150 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200) Figura 14 Os gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 200 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200) Figura 15 Fronteira Pareto-ótima conhecida para o problema ZDT Figura 16 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 50 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 100 partículas e as mesmas variações nas iterações

7 Figura 17 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 150 partículas e alterando-se o número máximo de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 200 partículas e as mesmas variações na quantidade iterações Figura 18 Fronteira Pareto-ótimo conhecida para o Problema ZDT Figura 19 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 50 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 100 partículas e as mesmas variações nas iterações Figura 20 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 150 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 200 partículas e as mesmas variações nas iterações Figura 21 Fronteira Pareto-ótima conhecida para o problema ZDT Figura 22 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 50 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 100 partículas e as mesmas variações nas iterações Figura 23 Os 4 primeiros gráficos mostram os resultados obtidos pelo MOPSO configurado com 150 partículas e alterando-se o número de iterações (50, 100, 150 e 200). Os 4 últimos apresentam o algoritmo com 200 partículas e as mesmas variações nas iterações

8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Relação de parâmetros definidos pelo usuário para inicializar o algoritmo MOPSO implementado, bem como a descrição de suas funcionalidades Tabela 2 - Relação de parâmetros relativos à configuração interna do algoritmo MOPSO implementado, bem como a descrição de suas funcionalidades Tabela 3 - Relação de experimentos produzidos, especificados pela sua quantidade de partículas e de iterações Tabela 4 Relação dos resultados dos indicadores de qualidade do algoritmo MOPSO para o problema ZDT Tabela 5 Relação dos resultados dos indicadores de qualidade do algoritmo MOPSO para o problema ZDT Tabela 6 Relação dos resultados dos indicadores de qualidade do algoritmo MOPSO para o problema ZDT Tabela 7 Relação dos resultados dos indicadores de qualidade do algoritmo MOPSO para o problema ZDT Tabela 8 Relação dos resultados dos indicadores de qualidade do algoritmo MOPSO para o problema ZDT

9 LISTA DE ALGORITMOS Algoritmo 1 - Pseudocódigo do processo de inicialização do algoritmo PSO original Algoritmo 2 - Pseudocódigo do processo de atualização das partículas do algoritmo PSO original Algoritmo 3 - Pseudocódigo da função de rankeamento de soluções não-dominadas proposta... 35

10 DEFINIÇÕES E ACRÔNIMOS 1. PSO - Particle Swarm Optimization; 2. MOPSO Multi-Objective Particle Swarm Optimization; 3. POV - Problema de Otimização Vetorial; 4. DE - Diferential Evolution; 5. EDA - Estimation of Distribution Algorithm.

11 11 1. INTRODUÇÃO A Otimização, sob o ponto de vista prático, se trata do conjunto de métodos capazes de determinar as melhores configurações possíveis para a construção ou o funcionamento de sistemas de interesse para o ser humano [Takahashi (2007)]. Quem trabalha com problemas que necessitam de alguma melhoria na configuração inicial para maximizar ou minimizar um determinado resultado apresenta um conceito similar sobre a Otimização. Para Branke et al. (2008), o campo da Otimização é a tentativa de obter uma ou mais soluções que correspondam a minimização (ou maximização) de um ou mais objetivos e a satisfação de todas as restrições (se existir alguma). Inúmeras aplicações práticas apresentam a característica de gerarem resultados melhorados em comparação aos anteriores quando se utilizam parâmetros iniciais melhores do que os adotados antes. Podem-se encontrar exemplos nos mais diversos campos do conhecimento humano, desde a área biológica com a Medicina até a área de exatas com a Engenharia. É relativamente comum encontrar as aplicações da otimização também nas áreas de Administração e Economia, tendo em vista o aprimoramento da gestão dos recursos materiais e financeiros. Takahashi (2007) cita alguns exemplos onde pode-se observar a necessidade de alguma ideia de otimização para resolver uma situação real de forma a obter-se o melhor resultado possível das instâncias de entrada do problema matemático: Um engenheiro eletricista procura o melhor projeto possível para uma antena ou para um motor elétrico; Um engenheiro de controle e automação procura o melhor ajuste possível para os controles de um determinado processo industrial; Um engenheiro de produção busca a melhor configuração possível para encadear as etapas de fabricação de um produto; Um matemático computacional estuda modelos quantitativos de epidemias, procurando determinar as melhores políticas de vacinação; Um cientista da computação estuda o desempenho de uma rede de computadores, e tenta estabelecer a melhor estratégia de tráfego de informação possível, visando maximizar o fluxo global de informação nessa rede;

