ABORDAGEM HEURÍSTICA E META- HEURÍSTICA NA OTIMIZAÇÃO DO PROCESSO OPERACIONAL DE UMA EMPRESA DE TRANSPORTES RÁPIDOS JULIO CESAR FERREIRA (PUCPR) ferreira.julio@pucpr.edu.br Maria Teresinha Arns Steiner (PUCPR) tere@mat.ufpr.br Mariana de Siqueira Guersola (PUCPR) marianaguersola@gmail.com Osiris Canciglieri Junior (PUCPR) osiris.canciglieri@pucpr.br Este trabalho trata da continuidade do trabalho do Ferreira (2013), que aborda a otimização de um processo operacional de uma empresa de transportes rápidos, aqui denominada de ABC, localizada na Cidade Industrial de Curitiba (CIC), no município de Curitiba, PR. O objetivo geral do presente trabalho é definir de forma otimizada os grupos (clusters) de pontos de demanda a serem atendidos pelos veículos da empresa ABC, assim como os seus roteiros dentro de cada grupo. Para isto, fez-se uso das heurísticas de Teitz & Bart, dos Savings de Clarke e Wright e do método do Custo Mínimo, além da meta-heurística Simulated Annealing. Desta forma, foram avaliados dois cenários: o primeiro consiste em comparar os procedimentos heurísticos e meta-heurístico com o resultado otimizado por Ferreira (2013), com a formação de três grupos de demanda. O melhor resultado foi referente a combinação da heurística Teitz & Bart com a meta-heurística Simulated Annealing com uma aproximação de 7,18% em relação ao resultado ótimo. O pior desempenho foi da combinação da meta-heurística Simulated Annealing com a heurística dos Savings de Clarke e Wright com 14,7% acima do resultado ótimo. O segundo cenário consiste em comprar os procedimentos heurísticos e metaheurístico com a solução atual adotada pela empresa estudada, que envolve a formação de cinco grupos de demanda. O melhor resultado também foi referente a combinação da heurística de Teitz & Bart com a meta-heurística Simulated Annealing com uma aproximação de 2,6% em relação ao resultado ótimo. O pior desempenho foi da combinação da heurística de Teitz & Bart com a heurística dos Savings de Clarke e Wright com 10% acima do resultado ótimo. Em relação à solução atual adotada pela ABC, a melhor combinação heurística e metaheurística proporcionou uma redução de 31,8% em relação ao tempo de trajeto do motoboy. Já o resultado ótimo proporcionou 33,5% de otimização.
Palavras-chave: Otimização, Problemas de Localização de Facilidades (PLF), Problema do Caixeiro Viajante (PCV), Heurística, Meta- Heurística (MH) 2
1. Introdução Os algoritmos Heurísticos (H) e os Meta-Heurísticos (MH) são alternativas em relação aos métodos exatos devido ao alto custo computacional dos modelos matemáticos. Os métodos H procuram alcançar os resultados para os problemas rapidamente, mas não garantem que a solução obtida seja a solução ótima; mas apresentam resultados satisfatórios em um tempo computacional aceitável. Por outro lado os métodos e algoritmos MH são de uso e aplicação geral, normalmente eles não se prendem a ótimos locais e buscam o ótimo global (TAVORA, 2011 e DETRO, 2013). Assim como os métodos H, as MH também procuram alcançar os resultados para os problemas rapidamente, sem garantir que a solução obtida seja a solução ótima; e, além disso, diferentemente dos métodos H, vários parâmetros devem ser ajustados dependendo do problema particular que se está resolvendo. O presente artigo dá continuidade ao trabalho de Ferreira (2013). A empresa pesquisada realiza serviços de entregas rápidas (trata-se de uma agência de Motoboy). Para preservar a identidade, ela será chamada de ABC. Pretende-se junto a esta empresa, otimizar o tempo de atendimento, minimizando as distâncias a serem percorridas e, assim, obter a maximização dos lucros à empresa e uma maior satisfação de seus clientes. Este trabalho visa responder a seguinte pergunta: Como minimizar o tempo de entrega na prestação de serviço sem perder (ou, inclusive, melhorar) a qualidade no atendimento? O presente trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 está a descrição do problema; na seção 3 está a revisão da literatura relacionada ao tema aqui abordado. Na seção 4 são apresentados os resultados e, finalmente, na seção 5, as conclusões. 