N. A. Almeida. Sudokus

N. A. Almeida Sudokus SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :7:33

Título: Sudokus Autor: Nelson Alexandre Almeida Capa: Nelson Alexandre Almeida Editor: Roma Editora Av. de Roma,129-r/c Esq. 1700-346 LISBOA Tel. 217975379 * Fax 217986549 Internet: www.roma-editora.pt E-mail: geral@roma-editora.pt Data de saída: Outubro 2006 Depósito Legal: ISBN: 972-8490-- Impressão: Todos os direitos reservados SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :7:33

SUDOKUS Mas o que é um Sudoku? Sudoku, por vezes escrito Su Doku, é um puzzle de colocação de números também conhecido como Number Place nos Estados Unidos. Cada puzzle é composto por uma grelha dividida em 81 células. Ou seja, é uma tabela 9 x 9 que se subdivide em 9 regiões que são subgrelhas constituídas por tabelas 3 x 3. O objectivo do puzzle é preencher todas as células vazias da grelha, colocando cada um dos números de 1 a 9 em cada um desses espaços. O preenchimento é feito de maneira a que cada linha, coluna e região do puzzle contenha todos os números de 1 a 9. O fascínio de resolver um puzzle de sudoku advém da simplicidade das suas regras de preenchimento, aliada a um certo grau de complexidade de raciocínio. Estes jogos podem, então, ser resolvidos, aplicando raciocínios lógicos e algum tempo. Conforme o grau de dificuldade, são excelentes formas de colocar a persistência à prova. O nível de dificuldade dos puzzles pode ser escolhido, dependendo da experiência do jogador, bem como da sua motivação aquando da resolução dos mesmos. Com esse fim, procurámos dividir os puzzles deste livro em 4 categorias correspondendo a diferentes graus de dificuldade: os simples, os moderados, os complicados e os indomáveis. A melhor maneira de ensinar como se resolve um puzzle de sudoku é através de um exemplo. É o que veremos em seguida. Estratégias de resolução Vamos começar por um puzzle de grau de dificuldade simples. 7 9 5 5 3 6 8 2 6 3 4 7 4 8 1 5 6 2 7 9 1 6 3 4 2 7 9 6 4 9 7 2 8 4 2 1 3 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :7:54

Para melhor nos situarmos na grelha, vamos utilizar o seguinte sistema de referência para localização das células: cada uma delas é caracterizada por um par de números, em que o primeiro número indica a linha e o segundo a coluna, (linha, coluna). Por exemplo, o que existe na célula (1,2)? O número 7. Podemos também referir-nos a regiões que são numeradas de 1 a 9 pela ordem de leitura habitual. Assim, a célula (4,7) encontra-se na região 6, enquanto que a célula (7,6) pertence à região 8. Linhas/Colunas Talvez a estratégia mais intuitiva consista em procurar pelas linhas e colunas células em que, utilizando raciocínios lógicos, imediatamente se conclua que só um número é possível. Repare nas 3 primeiras colunas do puzzle exemplo. Podemos constatar que o número 7 aparece em duas dessas colunas, não aparecendo na coluna 1. O número 7 está, então, em falta na região 4 e mais precisamente na primeira coluna desta região. Restam-nos então duas possibilidades para a colocação do número 7, ou na linha 4 ou na linha 5, mas se olharmos para a linha 5 na região 6, vemos que já existe um número 7, por conseguinte, a nossa única hipótese é a linha 4. 7 9 5 5 3 6 8 2 6 3 4 7 4 8 1 5 6 2 7 9 1 6 3 4 2 7 9 6 4 9 7 2 8 4 2 1 Com raciocínios semelhantes podemos preencher a célula (1,8) com o número 6 e a célula (4,7) com o número 2. Vamos confirmar. O número 6 já existe na segunda e terceira linha, assim sendo falta colocá-lo na primeira linha. Se olharmos para as colunas 7 e 9 vemos que já contêm o número 6, logo a coluna 8 é a única onde pode ser colocado esse número. 4 SUDOKU FINAL.indd 4 08-0-009 :7:55

7 9 5 5 3 6 8 2 6 3 4 7 7 4 8 1 5 6 2 7 9 1 6 3 4 2 7 9 6 4 9 7 2 8 4 2 1 Vamos agora concentrar-nos no número 2 para a região 6. Vemos que o número 2 está nas colunas 8 e 9, falta colocá-lo na coluna 7. Uma das linhas dessa região já está preenchida, a linha 6. Restam-nos as linhas 4 e 5, no entanto, o 2 já existe na linha 5, assim a única possibilidade é a linha 4. 7 9 5 6 5 3 6 8 2 6 3 4 7 7 4 8 1 5 6 2 7 9 1 6 3 4 2 7 9 6 4 9 7 2 8 4 2 1 Na maior parte das vezes, raciocínios semelhantes a estes são suficientes para resolver os puzzles Sudoku, todavia, para alguns casos não temos informação suficiente para raciocinarmos dessa maneira. Novas estratégias precisam-se! Números possíveis Um dos métodos que se costuma utilizar em algumas etapas da resolução consiste em escrever para algumas células (por vezes para todas!) todos os números possíveis para essa célula. Vamos ilustrar com um exemplo: 5 SUDOKU FINAL.indd 5 08-0-009 :7:57

