Lista de Exercícios 2 1. Considere um capacitor de placas paralelas circulares, de raio a, separadas a uma distância d (d << a), no vácuo. As placas estão ligadas a um gerador AC que produz uma carga no capacitor Q = Q 0 sin(ωt). Admita que o campo elétrico entre as placas é uniforme, desprezando fuga de linhas de força, e tome o eixo z ao longo do eixo do capacitor. (a) Utilizando a Lei de Ampère-Maxwell, calcule uma primeira aproximação para o campo magnético entre as placas do capacitor. (b) Utilizando a Lei de Faraday, calcule a correção ao campo elétrico devido à variação do campo magnético entre as placas. Mostre que, se r << c/ω, essa correção é desprezível quando comparada ao campo elétrico considerado no item anterior. (c) Calcule o vetor de Poynting usando apenas o campo elétrico e magnético do primeiro item (campos quase-estacionários). Nessa aproximação, qual é a média temporal desse vetor? 2. Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir diretamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamento i d entre as placas de um capacitor de placas paralelas, submetido a uma diferença de potencial alternada. Ele usou placas circulares cujo raio efetivo era de 40cm e cuja capacitância era de 100pF. A diferença de potencial aplicada tinha um valor máximo V m = 174kV na freqüência de 40Hz. (a) Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita como: i d = C dv (1) dt Onde, C é a capacitância do capacitor preenchido por vácuo. (C = ɛ 0 A/d) (b) Qual foi a corrente de deslocamento máxima obtida entre as placas? (c) Por que foi escolhida uma diferença de potencial tão elevada? (A delicadeza destas medidas é tal que elas só foram realizadas diretamente mais de 60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito de corrente de deslocamento!!!) 3. O campo magnético da Terra pode ser aproximado como o campo de um dipolo magnético, com componentes horizontal e vertical, num ponto distante do centro da Terra, dadas por: B h = µ 0µ 4πr 3 cosλ m, B v = µ 0µ 2πr 3 senλ m (2) onde λ m é a latitude magnética (latitude medida a partir do equador magnético na direção do pólo norte magnético ou do pólo sul magnético). Suponha que o momento de dipolo magnético seja µ = 8 10 22 A m 2. Aproxime o raio da Terra para 6370 km. (a) Mostre que, na latitude λ m, o módulo do campo magnético é dado por: B = µ 0µ 4πr 3 1 + 3sen2 λ m (3) (b) Mostre que a inclinação φ i do campo magnético está relacionada com a latitude magnética λ m por: tanφ i = 2tanλ m (4) (c) Calcule o campo magnético da Terra (módulo e inclinação) para os seguintes casos: (i) no equador magnético; (ii) num ponto de latitude magnética igual a 60 o ; (iii) no pólo norte magnético. 1
(d) Calcule a altura acima da superfície da Terra onde o módulo do campo magnético da Terra cai à metade do valor na superfície, na mesma latitude magnética. (e) Calcule a intensidade máxima do campo magnético na fronteira do revestimento do núcleo, que se encontra a 2900 km abaixo da superfície da Terra. (f) Calcule o módulo e o ângulo de inclinação do campo magnético da Terra no pólo norte geográfico. (Sugestão: o ângulo entre o eixo magnético e o eixo de rotação da Terra é igual a 11, 5 o.) Porque os valores calculados não concordam com os valores medidos? 4. Considere o cubo do desenho na figura 1 cujos lados tem 2 metros. Nesta região o campo elétrico é dado por: E = at[(5 y)ŷ zẑ], na qual a é uma constante, t é o tempo em segundos, y e z são as coordenadas ao longo dos eixos y e z. Considere que existe um fino fio carregando uma corrente estática I ao longo da direção y. (a) Qual é a carga total dentro do cubo? (b) A carga está aumentando ou diminuindo? (c) Calcule a integral de linha do campo magnético B em torno da face preta do cubo abaixo. Tome o sentindo da integração como sendo anti-horário. (d) Calcule a integral de linha do campo magnético B em torno da face superior do cubo abaixo. Tome o sentindo da integração como sendo anti-horário. (e) Qual é a corrente que atravessa a face preta o cubo? (f) Qual é a corrente que entra no cubo pela face oposta à face preta? Figura 1: 5. Um elétron com energia cinética K e desloca-se numa trajetória circular que é ortogonal a um campo magnético uniforme, submetido somente a ação do campo. (a) Mostre que o momento de dipolo magnético devido ao seu movimento orbital tem módulo µ = K e /B e sentido contrário ao de B. (b) Calcule o módulo, a direção e o sentido do momento de dipolo magnético de um íon positivo que tem energia cinética K i nas mesmas circunstâncias. (c) Um gás ionizado tem 5, 3 10 21 eletrons/m 3 e o mesmo número de ions/m 3. Considerea energia cinética média dos elétrons igual a 6, 2 10 20 J e a energia cinética média dos íons igual a 7, 6 10 21 J. Calcule a magnetização do gás para um campo magnético de 1, 2T. 2
