daniel.desouza@hotmail.com

VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 2011 Aplicação do estimador maximum likelihood a um teste de vida sequencial truncado utilizando-se uma distribuição eibull Invertida de três parâmetros como modelo de amostragem 1,2 'H6RX]D'DHO, 2 5RFKD5 2 $]HYHGR3* 1 Departamento de Engenharia Civil, ni. Federal Fluminense, Brasil 2 Departamento de Engenharia de Produção, ni. Estadual do Norte Fluminense, Brasil daniel.desouza@hotmail.com 5HVXPR A distribuição eibull Invertida de dois parâmetros foi derivada por Pascal Erto (1). Ela tem sido utilizada em confiabilidade Bayesiana para representar a informação existente relacionada com o parâmetro de forma de uma distribuição de amostragem eibull (Erto (1), De Souza e amberson (2) ). A distribuição eibul Invertida possui três parâmetros; um de forma, um de escala e um de vida mínima ou localização. Nesses artigos citados o parâmetro de vida mínima foi considerado igual à zero. Nesse trabalho iremos desenvolver um teste de vida sequencial no qual a distribuição de amostragem será o modelo eibull Invertido de três parâmetros, e o produto sendo analisado será um novo tipo de componente eletrônico. Estaremos assumindo que o parâmetro de vida mínima será diferente de zero. Para estimarmos os três parâmetros da distribuição eibull Invertida, utilizaremos um estimador de máxima verossimilhança (Maximum ikelihood) em uma situação de teste de vida truncado por falhas. O método padrão Maximum ikelihood quando utilizado na estimação dos três parâmetros de um modelo eibull Invertido poderá apresentar problemas de aderência (múltiplas soluções ou ainda nenhuma solução) similares aos encontrados quando a distribuição de amostragem for o modelo eibull de três parâmetros, fato esse citado em Murthy et al (8), Zanakis & Kyparisis (10). Para solucionarmos esse problema de falta de aderência aplicaremos uma modificação proposta por Cohen et al (11). Iremos também desenvolver um mecanismo de truncagem para o modelo eibull Invertido de três parâmetros. Introduziremos regras para a truncagem de um teste de vida sequencial aplicando uma das duas decisões possíveis no momento da truncagem; ou seja, aceitarmos a hipótese nula ou rejeitarmos a hipótese nula. Para determinarmos o número de observações necessárias para alcançarmos o ponto de truncagem teremos de utilizar algum tipo de integração numérica (no nosso trabalho empregaremos a regra de Simpson 1/3). m exemplo irá ilustrar o mecanismo de truncagem proposto para o teste de vida sequencial no qual a distribuição de amostragem será o modelo eibull Invertido de três parâmetros.,rgxomr A distribuição eibull Invertida de dois parâmetros tem sido muito utilizada como um modelo de falhas, principalmente para componentes mecânicos e metalúrgicos (Erto (1), De Souza e amberson (2) ). Ela foi também utilizada anteriormente em situações de

testes de vida por De Souza (3) (4). Essa distribuição é muito rica em forma, o que sugere que a mesma possa representar de uma maneira efetiva o padrão de variabilidade de diversos produtos. O modelo eibull Invertido de três parâmetros possui um parâmetro de vida mínima, um de escala e um de forma. A sua função densidade é dada por: I H[S ;! (1) As situações de teste de hipóteses serão dadas por: 1. Para o parâmetro de escala R : ; : < A probabilidade de aceitar será fixada em α se. Agora, se sendo que, a probabilidade de aceitar será fixada em um nível inferior γ. 2. Para o parâmetro de forma R : ; : A probabilidade de aceitar será fixada em α se. Agora, se sendo que, a probabilidade de aceitar será também fixada em um nível inferior γ. < 3. Para o parâmetro de vida mínima : R :φ φ ; : φ < φ Novamente, a probabilidade de aceitar será fixada em α se. Caso com, a probabilidade de aceitar será uma vez mais fixada em um nível inferior γ. 7HVHVHTXHFDO De acordo com Kapur e amberson (2) ; e De Souza (5), o desenvolvimento de um teste de vida sequencial utiliza a relação de funções semelhanças dada por 1;n // A relação probabilística sequencial (536) será dada por 536 / /, ou ainda, de acordo com De Souza (5), para o modelo eibull Invertido de três parâmetros a relação probabilística sequencial (536) será dada por: 635 H[S ( ) ( ) (2) VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 2

