Algoritmos e Estruturas de Dados LEE 2013/14. Teoria de Grafos e Algoritmos em Grafos 2ª Parte

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1 Algoritmos e Estruturas de Dados LEE / Teoria de rafos e Algoritmos em rafos ª Parte rafos DFS Notar que a estratégia de procura de Tremaux, mais não é que procura em profundidade primeiro. O algoritmo procede sempre abrindo uma porta e afastandose da origem, até que chega a um ponto em que não pode abrir mais portas, tendo então que recuar até ao último ponto onde deixou, pelo menos, uma porta por abrir. Se ao recuar nunca encontrar portas por abrir, acabará regressando ao ponto de partida, dado que o fio que desenrolou no caminho descendente, lhe permite esse regresso.

2 rafos Implementação de DFS (matriz de adjacências) #define dfsr search void dfsr(raph *, Edge *e) int t, w = e->w; pre[w] = cnt++; for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[w][t]!= ) if (pre[t] == -) dfsr(, EDE(w, t)); Função a ser chamada a partir de uma função de procura genérica ( ADT style ) que inicializa o contador cnt a zero e todas as entradas da tabela indexada pelos vértices pre a. rafos Descrição da Implementação A tabela pre está associada com as lâmpadas. Se pre[i] valer, significa que a luz está apagada para esse vértice. Quando se encontra uma aresta para um vértice em que pre não vale, um vértice já visitado, essa aresta não é seguida. Finalmente, a própria estrutura da recursão estabelece o mecanismo equivalente a desenrolar o novelo de fio. Quando um vértice não possui mais vértices adjacentes com pre igual a, a chamada recursiva termina, devolvendo o controlo de execução para o vértice que o antecedeu na recursão. O retorno da recursão é equivalente a voltar a enrolar o fio.

3 rafos Implementação de DFS (lista de adjacências) #define dfsr search void dfsr(raph *, Edge *e) int link t, t; w int = e->w; w = e->w; pre[w] = cnt++; for (t = ; ->adj[w]; t < ->V; t t++)!= NULL; t = t->next) if (->adj[w][t] (pre[t->v] == -)!= ) if (pre[t] == -) dfsr(, dfsr(, EDE(w, EDE(w, t->v)); t)); rafos Comparação Na implementação por matriz de adjacências, para cada vértice examinam-se todos as arestas que lhe são incidentes por ordem de numeração dos vértices de saída. Avança sempre pelo primeiro (de índex mais baixo) que não tenha sido visitado e lhe é adjacente. Na implementação por listas de adjacências, são imediatamente considerados os vértices adjacentes e a ordem de inspecção pode não coincidir com a numeração. Avança sempre pelo primeiro da lista de adjacências que não tenha sido ainda visitado.

4 rafos ADT para procura static int cnt, pre[maxv]; void RAPHsearch(raph *) int v; cnt = ; for (v = ; v < ->V; v++) pre[v] = -; for (v = ; v < ->V; v++) if (pre[v] == -) search(, EDE(v, v)); RAPHsearch é uma função ADT para procura genérica em grafos, realizando os seguintes passos: Encontra um vértice não marcado. Visita (e marca como visitados) todos os vértices no sub-grafo ligado a que o primeiro vértice pertence. A função de procura não é especificada a este nível de abstracção. rafos Propriedades da procura Propriedade Uma função de procura em grafos marca cada vértice do grafo se e só se a função de procura que usa marcar cada vértice do sub-grafo ligado que contiver o vértice inicial. Demonstração trivial por indução no número de sub-grafos ligados máximos. Propriedade A DFS num grafo representado por matriz de adjacências requer um tempo proporcional a V. Cada entrada da matriz de adjacências é inspeccionada uma só vez. Propriedade A DFS num grafo representado por listas de adjacências requer um tempo proporcional a V + E. Inicialização proporcional a V, após o que se fazem V chamadas recursivas e cada elemento das listas de adjacências é inspeccionado uma só vez. 8

5 rafos Tabelas indexadas por vértices Muitas funções sobre grafos requerem a existência, o uso ou construção de tabelas indexadas pelos vértices dos grafos que processam. Tais tabelas são incluídas em vários níveis de abstracção Como variáveis globais ex: pre em DFS. Na representação do próprio grafo ex: grau de um vértice Como parâmetros passados, fornecidos pelos próprios clientes ex: ao calcular alguma tabela que seja função dos vértices. A inicialização destas tabelas é tipicamente feita colocando todas as entradas a, por forma a poderem paralelamente ser usadas com a mesma utilidade da tabela pre, atrás apresentada. 9 rafos - BFS Se o objectivo for encontrar o caminho mais curto entre um par de vértices, caso exista, a DFS não é muito útil. A DFS poderá encontrar um caminho, mas não dá garantias de que seja o mais curto, a menos que se determinem todos explicitamente para posterior avaliação. A procura em largura primeiro ( BFS Breadth First Search ) é baseada exactamente nesse objectivo. Quando temos mais que uma aresta para percorrer, escolhemos uma e guardamos as outras para explorar mais tarde. Em DFS usamos uma pilha (LIFO) avança para longe da entrada enquanto puder. Em BFS usamos um fila (FIFO) só avança para longe da entrada depois de ter investigado todos corredores que dela saem.