7 9 5 5 3 6 8 2 6 3 4 7 4 8 1 5 6 2 7 9 1 6 3 4 138 5 6 2 7 9 6 4 9 7 2 8 3678 5 68 35 4 2 1 Escrevendo todas as hipóteses para a região 7, chegamos à conclusão que o 1 só pode ser colocado na célula (7,1). Depois de colocarmos o 1, podemos tentar resolver outras células de outras regiões de maneira a que seja possível voltar à região 7 e continuar o seu preenchimento, por eliminação de certos números possíveis das células desta região. Tentativa e erro Quando estamos na presença de um puzzle de grau de dificuldade bastante grande é comum deixarmos de poder utilizar as estratégias anteriores. Nestas ocasiões, experimentar um dos números possíveis é a única via. Consideremos o seguinte puzzle: 4578 12458 134 34 14 8 1 257 1257 6 9 789 1289 1279 169 16 8 1 267 5 3 4 1459 159 14 6 16 15 3 7 2 8 579 2359 2579 479 14 7 12 47 1 2345 7 9 8 6 679 269 679 1 279 1279 4 5 3 8 35689 579 469 4679 47 3 4579 579 1 2 456 15 246 12 46 1 246 7 8 9 3 4569 346 45 67 46 7 4 679 79 2 8 1 469 1469 246 467 46 7 1 2467 12789 9 3 5 6 SUDOKU FINAL.indd 6 08-0-009 :7:58

onde começámos por anotar todas as hipóteses para cada célula. Existem regiões para as quais um dos números anotados aparece só numa célula. Por exemplo, na região 2, temos a célula (2,4) que tem anotado o número 9 e em mais nenhuma célula dessa região temos esse número, portanto esse é o número correcto para essa célula. De modo idêntico, podemos preencher as seguintes células Célula Número (6,2) 8 (4,2) 3 (4,6) 1 (1,4) 1 (1,5) 3 (6,8) 3 (8,4) 3 (8,6) 5 (9,9) 8 (9,6) 7 Podemos eliminar alguns dos números anotados, por exemplo o número 6 da célula (5,5), pois, segundo as possibilidades para a região 4, o número 6 só pode estar na linha 5. Analogamente, podemos retirar o número 5 das células (1,1) e (3,3). O nosso sudoku fica agora com a seguinte forma: 478 245 48 2 57 257 6 1 3 9 78 12 127 68 1 267 9 5 3 4 1459 19 46 16 15 3 7 2 8 579 2579 479 24 7 2 4579 3 8 1 6 679 269 79 1 279 1279 4 5 3 8 579 46 4679 47 579 1 8 2 3 456 15 246 12 46 1 246 7 8 9 3 469 46 7 4 679 79 2 8 3 1 5 469 1469 246 46 1 2469 3 7 5 8 7 SUDOKU FINAL.indd 7 08-0-009 :7:59

Com os raciocínios lógicos, não conseguimos progredir mais. Para irmos mais além temos de experimentar um dos números possíveis. Convém escolher uma célula que contenha a menor quantidade de números possíveis. Escolhemos um desses números e prosseguimos com o preenchimento das outras células. Se o número que escolhemos não for o correcto então iremos chegar a uma contradição no preenchimento das células seguintes: teremos que voltar ao ponto de partida da escolha desse número e escolher um outro. Se tivermos sorte, não será a última combinação que experimentámos que será a correcta! 8 SUDOKU FINAL.indd 8 08-0-009 :7:59

SIMPLES 9 SUDOKU FINAL.indd 9 08-0-009 :7:59

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6 3 8 7 7 3 8 9 4 5 7 6 2 6 5 9 7 1 3 1 8 6 5 9 3 7 1 8 2 3 4 7 4 7 2 5 1 8 6 4 2 5 4 2 8 9 3 6 4 1 6 2 7 7 1 5 6 2 6 8 3 4 7 1 5 2 9 8 1 1 3 6 4 2 11 SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :8:00

4 9 7 1 5 1 6 2 2 4 6 9 6 7 5 4 5 9 7 8 3 2 4 5 3 8 4 1 6 2 9 5 8 7 3 4 3 1 9 7 3 5 4 2 4 5 7 3 6 1 9 4 5 8 2 4 9 4 6 7 3 3 8 2 1 9 1 6 8 3 9 1 8 4 12 SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :8:0

8 5 4 9 2 3 4 5 4 8 1 9 7 2 3 1 1 9 7 6 8 7 9 7 4 2 3 3 5 7 9 2 8 7 6 5 8 3 7 9 5 2 1 6 7 2 8 9 7 5 3 7 6 4 2 8 9 5 9 1 3 4 8 3 2 6 8 7 6 13 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :8:0

5 1 4 7 8 3 2 6 4 5 7 4 2 7 6 3 2 1 9 7 6 3 5 1 6 3 2 7 5 8 4 8 7 9 6 2 7 1 9 4 7 8 6 7 1 5 8 2 5 7 4 6 9 2 7 1 3 9 6 9 4 6 3 8 5 1 2 3 8 14 SUDOKU FINAL.indd 4 08-0-009 :8:04

7 2 1 5 3 8 8 9 6 4 8 5 4 6 6 7 4 7 8 2 1 3 8 1 7 4 5 7 9 2 3 9 7 1 8 5 6 8 3 5 1 4 3 2 7 8 4 2 5 3 6 9 9 5 2 1 6 5 8 6 3 2 9 5 8 1 4 5 9 10 15 SUDOKU FINAL.indd 5 08-0-009 :8:05

