Unidade 1 - Capacitores Capacidade Eletrostática Condutor Esférico Energia Armazenada em um capacitor Capacitor Plano Associação de Capacitores Circuitos com capacitores
Introdução Os primeiros dispositivos de controle existentes nos aparelhos elétricos eram praticamente mecânicos. Relês que se abriam ou fechavam de acordo com a temperatura atingida, interruptores, válvulas com grades metálicas e emissores térmicos que necessitavam de aquecimento, além das chaves de acionamento magnético. Usando resistores, podemos controlar a intensidade de corrente elétrica, mas a inconveniência desse controle é a perda de energia. Na verdade, com os resistores, controlarmos a fração dissipada a fim de obter a potência útil conveniente.
Introdução Talvez os chamados reostatos tenham sido os primeiros controles elétricos. Os avanços da Ciência e da tecnologia nos possibilitaram: Armazenar energia com capacitores; Permitir ou impedir a circulação de corrente elétrica com diodos; Controlar eletronicamente a intensidade de das correntes com perdas muito pequenas, pelo uso de transistores.
Introdução Ocorreu também a miniaturização desses componentes, permitindo engenhosas combinações em elementos muito pequenos os circuitos integrados e as maravilhas da eletrônica que hoje desfrutamos.
Capacidade Eletrostática Ao ser eletrizado, um condutor adquire carga elétrica. Dependendo de seu formato geométrico, de suas dimensões e do meio em que está inserido, um condutor apresenta maior ou menor capacidade de armazenamento de carga elétrica.
Capacidade Eletrostática Capacidade eletrostática de um condutor elétrico é uma constante associada À sua capacidade de armazenar energia potencial elétrica. Sendo C a capacidade eletrostática de um capacitor, Q a carga elétrica que se armazena e V seu potencial elétrico, temos que: C = Q U
Capacidade Eletrostática Assim, para um condutor elétrico, a carga que ele é capaz de armazenar e seu potencial elétrico são grandezas diretamente proporcionais. Essa relação matemática mostra que a capacidade de um condutor é uma constante que o caracteriza. As grandezas envolvidas na equação anterior possuem as seguintes unidades no SI: Carga elétrica: C (coulomb) Potencial elétrico: V (volt) Capacidade eletrostática: F (farad)
Condutor esférico Esta figura representa um condutor esférico de raio R, eletrizado com uma quantidade de carga Q: Como sabemos, o potencial elétrico desse condutor é dado pela expressão V = R K.Q R Substituindo-se essa equação naquela que calcula a capacidade de um condutor, temos: C = Q K.Q R C = R K O que podemos concluir é que, no caso de condutores esféricos, a capacidade eletrostática depende apenas de seu raio e do meio em que está imerso.
Energia armazenada em um condutor Vimos que um condutor isolado possui certa capacidade de armazenamento de carga. Falaremos agora dos capacitores : Conjunto de dois condutores próximos um do outro; Isolados eletricamente; Eletrizados com carga de mesmo módulo e sinais contrários. Esse tipo de dispositivo possui maior capacidade de armazenamento de carga do que um condutor isolado devido à atração existente entre as cargas próximas e de sinais opostos. Visto que são descarregados lentamente, pilhas e baterias podem alimentar um circuito por muito tempo.
Energia armazenada em um condutor Os capacitores, por não realizarem transformações energéticas, apresentam um processo de carga e descarga muito rápido. Dependendo da necessidade em dada situação, optamos por um ou outro tipo de dispositivo. Esta figura mostra a representação de um capacitor: Se conectarmos um capacitor em uma fonte de tensão, ele se carrega como mostra esta ilustração:
Energia armazenada em um condutor Por definição, a capacidade eletrostática de um capacitor é dada pela razão entre o módulo da carga elétrica (Q) armazenada em uma das placas do capacitor e a tensão (U) aplicada nos seus extremos (terminais). C = U Q Q = C. U
Energia armazenada em um condutor Durante o processo de carga e descarga do capacitor, passa pelo circuito uma corrente elétrica quase instantânea. Após esses processos, não ocorre mais passagem de corrente. Sabemos da Eletrostática que o τ = q.u, ou seja, o produto da tensão pela carga elétrica fornece trabalho realizado pela força elétrica sobre essa carga. Como o trabalho de uma força conservativa coincide com a respectiva energia potencial, podemos dizer que a energia potencial elétrica armazenada por um capacitor pode ser obtido pela área sob o gráfico:
Energia armazenada em um condutor Como a capacidade eletrostática de um capacitor é constante, á medida que se aumenta a diferença de potencial U aplica em suas placas, aumenta-se proporcionalmente também a carga elétrica Q nelas armazenada. Visto que Q e U são diretamente proporcionais, o gráfico que relaciona essas grandezas é uma semirreta que passa origem: Podemos obter a energia potencial (Ep) armazenada em um capacitor: E QU. E p = Como Q = C. U E p p N = Área C. U. U = E p = C. U
Capacitor Plano O capacitor plano é um bipolo constituído por duas placas planas, paralelas e de mesma área. Entre elas, deve existir um meio isolante (ar, vácuo, borracha, etc.). A constante ε que aparece nessa equação é denominada constante de permissividade elétrica do material isolante colocado entre as placas do capacitor. No vácuo (ε o ) e no ar, essa constante é praticamente a mesma e tem o seguinte valor: 1 ε ar ε o = 8,85.10 F / m Sendo A a área de cada placa e d a distância de separação entre elas, podemos escrever: C ε. A = d Para outros meio, a constante apresenta valores maiores do que no vácuo.