ogo, a região contínua de teste será dada por $635%, onde $ γα e também % γα. Deveremos aceitar a hipótese nula caso o 635 % e deveremos rejeitar caso o 635 d $. Agora, se $635%, deveremos analisar mais uma observação. Então, se aplicarmos o logaritmo natural em cada termo da equação (2) e após alguma manipulação algébrica, obteremos: O ( γ ) O α ; O α O (3) γ ; ( ) ( ) ( ) O( φ ) ( ) ( ) 7DPDKRHVSHDGRGDDPRVDSDDHIHRGHXFDJHP O φ (4) De acordo com Mood e Graybill (6), uma expressão aproximada para o tamanho esperado da amostra para efeito de truncagem E(n) de um teste de vida sequencial será dado por: 3 ( ( φ ) O ( $ ) [ 3 ( φ )] O ( % ) (( Z) (5) Aqui, $ γα e % γα. A variável Z será dada por: Z O I I ( φ ) ( φ ) R R R (6) A equação (5) permite que se comparem testes de vida sequencial com testes possuindo o tamanho das amostras fixo, pré-determinados. A prova da existência das equações (5) e (6) pode ser encontrada em Mood e Graybill (6), páginas 391 e 392. Para uma distribuição de amostragem eibull Invertida de três parâmetros o valor esperado da equação (5) será dado por: VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 3

(( Z) O R R R ( ) ( O ( ( ) ( ( O ( ) (7) A solução para os componentes da equação (7) pode ser encontrada em De Souza (5). (VPDGRGHPi[PDYHRVVPOKDoDSDDRPRGHOR:HEXOO,YHGRGHrVSDkPHRVHPVXDomRGHXFDJHPSRIDOKDV O estimador de máxima verossimilhança para os parâmetros de forma, escala e vida mínima de uma distribuição de amostragem eibull Invertida, em uma situação de truncagem por número de falhas, será dado por: Agora, com /( ) N I [ 5]! (8) I H[S e também com a função H[S, teremos: confiabilidade dada por 5 ( ) ( ) / N ( ) A função log-similhança / O[ /( ) ] / O( N) O( ) O( ) H ( ) será dada por: H ±( ) O( ) ± í ( ) ( n r) Para encontrarmos os valores de, e que maximizem a função log-similhança, obteremos as derivadas em relação a esses parâmetros, e, e as fazemos iguais à zero. Então, teremos: VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 4

VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 5 G G/ ± ± (9) G G / O ± O ± î O ± ± O (10) G / G ± î (11) Da equação (9) obteremos: (12) Observe que quando, a equação (12) se reduzirá ao estimador de máxima verossimilhança para a distribuição Exponencial Invertida de dois parâmetros. Substituindo a Equação (12) para nas Equações (10) e (11) e aplicando alguma álgebra, as equações (10) e (11) se transformarão em: O O O (13) (14)

As equações (13) e (14) necessitam serem resolvidas simultaneamente. A solução simultânea de duas equações interativas pode parecer relativamente simples quando comparada com a difícil tarefa de se resolver simultaneamente três equações interativas (no nosso caso, as equações 9, 10 e 11), como o verificado em Harter et al (7). O método de estimação padrão do estimador de máxima verossimilhança quando utilizado na estimação dos três parâmetros dos modelos eibull e eibull Invertido poderá apresentar problemas, devido ao fato de que as condições de regularidade não serem obtidas: veja Murthy, et al (8), Blischke (9) e Zanakis & Kyparisis (10). Para se resolver esse problema de falta de regularidade, um dos métodos propostos por Cohen, et al (11) é o de se substituir a equação (14) pela equação (15) seguinte: N J 8 8 H J R M N 8 H R 8 M N (15) M Aqui, representa a primeira ordem estatística de uma amostra de tamanho. Na resolução das equações resultantes da aplicação do método do estimador de máxima verossimilhança, iremos utilizar esse método proposto por Cohen, et al (11). De Souza (5) apresenta a derivação da equação (15). m teste de vida preliminar será então realizado para se determinar um valor estimado para o primeiro tempo de falhas t 1 da distribuição de amostragem eibull Invertido de três parâmetros. Em seguida, para determinarmos estimadores para os parâmetros de forma, de escala e de vida mínima do modelo eibull Invertido de três parâmetros, resolveremos interativamente as equações (13) e (15), com o valor do parâmetro de forma dado pela equação (12). uando se decidir a respeito dos valores de αγ e de 3, e após o valor de (Z ser calculado, o teste de vida sequencial estará totalmente definido. ([HPSOR m componente eletrônico será submetido a um teste de vida. Como esse é um novo produto, existe muito pouca informação disponível acerca dos possíveis valores que os parâmetros da distribuição de amostragem eibull Invertida poderiam ter. Desse modo, realizou-se um teste de vida preliminar a fim de se determinar um valor estimado para esses parâmetros da distribuição de amostragem. Nesse teste preliminar, um grupo de doze itens foi submetido a um teste de vida, com o teste sendo truncado no momento da ocorrência da nona falha. A Tabela (1) seguinte apresenta os dados relativos aos tempos de falhas (horas) para esse teste de vida preliminar. 7DEHOD7HPSRGHIDOKDVKRDVSDDRSRGXRHOH{FRHVHSHOPD 602.0 719.6 624.0 635.9 582.0 677.1 763.8 650.2 664.5 VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 6