4 3 8 2 9 1 6 4 3 7 1 4 4 6 8 9 1 8 4 7 8 6 5 4 2 8 9 3 2 1 8 3 1 4 7 5 11 3 4 5 9 1 2 3 8 6 7 5 3 8 3 4 5 7 1 8 6 4 9 2 1 9 6 5 4 7 4 3 9 4 6 1 5 12 16 SUDOKU FINAL.indd 6 08-0-009 :8:06

5 3 4 6 7 9 4 2 8 1 6 4 1 5 8 2 7 3 5 6 9 8 1 4 5 8 7 2 5 8 13 2 8 3 9 5 3 5 9 4 8 9 6 1 9 2 4 5 8 3 9 1 7 6 6 7 1 8 2 1 5 3 1 4 8 7 2 14 17 SUDOKU FINAL.indd 7 08-0-009 :8:07

3 6 8 2 2 4 1 3 1 9 4 5 8 9 4 6 5 6 1 9 1 7 5 8 4 8 1 5 7 3 8 9 4 2 1 7 15 2 5 4 7 5 7 9 3 4 3 6 5 6 3 5 2 4 9 1 5 3 2 7 8 9 8 5 4 9 5 6 1 8 4 2 3 5 16 18 SUDOKU FINAL.indd 8 08-0-009 :8:09

9 4 3 1 5 7 4 2 6 6 7 9 8 2 5 9 1 4 3 6 8 8 9 1 4 8 7 9 2 3 17 9 6 1 5 5 8 4 2 9 3 2 7 1 3 5 7 6 2 8 7 4 1 3 9 8 5 3 7 9 6 1 4 4 1 8 9 18 19 SUDOKU FINAL.indd 9 08-0-009 :8:0

5 4 9 4 7 9 2 6 3 2 6 4 7 9 6 8 6 8 9 4 5 1 8 5 6 7 2 4 8 6 5 1 3 2 8 6 19 2 9 7 1 4 2 1 5 9 6 5 8 8 3 9 6 4 2 7 5 3 8 6 1 2 5 3 7 7 1 9 6 9 3 4 2 20 20 SUDOKU FINAL.indd 0 08-0-009 :8:

1 3 4 2 5 1 8 7 3 7 9 8 6 5 4 2 1 7 7 8 5 6 4 3 6 5 9 4 7 6 8 1 3 5 8 1 21 8 9 6 5 1 3 2 5 6 9 1 2 7 5 2 1 8 1 9 9 6 3 2 5 7 8 9 5 6 2 4 3 5 7 4 8 22 21 SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :8:

5 6 7 1 4 9 3 9 8 2 7 4 6 3 2 8 7 8 2 3 7 9 8 6 1 3 4 6 5 1 7 2 8 9 5 3 23 3 2 6 4 9 8 7 9 1 3 6 2 7 7 2 1 8 8 3 9 6 1 2 1 2 6 4 8 7 2 8 5 1 9 7 3 24 22 SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :8:3

9 7 3 2 6 9 8 7 4 8 1 2 5 6 9 2 4 5 9 1 9 3 2 7 6 8 2 4 1 7 4 1 5 5 7 2 25 5 4 9 4 7 9 2 6 3 2 6 4 7 9 6 8 6 8 9 4 5 1 8 5 6 7 2 4 8 6 5 1 3 2 8 6 26 23 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :8:4

2 9 7 1 4 2 1 5 9 6 5 8 8 3 9 6 4 2 7 5 3 8 6 1 2 5 3 7 7 1 9 6 9 3 4 2 27 5 3 8 1 7 5 9 3 8 7 6 7 9 5 4 8 2 6 4 8 2 1 3 9 6 4 9 7 6 1 8 9 4 3 7 8 28 24 SUDOKU FINAL.indd 4 08-0-009 :8:6

7 9 6 2 1 9 5 4 1 3 5 7 8 7 5 6 9 8 4 3 2 1 5 4 3 7 2 4 1 8 2 9 1 3 6 8 29 2 7 9 1 8 1 6 2 7 4 4 6 1 5 7 4 2 3 4 8 4 8 7 2 5 3 4 5 6 3 1 9 3 4 6 5 30 25 SUDOKU FINAL.indd 5 08-0-009 :8:7

8 9 6 4 1 3 7 2 3 7 4 1 4 8 5 1 3 7 5 2 6 5 8 6 9 5 6 7 3 3 7 1 7 5 9 2 31 7 1 4 6 3 9 2 3 4 7 9 9 7 6 1 1 8 8 1 4 6 4 9 6 3 1 4 2 5 6 7 2 32 26 SUDOKU FINAL.indd 6 08-0-009 :8:8

8 4 9 3 2 3 8 9 1 2 8 6 3 5 7 4 5 2 3 6 2 1 9 8 6 3 7 2 7 6 8 5 4 9 2 7 33 7 3 1 6 9 3 6 2 8 1 3 9 6 5 2 8 4 8 7 9 4 3 8 9 1 3 5 7 2 3 4 6 8 6 2 7 9 34 27 SUDOKU FINAL.indd 7 08-0-009 :8:9