6 rafos Implementação de BFS (matriz de adjacências) # define bfs search void bfs(raph *, Edge *e) int v; QUEUEput(e); while (!QUEUEempty()) if (pre[(e = QUEUEget())->w] == -) pre[e->w] = cnt++; st[e->w] = e->v; for (v = ; v < ->V; v++) if (->adj[e->w][v] == ) if (pre[v] == -) QUEUEput(EDE(e->w, v)); Cria uma fila (FIFO) com todas as arestas incidentes de vértices visitados e de vértices ainda não visitados. Toma a primeira aresta da fila até encontrar uma que aponte para um vértice não visitado. Visita esse vértice, colocando na fila todas as arestas que apontam para vértices não visitados. Tabela st guarda informação sobre o vértice antecessor. rafos Exemplo de execução (BFS)

7 rafos Exemplo de execução (BFS) rafos Exemplo de execução (BFS)

8 rafos Exemplo de execução (BFS) rafos Exemplo de execução (BFS)

9 rafos Exemplo de execução (BFS) rafos Exemplo de execução (BFS) 8

10 rafos Exemplo de execução (BFS) 9 rafos Exemplo de execução (BFS) 8

11 rafos Propriedades da BFS () Propriedade Durante a BFS, os vértices entram e saem da fila FIFO por ordem crescente da sua distância ao vértice inicial. Demonstração Verifica-se uma propriedade mais forte: a fila consiste sempre de zero ou mais vértices distando k passos do vértice inicial, seguidos de zero ou mais vértices distando k+ passos dos vértice inicial, para algum valor de k. É fácil provar esta propriedade por indução. 8 rafos Propriedades da BFS () Propriedade A BFS visita todos os vértices e arestas de um grafo em tempo proporcional a V para a representação por matriz de adjacências e proporcional a V+E para a representação por listas de adjacências. Demonstração: Tal como em DFS, a implementação inspecciona completamente a linha da matriz de adjacências ou a lista de pares adjacentes associada com cada vértice visitado. Basta mostrar que todos os vértices são visitados. Todos os vértices que podem ser alcançados a partir do início estão (i) Na árvore criada pela procura, (ii) na fila, ou (iii) são alcançáveis a partir dos vértices que estão na fila. Todos os vértices se deslocam de (iii) para (ii) e depois para (i), sendo que em cada iteração do ciclo while (i) aumenta a sua cardinalidade. 8

12 rafos Implementação melhorada de BFS (matriz de adjacências) void bfs(raph *, Edge *e) int v, w; QUEUEput(e); pre[e->w] = cnt++; while (!QUEUEempty()) e = QUEUEget(); w = e->w; st[w] = e->v; for (v = ; v < ->V; v++) if ((->adj[w][v] == ) && (pre[v] == -)) QUEUEput(EDE(w, v)); pre[v] = cnt++; uarda apenas os vértices por visitar 8 rafos Problemas que BFS resolve Caminho mais curto entre v e w Tomar v como o vértice inicial e aplicar BFS até que pre[w] deixe de ser. Caminhos mais curtos a partir de um vértice fonte Tomar o vértice fonte como inicial e executar a BFS até ao fim. Todos os caminhos mais curtos Como a BFS permite encontrar o caminho mais curto de um vértice inicial para todos os outros, basta aplicar BFS para cada um dos vértices do grafo dado como ponto de partida. A complexidade desta solução é cúbica no número de vértices para representação por matrizes de adjacências. 8

13 rafos Procura generalizada () Tanto a DFS como a BFS são casos particulares de procura generalizada em grafos. A implementação da BFS que se apresentou, introduz a pista essencial de resolução de qualquer outro mecanismo de procura. Isto é, tudo depende da forma como se inserem novos vértices na fila, assumindo que se retira sempre o vértice que encabeça a fila. Substitua-se o conceito de fila pelo conceito de franja, ou fronteira. Todos os vértices que estão na franja são os não visitados, candidatos à próxima visita. 8 rafos Procura generalizada (S) () Assim sendo, a estratégia genérica de procura em grafos é a seguinte: Tomar um qualquer vértice como inicial e criar a franja colocando lá esse vértice. Enquanto a franja não estiver vazia Mover ao longo de uma aresta a partir da franja. Se o vértice a que se chega não tiver sido visitado, visitá-lo e colocar na franja todos os vértices não visitados que lhe são adjacentes. Esta estratégia garante que todos os vértices de um grafo ligado serão visitados. Quando usamos uma pilha para modelar a franja temos DFS. Quando usamos uma fila, temos BFS. 8