Associação de Capacitores Da mesma maneira que associamos resistores e geradores em série ou em paralelo, também podemos fazê-lo com capacitores. Nem sempre é possível encontrar para compra um capacitor que tenha exatamente a capacidade eletrostática necessária para determinado fim. Para sanar esse tipo de problema, costumamos fazer associações de capacitores, pois com elas podemos obter o que denominamos capacidade equivalente.
Associação em série Em uma associação de capacitores em série, temos as seguintes características: a) Todos os capacitores devem estar ligados em um único ramo do circuito e sem ramificação entre eles. b) A diferença de potencial elétrico dessa associação se divide entre os capacitores que a constituem. c) Devido à indução eletrostática, as cargas nas placas são todas iguais em módulo.
Associação em série Assim sendo, vamos supor três capacitores com capacidades eletrostática C 1, C e C 3, associados em série e submetidos a uma tensão U:
Associação em série Desejamos agora determinar o capacitor equivalente dessa associação. Encontrar um capacitor capaz de armazenar a mesma carga elétrica armazenada pela associação, quando submetido à mesma tensão a que ela está.
Associação em série Conforme o item b, mencionado anteriormente, U = U 1 + U + U3 Como Q = C. U, então U = S Q C Q Q Q Assim, podemos escrever U = = + + C C C Simplificando essa expressão, obtemos : 1 C S = 1 C 1 + 1 C + 1 C 3 1 Q C 3 Para dois capacitores : C S = C C 1 1. C + C Para n capacitores iguais : C S = C n
Associação em paralelo Em uma associação de capacitores em paralelo, temos as seguintes características: a) Os capacitores devem estar ligados de maneira que haja um único capacitor em cada ramo, estando os terminais de todos os capacitores ligados aos mesmos dois nós. b) Todos os capacitores estão submetidos à mesma diferença de potencial. c) Cada capacitor armazena as própria carga elétrica, e a carga total da associação é dada pela soma das cargas armazenadas em cada capacitor.
Associação em paralelo Assim sendo, vamos supor três capacitores com capacidades eletrostáticas C 1, C e C 3, associados em paralelo e submetidos a uma tensão U: Desejamos, agora determinar o capacitor equivalente (C e ) dessa associação.
Associação em paralelo Conformeo item b, mencionado anteriormente, Q = Q 1 + Q + Q3 Como Q = C. U CP. U = C1. U + C. U + C CP = C1 + C + C... 3. U Simplificando essa expressão, obtemos : Para n capacitores iguais : C S = n.c 3
Circuitos com capacitores Vamos analisar um circuito elétrico constituído de um gerador, um capacitor e alguns resistores: Inicialmente, uma rápida corrente elétrica passa pelo circuito, até que o capacitor esteja carregado. Depois disso, pelo ramo em que está o capacitor não circula mais corrente elétrica e, consequentemente, R deixa de funcionar. Assim, a partir desse instante, toda corrente elétrica fornecida pelo gerador passa somente em R 1. Nesse caso, a diferença de potencial no capacitor passa a coincidir com a do gerador.