5 4 7 8 6 1 6 5 2 4 3 6 7 8 3 1 9 6 9 3 5 7 4 3 7 1 9 8 6 5 2 1 4 8 3 7 35 5 8 1 6 4 6 1 5 3 9 9 4 8 1 7 8 4 6 1 5 9 5 1 8 3 5 1 4 2 3 7 2 5 6 1 9 36 28 SUDOKU FINAL.indd 8 08-0-009 :8:

7 1 2 9 8 5 6 3 3 8 6 8 9 7 4 3 1 2 5 9 5 6 3 6 7 8 6 9 3 1 37 2 4 1 9 7 9 2 6 3 6 8 1 5 4 7 2 1 7 3 6 3 2 9 7 4 1 3 5 3 9 2 4 7 4 5 8 38 29 SUDOKU FINAL.indd 9 08-0-009 :8:

7 3 8 3 2 1 9 6 7 2 5 8 4 1 7 3 9 4 2 5 8 1 2 6 5 3 6 5 39 6 5 2 3 1 7 7 8 2 1 4 2 9 3 4 5 9 3 1 2 6 8 7 4 5 9 3 6 40 30 SUDOKU FINAL.indd 30 08-0-009 :8:3

1 7 2 6 2 7 8 4 5 9 6 2 5 9 8 4 3 1 6 6 2 4 8 9 3 5 9 1 2 7 3 6 8 9 3 7 41 8 5 3 1 6 9 9 7 2 8 6 5 2 4 1 9 2 9 3 1 3 5 7 2 5 4 6 1 7 5 9 7 4 8 2 1 42 31 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :8:4

4 2 1 3 8 7 6 9 4 2 3 9 9 8 6 5 6 4 9 1 4 8 6 7 4 5 9 7 8 2 5 5 7 9 6 1 43 2 4 1 9 3 7 1 8 5 2 8 6 1 4 3 7 6 5 8 4 2 1 3 6 4 2 4 5 8 9 44 32 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :8:5

8 6 4 9 8 4 3 4 7 3 8 1 2 8 9 7 7 2 3 1 1 6 7 2 9 5 7 6 8 8 3 5 9 2 4 1 45 7 9 5 8 6 5 8 2 8 3 1 4 1 2 3 6 8 9 9 6 5 2 7 1 1 4 7 2 9 2 3 8 6 7 8 3 46 33 SUDOKU FINAL.indd 33 08-0-009 :8:6

4 5 1 9 8 3 1 5 2 8 5 7 2 6 1 4 2 8 6 8 7 6 5 5 9 2 1 2 3 6 7 5 3 4 2 47 9 6 1 5 5 8 4 2 9 3 2 7 1 3 5 7 6 2 8 7 4 1 3 9 8 5 3 7 9 6 1 4 4 1 8 9 48 34 SUDOKU FINAL.indd 34 08-0-009 :8:7

8 3 5 9 4 6 7 8 1 8 2 5 5 3 7 1 2 3 9 8 7 1 5 3 6 9 7 1 7 6 3 9 1 4 6 2 49 5 9 8 3 1 7 4 9 6 9 3 7 2 8 1 2 4 6 9 7 6 9 4 4 2 3 5 8 5 9 6 2 7 7 8 1 50 35 SUDOKU FINAL.indd 35 08-0-009 :8:8

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MODERADOS 37 SUDOKU FINAL.indd 37 08-0-009 :8:9

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5 6 2 4 8 5 1 4 3 3 8 2 4 7 1 5 6 9 2 7 5 1 6 3 9 2 8 7 8 4 2 51 1 5 7 1 4 8 3 8 4 9 2 8 3 6 7 4 7 9 1 3 2 6 6 1 9 3 2 5 52 39 SUDOKU FINAL.indd 39 08-0-009 :8:30

2 5 9 6 3 6 5 8 4 7 5 3 7 8 1 4 3 2 6 1 7 9 8 9 7 9 2 53 9 7 4 3 2 8 8 7 1 5 3 6 8 7 4 6 2 5 1 9 8 3 6 2 9 5 9 4 54 40 SUDOKU FINAL.indd 40 08-0-009 :8:3

1 9 3 6 2 4 7 8 1 5 7 3 6 2 7 6 8 5 1 5 7 3 4 6 2 9 6 5 55 7 3 3 8 5 9 1 8 2 3 9 6 7 6 2 4 1 5 9 2 1 6 1 9 4 3 7 5 56 41 SUDOKU FINAL.indd 4 08-0-009 :8:33

8 3 1 6 3 2 1 7 9 6 8 7 4 5 1 9 4 4 8 6 9 9 8 2 2 7 5 3 57 1 8 9 8 2 6 5 5 3 8 4 5 7 6 3 7 9 3 8 1 4 9 7 2 9 7 5 3 7 1 58 42 SUDOKU FINAL.indd 4 08-0-009 :8:34

7 9 1 2 8 5 6 7 9 3 2 6 4 9 5 9 7 8 5 3 3 1 6 3 2 8 4 1 8 9 59 3 9 8 6 7 3 8 4 9 6 5 7 3 4 4 7 2 5 8 3 6 9 7 1 2 1 8 2 6 9 60 43 SUDOKU FINAL.indd 43 08-0-009 :8:35

4 2 5 9 1 4 7 6 1 4 2 7 5 3 4 6 8 4 9 8 3 9 7 8 4 1 9 6 61 9 6 1 5 4 2 1 3 4 1 7 5 3 1 2 9 8 4 2 6 1 7 3 9 7 9 8 6 2 4 62 44 SUDOKU FINAL.indd 44 08-0-009 :8:36

