Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Cap. 4 - Estimação por Intervalo Amostragem e inferência estatística População: consiste na totalidade das observações em que estamos interessados. Nº de observações na população é denominado tamanho=n. Amostra: um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma população. Tamanho da amostra: n. Definição: As variáveis aleatórias (X 1, X,..., X n ) são uma amostra aleatória (aa ou iid) de tamanho n se a) Os X i s forem variáveis aleatórias independentes e b) Cada X i tiver a mesma distribuição de probabilidades. Quando a amostragem é aleatória podemos fazer inferências sobre a população a partir de uma amostra. Estatística: é qualquer função das observações em uma amostra aleatória. Parâmetro: descrição numérica de uma característica da população, geralmente desconhecida. Exemplos de parâmetros: média de altura de uma população; variância, proporção de peças defeituosas, etc... Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 1

Estimação de Parâmetros Estimador: é uma estatística usada para estimar um parâmetro populacional, a partir de uma amostra aleatória. Exemplos de estimadores: a) X (média amostral): estimador da média populacional; b) S (variância amostral): estimador da variância populacional; c) S (desvio padrão amostral): estimador do desvio padrão populacional Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF

d) p (proporção amostral): estimador da proporção populacional, etc. O valor que um estimador assume uma determinada amostra é denominado estimativa do parâmetro. Objetivo: Estimar um parâmetro de uma população de uma variável X (que pode ser a média, a variância, o desvio padrão, a proporção de objetos com determinada característica de interesse, etc) de uma população em estudo consiste na determinação do valor numérico do mesmo a partir de uma estatística adequada definida numa amostra aleatória extraída da população em estudo. Na prática selecionamos apenas uma amostra, produzindo apenas uma estimativa. Como um estimador é uma variável aleatória, o mesmo tem média e variância. Assim, mesmo que o estimador seja não tendencioso a estimativa obtida pode estar muito distante da verdadeira média populacional. Então, outra propriedade desejável é que o estimador tenha uma variância pequena, reduzindo assim a possibilidade da estimativa ser muito diferente do valor do parâmetro. Acurácia: observações próximas (em torno) do valor alvo, real ou esperado. Precisão: observações próximas da média do conjunto de observações (baixa variabilidade). Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 3

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Estimação pontual No processo de estimação por ponto admite-se como valor numérico do parâmetro a estimativa calculada a partir de uma amostra aleatória extraída da população em estudo. Exemplo: Na estimação por ponto da média populacional de uma variável X admite-se que x, onde x é uma estimativa de dada por n x i 1 i x n sendo x 1, x,..., x n observações da variável X uma amostra de tamanho n extraída da população de observações desta variável para estimar a média populacional. Existem outros processos de estimação pontual, não abordados aqui. No processo de estimação por intervalo, usa-se a distribuição amostral do estimador para a construção de um intervalo, sendo que este intervalo tem uma probabilidade =1- α, especificada a priori, de conter o verdadeiro valor do parâmetro estimado. O intervalo é denominado intervalo de confiança de 100% e a probabilidade é denominada nível de confiança. Os níveis de confiança usuais são 0,95 (95%) e 0,99(99%). Intervalo de Confiança: Expressa o grau de incerteza associado com uma estimativa. Intervalo com 100(1- α)% de confiança para o parâmetro θ: Interpretação: Se K amostras aleatórias de mesmo tamanho n forem coletadas e um IC de 100(1- α)% for calculado para cada amostra, então 100(1- α)% desses K intervalos contem o valor verdadeiro do parâmetro θ. Observações: Quanto maior for o IC, menor é sua precisão. A metade do IC é sua precisão. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 5