12 12 Um economista procura o melhor portfólio de investimentos, que maximiza a expectativa de retorno financeiro; Um veterinário ou zootecnista procura determinar a melhor política de compras e vendas das cabeças de um rebanho de gado. Apesar dos contextos apresentados serem bastante distintos uns dos outros, uma vez modelados matematicamente, todos os problemas trazem a mesma estrutura e a solução ideal se apresentará após a aplicação de técnicas inerentes à Otimização. Antes que a otimização possa de fato ser realizada, é preciso modelar o problema. Para Branke et al. (2008), o processo de modelagem é um passo importante, senão crítico, para a ação de otimizar. Normalmente, a maioria dos livros devotados aos métodos de otimização assumem que o problema já foi especificado corretamente. Entretanto, na prática, isso não é bem verdade para todos os casos. Quantificar e discutir os aspectos da modelagem dependem do contexto atual do entendimento do problema. Segundo a organização proposta por Branke et al. (2008), primeiro constrói-se o modelo base que consiste em obter as variáveis de decisão, os objetivos, as restrições e os espaços das variáveis. Logo após opta-se por uma técnica (algoritmo) capaz de encontrar a chamada solução ótima, que representa, dentro do espaço possíveis de variáveis, aquela que gerará o melhor resultado final. A quantidade de objetivos apresentados na modelagem matemática diferencia o tipo do problema a ser tratado. Basicamente, tem-se dois ramos da Otimização: a Otimização Monoobjetivo e a Otimização Multiobjetivo. Recentemente, pesquisadores definiram e estão trabalhando com problemas que possuem mais de 4 objetivos, sendo esse ramo denominado de Otimização com Muitos Objetivos. O presente trabalho visa adaptar uma técnica computacional para resolver problemas biobjetivo. Mais especificamente, deseja-se propor um algoritmo baseado em Enxame de Partículas capaz de encontrar as soluções ótimas para problemas com dois objetivos conflitantes a serem otimizados. Por fim, o desempenho do algoritmo será avaliado utilizando indicadores de qualidade encontrados na literatura especializada. Portanto, essa revisão focará apenas as duas primeiras linhas de trabalho da otimização com o intuito de contextualizar o objeto de trabalho apresentado.

13 Otimização Mono-objetivo (Otimização Escalar) Segundo Coello et al. (2007), os problemas de otimização mono-objetivo são definidos da seguinte maneira: min f(x) sujeito a: g i (x) 0, i = {1,, m} h j (x) = 0, j = {1,, p} sendo x Ω. Nessa estrutura, a solução final minimiza o escalar f(x), onde x é uma variável de decisão n-dimensional, ou seja, x = {x 1,, x n } dentro do espaço factível Ω. Observe que as duas últimas expressões matemáticas acima representam o conjunto de restrições que devem ser satisfeitas durante o processo de otimização do escalar f(x). Dentro desse cenário, o método para encontrar o ótimo global de qualquer função é conhecido como Otimização Global. A solução ótima para o problema é denotada por x. Como definido em Guimarães (2013), as letras que se apresentam em estilo negrito dizem respeito a grandezas vetoriais, ou seja, representam conjuntos de variáveis. Por outro lado, as letras que aparecerem sem o estilo negrito significam grandezas escalares. O vetor x contém as variáveis cujos valores deve-se escolher para atingir a melhor solução possível do problema. De maneira genérica, se o vetor x possui n variáveis reais, dizemos que x R n. Nem sempre o vetor de variáveis de otimização é composto de variáveis reais. Em muitos casos, as variáveis são descritas por números inteiros ou até mesmo por valores binários. Outro elemento da estrutura básica de um problema de Otimização é a função objetivo f(. ). Esse componente representa o índice de desempenho do sistema cujo valor, por convenção, deseja-se minimizar para alcançar a configuração ideal. Por exemplo, pode-se citar a redução dos custos na fabricação de um produto dentro de uma indústria qualquer. Nesse caso, a função objetivo f(x) será uma função que, para cada conjunto de valores que estiver especificado no vetor x, irá fornecer o custo de fabricação do produto descrito por esse vetor. Devido a essa interpretação de custo financeiro, muitas vezes a função objetivo é chamada, por diversos autores, de função custo [Takahashi (2007)]. Quando o problema modelado exige a maximização do valor final da função objetivo é comum recorrer a procedimento para transformar o problema de maximização em problema

14 14 de minimização. Para tanto, basta que multiplique-se o valor de f(x) por -1. Em outras palavras, se deseja-se maximizar uma função z(x) qualquer, basta fazer f(x) = z(x), de forma que ao determinar o vetor x que minimiza f(x), este será também, por consequência, o vetor que maximiza z(x) [Takahashi (2007)]. Para finalizar o entendimento sobre a formulação matemática, falta discutir o significado da igualdade e da desigualdade a que esteja sujeito o resultado da otimização. Essas são as chamadas restrições do problema. Elas significam o conjunto dos requisitos que o resultado do projeto deve atender para ser admissível enquanto solução. As restrições delimitam o espaço aceitável de valores que os resultados podem assumir para o problema, criando pontos dentro de todo o espaço de busca que não servem para representar a solução ótima. Em algumas situações tal condição fica clara, como por exemplo, na criação de um veículo automotivo, onde tem-se um orçamento máximo destinado ao projeto. Obviamente, nenhum projeto de construção pode gastar um valor monetário infinito, sendo então um limite superior definido pela diretoria da empresa. Com a delimitação das restrições surgem algumas nomenclaturas novas que referenciam os conceitos obtidos. De acordo com Guimarães (2013), são elas: Região factível: Conjunto dos pontos do espaço R n que satisfazem, simultaneamente, a todas as restrições (tanto de desigualdade quanto de igualdade). Às vezes a região factível é chamada de conjunto factível, ou de conjunto viável; Região infactível: Conjunto dos pontos do espaço R n que deixam de satisfazer (ou seja, violam) pelo menos uma das restrições do problema; Ponto factível: Ponto pertencente à região factível; Ponto infactível: Ponto pertencente à região infactível; Restrição violada: Cada uma das componentes do vetor g(x) que apresentar valor positivo, ou cada uma das componentes do vetor h(x) que apresentar valor não-nulo será chamada de restrição violada no ponto x. No intuito de ilustrar as ideias supracitadas tomemos como exemplo a modelagem de uma função qualquer que contenha uma restrição de desigualdade (g(x) 0). A Figura 1 mostra os gráficos da modelagem em três e duas dimensões. Na Figura 1.a (superfície tridimensional), é mostrada a superfície z = g 1 (x), com suas curvas de nível, e sua