2 5 1 4 5 8 7 9 8 9 3 4 6 8 3 5 9 1 2 2 4 7 6 5 1 2 4 9 8 7 2 63 2 5 3 9 6 8 4 7 3 5 6 1 9 2 6 1 7 3 5 8 2 7 6 3 4 9 8 64 45 SUDOKU FINAL.indd 45 08-0-009 :8:37

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1 6 5 3 4 7 5 3 8 7 9 2 1 6 4 5 3 2 1 9 8 8 1 3 4 7 5 2 99 7 8 1 8 3 4 5 9 6 2 5 3 9 3 4 7 2 1 7 5 6 5 7 4 6 3 1 4 100 63 SUDOKU FINAL.indd 63 08-0-009 :8:59

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Complicados 65 SUDOKU FINAL.indd 65 08-0-009 :8:59

66 SUDOKU FINAL.indd 66 08-0-009 :8:59

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INDOMÁVEIS 93 SUDOKU FINAL.indd 93 08-0-009 :9:30

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SOLUÇÕES 121 SUDOKU FINAL.indd 08-0-009 :0:00

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SIMPLES 9 1 2 6 5 3 8 7 4 7 3 6 4 1 8 2 9 5 4 8 5 7 9 2 6 1 3 2 6 4 5 3 9 7 8 1 5 9 8 1 7 4 3 6 2 3 7 1 8 2 6 4 5 9 6 5 3 9 4 7 1 2 8 8 2 9 3 6 1 5 4 7 1 4 7 2 8 5 9 3 6 7 3 8 6 9 4 2 5 1 6 5 4 2 7 1 3 8 9 9 1 2 5 3 8 7 6 4 1 8 9 4 6 3 5 2 7 3 4 7 1 2 5 6 9 8 2 6 5 9 8 7 1 4 3 4 7 6 8 1 2 9 3 5 5 2 3 7 4 9 8 1 6 8 9 1 3 5 6 4 7 2 4 6 9 7 5 2 1 8 3 8 5 7 1 9 3 6 4 2 3 2 1 4 8 6 7 9 5 2 8 6 9 7 5 4 3 1 5 9 4 6 3 1 2 7 8 1 7 3 2 4 8 5 6 9 7 3 5 8 2 4 9 1 6 6 4 2 3 1 9 8 5 7 9 1 8 5 6 7 3 2 4 1 2 3 6 2 1 3 8 9 7 4 5 8 3 7 5 4 6 9 2 1 4 9 5 7 2 1 3 8 6 1 7 2 6 9 3 4 5 8 5 8 3 2 1 4 6 9 7 9 4 6 8 7 5 2 1 3 3 6 8 4 5 2 1 7 9 7 1 4 9 6 8 5 3 2 2 5 9 1 3 7 8 6 4 8 3 5 7 2 9 4 6 1 1 9 2 6 3 4 5 8 7 6 4 7 8 5 1 2 9 3 7 2 9 3 6 5 8 1 4 3 8 4 1 9 7 6 5 2 5 6 1 2 4 8 3 7 9 9 7 6 4 8 2 1 3 5 4 1 3 5 7 6 9 2 8 2 5 8 9 1 3 7 4 6 2 8 3 1 4 6 7 9 5 9 4 7 5 8 2 1 6 3 1 6 5 3 7 9 4 2 8 8 1 9 7 6 5 3 4 2 7 3 2 4 9 1 5 8 6 6 5 4 2 3 8 9 1 7 5 9 8 6 1 7 2 3 4 4 7 1 8 2 3 6 5 9 3 2 6 9 5 4 8 7 1 4 5 6 5 1 4 2 9 7 6 3 8 9 3 2 6 8 1 4 5 7 7 6 8 5 4 3 2 1 9 1 8 9 4 7 6 3 2 5 3 4 5 1 2 9 7 8 6 2 7 6 3 5 8 1 9 4 4 9 1 8 6 2 5 7 3 6 2 7 9 3 5 8 4 1 8 5 3 7 1 4 9 6 2 6 1 5 9 8 4 3 7 2 8 3 4 7 2 5 1 9 6 2 9 7 3 1 6 5 8 4 9 8 2 6 5 1 7 4 3 5 6 3 4 9 7 8 2 1 4 7 1 2 3 8 9 6 5 1 2 9 8 4 3 6 5 7 3 4 6 5 7 9 2 1 8 7 5 8 1 6 2 4 3 9 6 7 2 1 4 5 3 8 9 5 3 4 6 9 8 7 2 1 8 9 1 3 2 7 5 6 4 9 1 8 5 3 4 6 7 2 2 6 3 9 7 1 8 4 5 4 5 7 8 6 2 1 9 3 3 8 9 2 5 6 4 1 7 7 2 6 4 1 3 9 5 8 1 4 5 7 8 9 2 3 6 7 8 9 3 2 7 1 4 8 6 5 9 6 9 8 3 5 2 1 4 7 1 4 5 9 7 6 8 3 2 7 6 1 8 9 4 3 2 5 8 3 2 5 6 7 4 9 1 9 5 4 2 3 1 7 8 6 5 8 9 7 1 3 2 6 4 4 7 3 6 2 9 5 1 8 2 1 6 4 8 5 9 7 3 4 3 7 6 5 8 1 2 9 1 6 9 2 4 3 5 8 7 8 2 5 9 1 7 4 6 3 5 4 3 1 7 6 8 9 2 2 9 1 8 3 4 7 5 6 7 8 6 5 9 2 3 4 1 6 5 2 7 8 1 9 3 4 9 7 4 3 2 5 6 1 8 3 1 8 4 6 9 2 7 5 7 8 3 4 1 5 9 6 2 5 1 2 3 6 9 4 8 7 6 4 9 8 7 2 1 5 3 8 2 1 9 3 6 7 4 5 3 5 7 1 4 8 6 2 9 4 9 6 5 2 7 8 3 1 9 6 8 7 5 3 2 1 4 1 7 5 2 8 4 3 9 6 2 3 4 6 9 1 5 7 8 10 11 12 123 SUDOKU FINAL.indd 3 08-0-009 :0:07