14 rafos Implementação de procura generalizada (lista de adjacências) #define pfs search void pfs(raph *, Edge *e) link t; int v, w; Qput(e); pre[e->w] = cnt++; while (!Qempty()) e = Qget(); w = e->w; st[w] = e->v; for (t = ->adj[w]; t!= NULL; t = t->next) if (pre[v = t->v] == -) Qput(EDE(w, v)); pre[v] = cnt++; else if (st[v] == -) Qupdate(EDE(w, v)); 8 rafos Propriedade da S Propriedade Procura generalizada em grafos visita todos os vértices e arestas de um grafo num tempo proporcional a V para matrizes de adjacências e proporcional a V+E para listas de adjacências; + mais, no pior caso, o tempo necessário para V inserções, V remoções e E actualizações numa fila generalizada de tamanho V. Demonstração A primeira parte não depende da implementação da fila generalizada, pelo que se aplica trivialmente. O tempo extra explicitado decorre naturalmente da implementação de uma fila generalizada. 88

15 rafos Síntese da aula Procura em grafos Analogia com a exploração de labirintos; Estratégia de Tremaux Procura em profundidade - DFS Exemplo de execução; Implementação para matrizes de adjacências e por listas de adjacências; Comparação; Propriedades Procura em largura BFS Implementação por matrizes de adjacências; Exemplo de execução; Propriedades; Implementação alternativa para matrizes de adjacências Procura generalizada em grafos Descrição; Implementação; Propriedades 89 rafos Ponderados rafos em que as arestas têm pesos Problemas simples em grafos ponderado com interesse prático: Ligar todos os vértices com o menor custo Obtenção do caminho de menor custo entre vértices (extensível para dígrafos) 9

16 rafos Árvores mínimas de suporte Definição Uma árvore mínima de suporte (MST) de um grafo ponderado é o conjunto de arestas ligando todos os vértices, tais que a soma dos pesos das arestas é, pelo menos, tão baixa quanto a soma dos pesos de qualquer outro conjunto de arestas ligando todos os vértices. Deverá ser evidente pela definição que estamos apenas interessados em conjuntos de arestas que constituam uma árvore de suporte. Como se mostra que a definição assim o estabelece? 9 rafos Representação de grafos ponderados () A representação dos pesos associados às arestas em grafos ponderados pode ser feita por: A matriz de adjacências deixa de ser booleana, para passar a conter o valor associado às arestas requer sentinela para vértices não adjacentes. Cada elemento da lista de adjacências passa a conter um campo adicional com o peso da aresta, para além do campo identificador do vértice. No caso da representação das arestas ter-se-á que adicionar um campo para o peso. typedef struct int v, int w, double wt; Edge; Edge EDE(int, int, double); Estas definições são incluídas no ficheiro RAPH.h anteriormente introduzido. 9

17 rafos - Implementação de ADT (matriz de adjacências) #include <stdlib.h> #include RAPH.h rafos Ponderados struct graph int V; int E; double **adj;; raph RAPHinit(int V) raph * = malloc(sizeof (graph *)); ->V = V; ->E = ; ->adj = MATRIXdouble(V, V, maxwt); return ; void RAPHinsertE(raph *, Edge *e) if (->adj[e->v][e->w] == maxwt) ->E++; ->adj[e->v][e->w] = e->wt; ->adj[e->w][e->v] = e->wt; 9 rafos Propriedades das MST () Propriedade Dada uma divisão de vértices de um grafo em dois conjuntos, qualquer árvore mínima de suporte (MST) desse grafo contém uma aresta de menor peso que liga um vértice de um dos conjuntos a algum dos vértices do outro. Demonstração Por redução ao absurdo. Suponha-se que não há ou que não é de menor peso. Se não existir, não é uma árvore de suporte. Se não for de menor peso, então seja s a aresta de menor peso que liga vértices dos dois conjuntos. Esta aresta não pertence à MST. Adicione-se a aresta s. O grafo obtido possui agora um ciclo e esse ciclo contém também a aresta t que liga os dois conjuntos. Retirando a aresta t obtém-se uma MST de menor peso. Não é? 9

18 rafos Exemplo () 8 8 Aresta mais curta ligando os vértices amarelos aos verdes. 9 rafos Propriedades das MST () Propriedade Dado um grafo, considere-se o grafo que se obtém adicionando uma aresta e a. Adicionar e à MST de e retirar a maior aresta do ciclo assim criado, gera a MST de. Demonstração: Se e é maior que todos as outras arestas do ciclo, não pode pertencer à MST de (ver propriedade anterior): retirando e de tal MST partiria o grafo em dois e e não seria a mais curta aresta entre essas duas partes, porque alguma outra aresta do ciclo faz essa ligação e possui menor peso. Caso contrário, seja t a maior aresta do ciclo criado com a adição de e. Retirando t à MST original gera duas partes em que todas as restantes arestas são menores que t. Logo, a menor aresta que liga essas duas partes é a aresta e. 9