15 15 interseção com o plano z = 0. A Figura 1.b mostra apenas a curva de nível g 1 (x) = 0. Nesse plano, a região N 1 corresponde aos pontos em que a função g 1 (. ) é negativa e P 1 corresponde aos pontos em que a função g 1 (. ) é positiva. A fronteira que separa essas regiões, G 1, corresponde aos pontos em que a função g 1 (. ) se anula. Quando inserimos no problema de otimização a exigência de que g 1 (x ) 0), informamos que iremos aceitar como soluções do problema de otimização apenas os pontos que sejam pertencentes ao conjunto N 1 ou ao conjunto G 1. Não serão admissíveis os pontos pertencentes ao conjunto P 1, que será assim denominado conjunto infactível, ou região infactível. Diz-se então que o conjunto factível, ou a região factível F 1 é a união de G 1 e N 1 [Vasconcelos (2009)]: F 1 = G 1 N 1 k Basicamente, esse é um problema da otimização restrita com restrições de desigualdade: tentar determinar o ponto x F (ou seja, pertencente à região factível) que minimiza a função f(. ) nessa região (ou seja, que produz o menor valor dessa função, quando comparado com os valores da função em todos os demais pontos da região factível) [Takahashi (2007)]. Figura 1 - Superfície tridimensional e curvas de nível de uma função. Fonte: Takahashi (2007). Quando houver o caso de uma modelagem que possua uma restrição de igualdade [h(x) = 0], então esse será o conjunto factível do problema de otimização. A Figura 2 traz um exemplo de como seria a representação gráfica desse modelo, considerando um problema de duas dimensões (quantidade de variáveis igual a 2).

16 16 Figura 2 - A linha corresponde ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem a restrição de igualdade h(x) = 0. Essa linha é a região factível de um problema de otimização. Fonte: Takahashi (2007). Após a descrição dos modelos que envolvem restrições, faz-se importante discutir também sobre o caso mais simples da modelagem matemática, a denominada Otimização sem restrições, representada pela equação abaixo: x = arg min f(x) Nesse caso, o sistema responsável pela otimização da função matemática pode minimizar o valor de x sem nenhum tipo de condição que invalide as soluções encontradas durante o processo. Para visualizar graficamente esse conceito, suponha um vetor x com duas variáveis, ou seja, x R 2. Sem definir uma função objetivo explicitamente, a Figura 3 corresponde ao gráfico de uma função não-linear com duas variáveis reais.

17 17 Figura 3 - Superfícies que representam o gráfico de uma função não-linear de duas variáveis reais. Essas superfícies poderiam representar uma função. Fonte: Takahashi (2007). Sem a delimitação da região de pontos aceitos pelo modelo algumas características da função objetivo (ou seja, da superfície que está associada a essa função) surgem para definir que tipos de estratégias são efetivas para a otimização da mesma. Segundo Batista et al. (2014), para subsidiar a escolha dos métodos mais preparados para a otimização das funções, é possível classificá-las das seguintes maneiras: Modalidade: Unimodal / Multimodal; Diferenciabilidade: Diferenciável / Não-diferenciável; Convexidade: Convexa / Quasi-convexa / Não-convexa; Linearidade: Linear / Não-linear; Escala: Uni-escala / Multi-escala Otimização Multiobjetivo (Otimização Vetorial) Os problemas chamados de multiobjetivos foram definidos como sendo situações em que se tenta encontrar:...um vetor de variáveis de decisão que satisfaça as restrições e otimize a função vetorial cujos elementos representam as funções objetivo. Essas funções formam uma descrição matemática de critérios de desempenho que geralmente estão em conflito uns com os outros. Dessa forma, o termo otimizar significa encontrar uma

18 18 solução que retorne valores aceitáveis pelo tomador de decisões, para todas as funções objetivo. [Coelho et al. (2007)] Branke et al. (2008) e Caramia e Dellólmo (2008) afirmam que na Otimização com mais de um objetivo não se tem mais apenas uma solução ótima para resolver o problema, mas sim um conjunto de alternativas ideais, chamadas de soluções Pareto-ótimas ou soluções não-dominadas. Entretanto, independentemente da quantidade de soluções Pareto-ótimas obtidas, apenas uma será utilizada em termos práticos. Na Otimização Multiobjetivo duas questões são importantes: a escolha do método que realizará o procedimento de busca e obtenção das soluções Pareto-ótimas e a tomada de decisão para a escolha da solução preferida. Essa última não é o foco desse trabalho e, portanto, não será abordada mais detalhadamente. Azuma e Von Zuben (2011) descrevem os problemas de otimização multiobjetivo na seguinte forma matemática: min {f 1 (x), f 2 (x),, f k (x)} sujeito a: x S. Nessa formulação, k 2 representa a quantidade de funções-objetivo f i conflitantes que deseja-se minimizar simultaneamente. O vetor de variáveis de decisão x = (x 1, x 2,, x n ) pertence à região factível não vazia S R n. Nessa formulação geral do problema não foram fixados os tipos de restrições que delimitam a região factível. Para Vasconcelos (2009), uma nova gama de conceitos são introduzidos com o uso da formulação matemática para mais de um objetivo. Dessa forma, estão relacionadas as definições adotadas para esse trabalho, de forma a tentar facilitar a leitura deste tópico: X: espaço dos parâmetros de otimização. Neste trabalho, tal espaço será sempre identificado com um espaço R n ; X : conjunto de soluções eficientes, ou conjunto Pareto-ótimo, de um Problema de Otimização Vetorial (POV). O conjunto X é um subconjunto do espaço de parâmetros X; x : um ponto pertencente ao conjunto X ; F x : o conjunto dos pontos factíveis, subconjunto do conjunto X;