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MODERADOS 9 5 3 6 8 2 1 4 7 8 6 4 2 7 1 3 5 9 7 2 4 3 9 1 6 8 5 8 6 4 7 1 3 2 9 5 7 1 9 3 5 4 8 2 6 8 5 9 6 2 4 3 1 7 7 2 1 9 4 5 3 8 6 2 3 5 8 6 9 4 7 1 3 1 6 7 5 8 2 9 4 5 3 8 1 2 6 4 7 9 1 9 7 6 2 8 5 3 4 2 6 8 9 1 7 4 5 3 4 1 7 3 5 9 8 6 2 6 5 2 4 1 3 9 8 7 5 9 7 4 8 3 1 6 2 6 9 2 4 7 8 5 1 3 3 4 8 7 9 5 6 1 2 4 3 1 2 6 5 8 7 9 1 8 6 2 3 7 9 5 4 4 7 3 9 8 2 1 6 5 6 4 5 1 7 2 9 3 8 2 4 9 5 6 1 7 3 8 5 8 6 1 4 7 2 9 3 1 8 2 5 3 9 7 4 6 3 7 5 8 9 4 6 2 1 9 2 1 5 3 6 7 4 8 9 7 3 8 4 6 5 2 1 51 52 53 8 2 9 1 7 4 3 6 5 5 4 1 9 7 2 3 6 8 5 2 9 4 1 7 6 3 8 7 1 3 2 5 6 8 9 4 2 9 3 6 8 5 4 1 7 3 8 4 6 2 5 9 1 7 5 6 4 8 3 9 2 7 1 6 8 7 3 1 4 9 2 5 7 1 6 8 3 9 2 5 4 1 9 5 3 4 7 6 2 8 8 7 2 5 9 3 6 4 1 1 3 8 2 9 6 4 7 5 3 7 8 6 2 1 5 4 9 4 1 5 2 6 7 8 3 9 6 9 5 7 4 3 1 8 2 6 4 2 9 8 5 1 3 7 9 3 6 8 4 1 7 5 2 2 4 7 1 5 8 3 9 6 9 8 1 4 6 3 7 5 2 1 6 8 4 5 9 2 7 3 4 5 2 3 8 1 7 6 9 4 5 6 7 1 2 9 8 3 3 5 4 7 2 8 1 9 6 8 6 1 9 7 2 5 4 3 2 3 7 5 9 8 4 1 6 7 2 9 1 3 6 5 8 4 9 7 3 5 6 4 8 2 1 54 55 56 8 2 9 3 1 4 5 7 6 3 1 4 5 6 7 9 8 2 4 5 7 9 3 1 2 6 8 6 3 4 7 5 8 2 1 9 7 9 8 1 2 4 6 5 3 1 8 3 5 2 6 4 7 9 5 7 1 2 9 6 4 3 8 5 6 2 3 9 8 1 7 4 9 2 6 8 7 4 1 5 3 1 8 2 5 3 7 9 6 4 2 8 5 7 4 6 3 9 1 8 3 2 6 4 9 5 1 7 3 4 5 6 2 9 1 8 7 9 3 1 8 5 2 7 4 6 7 4 5 2 1 3 8 9 6 9 6 7 4 8 1 3 5 2 6 4 7 9 1 3 8 2 5 6 1 9 7 8 5 3 4 2 4 5 3 8 6 2 7 9 1 1 5 3 4 8 9 2 6 7 3 9 8 4 5 7 6 2 1 7 9 8 1 4 3 6 2 5 4 2 9 6 7 1 5 3 8 5 6 1 3 9 2 7 8 4 2 1 6 9 7 5 8 4 3 8 7 6 2 3 5 4 1 9 2 7 4 1 6 8 9 3 5 57 58 59 7 4 6 3 9 5 8 1 2 9 5 2 1 8 6 4 7 3 1 3 8 7 4 2 9 6 5 6 7 1 2 5 8 3 4 9 8 9 3 4 6 7 2 5 1 4 2 5 9 3 1 6 8 7 3 6 9 5 7 4 1 2 8 5 1 4 8 2 3 7 9 6 2 8 7 6 1 9 5 3 4 3 8 4 7 2 9 1 5 6 5 9 1 6 4 8 7 2 3 7 2 6 5 3 1 9 8 4 1 4 2 9 8 6 5 3 7 9 5 7 3 1 4 2 6 8 8 6 3 2 5 7 4 9 1 4 7 5 8 6 2 3 1 9 6 3 9 1 7 5 8 4 2 2 1 8 4 9 3 6 7 5 9 7 6 1 3 5 4 8 2 5 8 1 2 4 7 3 9 6 3 4 2 9 6 8 5 1 7 4 6 7 5 9 3 1 2 8 2 3 5 6 8 1 7 4 9 1 9 8 4 7 2 6 5 3 6 1 4 3 2 9 8 7 5 8 2 3 7 5 4 9 6 1 7 5 9 8 1 6 2 3 4 60 61 62 128 SUDOKU FINAL.indd 8 08-0-009 :0:37