6. O desenho 2 mostra um capacitor formado por duas placas paralelas circulares de raio R. O capacitor esta sendo carregado por uma corrente I. Considere a superfície S do desenho. Devido à simetria do problema, podemos considerar que campo magnético B é tangente ao círculo de raio r e tem módulo constante em todos os pontos deste círculo. (a) Calcule o campo elétrico E para r < R. (b) Use a Lei de Ampère-Maxwell e calcule o campo magnético B na mesma região. (c) Qual o valor de B quando o capacitor está completamente carregado e E constante na região interna as placas do capacitor. Figura 2: 7. Um elétron de massa m e carga de módulo e se move numa órbita circular de raio r ao redor de um núcleo. Um campo magnético B é, então, estabelecido perpendicularmente ao plano da órbita. Supondo que o raio da órbita não varie e que a variação da velocidade escalar do elétron em conseqüência do campo B seja pequena, determine uma expressão para a variação do momento magnético orbital do elétron. 8. O momento de dipolo magnético da Terra é 8 10 22 J/T. (a) Se a origem deste magnetismo fosse uma esfera de ferro magnetizada, no centro da Terra, qual deveria ser o seu raio? (b) Que fração do volume da Terra esta esfera ocuparia? Suponha um alinhamento completo dos dipolos. A densidade do núcleo da Terra é 14g/cm 3. O momento de dipolo magnético de um átomo de ferro é 2.1 10 23 J/T. 9. Mostre que as equações de Maxwell no vácuo (ρ = 0 e j = 0), no caso geral implicam em 2 E µ0 ɛ 0 2 E t 2 = 0 e 2 B µ0 ɛ 0 2 B t 2 = 0 (5) Que é a forma da equação de onda em três dimensões espaciais. Onde 2 := 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2. (Use a identidade vetorial: qualquer). ( A) = ( A) 2 A, em que A é um vetor 3
10. Uma onda eletromagnética propagando-se no vácuo possui campo elétrico dado por E = [(4 x ŷ + ẑ)cos(x + 2y 2z ωt) + (ŷ + ẑ)sin(x + 2y 2z ωt)]v/m (6) (com x, y, z em metros). Pede-se: (a) Qual o sentido de propagação dessa onda? (b) Determine o comprimento de onda e o valor de ω; (c) Determine o campo magnético dessa onda; (d) Determine o vetor de Poynting e a intensidade dessa onda. 11. Uma estrela tipicamente emite radiação de maneira isotrópica. Ao observar uma dada estrela com luminosidade L conhecida (nome em astronomia para a potência da radiação emitida pela estrela), um astronômico constatou que pela abertura de área A de seu telescópio chegava uma quantidade de energia por unidade de tempo dada por P. Assim, o astrônomo pôde determinar a distância d que a estrela encontra-se da Terra. (a) Deduza a relação entre os observáveis L, P, A e d; (b) Estime a amplitude de oscilação dos campos elétrico e magnético dessa radiação, fazendo com que a distância d apareça explicitamente. 12. Um Laser de He-Ne do tipo encontrado em laboratório de física tem uma potência luminosa de 5, 00mW e um comprimento de onda de 633nm. A luz do Lazer é focalizada por uma lente em um ponto circular cujo diâmetro efetivo é igual a 2 comprimentos de onda. Calcule: (a) A intensidade da luz depois de focalizada; (b) A pressão exercida pela luz em uma pequena esfera perfeitamente absorvente com um diâmetro igual ao do ponto focal; (c) A força exercida sobre a mesma esfera; (d) O módulo da aceleração imprimida à esfera pela radiação. Suponha que a esfera tem uma densidade de 5, 00 10 3 Kg/m 3. 13. A figura 3 mostra duas cargas +Q e -Q sobre o eixo x localizadas em x=-a e x=a. Uma corrente I = dq/dt passa ao longo do fio que liga as duas cargas. O ponto P está sobre o eixo y em y=r. (a) Use a lei de Bio-Savart e calcule o módulo de B no ponto P. (b) Considere uma fatia circular de raio r e largura dr no plano xy com seu centro na origem. Veja o desenho abaixo. Mostre que o fluxo do campo elétrico através dessa fatia é: E x da = Q ε 0 a(r 2 + a 2 ) 3 2 rdr (7) (c) Use o resultado do item b para encontrar o fluxo total ϕ e através de uma área circular de raio R. Mostre que: ( ) a ε o ϕ e = Q 1 (8) a2 + R 2 (d) Encontre a corrente de deslocamento dad por: I d = µ 0 (dϕ e /dt). 4
Figura 3: (e) Calcule o campo magnético no ponto P usando a lei de Ampère-Maxwell escrita da forma: B d l = µ 0 (I + I d ) (9) 14. A figura 4 mostra a configuração de três polarizadores lineares cujos planos são paralelos e centrados num mesmo eixo e os eixos de transmissão fazem ângulos de θ 1, θ 2 e θ 3 com a direção do eixo y. Em feixe inicialmente não-polarizado, de intensidade I i incide sobre o sistema, calcule: (a) A intensidade final I f se θ 1 = 20 o, θ 2 = 40 o e θ 1 = 60 o. (b) A intensidade final I f se θ 1 = 0 o, θ 2 = 30 o e θ 3 = 60 o. (c) Considerando θ 1 = 0 o, calcule quanto deve ser θ 2 para que a luz emergente do sistema tenha polarização perpendicular ao eixo y e I f seja 10% de I f. Figura 4: 15. Um fio condutor retilíneo cilíndrico muito longo, de condutividade σ e raio a, transporta uma corrente constante de densidade j = σ E uniformemente distribuída sobre a secção transversal. Tome o eixo do cilindro como o eixo z. (a) Calcule o campo magnético na superfície do fio. (b) Calcule o vetor de Poynting S na superfície do fio. 5
(c) Mostre que o fluxo de através da superfície delimitada por um comprimento l do fio é igual a potência dissipada dada pela Lei de Joule. 6