2. Descrição do problema Segundo Ferreira (2013), a empresa ABC fundada em 2008, aqui analisada, é uma prestadora de serviço de Entregas Rápidas e Encomendas Expressas (agência de motoboys) que está localizada na Cidade Industrial de Curitiba (CIC), Curitiba, PR. Para realizar suas atividades ela utiliza motocicletas, utilitários e/ou caminhões. Ela não possui restrição de cobertura para os seus clientes. As prestações de serviço ofertadas pela empresa ABC podem ser classificadas de duas formas: Rotas Planejadas e as Rotas não Planejadas. As Rotas Planejadas são previamente estabelecidas, pois o contratante solicita que a empresa realize entregas em diversos 3
endereços. Nestes casos são realizadas entregas de notas fiscais, boletos bancários e revistas. As Rotas não Planejadas são a prestação de serviço mais solicitada, pois as empresas conveniadas contatam a Empresa ABC para realizar a atividade conforme suas necessidades. Estas solicitações podem ocorrer de diversas formas, tais como coletar na empresa solicitante e levar a um ou mais destino (s) específico (s) e realizar pagamento de uma fatura em uma agência bancária ou casa lotérica. Este trabalho tem foco na otimização de uma das rotas programadas que possui 50 endereços. Para preservar a identidade dos clientes, eles foram simplesmente numerados de 1 a 50. O foco deste estudo foi otimizar o tempo do percurso em uma atividade planejada que inicialmente era realizada em cinco dias (de segunda a sexta-feira) e foi otimizada para ser executada em três dias (3ª., 4ª. e 5ª.-feiras). Isto porque a ABC considerou que na 2ª. e na 6ª. - feiras, a empresa recebe mais solicitações de Rotas não Planejadas. Desta forma, ela julgou disponibilizar melhor a mão de obra dos seus colaboradores. Em Ferreira (2013), o cenário atual (Tabela 1) foi comparado com o proposto pelo autor (Tabela 2) que fez uso dos modelos matemáticos do Problema de Localização de Facilidades (PLF) e do Problema do Caixeiro Viajante (PCV). Tabela 1 - Programação dos roteiros realizados no cenário atual Grupo Caminho Tempo (min.) 2ª.-feira (ABC - 1-2 - 3-4 - 5-6 - 7-8 - 9 - ABC) 89 3ª. -feira 4ª. -feira 5ª. -feira 6ª. -feira (ABC - 10-11 - 12-13 - 14-15 - 16 17-18 - 19 - ABC) 114 (ABC - 20-21 - 22-23 - 24-25 - 26 27-28 - 29-30 - ABC) 136 (ABC - 31-32 - 33-34 - 35-36 - 37 38-39 - 40-41 - 42 - ABC) 156 (ABC - 43-44 - 45-46 - 47-48 - 49 50 - ABC) 120 Total 615 Fonte: Adaptado de Ferreira e Steiner (2013). Tabela 2 - Proposta de programação otimizada para os roteiros Grupo Caminho Tempo (min.) 3ª.-feira 4ª.-feira (ABC 2 4 1 9 8 7 5 3 29 18 17 24 28 41 42 6 ABC) 87 (ABC 19 22 21 20 16 10 14 13 37 25 26 23 40 15 49 47 50 48 46 33 31 36 32 38 39 34 35 27 ABC) 165 5ª. feira (ABC 30 12 11 45 43 44 ABC) 80 4
Total 332 Fonte: Adaptado de Ferreira e Steiner (2013). A Tabela 1 abordou a roteirização exercida pelos motoboys, para realizar as entregas, sendo que os percursos foram definidos por eles próprios. Desta forma, a atividade levou 615 min. A Tabela 2 visa atender as necessidades da ABC, onde o colaborador realiza as atividades de forma otimizada. Assim, através dos modelos matemáticos do PLF e do PCV, se tem a proposta de realizar esta mesma atividade em 332 min. Por fim, foi possível realizar uma otimização de 46% de disponibilidade de mão de obra para realizar outras atividades, sendo este o resultado do objetivo principal da pesquisa de Ferreira (2013). 