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COMPLICADOS 4 9 3 7 8 6 2 1 5 5 8 2 1 9 6 4 7 3 4 9 1 6 5 3 2 8 7 7 2 1 4 5 9 3 6 8 1 7 3 4 8 5 2 9 6 8 7 5 1 4 2 3 9 6 8 5 6 2 3 1 4 9 7 4 9 6 2 3 7 8 1 5 3 2 6 7 8 9 4 1 5 5 6 8 3 2 7 9 4 1 6 1 5 9 2 4 7 3 8 7 8 4 9 2 6 1 5 3 9 3 7 1 6 4 8 5 2 2 3 7 6 1 8 5 4 9 9 5 2 3 1 4 7 6 8 1 4 2 5 9 8 6 7 3 8 4 9 7 5 3 6 2 1 6 1 3 5 7 8 9 2 4 3 8 4 9 1 5 7 2 6 7 5 8 3 4 9 1 6 2 1 4 8 2 3 5 6 7 9 2 7 5 6 4 3 1 8 9 3 2 4 5 6 1 9 8 7 5 6 7 4 9 1 8 3 2 6 1 9 8 7 2 5 3 4 9 6 1 8 7 2 3 5 4 2 3 9 8 6 7 5 4 1 101 102 103 3 1 7 2 6 4 8 9 5 3 9 7 2 4 6 8 5 1 2 8 6 4 5 9 1 7 3 6 2 8 3 5 9 1 7 4 6 8 2 5 1 9 3 7 4 3 9 4 7 8 1 6 5 2 5 4 9 7 8 1 3 6 2 4 5 1 3 8 7 9 6 2 5 7 1 2 6 3 8 9 4 2 9 4 8 3 7 6 5 1 2 1 5 8 6 3 7 4 9 4 3 9 6 1 5 2 8 7 1 7 3 5 9 6 2 4 8 7 4 9 1 2 5 6 8 3 8 5 7 3 9 2 4 1 6 8 5 6 4 1 2 7 3 9 8 6 3 9 7 4 1 2 5 6 1 2 8 4 7 5 3 9 4 6 5 1 2 3 9 8 7 9 3 6 7 5 2 4 1 8 9 6 8 5 7 4 3 2 1 7 3 2 9 4 8 5 1 6 5 7 8 4 3 1 2 9 6 7 4 3 1 2 8 9 6 5 9 8 1 6 7 5 4 2 3 1 2 4 6 9 8 5 3 7 1 2 5 9 3 6 7 4 8 104 105 106 4 9 6 7 2 3 5 1 8 5 4 3 2 6 8 1 9 7 6 7 4 3 2 9 5 1 8 7 2 1 8 5 6 3 4 9 1 9 6 3 7 5 2 8 4 9 8 3 4 1 5 2 6 7 8 3 5 9 4 1 2 7 6 8 2 7 9 1 4 5 3 6 1 2 5 7 8 6 3 4 9 5 7 3 6 1 8 9 2 4 3 7 2 4 9 1 6 5 8 8 4 6 5 7 2 9 3 1 9 8 4 2 3 7 6 5 1 9 5 1 6 8 3 7 4 2 7 5 1 6 9 3 8 2 4 1 6 2 4 9 5 7 8 3 4 6 8 7 5 2 3 1 9 3 9 2 8 4 1 7 5 6 6 5 8 3 7 4 1 9 2 6 1 4 5 2 9 8 7 3 2 6 7 9 5 4 1 8 3 3 1 9 5 8 2 4 6 7 2 8 9 1 3 7 4 6 5 5 3 9 1 6 8 4 7 2 2 4 7 1 6 9 8 3 5 7 3 5 8 4 6 9 2 1 4 1 8 2 3 7 6 9 5 107 108 109 4 5 7 1 6 9 8 2 3 6 3 9 2 8 5 4 1 7 2 1 8 3 4 7 5 9 6 3 2 1 4 9 8 7 6 5 7 9 4 5 3 6 2 8 1 8 6 5 7 2 1 3 4 9 9 8 3 6 7 2 1 5 4 5 7 2 9 1 4 6 3 8 1 4 6 8 5 3 9 7 2 7 6 8 1 9 5 4 3 2 9 2 1 4 8 3 7 6 5 5 3 4 2 7 6 9 1 8 2 5 7 9 3 1 8 4 6 8 1 9 6 4 7 5 2 3 3 4 6 8 5 2 1 9 7 4 9 3 7 2 8 6 5 1 6 7 2 5 1 4 3 8 9 1 8 5 3 6 9 2 7 4 9 5 7 3 8 6 4 1 2 1 3 4 5 2 9 8 6 7 8 2 6 4 1 7 5 9 3 4 1 8 7 9 2 6 3 5 2 9 5 6 4 3 1 7 8 7 6 3 1 5 8 9 2 4 3 8 1 2 6 5 7 4 9 6 7 9 8 3 4 2 5 1 5 4 2 9 7 1 3 8 6 110 111 112 133 SUDOKU FINAL.indd 33 08-0-009 ::06