19 rafos Exemplo () Árvore Mínima de Suporte Nova aresta 8 8 Ciclo Maior aresta do ciclo As arestas que não pertencem à árvore mínima de suporte são as de maior peso em algum ciclo do grafo original. 9 rafos Síntese da aula Procura em profundidade - DFS Exemplo de execução; Implementação para matrizes de adjacências e por listas de adjacências; Comparação; Propriedades Procura em largura BFS Implementação por matrizes de adjacências; Exemplo de execução; Propriedades; Implementação alternativa para matrizes de adjacências Procura generalizada em grafos Descrição; Implementação; Propriedades Árvores de suporte mínimas MST Representação e implementação de ADT para grafos ponderados; Propriedades das MST s exemplos 98

20 rafos Uma solução para a MST Ideia Construir a árvore mínima de suporte adicionando arestas, tais que cada aresta adicionada é a de menor peso de todas as que ligam um vértice que já está na árvore a um outro que ainda não esteja. Este método é conhecido como o Algoritmo de Prim. Propriedade O algoritmo de Prim calcula correctamente a MST. Demonstração Aplicar a Propriedade, usando os vértices já na árvore parcial como o primeiro conjunto e os que não pertencem a essa árvore como o segundo conjunto. 99 rafos Outra solução para a MST Ideia Construir a árvore mínima de suporte adicionando arestas por ordem crescente do seu valor, desde que a nova aresta não forme um ciclo, parando assim que se tiverem adicionado V- arestas. Este método é conhecido com o Algoritmo de Kruskal. Propriedade O algoritmo de Kruskal calcula correctamente a MST. Demonstração (esboço) Mostra-se por indução que o método constrói uma floresta de sub- MST s. Sempre que se adiciona uma aresta que feche um ciclo, só pode ser a maior desse ciclo Propriedade. Caso contrário, a aresta adicionada liga duas árvores e é a menor a fazer essa ligação Propriedade.

21 rafos Outra mais... Ideia Começar por ligar cada vértice ao seu vizinho mais próximo, criando, no máximo, V/ árvores. Depois, ligar cada árvore à outra árvore que lhe estiver mais próxima. Etc. Este método é conhecido como o Algoritmo de Boruvka. Propriedade O algoritmo de Boruvka calcula correctamente a MST. Demonstração: Cada aresta escolhida é a mais pequena que liga dois conjuntos disjuntos Propriedade. rafos Alg. de Prim () (Implementação) É o algoritmo mais simples de implementar e é a escolha acertada para grafos densos. Constrói-se a árvore adicionando o vértice que estiver mais próximo da árvore já construída. A definição do método aponta para uma implementação de força bruta, que não é aconselhável para que seja eficiente. Através da definição de uma estrutura de dados complementar adequada é possível evitar cálculos excessivos. Precisamos Indicação do vértice pai, para cada vértice já na árvore. Para cada vértice fora da árvore, indicação de qual o vértice na árvore que lhe está mais próximo. Para cada vértice fora da árvore, qual a distância ao vértice da árvore mais próximo.

22 rafos Alg. de Prim () (Implementação) A implementação mais simples daquele conjunto de dados é através de uma tabela indexada pelos vértices. Pode-se usar uma estrutura para representar toda a informação identificada acima. Vamos usar tabelas independentes para maior clareza e generalidade. Para determinar o próximo vértice a adicionar, inspeccionamse todos os vértices fora da árvore, usando cada um como um índice para a terceira tabela com o objectivo de determinar a sua distância à árvore e saber qual o mais próximo. Quando se adiciona um vértice, v, examina-se cada uma das suas arestas v-w, e se w não estiver na árvore actualiza-se a sua distância à árvore, caso v-w tenha um peso inferior à presente distância de w à árvore. rafos Alg. de Prim () (Implementação) static int fr[maxv]; #define P ->adj[v][w] void RAPHmstV(raph *, int st[], double val[]) int v, w, min; for (v = ; v < ->V; v++) st[v] = -; fr[v] = v; val[v] = maxwt; min = ; st[] = ; val[->v] = maxwt; for (v = ; min!= ->V; st[v = min] = fr[v]) for (w =, min = ->V; w < ->V; w++) if (st[w] == -) if (P < val[w]) val[w] = P; fr[w] = v; if (val[w] < val[min]) min = w; fr - frente (franja) provisória de cada nó st - aresta final na MST val - distância provisória do nó à MST min - nó à menor distância da MST

23 rafos Exemplo de execução () val[*] maxwt Ciclo for interior: v, st[] - min V st[] == - X já na árvore - adj[][] < val[] ü val[], fr[] val[] < val[min] ü min - adj[][] < val[] X não adjacentes - adj[][] < val[] ü val[], fr[] val[] < val[min] ü min -;;; não adjacentes v min, st[] fr[] rafos Exemplo de execução () Ciclo for interior: v min =, st[] fr[] - min V já na árvore - adj[][] < val[] X val[] < val[min] ü min - adj[][] < val[] ü val[], fr[] val[] < val[min] X - já na árvore - adj[][] < val[] ü val[], fr[] val[] < val[min] ü min -;; não adjacentes v min, st[] fr[]