Distribuições Amostrais o A seleção da amostra a partir de um plano amostral probabilístico faz com qualquer estimador (estatística) seja uma VA. Por que? Por causa da aleatoriedade introduzida pelo sorteio realizado no processo de amostragem. o Uma estatística é uma VA aleatória e a sua distribuição de probabilidades é chamada de distribuição amostral. o Consideraremos um plano amostral por amostragem aleatória simples (AAS) com reposição com n =. E 1 16 16 3 16 4 16 3 16 16 1 16 X,5 3 3,5 4 4,5 5 3, 5 V ( X ) ( 3,5) 1 16 (,5 3,5) 16... (5 3,5) 1 16 0,65 1,5 n Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 6

o Observe que a distribuição da população e a distribuição da média amostral têm a mesma média (valor esperado). o A distribuição da média amostral é mais concentrada e é parecida com a distribuição Normal. Distribuição Amostral da Média o O esquema abaixo resume o que vimos até agora: Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 7

o Se consideramos uma AAS X 1, X,..., X n e o estimador X, a distribuição de X terá as seguintes propriedades: o E (X ) o V ( X ). n Teorema Central do Limite: Se X 1, X,..., X n for uma aa de tamanho de uma população (finita ou infinita), com média µ e variância σ finita, então a forma limite da distribuição de onde Z é a distribuição normal padrão. Em geral para n 30 a aproximação é boa. A distribuição T de Student com =n1 graus de liberdade. A distribuição T é simétrica, tem esperança matemática igual a zero e variância igual a n /( n ). A forma da desta distribuição depende de seu número de graus de liberdade da mesma. O gráfico a seguir ilustra esta distribuição para = 1, = 4 e = 0., (a) = 1 (b) = 4 (c) = 0 Figura 1 Se é suficientemente grande (na prática, 30) a distribuição t se aproxima da distribuição normal padrão. As probabilidades dos valores da distribuição t de Student se encontram no apêndice. Os valores t >0 da variável T nesta tabela são tais que P(Tt )=, Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 8

Intervalos de Confiança para parâmetros populacionais 1) Intervalo de confiança para a média populacional Suponha que a população de uma variável X tenha distribuição normal com média igual a e desvio padrão. Figura O intervalo de confiança de 100 % para a média populacional é dado por, onde é o quantil da distribuição T (n-1). Para n grande (n>30), pode-se utilizar o quantil da normal no lugar do quantil da T de Student. Ou seja, onde é o quantil da normal padrão. Exemplo: Um pesquisador observou o custo de produção, em R$, numa amostra de 10 unidades de um artigo produzido por certo fabricante escolhidas aleatoriamente da produção, encontrando os seguintes valores: 10, 11, 7, 9, 6, 7, 10, 7, 6 e 8. Construa e interprete um intervalo de 95% para o custo médio de produção do artigo considerado., Solução s 10 1 10 x i i x 10 10 10 x i1 i x i i 81 10 1 1 10(10 1) 8,1 685 9 81 90 1,79 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 9

Sendo =0,95, =0,05, o coeficiente de confiança, t 0,95, é um valor da variável T tal que P ( t T t 05) 0, 95 como ilustra o gráfico a seguir. 0,05 0, Figura 3 A variável T tem distribuição t de Student com =n1=101=9 graus de liberdade. Pela tabela da T de Student temse para = 9 e = 0,05 que 0, 05 t =,6. Assim sendo, o intervalo de confiança de 95% para o custo médio deste artigo é 8,1,6 0,57 8,1,6 0,57 R$6,81 R$9, 39 Com este resultado acredita-se que a probabilidade de que o intervalo acima contenha o custo médio das unidades deste artigo é de 0,95. 1.1) Determinação do tamanho da amostra para estimação da média Na construção de um intervalo de confiança de 100% para a média da população de uma variável X deve-se inicialmente estipular a precisão do intervalo de confiança desejado e em função desta precisão dimensionar o tamanho da amostra. Na amostragem com reposição constata-se que a precisão deste intervalo é t s X Considerando amostragem com reposição s s X n Logo, t s n Então t S n Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 10