3. Fundamentação teórica Segundo Tavora (2011) e Detro (2013), a Otimização Combinatória (OC) trata de problemas cuja solução envolve a otimização de uma ou mais funções objetivo e juntamente satisfaz as restrições sobre as suas variáveis de decisão. Existem diversas abordagens para solucionar os problemas de OC, dente eles estão os métodos exatos, H e MH. 3.1. Modelo matemático do PCV Seja G(V, A) um grafo, onde V = {1, 2, 3,..., n} é um conjunto de nós e A um conjunto de arcos. Os nós podem representar cidades e os arcos, os pares ordenados de cidades por meio das quais é possível realizar uma viagem. Para o arco (i, j) pertencente a A, c ij é o tempo da viagem/trajeto da cidade i para a cidade j. O problema em questão é encontrar uma rota que forme um ciclo hamiltoniano, ou seja, que inicie e termine na cidade 1, que tenha o tempo de viagem mínimo e visite todas as cidades apenas uma vez. Assumindo que as variáveis x ij =1 representam que a cidade j foi visitada na sequência da cidade i; caso contrário x ij = 0, tem-se o modelo matemático de Proglemação Linear Inteira Binária (PLIB) para o PCV de (1)-(5) a seguir (COLIN, 2007). 5
A equação (1) é a função objetivo, onde deseja-se minimizar a distância total a ser percorrida. As equações (2) e (3) representam dois conjuntos de restrições, que fazem com que na rota final entre apenas um arco em cada nó e que saia apenas um arco de cada nó, respectivamente. As variáveis binárias x ij em (5) assumem valor igual a 1, caso de o arco (i,j) satifaça u j para integrar a solução, ou o valor 0, caso contrário. A inequação em (4), garante que a solução ótima não continha sub-rotas. Se não for introduzido este grupo de restrições, não há como garantir que a solução proposta possua uma rota única. As variáveis u i e u j são auxiliares e não tem significado físico. Em contra partida, as restrições das subrotas (4) podem ser definidas de forma alternativa. Ao considerar um conjunto de cidades S com s cidades, em que 2 s<n, a inequação (6) garante que as sub-rotas não foram formadas para o conjunto de cidades S. Desta forma, pode ser reformulado como em (6) (COLIN, 2007). A expressão S contida em V representa que uma restrição deve ser formada para cada subconjunto possível de V. 3.2. Algoritmo heurístico dos Savings de Clarke e Wright O algoritmo de Clarke & Wright, 1964, também é conhecido como Heurística das Economias ou dos Savings de C&W. Este é um dos algoritmos H clássicos de construção de rotas. Está apresentado a seguir (LOPES et al. 2013). INÍCIO Passo 1: Iniciar pelo vértice 1, selecionado por algum critério ou aleatoriamente; 6
Passo 2: Calcular os savings: para todo i, j = 2, 3, 4..., n. Considerar s ij =0, se i=j, i=1 e j=1; Passo 3: Ordenar os savings em ordem decrescente; Passo 4: Iniciando do topo da lista dos savings ate o final, forme sub-rotas maiores fazendo a ligação dos nós i e j apropriados. FIM 3.3. Modelo Matemático do PLF Segundo Gandolpho e Pizzolato (2009), o problema das p-medianas ou PLF procura localizar p instalações que fornecem um determinado serviço de modo a minimizar a distância ponderada dos clientes a instalação mais próxima. Este problema é solucionado por meio do modelo matemático PLIB, conforme (8) a (12) a seguir. onde: [d ij ] nxm é a matriz simétrica de distâncias, com d ij = 0, para todo i; [x ij ] nxm é a matriz de alocação, com x ij = 1 caso o vértice i estiver alocado ao vértice j, e x ij =0, caso contrário; x jj =1 caso o vértice j for uma mediana, e x jj =0, caso contrário; p é o número de medianas a serem localizadas; N é o conjunto de postos considerados, N={1, 2,..., n}; w i é o peso do vértice i. Em (8), a função objetivo busca a distânca mínima; as restrições em (9) e (11) exigem que cada vértice i seja alocado somente a um único vértice j. A restrição (10) determina exatamente o número de medianas (p) a serem buscadas; as variéveis em (12) são binárias, assumindo o valor 1 quando pertence a uma mediana e 0, caso contrário. 3.4. Método do Custo Mínimo Segundo Gandolpho e Pizzolato (2009), o método do Custo Mínimo (CM) prioriza a atribuição de valores às células de menor custo. Desta forma se faz a variável correspondente 7