A distribuição de amostragem é o modelo eibull Invertido de três parâmetros. tilizando-se o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro de forma, para o parâmetro de escala e para o parâmetro de vida mínima de uma distribuição de amostragem eibull Invertida de três parâmetros para dados truncados por falhas (truncagem do Tipo II), obteremos os seguintes valores para esses parâmetros: 9,2; 588 horas; 147 horas Foi decidido que o valor de α seria de 0,05 e o de γ seria de 0,10. Nesse exemplo, escolhemos os seguintes valores para os parâmetros das hipóteses nula e alternativa: parâmetro de escala da hipótese alternativa 550 horas, parâmetro de forma da hipótese alternativa 8,5 e parâmetro de vida mínima ou de localização da hipótese alternativa 180 horas; parâmetro de escala da hipótese nula 588 horas, parâmetro de forma da hipótese nula 0 9,2 e parâmetro de vida mínima da hipótese nula 140 horas. Nesse caso, mesmo após a observação de quinze tempos de falhas, não foi possível se tomar uma decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese nula. Os tempos de falhas obtidos (horas) foram os seguintes: 662,9; 593,5; 703,6; 676,8; 851,6; 719,8; 737,8; 840,8; 679,6; 748,0; 905,1; 687,6; 645,5; 622,7 e 677.6. A Figura (1) apresenta o resultado desse teste de vida sequencial: NÚMERO DE ITENS TESTADOS V A O R E S D E X 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-10 -20 ACEITAR Ho -30-40 -50-60 REJEITAR Ho -70-80 )JXD7HVHGHYGDVHTXHFDOSDDDGVEXomRGHDPRVDJHP:HEXOO,YHGRGHrVSDkPHRV VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 7

tilizando-se agora as equações (5) e (7), com os valores de 550 horas, 588 horas, 140 horas; 180 horas; 8,5; 9,2, α 0,05; γ 0,10 e fazendo 3 igual a 0,01, poderemos então calcular o valor esperado do tamanho da amostra para efeito de truncagem (Z desse teste de vida sequencial sendo analisado. ogo, teremos: (( Z) 5,1107 10,2 6,3794 9,5 6,3745 0,0456 1,0 0,35583 Agora, com 3 0,01, sendo o O (%) também com ( $ ) ( γ ) O O α 2,8904, e O O γ α O 2,2513, teremos: ( ) O( $ ) [ 3( )] O( %) 3 2,8390 Então: ( 7,978 8 itens. ogo poderemos tomar a decisão de aceitarmos ou rejeitarmos a hipótese nula após a análise da observação número oito. 8PSRFHVVRSDDDSOFDomRGRPHFDVPRGHXFDJHP De acordo com Kapur e amberson (2) quando o ponto de truncagem for alcançado, traça-se uma linha dividindo ao meio a região contínua do gráfico. Essa linha deverá ser traçada iniciando-se na origem do gráfico, sendo a mesma paralela às linhas de aceitação e de rejeição da hipótese nula. A decisão de se aceitar ou de se rejeitar a hipótese nula dependerá apenas do lado da linha no qual a observação relativa ao ponto de truncagem se encontra. Obviamente esse procedimento deverá alterar os níveis de α e de γ referentes ao teste original. Entretanto, de acordo com Kapur e amberson (2), essa alteração será mínima se o ponto de truncagem não for muito pequeno (menor do que quatro unidades). A Figura (2) seguinte apresenta o resultado da aplicação desse mecanismo de truncagem. VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 8

V A O R E S NÚMERO DE ITENS TESTADOS PONTO DE TRNCAGEM 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-10 ACEITA Ho -20-30 D E X -40-50 REJEITA Ho )JXD2PHFDVPRGHXFDJHPSDDRHVHGHYGDVHTXHFDOHGRFRPR GVEXomRGHDPRVDJHPRPRGHOR:HEXOO,YHGRGHrVSDkPHRV Como podemos observar na Figura (2), a hipótese nula deverá ser aceita devido à observação correspondente ao ponto de truncagem (observação número oito) se situar no lado da linha relacionado com a aceitação de. &RFOXV}HV A melhor vantagem de se utilizar um teste de vida sequencial em relação a um teste de vida com tamanho de amostra pré-fixado é a de se reduzir o número de observações a ser analisado, com a consequente redução dos custos do teste. Acontece que mesmo com o emprego de um mecanismo de teste de vida sequencial, algumas vezes o número necessário de observações para obter uma decisão relativa a aceitação ou a rejeição da hipótese nula poderá ser muito elevado, como mostrado por De Souza (12). ogo, o teste necessitará ser truncado após um número determinado de observações, número esse calculado estatisticamente. O teste de vida sequencial desenvolvido nesse estudo fornece regras para trabalharmos com a hipótese nula em situações onde a distribuição de amostragem é o modelo eibull Invertido de três parâmetros. A vida mínima foi considerada como sendo diferente de zero. Para estimarmos os parâmetros de forma, escala e vida mínima do VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 9