24 rafos Exemplo de execução () rafos Árvore de procura (Alg. Prim) 8

25 rafos Árvore de procura (Alg. Prim) 9 rafos Árvore de procura (Alg. Prim)

26 rafos Árvore de procura (Alg. Prim) rafos Árvore de procura (Alg. Prim)

27 rafos Árvore de procura (Alg. Prim) rafos Árvore de procura (Alg. Prim)

28 rafos Árvore de procura (Alg. Prim) rafos Árvore de procura (Alg. Prim) Ordem de entrada do verticas na MST:,,,,,,,

29 rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / 8

30 rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / 9 rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

31 rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

32 rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / rafos Exemplo com tabela Tomando o vértice como ponto de partida Legenda val/fr / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Ordem de entrada do verticas na MST:,,,,,,,

33 rafos Alg. de Prim (Propriedade) Propriedade Com o algoritmo de Prim, pode-se determinar a MST de um grafo denso em tempo linear. Demonstração: A simples observação do código permite concluir que o tempo de execução é proporcional a V, pelo que é linear para grafos densos. Cada vez que se visita um vértice, uma passagem pelos vértices fora da árvore serve o objectivo duplo de actualizar a distância mínima de cada vértice à árvore e de determinar qual está mais próximo. i.e., qual o próximo a visitar. Descrição: Deslocar a aresta mais pequena da franja para a árvore. Visitar o vértice a que conduz e colocar na franja todas as arestas que dele saem para vértices não visitados, substituindo a aresta mais comprida quando duas arestas da franja apontam para o mesmo vértice. rafos Alg. de Kruskal () (Implementação) O algoritmo de Prim adiciona uma aresta de cada vez a uma única árvore em construção. O algoritmo de Kruskal também adiciona uma aresta de cada vez, mas possui várias pequenas árvores que se vão agregando à medida que a execução evolui. Tem início numa floresta de V árvores uma por vértice e termina quando apenas existe uma árvore a árvore mínima de suporte. Há que ordenar as arestas com um qualquer algoritmo de ordenação e posteriormente utilizar um dos algoritmos discutidos para o problema da conectividade.

34 rafos Alg. de Kruskal () (Implementação) void RAPHmstE(raph *, Edge mst[]) int i, k; Edge a[maxe]; int E = RAPHedges(a, ); sort(a,, E-); UFinit(->V); for (i =, k = ; i < E && k < ->V-; i++) if (!UFfind(a[i].v, a[i].w)) UFunion(a[i].v, a[i].w); mst[k++] = a[i];. Ordenação do vector de arestas, a.. Criação de V conjuntos com um vértice cada.. Se a menor aresta ainda não incluída não ligar dois pares que já estão ligados, incluila na árvore. rafos Exemplo de execução () Ordenação das arestas: <(,); (,); (,); (,); (,); (,); (,); (,); (,); (,); (,)> Partição inicial:,,,,,,, i ; k a[i].v = ; a[i].w =,,,,,,, mst[k] (,) k i a[i].v = ; a[i].w =,,,,,,, mst[k] (,) k 8

35 rafos Exemplo de execução () 9 rafos Alg. de Kruskal (Propriedade) Propriedade O algoritmo de Kruskal calcula a MST de um grafo num tempo proporcional a ElgE. Demonstração Esta propriedade é consequência do facto de o tempo de execução incluir uma ordenação de E arestas seguida de E operações procura e V- operações de união. PORQUÊ? Se utilizarmos os melhores algoritmos para cada uma das operações identificadas, tais como mergesort para a ordenação e procura-união ponderada com compressão de caminho para a conectividade, o custo da ordenação domina.

36 rafos Alg. de Boruvka () (Implementação) Tal como o algoritmo de Kruskal, este algoritmo constrói a MST adicionando arestas a uma floresta de sub-árvores, todas elas MST s. A diferença reside no facto de a adição se processar em fases, em que para cada fase se adicionam várias arestas. Em cada fase determinam-se as arestas mais curtas que ligam cada sub-árvore com outra. Em seguida adicionam-se todas essas arestas. Mais uma vez, as funções elementares procura e união serão cruciais para uma implementação eficiente. rafos Alg. de Boruvka () (Implementação) Torna-se necessário permitir que a função de procura seja ligeiramente alterada para que associe um índice com cada uma das sub-árvores. Assim sendo, mantém-se uma tabela indexada por vértices indicando, para cada sub-árvore, qual a sua vizinha mais próxima. De seguida executam-se as seguintes operações em cada aresta do grafo: Se ligar dois vértices na mesma árvore, ignorá-la. Caso contrário, verificar as distâncias do vizinho mais próximo de cada uma das árvores, actualizando-se se apropriado.