igual ao mínimo entre a capacidade e a demanda. Assim que a capacidade ou a demanda for esgotada, esta será excluída e passa-se a buscar a célula de menor custo dentre as células remanescentes. O método segue buscando a célula mais econômica dentre as remanescentes. As escolhas posteriores são triviais, sempre escolhendo em ordem crescente. 3.5. Algoritmo de Teitz & Bart A partir de Lopes et al. (2013), o algoritmo de Teitz & Bart (T&B) é uma das H mais conhecidas para resolver este tipo de problema. Ela se baseia na substituição de medianas da solução, ou seja, define os pontos da mediana. Desta forma, utiliza uma solução inicial para melhorar o valor da função objetivo em cada interação. A seguir está a descrição do algoritmo. INÍCIO Passo 1: Por meio de algum critério estabelecido ou aleatoriamente selecione um conjunto S, com S = p para formar uma aproximação inicial para as p-medianas; Passo 2: Rotule todos os vértices v i que não pertencem a S como não avaliados; Passo 3: Enquanto existirem vértices não avaliados em V-S, faça: selecione o vértice v i pertencente a V-S, não analisado, e calcule a redução (13) do número de transmissão, para todo v j pertencente a S, por meio de (13). Faça io = [ i, j ]: Se i,j >0 faça S (S U {v i } {v j,0 }) e rotule v j,0 como analisado; Passo 4: Se durante a execução do Passo 3, houver alguma modificação no conjunto S, volte ao Passo 2, caso contrário, pare, e apresente o conjunto S com uma aproximação para a solução do problema da p-medianas. FIM 3.6. Meta-heurística Simulated Annealing A partir de Lopes et al. (2013) e Lorena et al. (2012), o Simulated Annealing (SA; Recozimento Simulado) utiliza uma estratégia diferente dos métodos exatos, pois a partir de critérios probabilísticos ele aceita soluções que pioram a função objetivo a fim de escapar de mínimos locais. O método foi proposto por Kirkpatrick et al. (1983) que se baseou no trabalho de Metropolis et al. (1953). A nomenclatura recozimento é derivada do processo de aquecimento de um sólido até o seu ponto de fusão, seguido de um suave resfriamento. O 8
processo do resfriamento lento é fundamental para a manutenção do equilíbrio térmico para que os átomos se reorganizem com uma energia mínima. A função objetivo corresponde á energia do sólido de forma similar ao recozimento em termodinâmica. Caso surja uma solução viável, ela será aceita e será o novo centro de busca, senão ela poderá ser aceita se atender ao critério probabilístico (14). onde: p = função aceite da nova solução gerada aleatoriamente; Δf = variação da função objetivo; T = parâmetro de temperatura que mede a probabilidade de piora da função objetivo. A nova solução será aceita somente se p for maior que um número entre zero e um, gerado randomicamente. Caso contrário, a solução anterior será mantida. O valor de T decresce devido ao fator de redução α, até que o critério de parada seja satisfeito. A cada novo vizinho s de s, é calculado a sua variação, onde se: a) Δf < 0: há redução de energia, a nova solução s é aceita e passa a ser a nova solução; b) Δf = 0: não ocorre alteração de energia, a nova solução s é aceita e passa a ser a nova solução; c) Δf > 0: há um aumento de energia, a solução depende do critério probabilístico para ser aceita. Quando a temperatura esta elevada, há mais chances de escapar de mínimos locais em relação a temperaturas inferiores. O procedimento finaliza quando a temperatura chega próximo de 0 e as soluções não são mais aceitas. 3.4. Trabalhos correlatos Existem diversas obras referentes ao PCV e ao problema das p-medianas (PLF), dentre as quais destacam-se as seguintes: Távora (2011) utilizou o PCV para realizar um tour otimizado aos diversos grupos de visitantes em comemoração ao bicentenário da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN), sediada em Resende, RJ. O autor fez uso do software Matlab para resolver o problema utilizando o Algoritmo Colônia de Formigas (ACO) e o ACO Modificado. Battarra et al. (2013) trataram do PCV com Draft Limits (TSPDL, ou seja, Traveling Salesman Problem with Draft Limits; PCV com Limite de Projeto), que é uma variante do PCV muito conhecida no meio do transporte marítimo, devido a restrições sobre 9