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INDOMÁVEIS 5 9 3 4 2 6 8 1 7 3 5 8 9 1 7 6 4 2 4 2 1 3 5 7 8 9 6 1 7 4 9 5 8 2 6 3 6 1 9 2 5 4 8 3 7 5 9 6 8 4 1 2 3 7 2 8 6 3 7 1 4 5 9 2 7 4 3 6 8 5 1 9 7 3 8 9 6 2 4 5 1 4 1 9 5 6 7 3 2 8 9 4 2 5 7 3 1 6 8 6 1 3 5 7 4 9 8 2 3 6 5 2 8 9 1 7 4 1 6 5 8 9 2 3 7 4 2 5 9 6 8 3 7 1 4 8 2 7 1 4 3 6 9 5 8 3 7 1 4 6 2 9 5 8 4 7 1 2 9 3 6 5 7 4 2 8 1 5 9 3 6 7 2 1 6 8 9 4 5 3 9 7 5 4 3 6 1 2 8 9 5 8 6 3 2 7 4 1 4 8 6 7 3 5 9 2 1 3 8 4 2 1 5 6 7 9 6 3 1 7 9 4 5 8 2 5 9 3 4 2 1 7 8 6 1 6 2 7 9 8 5 4 3 151 152 153 8 9 6 4 5 7 3 1 2 9 7 1 4 3 8 5 2 6 9 1 2 7 5 4 3 8 6 1 7 5 9 3 2 8 4 6 3 4 8 2 5 6 7 9 1 5 8 6 2 3 1 4 7 9 2 4 3 6 8 1 7 9 5 6 5 2 1 9 7 4 8 3 7 3 4 9 8 6 2 5 1 7 8 4 2 9 5 1 6 3 7 6 5 8 1 2 3 4 9 2 6 3 4 7 9 5 1 8 3 5 9 1 6 4 2 7 8 1 2 3 9 4 5 6 7 8 8 7 9 5 1 3 6 2 4 6 2 1 3 7 8 9 5 4 4 8 9 7 6 3 2 1 5 1 4 5 6 2 8 9 3 7 4 6 8 7 1 3 5 2 9 5 9 4 6 2 1 8 3 7 6 5 7 8 4 2 1 9 3 5 1 2 8 4 9 6 3 7 8 1 6 3 7 4 9 5 2 4 2 1 3 9 7 8 6 5 9 3 7 5 2 6 4 8 1 2 3 7 5 8 9 1 6 4 3 9 8 1 6 5 7 4 2 154 155 156 5 3 9 8 6 4 1 7 2 5 8 1 7 3 6 9 4 2 8 7 1 3 2 6 4 5 9 2 4 6 1 3 7 8 9 5 2 6 9 4 1 5 7 3 8 2 5 6 8 4 9 3 7 1 8 1 7 2 5 9 4 3 6 4 3 7 2 9 8 5 1 6 9 3 4 5 7 1 6 8 2 4 5 8 3 1 6 7 2 9 8 7 5 6 4 3 1 2 9 4 2 8 1 6 5 7 9 3 3 7 2 9 4 8 5 6 1 6 1 4 9 7 2 8 5 3 6 9 7 2 3 8 5 1 4 6 9 1 7 2 5 3 4 8 9 2 3 8 5 1 4 6 7 3 1 5 4 9 7 8 2 6 1 6 4 5 7 2 9 8 3 1 5 8 3 6 9 2 7 4 5 4 3 7 1 2 9 6 8 7 8 5 6 9 3 2 1 4 3 4 2 5 8 7 6 9 1 1 8 9 6 5 3 2 4 7 9 2 3 4 8 1 6 5 7 7 9 6 1 2 4 3 8 5 7 6 2 9 8 4 1 3 5 157 158 159 1 2 7 6 5 8 4 3 9 8 9 4 2 3 7 5 6 1 6 5 3 1 4 9 7 2 8 2 6 9 7 8 5 3 1 4 7 3 8 4 6 1 2 9 5 4 1 5 3 9 2 8 7 6 5 7 2 9 1 4 6 8 3 3 8 1 5 2 6 9 4 7 9 4 6 8 7 3 1 5 2 3 6 9 7 4 1 2 5 8 4 1 5 8 6 2 9 3 7 8 2 7 5 9 3 1 4 6 6 9 4 1 3 7 5 8 2 2 7 3 4 5 8 6 1 9 1 5 8 9 2 6 3 7 4 7 4 6 2 1 5 8 9 3 9 3 1 6 8 4 7 2 5 5 8 2 3 7 9 4 6 1 9 6 1 2 8 3 7 4 5 7 5 8 4 1 9 2 6 3 2 3 4 6 5 7 9 1 8 5 7 9 1 3 4 6 8 2 3 4 6 5 2 8 1 7 9 8 1 2 9 7 6 5 3 4 1 2 7 8 4 5 3 9 6 4 9 5 3 6 1 8 2 7 6 8 3 7 9 2 4 5 1 160 161 162 138 SUDOKU FINAL.indd 38 08-0-009 ::36

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