FOLHAS DE PROBLEMAS. Termodinâmica e teoria cinética. Física dos Estados da Matéria 2002/03

FOLHAS DE PROBLEMAS Termodinâmica e teoria cinética Física dos Estados da Matéria 00/03 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM. Calcular o trabalho realizado por 0g de oxigénio (O ) expandindo-se isotermicamente a 0 o C da pressão de atm para 0,3 atm.. Um gás ideal é levado de um estado A, caracterizado por P = atm, = l, a um estado B, caracterizado por P = 4 atm, = 5 l, por dois processos diferentes: no primeiro processo, P varia com da forma P = 00/ (SI); no outro processo, aquela variação é da forma P = 4-4 (SI). Calcular o trabalho realizado entre A e B em cada um dos casos. 3. Calcular o trabalho realizado por uma mole de um gás durante uma expansão isotérmica quase-estática desde um volume inicial i até um volume final f, quando a equação de estado é: a) P(-b) = RT (R,b são constantes) b) P = RT (-B/) (R = constante; B = f(t)) 4. Um gás ideal sofre o seguinte ciclo reversível: i) Uma expansão isobárica desde o estado (P, ) até ao estado (P, ); ii) Uma redução isocórica da pressão até ao estado (P, ); iii) Uma redução isobárica de volume até ao estado (P, ); iv) Um aumento isocórico da pressão até ser restabelecido o estado original (P, ). a) Qual é o trabalho realizado neste ciclo? b) Se P = 3 atm, P = atm, = l e = l, que trabalho é realizado pelo gás ao efectuar este ciclo 00 vezes? FEM.

5. A compressibilidade isotérmica K e o coeficiente de expansão volumétrica β de uma substância são dados, repectivamente, por: K 3( ( ) = P a) = P T 4 β = ( ) = T T P a onde a é uma constante. Determinar a equação de estado da substância. 6. A capacidade calorífica molar a pressão constante de um gás varia com a temperatura de acordo com a seguinte equação: C p = a + bt c T onde a, b e c são constantes. Que quantidade de calor é transferida durante um processo isobárico no qual n moles do gás sofrem um aumento de temperatura de T i a T f? 7. Um cilindro contém mole de oxigénio gasoso à temperatura de 7 o C. O cilindro está equipado com um pistão móvel sem atrito que mantém uma pressão constante de atm sobre o gás enquanto este é aquecido até a sua temperatura atingir 7 o C. a) Traçar a curva representativa do processo no diagrama P. b) Qual é o trabalho realizado pelo gás? c) Sobre o quê é esse trabalho realizado? d) Que quantidade de calor foi fornecida ao gás? e) Qual foi a variação da energia interna do gás? [NOTA: C p = 7,03 cal/(mole grau) ; C v = 5,04 cal/(mole grau)] 8. Um cilindro horizontal isolado contém um pistão não condutor sem atrito. De cada lado do pistão há 54 l de um gás ideal monoatómico inerte, à temperatura de 73 FEM.

K e à pressão de atm. Fornece-se, lentamente, calor ao gás da esquerda até que o pistão tenha comprimido o gás da direita a 7,59 atm. a) Qual é o trabalho realizado sobre o gás da direita? b) Qual é a temperatura final do gás da direita? c) Qual é a temperatura final do gás da esquerda? d) Qual é a quantidade de calor fornecida ao gás da esquerda? [NOTA: Para um gás monoatómico ideal: C p = (5/)R ; C v = (3/)R] FEM. 3

ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM. Uma das extremidades de uma barra termicamente isolada é mantida à temperatura T e a outra à temperatura T (com T > T ). T T l,k S l,k A barra, de secção homogénea, é formada por dois segmentos de materiais diferentes, um de comprimento l e coeficiente de condutibilidade calorífica k e o outro de comprimento l e coeficiente de condutibilidade calorífica k. a) Mostrar que a temperatura da superfície de contacto, S, entre as duas partes da barra é dada por: T = ( k / l ) T + ( k / l ) ( k / l ) + ( k / l ) T b) Qual é a condutibilidade calorífica, k, da barra como um todo (ou seja, de uma barra equivalente de um único material e comprimento l +l )?. Uma arrecadação tem quatro paredes de tijolo, uma área de 4 x 5 m e uma altura de 3 m. A temperatura no seu interior é θ = 5 o C, enquanto que a temperatura exterior é θ = 0 o C. O coeficiente de condutibilidade calorífica dos tijolos é de 0,00 cal (grau cm s) e a espessura das paredes é de 50 cm. Se for possível desprezar as perdas de calor através do solo e do tecto, determinar a quantidade de calor que a arrecadação liberta por minuto. FEM.

3. Um sistema termodinâmico evolui, efectuando uma transformação cíclica que passa pelos estados A, B, C e regressa a A, como se indica no diagrama P abaixo: P( 0-4 atm) 4 C A B,0 4,0 (m 3 ) TABELA Q W U A B + B C + C A a) Preencher a Tabela com os sinais +, ou zero, consoante as variações termodinâmicas de cada transformação. b) Calcular o trabalho realizado pelo sistema durante o ciclo. 4. Uma molécula-grama de um gás diatómico inicialmente à pressão de atm e à temperatura de 300 K é submetida ao seguinte conjunto de transformações: (i) Uma compressão adiabática que aumenta a sua temperatura para 400 K; (ii) Uma expansão isobárica até a sua temperatura atingir 600 K; (iii) Uma expansão adiabática até à temperatura de 450 K; (iv) Uma redução isobárica de volume até ao estado inicial. Supondo as transformações reversíveis, a) Representar o ciclo no diagrama P. b) Calcular as quantidades de calor postas em jogo em cada uma das quatro transformações. FEM.

c) Calcular a variação da energia interna no decorrer da transformação (ii) (expansão isobárica). [NOTA: γ = 7/5 ; C P = (7/) R.] 5. Quando um sistema é levado do estado a ao estado b seguindo a trajectória [acb], P 0 kcal entram no sistema e este realiza um trabalho de 7,5 kcal. c b a d a) Se o caminho seguido for [adb], qual é a quantidade de calor que entra no sistema se o trabalho realizado for igual a,5 kcal? b) Quando o sistema volta de b para a ao longo da trajectória curva [ba], o trabalho realizado é de 5 kcal. O sistema absorve ou liberta calor? Qual a quantidade? c) Se U a = 0 e U d = 0 kcal, determinar o calor absorvido nos processos [ad] e [db]. 6. Um gás ideal expande-se adiabaticamente de forma que sua pressão passa de atm para atm. Depois é aquecido a volume constante até à temperatura inicial e a sua pressão sobe para, atm. a) Determinar o valor do γ deste gás. b) Representar a transformação sofrida pelo gás num diagrama P. 7. Por compressão adiabática de um gás ideal até à redução do seu volume a metade há um aumento de temperatura de 7 o C para 0 o C. Calcular o valor da capacidade calorífica molar a volume constante do gás. FEM. 3

8. Num processo quase-estático A B (ver diagrama) no qual não há trocas de calor entre o sistema e o exterior, a pressão P de uma certa quantidade de gás varia com o volume de acordo com a relação: P = α -5/3, 3 A (a) B' P(x0 6 dine/cm ) (c) A' P=α -5/3 (c) (b) (a) B 8 (x 0 3 cm 3 ) onde α é uma constante. Determinar o trabalho (quase-estático) realizado e o calor absorvido em cada um dos seguintes três processos, nos quais o sistema é levado do estado A ao estado B: (a) O sistema sofre uma expansão desde o volume inicial até ao volume final, recebendo calor de modo a manter constante a pressão. O volume é, então, fixado e é extraído calor de forma a que a pressão seja reduzida para 0 6 dine/cm ; (b) O volume é incrementado e é absorvido calor de forma a que a pressão decresça linearmente com o volume; (c) Os mesmos passos seguidos na transformação (a) mas agora em sentido inverso, isto é, de A para A e de A para B. FEM. 4

3ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM. Uma máquina de Carnot cuja fonte fria está a uma temperatura de 80 K tem um rendimento de 40%. Deseja-se aumentá-lo para 50%. a) De quantos graus deve ser aumentada a temperatura da fonte quente, mantendo constante a da fonte fria? b) De quantos graus deve ser diminuída a temperatura da fonte fria, mantendo constante a da fonte quente? c) Tirar as devidas conclusões.. Uma máquina frigorífica de Carnot absorve calor da água a 0 o C cedendo-o a um ambiente à temperatura de 7 o C. Supondo que 50 kg de água a 0 o C são convertidos em gelo a 0 o C, determinar: a) O coeficiente de performance da máquina; b) A quantidade de calor entregue ao meio ambiente; c) A quantidade de energia mecânica que deve ser fornecida à máquina. [NOTA: O calor de fusão da água é de 80 cal/g.] 3. Uma máquina térmica que opera com um gás ideal descreve um ciclo que representado num diagrama P é um rectângulo. Sejam P e P as pressões baixa e alta, respectivamente, e e os volumes menor e maior, respectivamente. a) Calcular o trabalho realizado pela máquina durante um ciclo de funcionamento. b) Indicar que partes do ciclo envolvem um fluxo de calor para o gás e calcular o valor total da quantidade de calor recebida pelo gás num ciclo. c) Mostrar que o rendimento da máquina é dado por: FEM 3.

γ η = γ P + P P 4. A figura representa um diagrama P de um determinado ciclo realizado por um gás ideal. Todos os processos são quase-estáticos e as capacidades caloríficas são constantes. Provar que o rendimento térmico de uma máquina que realizasse este ciclo seria: T η = γ T 4 3 T T P P 3 3 Adiabáticas P P 4 4 5. A figura representa o diagrama P de um determinado ciclo realizado por um gás ideal. Todas as transformações são quase-estáticas. Provar que o rendimento de uma máquina que realizasse tal ciclo seria: η = P P ( γ ) / γ FEM 3.

P Adiabáticas P 3 P 4 3 4 6. Um ciclo diesel ideal é, basicamente, contituído pelas seguintes transformações:, compressão adiabática; 3, expansão isobárica; 3 4, expansão adiabática; 4, redução isocórica da pressão. Mostre que a expressão do rendimento de uma máquina que realize um ciclo diesel ideal é: P η = γ 3 3 γ γ P 3 P 4 4 P 3 FEM 3. 3

7. a) Põe-se kg de água a 73 K em contacto com um foco calorífico a 373 K. Quando a água alcança a temperatura de 373 K, quais são as variações de entropia da água, do foco calorífico e do universo? b) Se se tivesse aquecido a água pondo-a primeiro em contacto com um foco a 33 K e depois com outro a 373 K, qual seria a variação de entropia do universo? c) Comparando os resultados das alíneas a) e b), que conclusões podem ser tiradas? 8. Calcular a variação da entropia do universo como resultado de cada um dos seguintes processos: a) Um bloco de cobre de 400 g de massa e à temperatura de 00 o C é colocado num lago a 0 o C. A capacidade calorífica a pressão constante do bloco é de 50 JK -. b) O mesmo bloco, a 0 o C, é deixado cair de uma altura de 00 m para dentro do lago. Quanto vale a energia indisponível para ser convertida em trabalho? c) Dois blocos iguais ao anterior, um a 00 o C e o outro a 0 o C, são colocados em contacto térmico. 9. Uma massa m de água à temperatura T é misturada, adiabática e isobaricamente, com outra massa igual de água à temperatura T. Demonstrar que a variação de entropia do universo é: S = mc p ln + ( T T ) / TT FEM 3. 4

0. A transformação cíclica representada na figura é constituída por duas isobáricas ( 3 e 4 ), uma isotérmica ( ) e uma adiabática (3 4). Supondo que 0,5 moles de oxigénio descrevem este ciclo, que P = atm, = 5000 cm 3, 3 = 500 cm 3 e que na transformação isotérmica a entropia do gás aumenta de,88 JK -, a) determinar o volume ; b) desenhar o diagrama entrópico do ciclo; c) Indicar, justificando, se uma máquina que realizasse este ciclo seria uma máquina térmica ou uma máquina frigorífica. [NOTA: admita que o oxigénio se comporta como um gás ideal e que C =5R/ e γ=7/5.] P P 4 P 3 4 3 FEM 3. 5

4ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM. Supondo que o azoto (N ) é um gás ideal à temperatura ambiente e à pressão atmosférica, determinar o tempo livre médio de uma molécula de N, num ambiente com essas condições.. a) Determinar o número de colisões moleculares que em cada segundo é, em média, sentido por cada centímetro quadrado de uma superfície plana exposta ao ar, à pressão de atm e a 300 K. b) Qual deve ser a altura de um cilindro com cm de área de secção e que contenha um número de moléculas igual ao número de moléculas de ar que a atm e a 300 K, colidem com a superfície de cm em cada segundo? [NOTA: A massa molecular média do ar é 9.] 3. Uma superfície metálica limpa é colocada num vácuo que tem uma pressão residual de oxigénio de 0-7 Torr à temperatura ambiente. a) Estimar o tempo que leva a cobrir a superfície com oxigénio se o diâmetro de uma molécula de O for de 0,3 nm e o sistema estiver à temperatura ambiente. b) Que tempo levará a cobrir metade da área da superfície se a pressão residual for reduzida para 0-0 Torr? [NOTA: Admitir que aderem à superfície todas as moléculas que a atingem, o que é uma aproximação razoável à temperatura ambiente.] 4. Considere-se um gás que se encontra repartido entre as duas câmaras de um recipiente. As câmaras são mantidas às temperaturas T e T (com T T ), sendo a pressão, muito baixa, do gás nas câmaras P e P, respectivamente. As câmaras FEM 4.

comunicam entre si por meio de um orifício suficientemente pequeno para que o equilíbrio térmico de cada câmara não seja perturbado. a) Como é que se pode caracterizar a condição de equilíbrio molecular entre as duas câmaras? b) Obter uma relação entre as pressões P e P e as temperaturas T e T. 5. Obter uma expressão que forneça o tempo necessário para que a pressão de um gás à temperatura T, armazenado num recipiente com um volume e que possui um orifício de área S numa das suas paredes aberto para um vácuo circundante, caia de P o para P. 6. Um recipiente com um volume de l contém ar a uma pressão de 0-3 Torr e à temperatura de 300 K. Numa das suas paredes há uma pequena fenda com uma área de 0-0 cm que comunica com a atmosfera nas condições PTN. a) Não desprezando nos cálculos a efectuar o número de moléculas que saem do recipiente, mostrar que ao fim de h: i) O número de moléculas no recipiente é de ~,67 x 0 7 ; ii) A pressão no recipiente é de ~,6 x 0-3 Torr; iii) O número de moléculas que por unidade de tempo atravessa a fenda de dentro para fora é desprezável face ao número das que entram no recipiente pela fenda. b) Determinar o tempo necessário para que a densidade de moléculas no interior do recipiente aumente para metade do número de moléculas por unidade de volume no exterior. [NOTA: A massa molecular média do ar é 9.] 7. a) Um recipiente de volume está dividido em dois compartimentos de igual volume por uma divisória fina onde existe um pequeno orifício de área S. Inicialmente, na câmara da esquerda há um gás ideal à pressão P o tendo a câmara da direita sido evacuada. Obtenha uma expressão para a pressão P e na câmara da FEM 4.