A estimativa S é determinada a partir de uma amostra inicial denominada amostra piloto com n elementos (sendo n arbitrário e nunca inferior a 30) e considera-se = para se determinar o valor t. Se n for maior que n, o tamanho da amostra definitiva será n e deve-se acrescentar às n observações da amostra piloto novas observações até completar a amostra de tamanho n; se o valor n calculado for menor ou igual a n, a amostra piloto já é suficiente e o tamanho da amostra definitiva será n = n. Exemplo: Um pesquisador deseja estimar o preço médio de um produto nos pontos de venda de certa região, de modo que o erro de estimação seja no máximo igual a R$,00, admitindo-se um nível de confiança de 95%. O pesquisador dispõe de uma amostra piloto de 40 pontos de venda nos quais o desvio padrão do preço do produto é igual a R$1,00. Qual deve ser o tamanho da amostra? Solução Não tendo sido informado o tamanho da população (número de pontos de venda da região) admite-se amostragem com reposição ou amostragem sem reposição de uma população muito infinita ou população finita muito maior que a amostra e assim sendo, o tamanho da amostra é t n s Pelos dados do problema, tem-se que = e = 1. Sendo = 0,95 e =, tem-se da tabela t de Student tem-se que t0, 95=1,96. Então, o tamanho da amostra para estimar o preço médio do produto nos pontos de venda da região é 1,96 1 n n 139 ) Intervalo de confiança para a proporção populacional Suponha que certa população tenha uma proporção de objetos com uma característica de interesse para o pesquisador (por exemplo, pode ser a proporção de unidades defeituosas de certo artigo numa linha de produção). Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 11

Neste caso, o estimador não tendencioso de é a proporção amostral p, que é uma variável aleatória que associa a uma amostra de n objetos a proporção p de objetos na amostra com a característica de interesse, ou seja, Temos que Para grandes amostras (n 30), a variável aleatória tem distribuição aproximadamente normal padronizada. Logo, onde é o quantil 1-α/ da normal padrão (por exemplo, se α=5%, z 0.05 =1.96). Tentando isolar π, teríamos Porém, temos uma dependência do próprio parâmetro nas inequações. Temos duas saídas para resolver este problema: 1. Substituir o valor de dentro da raiz pelo seu valor estimado p. Assim, o intervalo de confiança otimista de nível 1-α para é dado por. Como é uma parábola com concavidade voltada para baixo, podemos substituir a equação pelo seu máximo, que é de ¼ (quando ). Obtemos então um intervalo de confiança conservador, dado por Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 1.

. Exemplo: Um produtor deseja estimar a proporção de itens de certo artigo na linha de produção de sua empresa que apresentam defeito de fabricação. Para esta finalidade, retirou uma amostra de 00 itens retirados aleatoriamente da linha de produção, constatando que 16 destes apresentam defeito de fabricação. Construa e interprete um intervalo de confiança de 95% para a proporção de itens na linha de produção que apresentam defeito de fabricação. Solução: A proporção de sucessos (itens defeituosos) na amostra é de p = 16/00=8%. Sendo =1-α=0,95 tem-se. Então o intervalo de confiança otimista de 95% para a proporção de itens defeituosos na linha de produção é. Por outro lado, sendo conservador, o intervalo resultante é dado por Notem a grande diferença entre os dois intervalos. Isso irá sempre acontecer quando a estimativa pontual da proporção for afastada de ½. 3.1) Determinação do tamanho da amostra para a estimação da proporção Como no caso da média, para se construir um intervalo de confiança de para a proporção populacional deve-se dimensionar o tamanho da amostra para uma precisão preestabelecida do intervalo de confiança desejado. A precisão do intervalo é z s P Logo, z / p(1 p) n Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 13