37 rafos Alg. de Boruvka () (Implementação) Depois de fazer esta avaliação, a tabela dos vizinhos mais próximos contém a informação necessária para ligar subárvores. Para índice dos vértices faz-se uma união, ligando os seus vizinhos mais próximos. Em seguida, retiram-se as arestas mais longas que ligam outros pares de vértices nos pares de árvores MST ligadas. rafos Alg. de Boruvka () (Implementação) Edge nn[maxv]; void RAPHmstE(raph *, Edge mst[]) int h, i, j, k, v, w, N; Edge e, a[maxe]; int E = RAPHedges(a, ); for (UFinit(->V); E!= ; E = N) for (k = ; k < ->V; k++) nn[k] = EDE(->V, ->V,.); for (h =, N = ; h < E; h++) i = find(a[h].v); j = find(a[h].w); if (i == j) continue; if (a[h].wt < nn[i].wt) nn[i] = a[h]; if (a[h].wt < nn[j].wt) nn[j] = a[h];.... Tabela dos vizinhos mais próximos, nn.. Criação de tabela de arestas, a.. Inicialização da distância aos vizinhos.. Determinação da sub-árvore a que pertencem as arestas.. Cálculo do vizinho mais próximo.

38 rafos Alg. de Boruvka () (Implementação)... a[n++] = a[h]; for (k = ; k < ->V; k++) e = nn[k]; v = e.v; w = e.w; if ((v!= ->V) &&!UFfind(v, w)) UFunion(v, w); mst[k] = e;. Deita fora de a as arestas que ligam vértices na mesma sub-árvore!!!. Funde duas subárvores, se ainda não associadas, usando a aresta mais curta, e. rafos Alg. de Boruvka (Propriedade) Propriedade O algoritmo de Boruvka calcula a MST de um grafo num tempo inferior a E lgv lg*v. Demonstração: Dado que o número de sub-árvores na floresta se reduz, pelo menos, a metade em cada fase, o número de fases não é maior que lg V. O tempo de cada fase é, no máximo, proporcional ao custo de E operações de procura. Observações: A expressão acima é bastante conservadora, na medida em que ignora a redução de arestas ocorrida em cada fase. Concebido em 9 e desde os anos 8 a base para o desenvolvimento de algoritmos eficientes para MST s, assim como para algoritmos paralelos

39 rafos Comparação dos métodos () Algoritmo Pior caso Comentário Prim (padrão) V Óptimo para grafos densos Prim (com PFS)* E lg V Pior caso conservador Kruskal (padrão) E lg E Custo de ordenação domina Kruskal (ord. parcial)* E + X lg V Depende da aresta maior Boruvka E lg V Pior caso muito conservador * Variantes não discutidas * PFS Priority-First Search * ord. parcial evitar ordenar todas as arestas, dado que podem não ser necessárias (via heapsort, por exemplo). rafos Comparação dos métodos () E V H P K K* e/e B e/e Densidade Densidade Densidade , 8. 8, Densidade V/ H: Prim lista de adjacências/heapsort P: Prim matriz de adjacências K: Kruskal K*: Kruskal com ordenação parcial B: Boruvka e/e: arestas examinadas (uniões) 8

40 rafos Síntese da aula Árvores de suporte mínimas MST Propostas de solução para cálculo de MST s Algoritmo de Prim Descrição; Implementação; Exemplo de execução; Análise de eficiência Algoritmo de Kruskal Descrição; Implementação; Exemplo de execução; Análise de eficiência Algoritmo de Boruvka Descrição; Implementação; Exemplo de execução; Análise de eficiência Comparação dos três métodos 9 Caminhos em rafos Caminho simples Dados dois vértices num grafo, saber se estão ligados por um caminho; Determinar se o caminho existe ou calculá-lo explicitamente; Caminho de Hamilton Dados dois vértices num grafo, saber se existe um caminho que visite todos os vértices do grafo exactamente uma vez; Determinar se o caminho existe ou calculá-lo explicitamente; Caminho de Euler Dados dois vértices num grafo, saber se existe um caminho simples que use todas as arestas do grafo exactamente uma vez; Determinar se o caminho existe ou calculá-lo explicitamente.

41 rafos - Caminho Simples (Cliente para M. de Adj.) static int visited[maxv]; int RAPHpath(raph *, int v, int w) int t; for (t = ; t < ->V; t++) visited[t] = ; return pathr(, v, w); int pathr(raph *, int v, int w) int t; if (v == w) return ; visited[v] = ; for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[v][t] == ) if (visited[t] == ) if (pathr(, t, w)) return ; return ; rafos - Descrição do algoritmo Suporta-se num esquema de procura em profundidade primeiro depth first search. A partir de v, encontrando um primeiro vértice adjacente, t, chama-se recursivamente tentando encontrar w a partir de t. O vector visited serve para garantir uma só visita a cada vértice.

42 rafos - Exemplo de execução () Chamada à função para determinar a existência de caminho entre os vértices e RAPHpath(,, ) rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,, )

43 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,, ) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - (não adjacentes) rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,, ) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - (não adjacentes) - pathr(,, ) -; ( e já visitados)

44 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,, ) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - (não adjacentes) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - pathr(,, ) -; (não adjacentes) - (já visitado)... rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr... - ( já visitado) -; (não adjacentes) - pathr(,, ) 8

45 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr... - ( já visitado) -; (não adjacentes) - pathr(,, ) -; (não adjacentes) - ( já visitado) - (não adjacentes) - pathr(,, ) 9 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,, ) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - (não adjacentes) - pathr(,, ) -; ( e já visitados) - pathr(,, ) -; (não adjacentes) - (já visitado)...