19 19 Y: espaço dos objetivos, isto é, o espaço no qual se representa a imagem da função f(. ). Neste trabalho, tal espaço será sempre identificado com um espaço R m ; I: o conjunto imagem da função f(. ), tendo por domínio todo o espaço X; F y : o conjunto imagem da função f(. ) restrita ao domínio F x. O conjunto F y é um subconjunto do espaço Y; Y : o conjunto imagem da função f(. ) com o domínio restrito ao conjunto X. O conjunto Y é um subconjunto de Y, e é denominado conjunto Pareto-ótimo no espaço de objetivos, ou ainda fronteira Pareto-ótima. Antes de mais nada, é preciso entender-se os conceitos que envolvem as soluções dos problemas. As soluções multiobjetivo, ou soluções de Pareto, são as melhores soluções entre as quais não existe um ordenamento (ou seja, não há como definir, a partir da avaliação dos funcionais objetivo, que uma solução é melhor que a outra). Batista et al. (2014) informam que normalmente o conjunto de soluções é grande (em alguns casos é infinito) e levantam alguns questionamentos sobre como caracterizar as soluções de um problema multiobjetivo e quais critérios utilizar para compará-los e ordenálos. Em face dessas questões elaborou-se o conceito de dominância. Definição 1 (Dominância) Diz-se que o ponto x 1 X domina o ponto x 2 X se f(x 1 ) f(x 2 ) e f(x 1 ) f(x 2 ). Equivalentemente, diz-se que f(x 1 ) Y domina f(x 2 ) Y, nessas mesmas condições. O conceito de dominância encontra-se ilustrado nas figuras a seguir. A Figura 4.a apresentada os pontos y A e y B pertencentes ao espaço de objetivos Y. Um cone paralelo aos eixos coordenados do espaço Y é colocado com vértice no ponto y A. Todos os pontos no interior desse cone são dominados por y A, de forma que y A domina y B. A Figura 4.b mostrada os pontos y A a y F pertencentes ao espaço de objetivos Y. Cones paralelos aos eixos coordenados do espaço Y são colocados com vértices em cada um desses pontos. Todos os pontos no interior de cada cone são dominados pelo ponto que se localiza no seu vértice, de forma que: (i) entre y A, y B e y E não há relação de dominância; (ii) y A domina y C e y F ; (iii) y B domina y C, y D e y F ; (iv) entre y C, y D e y E não há relação de dominância; (v) y C e y D dominam y F ; (vi) y E e y F não dominam nenhum outro ponto mostrado na figura.

20 20 Figura 4 a) Dominância do ponto y A em relação ao ponto y B. b) Situação onde tem-se vários pontos dominando vários outros pontos. Fonte: Takahashi (2007). Definição 2 (Solução Pareto-ótima) Diz-se que x F x é uma solução Pareto-ótima do POV se não existe qualquer outra solução x F x tal que f(x) f(x ) e f(x) f(x ), ou seja, se x não é dominado por nenhum outro ponto factível. Na literatura existem diferentes terminologias para fazer referência ao conjunto de soluções Pareto-ótimas, a saber de algumas: soluções eficientes, não-dominadas, não-inferior. Os conjuntos de Pareto (ou seja, conjuntos das soluções Pareto-ótimas) associados às Figuras 4.a e 4.b são apresentados abaixo. A Figura 5.a traz o conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem I da função f(. ) e encontra-se representado em linha contínua. O restante da fronteira do conjunto I está representado em linha tracejada. O conjunto Y possui extremos nos pontos y A e y B, correspondentes aos mínimos individuais dos funcionais f 1 e f 2. Esta figura corresponde à Figura 4.a. Da mesma forma, a Figura 5.b mostra também o conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem F y da função f(. ), representado em linha contínua. O restante da fronteira do conjunto F y está representado em linha tracejada. O conjunto Y possui extremos nos pontos y A e y B, correspondentes aos mínimos individuais dos funcionais f 1 e f 2. Esta figura corresponde à Figura 4.b.

21 21 Figura 5 a) Conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem I da função f(. ) da Figura 4a. b) Conjunto de Pareto Y Y, associado ao conjunto-imagem I da função f(. ) da Figura 4b. Fonte: Takahashi (2007) A determinação das soluções eficientes De acordo com Caramia e Dellólmo (2008), os problemas multiobjetivo são comumente resolvidos combinando múltiplos objetivos dentro de uma função escalar mono-objetivo. Essas abordagens são conhecidas como Métodos Escalares. Para Branke et al. (2008), a razão para que essas abordagens sejam tão comuns é devido ao fato de que os algoritmos de otimização mono-objetivo são largamente conhecidos em comparação aos recentes, e ainda em estudo, métodos multiobjetivo. Elas compõem todo o grupo de técnicas clássicas da abordagem computacional. Para não fugir ao proposto nessa pesquisa, esses métodos não serão destrinchados nos mínimos detalhes. Apenas uma sucinta definição sobre cada um deles será apresentada ao leitor, seguindo as informações encontradas em Pereira (2004), Cohon (1978) e Steuer (1986): Método da soma ponderada (weighted-sum): Esta é a abordagem mais óbvia e ingênua para otimização multiobjetivo. Ela emprega uma soma ponderada dos objetivos e os métodos de direção de busca geralmente são aplicáveis para a resolução dos problemas;