Exercícios Resolvidos 1. Carrega-se um capacitor de capacidade eletrostática 5 µf com carga elétrica de 0 µc. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. Resolução Calculando a ddp U nos terminais do capacitor: -6 Q Q 0µC 0.10 C C = U = U = = = 4V -6 U C 5µF 5.10 F W elétrica -6 Q.U (0.10 C).(4V) = = = -5 4.10 J
Exercícios Resolvidos. Um capacitor armazena 8.10 6 J de energia quando submetido à ddp U. Dobrando-se a ddp nos seus terminais, a energia armazenada passa a ser: Resolução CU' W' elétrica U' U = = Welétrica CU = U U = = -6 W' elétrica 4Welétrica 3.10 J
Exercícios Resolvidos Um capacitor plano é conectado a uma pilha de força eletromotriz constante, como mostra a figura, adquirindo carga elétrica Q. Mantendo-o conectado à pilha, afastam-se as placas até que a distância entre as mesmas seja o triplo da inicial. Ao término do processo, sua carga elétrica será: Re solução : ε.a ε.a C = e C = onde d = 3d C = 3C 0 0 0 d0 d A ddp nos terminais do capacitor não mudou. Q0 Q Q0 Q Q0 U0 = U = = Q = C C 3C C 3 0
Exercícios Resolvidos Na questão anterior, desliga-se o capacitor da pilha antes de afastar as placas e em seguida dobra-se a distância entre as mesmas. A nova ddp nos seus terminais passa a ser: Resolução Como o campo elétrico entre as placas do capacitor é: σ Q E = = constante, pois não houve variação na densidade superficial de cargas elétricas( σ = ) ε A das placas, já que a carga elétrica Q e a área A permaneceram constantes, temos: U' U U' U = = = = = d' d d d te. E C U' U
Exercícios Resolvidos Dois capacitores de capacidades eletrostáticas C 1 = µf e C = 6µF estão associados em série e ligados a uma fonte que fornece uma ddp constante de 0 V. Determinar: a) a capacidade eletrostática do capacitor equivalente; b) a carga elétrica de cada capacitor; c) a ddp nas armaduras de cada capacitor. Q Q 30µC c) Como U =, temos:u1 = = U1 = 15V e C C µf a) Calculo da capacidade equivalente: C C.C.6 1 S = = = C1 + C + 6 1,5µF Q 30µC U = = U = 5V 1 C 6µF 1 b) A carga do capacitor equivalente é igual à carga de cada capacitor: Q = Q = Q S 1 Q = C.U Q = 1,5µF.0V Q = 30µC
Exercícios Resolvidos 0. Dois capacitores de capacidades eletrostáticas C 1 = µf e C = 6µF estão associados em paralelo e ligados a uma fonte que fornece uma ddp constante de 30 V. Determinar: a) a capacidade eletrostática da associação; b) a carga elétrica de cada capacitor; c) a energia elétrica armazenada na associação. R e s o lu ç ã o a ) C a lc u la n d o a c a p a c id a d e e q u i v a le n te : C = C + C = µf + 6µF = 8µF p 1 b) Sendo Q = C U e como U é a mesma para todos, temos: Q = C.U = µf.30v Q = 60µC 1 1 1 Q = C.U = 6µF.30V Q = 180µC Q.U c ) S e n d o a e n e r g i a e lé t r i c a d a d a p o r : W = Q 1.U 6 0µC.3 0 V W 1 = = W 1 = 9 0 0µJ Q.U 1 8 0µC.3 0 V W = = W 1 = 7 0 0µJ
Exercícios Resolvidos 03. Dado o circuito, o valor da força eletromotriz E do gerador, estando o capacitor carregado com uma carga elétrica de 10µC, vale: Resolução Sendo um circuito RC-série, a ddp nos terminais do capacitor é igual à força eletromotriz do gerador, assim: Q 10µC E = U = = E = 50V C 0,µ F
Exercícios Resolvidos 04. A carga e a energia elétrica armazenada no capacitor do circuito abaixo valem, respectivamente: Resolução Trata-se de um circuito RC-paralelo e, para calcular a ddp U nos terminais do resistor, dev emos prime iro calcular a corrente no circuito. ε eq 10V Sendo i = i = i = 5A r+r 4Ω+ 0Ω A ddp U nos terminai s do capacitor e nos terminais do resistor são iguais: U=R.i U=0V.5A U=100V A carga elétrica no capacitor,é: Q=C.U Q= 0,µF.100V Q= 0µC A energia armazenada pelo capacitor é dada por: W Q.U W = 0µC.100V W = 1000µJ = ELÉTRICA ELÉTRI CA ELÉTRICA