46 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr... - ( já visitado) -; (não adjacentes) - pathr(,, ) -; (não adjacentes) - ( já visitado) - (não adjacentes) - pathr(,, ) rafos - Análise de Complexidade () Número de execuções de if (->adj[v][t]==) para v? for (t = ; t < ->V; t++) Ou seja, V vezes no pior caso para cada v. Número de execuções de if (visited[t]==) para v? for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[v][t] == ) Ou seja, sempre que v e t forem adjacentes. No pior caso, V vezes.

47 rafos - Análise de Complexidade () Quantas chamadas a pathr para cada v? for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[v][t] == ) if (visited[t] == ) Ou seja, para adjacentes de v ainda não visitados. No pior caso, V vezes. Número total de chamadas a pathr não é superior a V. Porquê? rafos - Análise de Complexidade () Discussão anterior centrou-se na representação por matriz de adjacências. Para listas de adjacências, o teste if (->adj[v][t] == ) é substituído pelo teste de fim de lista de adjacentes de v executado, no pior caso, grau(v) vezes; grau(v) V Para todos os vértices, no pior caso, é executado Σv grau(v) = E. Tudo o mais permanece.

48 rafos - Análise de Complexidade () Na representação por matrizes de adjacência, o algoritmo tem um tempo de execução da ordem de V. Porquê? Na representação por listas de adjacências, o algoritmo tem um tempo de execução da ordem de E. Porquê? Em síntese: Pode-se determinar um caminho ligando dois vértices dados de um grafo em tempo linear. rafos - Análise de Complexidade () Tempo linear significa: tempo proporcional a V para matrizes de adjacência; tempo proporcional a E para listas de adjacências. Que representação preferir para este problema? Se o grafo for denso, preferir a solução por matriz de adjacências. Se o grafo for esparso, preferir a solução por listas de adjacências.

49 rafos - Caminho de Hamilton () Cliente para M. de Adj. Caminho simples static int visited[maxv]; int pathr(raph *, int v, int w, ) int t; if (v == w) return ; int RAPHpath (raph *, int v, int w) int t; for (t = ; t < ->V; ++t) visited[t] = ; return pathr(, v, w, ); visited[v] = ; for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[v][t] == ) if (visited[t] == ) if (pathr(, t, w, )) return ; return ; rafos - Caminho de Hamilton () Cliente para M. de Adj. Caminho de Hamilton static int visited[maxv]; int pathr(raph *, int v, int w, int d) int t; if (v == w) if (d == ) return ; else return ; visited[v] = ; for (t = ; t < ->V; t++) if (->adj[v][t] == ) if (visited[t] == ) if (pathr(, t, w, d-)) return ; visited[v] = ; return ; int RAPHpathH(raph *, int v, int w) int t; for (t = ; t < ->V; ++t) visited[t] = ; return pathr(, v, w, ->V-); 8

50 rafos - Exemplo de execução () Chamada à função para determinar a existência de caminho de Hamilton entre os vértices e RAPHpathH(,, ) 9 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr pathr(,,, ) - ( visitado) - pathr(,,, ) -; (já visitados) - pathr(,,, ) -; ; (já visitados) -; (não adjacentes) (sai limpando ) - pathr(,,, ) - (não adjacentes) - (já visitado) - (não adjacentes) - (já visitado) (...)

51 rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr (...) - pathr(,, ) (d!= ) (sai limpando ) (sai limpando ) - (não adjacente) (sai limpando ) - pathr(,,, ) - (já visitado) - pathr(,,, ) -;; (já visitados) - pathr(,,, ) - (não adjacente) (...) rafos - Exemplo de execução () Sequência de chamadas a pathr (...) - (já visitado) - (não adjacentes) - (já visitado) - pathr(,,, ) (...) (d ==, caminho encontrado) Caminho encontrado!!!

52 rafos - Análise de Complexidade Propriedade A procura recursiva por um caminho de Hamilton pode levar tempo exponencial. Esboço de Demonstração Considere-se um grafo em que o vértice V- está isolado e os restantes V- vértices formam um sub-grafo completo. O programa nunca conseguirá encontrar um caminho de Hamilton (Porquê?). No entanto, por indução pode-se estabelecer que examinará todos os (V-)! caminhos no sub-grafo completo e em todos eles executará V- chamadas recursivas a graphr. Logo, o número total de chamadas recursivas é da ordem de V!, ou da ordem de (V/e) V, o que é superior a qualquer polinómio em V. rafos Discussão () Como é que dois problemas tão próximos no seu enunciado e dois programas tão próximos na sua estrutura, possuem complexidades tão distintas? Quando se procura um caminho simples sabemos que, se existe um caminho entre os vértices v e w, ele é encontrado a partir de algum t adjacente a v. O mesmo é verdade para caminhos de Hamilton. Se não encontrarmos um caminho simples entre t e w, sabemos que não existe um caminho simples entre v e w que passe por t.