22 22 Método da distância a um objetivo de referência: A formulação adotada para esse método baseia-se na minimização das distâncias entre o objetivo de referência e os demais objetivos. O problema dessa métrica é que o algoritmo é consideravelmente dependente do ponto de referência escolhido; Método ԑ-restrito: Essa abordagem transforma o problema multiobjetivo em um problema mono-objetivo com restrições adicionais. Nesse método, um dos objetivos é escolhido para ser minimizado e os demais objetivos são transformados em restrições de desigualdade; Método ԑ-restrito híbrido: Essa é uma abordagem híbrida entre o método ԑ- restrito e a soma ponderada dos objetivos. Aqui, uma soma ponderada dos objetivos é escolhida para ser minimizada, enquanto todos os objetivos são transformados em restrições de desigualdade que restringem a região factível; Método de programação por metas: Essa abordagem transforma o problema multiobjetivo em um problema mono-objetivo com restrições adicionais de igualdade. Algumas variáveis de folga associadas à distância para cada meta compõem o novo objetivo a ser minimizado; Método goal attainment: Os objetivos são transformados em restrições de desigualdade. Escolhe-se um vetor objetivo alvo, bem como adota-se uma direção de busca ω. A missão desse método é tentar minimizar um coeficiente escalar λ que representa o gap (a diferença) relativo ao vetor alvo; Programação de compromisso: é uma técnica de análise de decisão multicritério, que visa encontrar a melhor solução de compromisso para um problema de otimização com múltiplos objetivos. Essa solução de compromisso corresponde ao ponto mais próximo a uma solução ideal e está intimamente relacionado com o método da distância a um objetivo de referência; Métodos Fuzzy: Basicamente, esse método transforma o problema restrito original em um problema irrestrito. A minimização de vários objetivos simultaneamente pode ser interpretada como uma conjunção lógica. Outra linha de abordagem para os problemas multiobjetivo utiliza os algoritmos evolucionários como linha de frente para a resolução das modelagens. Branke et al. (2008) informam que esse é um campo de pesquisa estabelecido, já possuindo inúmeros livros, artigos, teses e conferências dedicados. Essa classe de algoritmos funciona de acordo com a

23 23 Teoria da Evolução de Charles Darwin. O principal representante das técnicas evolucionárias é o Algoritmo Genético, amplamente discutido e utilizado por pesquisadores. Contudo, a saber, pode-se citar também a Programação Genética, as Estratégias Evolutivas, o Algoritmo de Estimativa de Distribuição e o algoritmo de Evolução Diferencial. Por fim, em uma terceira vertente de técnicas estão aquelas baseadas em inteligência coletiva. As técnicas de otimização inspiradas nessas ideias ganharam uma enorme popularidade durante a última década. Elas são caracterizadas por um método descentralizado de trabalho que origina-se no comportamento das multidões de insetos sociais, no agrupamento de pássaros ou no cardume de peixes. As vantagens dessas abordagens, em comparação com as técnicas tradicionais, são a sua robustez e flexibilidade. Essas propriedades fazem das técnicas de inteligência coletiva um paradigma de sucesso para algoritmos que tratem de problemas com complexidade em crescimento. A despeito dos inúmeros algoritmos existentes nesse grupo de técnicas, discutiremos apenas os preceitos da técnica conhecida como Particle Swarm Optimization (PSO), haja vista que a mesma foi adotada para ser o método computacional desenvolvido nesse trabalho. A escolha por esse algoritmo ocorreu após um esforço de enumerar as técnicas que mais apareciam em publicações científicas no contexto atual. Nessa lista, o algoritmo PSO figurou entre os mais adotados por diversos especialistas Algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) Sobre a técnica, Batista et al. (2014) afirmam que a mesma é uma meta-heurística estocástica simples baseada em população e pertencente à categoria das técnicas de inteligência coletiva (Swarm Intelligence). A inspiração biológica dessa abordagem originase na inteligência coletiva manifestada por agrupamentos (rebanhos, enxames, cardumes, manadas, matilhas etc.) de agentes mais simples, pouco sofisticados e com capacidade individual limitada [Kennedy and Eberhart (1995)]. As técnicas baseadas em Inteligência Coletiva consistem em desenvolver sistemas multiagente inteligentes tomando por inspiração o comportamento coletivo apresentado em grupos de insetos que vivem em sociedade. Colônias de insetos sociais tem fascinado pesquisadores por muitos anos e os mecanismos utilizados por esses agrupamentos para gerenciar seus comportamentos continua sem uma conclusão científica satisfatória. De acordo com Takahashi (2007), apesar dos membros dessas colônias individualmente serem