modelo eibull Invertido, utilizamos o método da máxima verossimilhança (maximum likelihood) em uma situação de truncagem por número de falhas. Como analisamos na seção quatro, o método de estimação padrão do estimador de máxima verossimilhança quando utilizado na estimação dos três parâmetros dos modelos eibull e eibull Invertido poderá apresentar problemas, devido ao fato de que as condições de regularidade não serem obtidas: veja Murthy, et al (8), Blischke (9) e Zanakis & Kyparisis (10). Para se resolver esse problema de falta de regularidade, utilizamos uma modificação proposta por um Cohen, et al (11). m teste de vida preliminar foi realizado com o objetivo de se determinar um valor estimado para esses parâmetros da distribuição de amostragem. O menor tempo de falha obtido nesse teste (582 horas) foi utilizado na equação (15) como o estimador de. Nesse estudo fornecemos regras para a truncagem de um teste de vida sequencial aplicando uma das duas decisões possíveis no momento da truncagem; ou seja, aceitarmos a hipótese nula ou rejeitarmos a hipótese nula. Para determinarmos o número de observações necessárias para alcançarmos o ponto de truncagem utilizamos um tipo de integração numérica (nesse trabalho empregamos a regra de Simpson 1/3). Sem a utilização do mecanismo de truncagem desenvolvido nesse estudo não fomos capazes de alcançarmos uma decisão relativa ao aceitamento ou rejeição da hipótese nula mesmo após a análise de quinze observações. Aplicando-se agora o mecanismo de truncagem desenvolvido, a decisão de aceitarmos a hipótese nula foi alcançada com a análise de apenas oito observações. Esse fato mostra a vantagem de se utilizar o mecanismo de truncagem desenvolvido para esse teste de vida sequencial. 5HIHrFDV 1. P. Erto, New Practical Bayes Estimators for the 2-Parameter eibull Distribution, IEEE Transactions on Reliability, Vol. R-31, N o 2, pp. 194-197, 1982. 2. D. I. De Souza, and. R. amberson, Bayesian eibull Reliability Estimation, IIE Transactions, 27(3), pp. 311-320, 1995. 3. D. I. De Souza, Truncation Mechanism in a Sequential ife Testing Approach with an nderlying Two-Parameter Inverse eibull Model, In Proceedings of COMADEM 2001 Conference, Manchester, pp. 809-816, September 4-6, 2001. 4. D. I. De Souza, Sequential ife Testing with nderlying eibull and Inverse eibull Sampling Distributions, In Proceedings of COMADEM 2002 Conference, Birmingham, pp. 120-128, September 2-4, 2002. 5. D. I. De Souza, A Maximum ikelihood Approach Applied to an Accelerated ife Testing with an nderlying Three-Parameter Inverse eibull Model, In Proceedings of COMADEM 2005 Conference, Cranfield, Vol. 1, pp. 63-72, June 7-9, 2005. 6. A. M. Mood and F. A. Graybill, Introduction to the Theory of Statistics, Second Edition, New York, 1963. 7. H. Harter et al, Maximum ikelihood Estimation of the Parameters of Gamma and eibull Populations from Complete and from Censored Samples, Technometrics, Vol. 7, pp. 639-643, 1965. VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 10

8. D. N. P. Murthy et al, eibull Models, iley Series in Probability and Statistics, John iley & Sons, 2004. 9.. R. Blischke, On nonregular estimation. II. Estimation of the ocation Parameter of the Gamma and eibull Distributions, Communications in Statistics Vol. 3, pp. 1109-1129, 1974. 10. S. H. Zanakis and J. Kyparisis, A Review of Maximum ikelihood Estimation Methods for the Three Parameter eibull Distribution, Journal of Statistical Computation and Simulation, N o 25, pp. 53-73, 1986. 11. A. C. Cohen et al, Modified Moment Estimation for the Three-Parameter eibull Distribution, Journal of uality Technology, N o 16, pp.159-167, 1984. 12. D. I. De Souza, Sequential ife Testing with a Truncation Mechanism for an nderlying eibull Model, Towards a Safer orld, ESRE 2001 Conference, Torino, Vol. 3, pp. 1539-1546, September 16-20, 2001. VIII Congreso Regional de ENDE Campana Agosto 20011 11