esquerda como função do tempo. Admita que a temperatura se mantém constante e que é a mesma de ambos os lados da divisória. b) Supondo agora que inicialmente a pressão na câmara da esquerda é P e (0) e na câmara da direita P d (0), determine a pressão P e (t) do gás no lado esquerdo, continuando a admitir que a temperatura é a mesma nos dois compartimentos. 8. O coeficiente de viscosidade do hélio nas condições PTN é de.86 5 0 kg m s. Determinar: a) O coeficiente de condutibilidade calorífica; b) O livre percurso médio; c) O diâmetro molecular; d) A pressão para a qual o livre percurso médio é igual a 0 - m a 300 K e a 30 K. 9. O coeficiente de viscosidade do gás hélio a T = 73 K e P = atm é η enquanto que o do gás argon é η. As massas atómicas destes gases monoatómicos são µ e µ, respectivamente. a) Qual é o valor do quociente, σ /σ, entre as secções eficazes dos átomos Ar-Ar, σ, e He-He, σ? b) Qual é o valor do quociente, k /k, entre as condutibilidades caloríficas do argon, k, e do Hélio, k, quando T = 73 K? c) Quanto vale D /D, o quociente entre os coeficientes de difusão de ambos os gases, quando T = 73 K? d) As massas atómicas do He e do Ar são, respectivamente, µ = 4 e µ = 40. Os coeficientes de viscosidade medidos a 73 K são, respectivamente, η =,84 x 0-4 g cm - s - e η =,05 x 0-4 g cm - s -. Utilizar esta informação para calcular os valores aproximados das secções eficazes σ e σ. e) Se se admitir que os átomos se comportam como esferas rígidas, calcular o diâmetro d do átomo de hélio e o diâmetro d do átomo de argon. FEM 4. 3

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS ª FOLHA. W = 97J. º processo: 80KJ; º processo: 0.5J. a) W = RT ln f b b) W = RT ln f i [( ) ( b i )] ( )+ B( f i ) [ ] 3. a) W ciclo = ( )( P P ) b).06 0 4 J 5. ( a)p 3 4 = C T 6. Q =ν T f T i 7. b) W = 80.4J [ ] ( ) a + b( T f + T i ) c ( T f T i ) c) sobre o exterior d) Q = 94.J e) U = 3.7J 8. a) W =.0 0 4 J b) T DF = 64.5K c) T EF = 3530K d) Q =.08 0 5 J ª FOLHA. b) k = l + l ( ) ( l k + l k ). Q =.9 0 5 J 3. b) W = 0.6J 4. b) Q = Q 34 = 0 ; Q 3 = 5.8KJ ; Q 4 = 4.36KJ c) U 3 = 4.57KJ 5. a) Q adb = 5Kcal b) Q adb = 7.5Kcal (sistema liberta calor) c) Q ad =.5Kcal ; Q db =.5Kcal 6. a) γ =.4 7. C = 5R FEM S.

8. a) W = 3600J e Q = 8800J b) W =.53 0 4 J e Q = 7930J c) W = 700J e Q = 900J 3ª FOLHA. a) 93K b) 46.5K. a) ω =0. b) Q = 4.4 0 6 cal c) W =.7 0 6 J 3. a) W = ( P P )( ) [ ( )] b) Q TOTAL = νr ( T A T B )+ T C T D 7. a) S( água) =30 JK ; S( foco)= 0JK ; S( universo)= 90JK b) S( universo)= 95JK 8. a) S( universo)= 6.3JK b) S( universo)=.39jk c) S( universo)= 3.6JK 0. a) = 0l c) máquina frigorífica 4ª FOLHA. τ = 6.8 0 0 s ( ). a).86 0 3 colisões scm b) 0m 3. a) 67.3s b) 67300s 4. a) φ = φ b) P P = T T 5. = ( S) πm RT ln( P P) t 0 6. b) t = 37.6 anos 7. a) P e ( t) = P 0 + exp v S t [ ] + [ P e ( 0) P d ( 0) ] exp( v St ) b) P e ( t) = P e ( 0) + P d ( 0) FEM S.

8. a) k = 5.8 0 Wm s K b) l =.73 0 7 m c) d.8 0 0 m d) 300 K: P =.877Pa ; 30 K: 0.877Pa 9. a) σ σ = ( η η ) µ µ b) k k = ( η η )( µ µ ) c) D D = ( η η )( µ µ ) d) σ =.006 0 9 m ; σ =.83 0 9 m e) d =.79 0 0 m ; d = 3.00 0 0 m FEM S. 3