24 24 considerados simples, quando em conjunto, são capazes de executar ações complexas. O comportamento coordenado emerge de ações relativamente simples ou de interações entre os membros das colônias. Em muitos aspectos as atividades coletivas são auto-organizadas e funcionam sem a centralização do comando. O algoritmo PSO é, atualmente, uma das técnicas mais destacadas dentre aquelas que trabalham com Inteligência Coletiva [Branke et al. (2008)]. Ele foi proposto por James Kennedy e Russell Eberhart em 1995 e, desde então, tem ganhado popularidade entre os pesquisadores e simpatizantes da área devido a sua robustez e eficiência para resolver problemas de otimização considerados difíceis. O termo em inglês Particle Swarm (Enxame de partículas) foi cunhado por seus criadores após vários estudos sobre os trabalhos envolvendo modelos de vida artificial, iniciados por Reynolds em 1987 com as pesquisas relativas à revoada de pássaros. Segundo informações do trabalho de Kennedy and Eberhart (1995), o algoritmo proposto possui um conceito simples e o paradigma pode ser implementado em poucas linhas de código. O PSO necessita apenas de operadores matemáticos básicos e os custos computacionais são inexpressivos em termos de memória e velocidade. Collette and Siarry (2004) descrevem que o algoritmo PSO trabalha essencialmente com elementos chamados de partículas individuais que representam uma solução em potencial que se movem através do espaço de busca do problema procurando a solução ótima x ou uma solução satisfatória. As partículas transmitem suas posições para as partículas vizinhas. A posição de cada partícula, por sua vez, é ajustada de acordo com as velocidades de cada uma (computacionalmente representada por uma taxa de mudança) e a diferença entre a sua posição atual, que é respectivamente a melhor posição encontrada pelos vizinhos e a melhor posição encontrada por ela até o momento. Como o modelo é interativo, o enxame de partículas vai concentrando-se mais e mais em uma determinada área do espaço de busca que contém soluções de qualidade. Como citado anteriormente, a velocidade de cada partícula é modificada interativamente pela melhor posição encontrada pela partícula em si e pela melhor posição encontrada pelas partículas da vizinhança. Seguindo essa ideia, adota-se o termo v i para denotar a velocidade da i-ésima partícula do enxame, x i para representar sua posição, p i para denotar a melhor posição encontrada pela partícula e p g para armazenar a posição encontrada pelas partículas da região próxima.

25 25 No algoritmo PSO original, proposto por Kennedy and Eberhart (1995), os termos matemáticos x i e v i, para todo i = 1, 2, n, são atualizados a cada geração seguindo as equações: v i v i + φ 1 (p i x i ) + φ 2 (p g x i ) x i x i + v i onde φ 1 = c 1 R 1 e φ 2 = c 2 R 2. Os elementos R 1 e R 2 são duas funções separadas que retornam vetores com valores uniformes gerados randomicamente dentro da faixa [0,1]. Os termos c 1 e c 2 são coeficientes de aceleração e o símbolo representa uma multiplicação pontual dos elementos dos vetores. Os Algoritmos 1 e 2 apresentam o pseudocódigo do passo de inicialização e do passo de atualização das partículas do algoritmo PSO, respectivamente. Algoritmo 1: Inicialização for each particle i in S do for each dimension d in D do //initialize all particle s position and velocity x i,d = rand (x min, x max ) v i,d = rand (-v max /3, v max /3) end for //initialize particle s best position p bi = x i //update the global best position if f(p bi ) < f(g b ) then g b = p bi end if end for Algoritmo 1 - Pseudocódigo do processo de inicialização do algoritmo PSO original. Fonte: Adaptado de Kennedy and Eberhart (1995).

26 26 Algoritmo 2: Atualização das partículas //initialize all particles Initialize repeat for each particle i in S do //update the paticle s best position if f(x i ) < f(p bi ) then p bi = x i end if //update the global best position if f(p bi ) < f(g b ) then g b = p bi end if end for //update particle s velocity and position for each particle i in S do for each dimension d in D do v i,d = v i,d + C 1 rand(0,1) [pb i,d x i,d ] + C 2 rand(0,1) [gb d x i,d ] x i,d = x i,d + v i,d end for end for //advance iteration it = it + 1 until it > MAX_ITERATIONS Algoritmo 2 - Pseudocódigo do processo de atualização das partículas do algoritmo PSO original. Fonte: Adaptado de Kennedy and Eberhart (1995). No processo de inicialização do PSO, as ações mais destacadas são a definição aleatória das posições e das velocidades iniciais de cada partícula do enxame, bem como a atribuição da posição da melhor partícula e a definição da melhor posição global, ou seja, do enxame criado. O passo de atualização, por outro prisma, consiste na evolução constante dos melhores valores de posição global e posição particular de cada partícula. Ao fim, observa-se o laço de iteração responsável pelas definições de velocidade e posição para a próxima geração do enxame. Da análise cuidadosa das equações anteriores percebe-se que a movimentação das partículas depende de algumas condições. Collette and Siarry (2004) citam as três particularidades necessárias para o andamento das partículas no espaço de busca:

27 27 Inércia: tendência em se movimentar na direção adotada na iteração anterior; Memória: tendência de se deslocar em direção ao melhor ponto encontrado na trajetória individual; Cooperação: tendência de deslocamento para o melhor ponto encontrado pelo grupo (vizinhança). Para o correto funcionamento das regras de movimentação das partículas é importante apresentar as possíveis estruturas conceituais de vizinhança para as partículas. Existem várias maneiras de definir-se como será a vizinhança das partículas no algoritmo. Devido ao fato de que essa contribui para definir a velocidade e, automaticamente, a nova posição das partículas, faz-se relevante considerar a topologia da abstração antes da implementação do algoritmo. Segundo Vasconcelos (2009) as mais relevantes são: Método gbest: a vizinhança é definida como sendo a população inteira, ou seja, todas as partículas estão conectadas entre si, conforme ilustrado na Figura 6.a; Método lbest: uma topologia pode representar a proximidade entre as partículas. A vizinhança de uma partícula equivale ao conjunto das partículas diretamente conectadas a ela, conforme ilustrado na Figura 6.b. Figura 6 - Exemplos de conexão entre as partículas. A Figura 6.a apresenta um exemplo do método gbest. A Figura 6.b, por outro lado, representa o método lbest. Fonte: Batista et al. (2014).