Resolvendo-se a equação para n tem-se que z / p (1 p) n A estimativa p da proporção populacional pode ser obtida a partir de uma amostra piloto como no caso da média. Caso seja muito difícil obter uma estimativa inicial da proporção e considerando-se que n atinge um valor máximo quando p = 0.5, pode-se arbitrar este valor para p. Sugere-se um tamanho de amostra piloto em torno de n=00. Caso não seja feita a amostra piloto, pode-se tomar o valor máximo p(1-p), que é ¼. Neste caso existe o risco de que, em determinadas situações, sejam obtidas amostras de tamanho muito maior que o z / necessário, com n. 4 Exemplo: Com o objetivo de estimar a proporção de itens defeituosos numa produção, um administrador de produção deseja extrair uma amostra aleatória de itens da referida produção para tal fim. Uma amostra piloto de 40 itens apresentou 4 defeituosos. Qual deve ser o tamanho da amostra definitiva para que o erro de estimação da proporção de defeituosos na população seja de no máximo 3% a um nível de confiança de 95%? Solução: Não tendo sido informado o tamanho da população (número de itens produzidos), admite-se amostragem com reposição ou amostragem sem reposição de uma população infinita ou muito maior que a amostra e, assim sendo, o tamanho da amostra é z / p (1 p) n 4 A estimativa de obtida a partir da amostra piloto é p 0, 1. Pelos dados do problema, tem-se que = 0,03. Sendo = 0,95 tem-se, pela tabela da normal padrão, que z0, 05=1,96. Então, o tamanho da amostra para estimar a proporção de itens defeituosos na produção é 1,96 0,1(1 0,1) n n 385 0,03 Neste caso deve-se acrescentar 345 itens à amostra piloto antes de se construir o intervalo de confiança para a proporção. Desconsiderando a 1,96 4*0,03 amostra piloto, teríamos n 1068. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 14 40

Figura 4: Estimativas de proporções amostrais de M=100 amostras aleatórias de tamanho n=50 de uma Bernoulli(p=0.1). A Figura 4 ilustra a situação de utilização de uma amostra piloto de n=50, onde a proporção amostral foi de p=0.1. Ao replicar artificialmente amostras de mesmo tamanho com probabilidade p=0.1, notem que as proporções amostrais resultantes podem divergir bastante. Ou seja, utilizar resultados de amostras pilotos de tamanho pequeno para calcular tamanho de amostras é arriscado. Aumentando o tamanho da amostra piloto para n=00, os valores são mais próximos, conforme pode ser visto na Figura 5. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 15

Figura 5: Estimativas de proporções amostrais de M=100 amostras aleatórias de tamanho n=00 de um Bernoulli(p=0.1). Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 16

Apêndice TABELA: Distribuição normal padrão. P(Z>z) área tabulada 0 z segunda decimal de z z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,471 0,4681 0,4641 0,1 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447 0, 0,407 0,4168 0,419 0,4090 0,405 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,381 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,319 0,3156 0,311 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,981 0,946 0,91 0,877 0,84 0,810 0,776 0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,611 0,578 0,546 0,514 0,483 0,451 0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,177 0,148 0,8 0,119 0,090 0,061 0,033 0,005 0,1977 0,1949 0,19 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,176 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 1,0 0,1587 0,156 0,1539 0,1515 0,149 0,1469 0,1446 0,143 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,19 0,171 0,151 0,130 0,110 0,1190 0,1170 1, 0,1151 0,1131 0,111 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,100 0,1003 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,0681 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,058 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,056 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,047 0,0418 0,0409 0,0401 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,0314 0,0307 0,0301 0,094 1,9 0,087 0,081 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033,0 0,08 0,0 0,017 0,01 0,007 0,00 0,0197 0,019 0,0188 0,0183,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,016 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143, 0,0139 0,0136 0,013 0,019 0,015 0,01 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110,3 0,0107 0,0104 0,010 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,0051 0,0049 0,0048,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,0031 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,001 0,001 0,000 0,0019,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 3,0 0,00135 3,5 0,000 33 4,0 0,000 031 7 4,5 0,000 003 40 5,0 0,000 000 87 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 17

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