as infraestruturas portuárias. Os autores propuseram três formulações matemáticas e compararam os seus desempenhos computacionais. Carvalho (2013) aplicou o PCV no contexto de roteirização de um veículo envolvendo a distribuição de alimentos refrigerados e congelados, em aspectos logísticos, melhorando o cenário atual de perdas e danos deste tipo de mercadoria. Assim, foi possível constatar que para este tipo de sequência, não se pode garantir a temperatura ideal da carga transportada. Lorena et al. (2012) apresentam uma nova abordagem para o Berth Allocation Problem (BAP; Problema de Alocação de Berço), no contexto de otimização em terminais marítimos. Os autores modelaram o BAP em caso discreto e proporam uma nova abordagem para resolvê-lo, onde se baseia na aplicação do método Clustering Search (CS; Pesquisa de Agupamento) usando o Simulated Annealing (AS; Recozimento Simulado). Alem e Toso (2013) propuseram um projeto ótimo de planejamento de localização, para reciclagem de resíduos sólidos urbanos que se enquadram dentro do orçamento financeiro acordado entre o governo municipal e o Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social, no município de Sorocaba, SP. Confirmaram a possibilidade de melhoria sem a adição de investimentos. Khamjan et al. (2013) abordam o problema de localização das estações de carregamento de cana-de-açúcar na Tailândia. O estudo de caso abrange mais de 5.500 pequenos campos, cerca de 5.400 ha. 4. Obtenção dos Resultados Para a metodologia busca-se aplicar métodos exatos, H, MH a fim de resolver o problema descrito na seção 2. A Figura 1 sintetiza a proposta desta seção. Figura 1 Cenários 1 e 2 Fonte: Ferreira (2013). 10
A otimização proposta por Ferreira (2013) possui três agrupamentos. Assim, o primeiro cenário realizará a comparação com procedimentos H e MH, a fim de verificar a proximidade destes resultados com a solução ótima. O segundo cenário utiliza cinco agrupamentos, visto que esta quantidade refere-se a prática realizada pela empresa ABC. Desta forma, será realizada a comparação entre a prática, os procedimentos H e MH e os procedimentos exatos. Os resultados exatos para o PLF e o PCV foram obtidos por meio do software LINGO 12.0 e os resultados para os procedimentos heurísticos para o PLF e o PCV foram obtidos por meio do programa computacional Matlab versão R2013a, desenvolvidos na linguagem do referido software. Para os experimentos foi utilizado um notebook com processador Intel Core i3-3217u CPU 1.80GHz, 4GB de RAM. Os procedimentos H e MH estão ilustrados na Figura 2. Conforme a Figura 2, os procedimentos H e MH acontecem de forma pura e mista. No primeiro caso, aplica-se a MH S.A. para a obtenção dos pontos das medianas e, na sequencia, o Método do CM para a definição dos agrupamentos, sendo que até este ponto está relacionado ao PLF. A partir de então, aplica-se a MH S.A. no caso do PCV para a definição do roteiro do motoboy. Este procedimento é apenas MH e trata do primeiro resultado. Figura 2 Procedimentos H e MH Fonte: Ferreira (2013). 11
Ainda no primeiro caso, se tem procedimentos mistos, considerando que para o PCV se aplica a H dos Savings de C&W. Este será o segundo resultado. A mesma lógica é aplicada para o segundo caso, que inicia com o procedimento H de T&B para o terceiro e o quarto resultado, sendo que o terceiro resultado é misto e o quarto resultado é H. Vale ressaltar que a MH S.A. foi escolhida para resolver o PLF e o PCV, pois é aplicável às duas situações (PCV e PLF) e permite testar soluções mais distantes da solução atual, o que contribui para chegar mais próximo do ótimo global. O parâmetro Quantidade de Iterações ficou definido com o valor 200 e os parâmetros Número de Perturbações e Número de Sucessos ficaram definidos com o valor 10, após vários experimentos realizados pelo autor. A H de T&B foi selecionada, pois tem apresentado excelentes resultados em vários dos trabalhos analisados. O mesmo acontece com a H dos Savings de C&W. O método CM, usualmente utilizado para se determinar uma solução inicial para problemas de transportes, foi aqui selecionado pelo fato de cumprir o papel de atribuir as ofertas às demandas. Em outras palavras, atribui as não medianas para as medianas, formando os agrupamentos. A solução otimizada por Ferreira (2013) forneceu três agrupamentos, dentre eles o agrupamento para 4ª.