28 28 Das três regras supracitadas, referentes à movimentação das partículas, é possível distinguirmos uma característica do algoritmo: os indivíduos do enxame não são substituídos ao longo das iterações, mas sim modificados. Portanto, as partículas e a qualidade do enxame melhoram a cada repetição do processo de busca. O PSO tornou-se uma técnica com certo respaldo para resolver problemas monoobjetivo. Seguindo essa credibilidade vários pesquisadores interessaram-se pelo estudo e aplicação do algoritmo nos problemas de otimização multiobjetivo, sendo possível encontrar inúmeras adaptações na literatura especializada Multi-Objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) Nos últimos tempos o PSO foi adaptado de maneira que o mesmo seja aplicado na resolução de problemas multiobjetivo. O primeiro PSO para problemas de otimização multiobjetivo foi proposto por Reyes-Sierra e Coello em No algoritmo proposto, a cada atualização das partículas, faz-se uma comparação entre a posição atual e um arquivo de posições para averiguar se a posição obtida era uma solução não-dominada. Após esse trabalho, autores publicaram um algoritmo intitulado MOPSO (Multi-objective PSO) que utilizava um arquivo externo para armazenar soluções não-dominadas do problema. Diversas versões do algoritmo PSO para resolução de problemas de otimização multiobjetivo vem sendo propostos recentemente. Um estudo conduzido por Reyes-Sierra e Coello (2006) mostra que, em 2006, havia aproximadamente 25 variantes do algoritmo PSO multiobjetivo publicados em eventos acadêmicos, indicando um considerável crescimento no interesse dos pesquisadores por esse método computacional. No mesmo trabalho, os autores estabeleceram as seguintes classificações para os MOPSOs apresentados na época, segundo o modelo adotado para o tratamento das funções objetivo: Abordagens agregativas; Abordagens de ordenação lexicográfica; Abordagens de subpopulação; Abordagens baseadas em Pareto; Os algoritmos desenvolvidos e categorizados como abordagens agregativas combinavam todos os objetivos do problema em um só. Em outras palavras, o problema multiobjetivo era transformado em um problema mono-objetivo. Os algoritmos de Parsopoulos e Vrahatis (2002) e Baumgartner et al. (2004) possuíam funções de agregação

29 29 linear para a transformação do problema em mono-objetivo e tinham como topologia do espaço de busca o método conhecido como gbest. Na categoria de ordenação lexicográfica, o usuário era solicitado a listar os objetivos em ordem de importância. A solução ótima era obtida minimizando-se as funções objetivo separadamente, começando pela mais importante e seguindo a ordem decrescente. Hu e Eberhart (2002) desenvolveram um MOPSO adotando a topologia de busca lbest e otimizando um objetivo por vez. As abordagens de subpopulação utilizavam grupos menores de partículas para funcionarem como otimizadores mono-objetivo. Depois, as subpopulações trocavam informações e se recombinavam para produzir as soluções ótimas com base nos resultados individuais. Parsopoulos et al. (2004) estudaram uma versão paralela do método Vector Evaluated Particle Swarm (VEPSO), variante baseada no Vector Evaluated Genetic Algorithm (VEGA). Nesse algoritmo cada enxame era avaliado usando apenas uma das funções objetivo do problema e, em seguida, a informação era distribuída para os outros enxames. Chow e Tsui (2004) propuseram um PSO como sendo um agente autônomo de resposta. Nesse modelo cada objetivo é considerado como uma espécie de enxame e as melhores soluções obtidas por cada espécie são propagadas através de um canal de comunicação estabelecido. Esse formato deu origem a uma variante do PSO tradicional e ficou conhecida como Multi-species PSO. O grupo de algoritmos que utilizavam a abordagem baseada na dominância Pareto para as técnicas de seleção de líderes apresentavam a característica de selecionar as partículas nãodominadas em relação ao enxame. Diversas variações para o modelo de seleção dos líderes são possíveis como, por exemplo, o estimador de densidade. Na época, essa categoria era a que continha maior quantidade de algoritmos publicados. Moore e Chapman (1999) desenvolveram um MOPSO que enfatizava a busca individual da partícula e a busca coletiva do enxame. Cada partícula gerava uma lista de todas as soluções não-dominadas que ele encontrava durante sua trajetória. Depois, todas as listas eram comparadas e a melhor solução não-dominada era escolhida para a vizinhança do enxame. Ray e Liew (2002) e Srinivasan e Hou (2003) incluíram em seu código conceitos de técnicas evolucionárias à dominância Pareto e ao enxame de partículas. A abordagem usava estimativa de densidade para promover diversidade e a manutenção dos líderes podia ser