53 rafos Discussão () Para caminhos de Hamilton, pode não existir um caminho que comece por v-t, mas pode existir um caminho que comece por v-x-t, para algum outro vértice x (daí termos de desmarcar vértices visitados). Logo, teremos que executar uma chamada recursiva a partir de t para todos os caminhos possíveis originados em v e que passam em t. O que é o mesmo que dizer que poderemos ter que investigar todos os caminhos possíveis no grafo. rafos - Caminhos e Ciclos de Euler () Propriedade Um grafo ligado possui um caminho de Euler entre o vértice v e o vértice w se e só se v e w têm grau ímpar e todos os outros vértices têm grau par. Demonstração Prova-se por indução no número de arestas. Claramente, o resultado é verdadeiro para um grafo com dois vértices e uma só aresta ligando-os. Seja um grafo ligado com mais que uma aresta. Existe um caminho de Euler entre v e w se e só se existir um vértice t, adjacente de v, para o qual exista um caminho de Euler até w no grafo * (* obtém-se de removendo a aresta que liga v a t);

54 rafos - Caminhos e Ciclos de Euler () Demonstração (continuação) Pela hipótese de indução, existe um caminho de Euler em * se e só se todos os vértices têm grau par excepto t e w, que têm grau ímpar. Se existir um caminho de Euler entre t e w em *, adicionando uma aresta entre v e t faz com que t tenha grau par e com que v tenha grau ímpar, sem afectar o grau dos restantes vértices. Logo, o resultado fica estabelecido. rafos - Caminhos e Ciclos de Euler () Demonstração (continuação) Se não existir um caminho de Euler entre t e w em *, então é porque t tem grau par - (de grau ímpar em ), ou w tem grau par - (também de grau par em ), ou v tem grau ímpar - (de grau par em ), ou outro vértice tem grau ímpar - (também de grau ímpar em ). Em qualquer dos casos, violando a condição enunciada. 8

55 rafos - Caminhos e Ciclos de Euler () Propriedade Um grafo ligado possui um ciclo de Euler se e só se todos os seus vértices tiverem grau par. Demonstração Consequência imediata da propriedade anterior e do argumento utilizado na sua demonstração. rau dos vértices Tempo proporcional a E para listas de adjacências. Tempo proporcional a V para matrizes de adjacências. Ou mantém-se uma tabela indexada pelos vértices com o grau de cada vértice. 9 rafos - Caminhos e Ciclos de Euler () Neste último caso, determinar se existe ou não um caminho ou ciclo de Euler pode ser feito em tempo proporcional a V. Sendo fácil saber se existe, será que é fácil calculá-lo como nos caminhos simples ou será que é tão difícil como com os caminhos de Hamilton? Examinando a demonstração Qualquer aresta cuja remoção mantenha o grafo ligado pode ser a primeira aresta de um caminho de Euler. Encontrando uma primeira aresta nestas condições, aplica-se o conceito recursivamente.

56 rafos Problemas em grafos Estes três exemplos servem para ilustrar a gama de variabilidade que pode existir em problemas com grafos. Problemas aparentemente iguais com diferentes complexidades. Problemas aparentemente complexos com soluções simples. Categorias em termos de complexidade Simples, Tratáveis, Intratáveis, Desconhecida. Exemplos de problemas (ver discussão no livro) Conectividade simples, conectividade forte em digrafos, fecho transitivo, árvores mínimas de suporte, caminhos mais curtos com uma única origem, planaridade, emparelhamento, alocação, caminho mais comprido, coloração, conjuntos independentes, cliques, isomorfismo, ciclos de tamanho par em digrafos. rafos Complexidade dos Problemas () rafos não direccionados Conectividade S Conectividade geral T Ciclo de Euler S Ciclo de Hanilton I Emparelhamento em grafos bipartidos S Emparelhamento máximo T Planaridade T Clique máxima I Bi-coloração S Tri-coloração I Caminhos mais curtos S Caminhos mais compridos I Cobertura de vértices I Isomorfismo?

57 rafos Complexidade dos Problemas () Digrafos Fecho transitivo S Conectividade forte S Ciclos ímpares S Ciclos pares? rafos ponderados Árvore mínima de suporte S Caixeiro viajante I Redes Caminhos mais curtos S Ciclos negativos I Fluxo da rede S Atribuição T Fluxo de custo mínimo T rafos Síntese da aula Caminhos em grafos Caminhos simples, caminhos de Hamilton e caminhos de Euler Caminhos Simples Implementação; Descrição da implementação; Exemplo de execução; Análise de complexidade Caminhos de Hamilton Implementação; Descrição da implementação; Exemplo de execução; Análise de complexidade Caminhos e Ciclos de Euler Caracterização dos grafos que possuem caminho e ciclos de Euler Problemas em grafos Síntese de complexidade de alguns problemas em grafos