Proposição Sejam G e H grupos cíclicos finitos. Então G H é cíclico se e só se ord(g) e ord(h) forem primos entre si. Exercício Faça a demonstração da proposição anterior. Usando indução pode então mostrar-se o seguinte: Corolário O produto directo externo G 1 G 2 G n de um número finito de grupos cíclicos finitos é cíclico se e só se ord(g i ) e ord(g j ) são primos entre si, quando i j. Como consequência imediata tem-se: Corolário Seja m = n 1 n 2 n k um inteiro. O grupo Z m é isomorfo a Z n1 Z n2 Z nk se e só se mdc(n i, n j ) = 1, quando i j. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 173 / 188
O resultado anterior pode ser usado para exprimir o mesmo grupo (a menos de isomorfismo) de várias maneiras diferentes. Também Z 2 Z 2 Z 3 Z 5 Z 2 Z 6 Z 5 Z 2 Z 30. Z 2 Z 2 Z 3 Z 5 Z 2 Z 6 Z 5 Z 2 Z 3 Z 2 Z 5 Z 6 Z 10. Obtemos, em particular, que Z 2 Z 30 Z 6 Z 10. Note-se que este grupo não é cíclico (logo não é isomorfo a Z 60 ). Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 174 / 188
Produtos directos internos Definição Diz-se que um grupo G é o produto directo interno de H e K se H e K forem subgrupos normais de G e se tiver G = HK e H K = {e}. Sejam H = (1 2 3) e K = (1 2) subgrupos do grupo simétrico S 3. Tem-se S 3 = HK e H K = {()}. No entanto, como K não é um subgrupo normal, estes dois subgrupos não satisfazem as condições da definição para podermos afirmar que S 3 é produto directo interno de H e K. Note-se que S 3 = HK H K, pois este último grupo é cíclico, enquanto que S 3 nem sequer é abeliano. Proposição Se G é o produto directo interno de H e K, então G H K. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 175 / 188
Homomorfismos de grupos Definição (Homomorfismo) Um homomorfismo ϕ de um grupo G num grupo H é uma função ϕ : G H que preserva a operação. Isto é, ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), a, b G. Antes de passar aos exemplos convém dar outra definição importante: Definição O núcleo de um homomorfismo ϕ de um grupo G num grupo com identidade e é o conjunto ker ϕ = {x G ϕ(x) = e}. Um isomorfismo é um homomorfismo bijectivo. O núcleo de um isomorfismo é o subgrupo trivial. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 176 / 188
Seja R o grupo dos números reais não nulos com a multiplicação usual. A função ϕ : R R definida por ϕ(x) = x é um homomorfismo e tem-se ker ϕ = { 1, 1}. A função ϕ : Z Z n definida por ϕ(m) = m (mod n) (isto é, ϕ(m) é o resto da divisão de m por n) é um homomorfismo cujo núcleo é o conjunto dos múltiplos de n (ou seja, é o subgrupo cíclico n ). A função ϕ : R R definida por ϕ(x) = x 2 não um homomorfismo do grupo aditivo R nele próprio. De facto, ϕ(x + y) = x 2 + 2xy + y 2, enquanto que ϕ(x) + ϕ(y) = x 2 + y 2 (o que implica que, por exemplo, ϕ(1 + 1) = 4 2 = ϕ(1) + ϕ(1)). Seguidamente vamos ver algumas propriedades dos homomorfismos. Várias delas têm demonstrações iguais às já vistas aquando do estudo dos isomorfismos. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 177 / 188
Proposição Seja ϕ : G H um homomorfismo de grupos e seja g G. Então: 1. ϕ transforma a identidade de G na identidade de H; 2. ϕ(g n ) = (ϕ(g)) n, para qualquer inteiro n; 3. se g tiver ordem finita, então ord(ϕ(g)) ord(g); 4. ker ϕ é um subgrupo de G; 5. se ϕ(g) = g, então ϕ 1 (g ) = {x G ϕ(x) = g } = g ker ϕ. Demonstração. A fazer no quadro... Nota Como consequência de 5 da proposição anterior temos: se ord(ker ϕ) = n, então, para qualquer elemento g ϕ(g) tem-se ϕ 1 (g ) = n. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 178 / 188
Proposição Seja ϕ : G G um homomorfismo de grupos e seja H G. Então: 1. ϕ(h) é um subgrupo de G; 2. se H é cíclico, então ϕ(h) é cíclico; 3. se H é abeliano, então ϕ(h) é abeliano; 4. se H é normal em G, então ϕ(h) é normal em ϕ(g); 5. se ord(h) = n, então ord(ϕ(h)) n; 6. se K é um subgrupo de G, então ϕ 1 (K) é um subgrupo de G; 7. se K é um subgrupo normal de G, então ϕ 1 (K) é um subgrupo normal de G; 8. se ϕ é sobrejectivo e ker ϕ = {e}, então ϕ é um isomorfismo. Demonstração. A fazer no quadro... Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 179 / 188
Como caso particular importante temos o seguinte: Corolário (O núcleo é normal) Seja ϕ um homomorfismo do grupo G no grupo H. Então ker ϕ é um subgrupo normal de G. O exemplo seguinte serve para ilustrar algumas das propriedades que acabamos de demonstrar. Seja ϕ : Z 12 Z 12 definido por ϕ(x) = 3x. Como em Z 12 se tem 3(a + b) = 3a + 3b, ϕ é um homomorfismo. É imediato verificar que ker ϕ = {0, 4, 8}. Temos então ϕ 1 (6) = 2 + ker ϕ = {2, 6, 10}. 2 é cíclico e a sua imagem, ϕ( 2 ) = {0, 6} = 6, também é um subgrupo cíclico. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 180 / 188
Vamos determinar todos os homomorfismos de Z 12 em Z 30. Seja ϕ : Z 12 Z 30 um homomorfismo. ϕ fica completamente determinado pela imagem de 1 (por 1 ser gerador de Z 12 ; note-se que ϕ(x) = xϕ(1)). Suponhamos que ϕ(1) = a. Sabemos que ord(a) ord(1), logo, usando também o teorema de Lagrange, temos que ord(a) divide 12 e 30. Assim, ord(a) {1, 2, 3, 6}. Logo a {0, 15, 10, 20, 5, 25}. Pode agora ser verificado que cada uma destas seis possibilidades dá de facto um homomorfismo. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 181 / 188