30 30 considerada um arquivo externo. Além disso, operadores comuns em algoritmos evolutivos, como a mutação, foram incluídos para emular mecanismos do PSO original. O conjunto de versões do MOPSO nessa categoria era extensa. Diversas propostas traziam novos mecanismos para incrementar a capacidade de busca das soluções, para tratar as funções objetivo, para manter diversidade, para evitar a convergência prematura etc. Além dos agrupamentos listados anteriormente segundo o método de trabalho dos MOPSOs, outras duas categorias foram estabelecidas por Reyes-Sierra e Coello (2006): a dos algoritmos que utilizavam abordagens combinadas e a dos que adotavam métodos particulares e distintos uns dos outros. Devido ao fato dessas categorias representarem uma pequena parcela do conjunto elas não serão detalhadas nessa revisão Caracterização do problema Em vista da crescente quantidade de trabalhos apresentados em eventos relacionados às áreas de Otimização e Inteligência Computacional que envolvem a manipulação de problemas com mais de um objetivo a ser minimizado (ou maximizado), esse trabalho propõe a construção de um algoritmo baseado no PSO para aplicação em problemas multiobjetivo. Os algoritmos baseados em Enxame de Partículas foram adotados em muitos artigos na busca pela otimização de inúmeros casos em que existiam apenas um objetivo a ser tratado pelo modelo matemático. A motivação deve-se ao fato de que seu desempenho e confiabilidade já foram testados e discutidos. Contudo, como os trabalhos com problemas com dois ou mais objetivos são recentes, as discussões sobre a validade desse algoritmo ainda estão sendo discutidas. Portanto, o objeto desse trabalho é implementar um algoritmo Multi-objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) para aplicação em problemas sintéticos, também conhecidos como Benchmark Problems, comumente utilizados por pesquisadores para validar seus algoritmos. Os benchmarks escolhidos são os da família de funções ZDT, propostos por Zitzler et al. (2000). Esse conjunto de funções foram selecionadas devido a sua popularidade quanto a capacidade de colocar à prova a performance dos métodos de otimização. Cada uma das funções de teste contém uma característica que representa um problema de otimização do mundo real. No Capítulo 3 serão descritas as definições matemáticas de cada problema da família ZDT, encontradas em Chase et al. (2005), juntamente com os resultados dos experimentos

31 31 realizados, à exceção do problema ZDT5, que não será tratado, pois ele é o único que manipula valores binários Metodologia Esse trabalho desenvolveu-se em três momentos distintos, a começar pela pesquisa e leitura de inúmeras publicações sobre as técnicas de Otimização, tornando-se possível verificar o interesse dos pesquisadores pelos problemas que apresentam mais de um objetivo. Durante essa fase também foi realizada a estruturação e definição do trabalho, necessários para a conclusão da pesquisa e o levantamento das melhores ferramentas computacionais para tratar o objeto desse trabalho. Na segunda parte iniciou-se então o desenvolvimento e a adaptação do algoritmo escolhido resolução de problemas de otimização biobjetivo de natureza contínua. Em outras palavras, o algoritmo foi adaptado de sua forma original para tratar problemas de otimização biobjetivo. Por fim, na terceira e última parte, seguiram-se os trabalhos de execução do algoritmo baseado em Enxame de Partículas, de geração e coleta de resultados e de observação e conclusão acerca dos mesmos Organização do trabalho A parte restante desse trabalho é composta por 3 capítulos. No Capítulo 2, o histórico evolutivo da metodologia proposta é apresentado, além da fundamentação teórica que serviu de base ao código. No Capítulo 3 são apresentados os resultados obtidos no desenvolvimento da pesquisa. Por fim, o último capítulo apresenta uma discussão geral sobre o trabalho e os desafios futuros de uma continuidade da pesquisa.

32 32 2. DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO Esse trabalho dividiu-se em três partes, cada qual direcionada a um objetivo. Inicialmente foi realizada uma pesquisa bibliográfica em livros e artigos científicos publicados em diversos eventos para edificar a estrutura teórica que deu sustentação aos objetivos da pesquisa e a aplicação deste conhecimento na fase experimental. Na segunda fase desse esforço científico, desenvolveu-se o algoritmo PSO para tratar problemas de otimização multiobjetivo. Por fim, logo após a implementação do algoritmo, executou-se o programa para efeito de teste e coleta de dados. Os resultados obtidos serviram de subsídio para as observações julgadas pertinentes e condizentes com o foco dessa pesquisa Ambiente de desenvolvimento Linguagens de programação e ambientes de desenvolvimento são normalmente escolhidos devido à facilidade e aos recursos de manipulação de estruturas de dados oferecidos ao programador para desenvolver algoritmos. Segundo esses critérios, adotou-se para esse trabalho a utilização do software MATrix LABoratory (MATLAB ), versão R2013b. O MATLAB é um software matemático interativo de alta performance utilizado em cálculos numéricos por cientistas, engenheiros, pesquisadores, estudantes e demais profissionais [Schettino e Tonini (2002)]. O software é composto de um módulo matemático básico fundamental ao qual podemos agregar as mais variadas ferramentas chamadas de toolbox (caixas de ferramentas). Pode-se citar tipos de ferramentas relativas a áreas como estatísticas, matemática financeira, matemática simbólica e otimização. Segundo Chaia e Daibert (2013), a primeira versão do MATLAB foi lançada em 1984 após vários estudos iniciarem-se no final da década. Seu precursor foi Cleve Moler, então presidente do departamento de ciência da computação da Universidade do Novo México. Uma das várias vantagens da linguagem de programação oferecida pelo MATLAB em relação a outras linguagens, como por exemplo o Pascal e o C/C++, é que ele permite a solução de muitos problemas numéricos em uma fração de tempo menor do que seria necessário para escrever um programa em outras linguagens. Além disso, o ambiente de