-feira que apresentou 165 mim para percorrer os endereços. Na prática, este trajeto é difícil de ser cumprido com sucesso, pois o funcionário deveria permanecer por menos de 11 min no estabelecimento e não poderia ocorrer nenhum imprevisto; caso contrário, ele extrapolaria a carga horária diária de oito horas. Devido a possibilidade deste roteiro ser inviável, foram mantidos os cinco agrupamentos para os testes com as MH e as H. A Tabela 3 apresenta o comparativo do Cenário 1. Tabela 3 Cenário 1 PLF S.A. T&B Ótimo PCV S.A. Savings S.A. Savings Terça 94,4 92,4 104,4 117,4 87 Quarta 105,43 118,43 102,43 104,43 165 Quinta 164 170 149 142 80 Total: 363,83 380,83 355,83 363,83 332 Fonte: Ferreira (2013). A partir da Tabela 3 verifica-se que o melhor resultado foi o terceiro resultado parcial, referente a combinação da H de T&B com a MH S.A com uma aproximação de 7,18% em relação ao resultado ótimo. O pior desempenho foi da combinação da MH S.A com a H dos 12
Savings de C&W com 14,7% acima do resultado ótimo. A Figura 3 apresenta o melhor roteiro H e MH e o roteiro ótimo inicialmente proposto por Ferreira (2013). A Tabela 4 apresenta o Cenário 2. Figura 3 Roteiros Fonte: Ferreira (2013). Tabela 4 Cenário 2 PLF Prática da S.A. T&B Ótimo PCV ABC S.A. Savings S.A. Savings Segunda 89 53 58 96 109,43 70 Terça 114 75 79 71,40 75,4 98,43 Quarta 136 89 101 66 66 71,4 Quinta 156 102 107 77 88 89 Sexta 120 105 103 109 111 80 Total: 615 424 448 419,4 449,83 408,83 Fonte: Ferreira (2013). A partir da Tabela 4 verifica-se que o melhor resultado também foi o terceiro resultado parcial, referente a combinação da H T&B com a MH S.A com uma aproximação de 2,6% em relação ao resultado ótimo. O pior desempenho foi da combinação da H T&B com a H Savings de C&W com 10% acima do resultado ótimo. Figura 4 apresenta a solução atual da ABC, o melhor roteiro H e MH e o roteiro ótimo. Figura 4 Roteiros 13
Fonte: Ferreira (2013). Em relação as práticas da ABC, a melhor combinação H e MH proporcionou uma otimização de 31,8% em relação ao tempo de trajeto do motoboy. Já o resultado ótimo proporcionou 33,5% de otimização. 5. Considerações Finais Este trabalho, que dá continuidade ao trabalho desenvolvido por Ferreira (2013), aborda a otimização de um problema real, mais especificamente, de entrega de mercadorias por uma empresa de motoboys. O objetivo do trabalho é utilizar técnicas exatas, H e MH, comparativamente, para solucionar a formação de agrupamentos dos pontos de demanda envolvidos (PLF) e, na sequencia, formar os roteiros de entrega dentro de cada agrupamento (PCV), a fim de demonstrar a sua viabilidade. As H e as MH aqui abordadas apresentaram um resultado muito satisfatório em relação à proximidade com a solução ótima e em relação ao tempo computacional. O mais importante é enfatizar que esta metodologia não é aplicável apenas ao nível estratégico da organização, mas também é extremamente útil em outros níveis, como neste caso, a decisão sobre as ações operacionais. Em trabalhos futuros pode-se utilizar outros procedimentos H e MH. Agradecimentos: à CAPES e a Fundação Araucária pela bolsa concedida. REFERÊNCIAS ALEM, Douglas; TOSO, Eli Angela V. Effective location models for sorting recyclables in public management. European Journal of Operational Research, Vol. 234, p. 839-860, 2014. ARENALES, Marcos; ARMENTANO, Vinícius; MORABITO, Reinaldo; YANESSE, Horaccio. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 14
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