Mecânica Clássica III

05/08/2008 1 1 Introdução 1.1 Programa Mecânica Clássica III 1. Princípios da Mecânica Newtoniana. leis de Newton - forças 2. Coordenadas generalizadas. vínculos - deslocamentos virtuais - princípio de d lembert - coordenadas de Lagrange - equação de Lagrange 3. Equações de Euler-Lagrange. cálculo das variações - princípio de Hamilton - simetrias e teorema de Noether 4. Equações canônicas de Hamilton. transformada de Legendre - função Hamiltoniana - princípio de ação mínima 5. Transformações canônicas. funções geratrizes - parêntese de Lagrange e de Poisson - simetrias infinitesimais 6. Formalismo geométrico. campos de vetores e formas diferenciais - estrutura simplética 7. Equação de Hamilton-Jacobi. variáveis ângulo-ação - teorema de Liouville 8. Cálculo de perturbações. invariantes adiabáticas 9. Estabilidade em sistemas Hamiltonianos.

05/08/2008 2 1.2 Bibliografia Mecânica nalítica, Nivaldo.Lemos, Livraria da Física, SP, 2007 Mecânica nalítica, J.W.Leech, o Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1971 Classical Mechanics, H.Goldstein, ddison-wesley, 1980 Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica, V.I.rnol d, Mir, Moscovo,1987 Física Básica,1-Mecânica, H.M.Nussenzweig, Ed. E.Bluecher, São Paulo,1996 1.3 avaliação Como fazer???

05/08/2008 3 2 Princípios da Mecânica Newtoniana. mecânica clássica estuda o movimento da matria no espaço-tempo. Para isso precisamos de um modelo tanto para a matria quanto para o espaço e para o tempo. Para Newton (e seus precursores) o tempo é absoluto e flui uniformamente. Isto significa que a noção de simultaneidade de dois eventos que ocorrem em lugares diferentes do espaço não dependem do referencial temporal i.e. do relógio usado por um observador. O fluxo uniforme do tempo implica na existência de um relógio ideal T, que é constituido por uma origem O τ e de um vetor unidade u de modo que cada instante corresponde a um ponto T, de um espaço linear unidimensional, dado por sua coordenada t : T = O τ + t u (2.0.1) Um outro relógio ideal T pode escolher outra origem O τ e outra unidade u relacionados com os originais 1 por : de modo que o mesmo instante de tempo seja dada por O τ = O τ + t 0 u ; u = h u (2.0.2) T = O τ + t u ; t = t 0 + ht (2.0.3) Se queremos conservar a orientação do tempo teremos naturalmente h>0! Com O τ = O τ + t 0 u, temos ht 0 = t 0 e (2.0.3) resulta em : t = h (t t 0 ) (2.0.4) À cada instante de tempo, os eventos simultâneos formam um espaço Euclideano tridimensional E 3, e podemos determinar a localização deles em um referencial espacial, R, formado por uma origem O e três vetores linearmente independentes { e 1, e 2, e 3 }. Um ponto P E 3 é determinado por suas coordenadas {x 1,x 2,x 3 } : P = O + e 1 x 1 + e 2 x 2 + e 3 x 3 (2.0.5) Observação : Escrevimos a multiplicação por um escalar a direita do vetor, por razões obscuras : 3 e i x i e 1 x 1 + e 2 x 2 + e 3 x 3 e i x i i=1 Utilizaremos a Convenção de Einstein que consiste em omitir o símbolo de somação quando há um par de índices superiores e inferiores repetidos. 1 Por exemplo, se u =1hora e u =1min, teremos h = 60 e, se T começa ao meio dia e T às 11h 30min t 0 =+30min e t 0 = 0, 5 h.

05/08/2008 4 Um outro referencial R é dado por O = O + e i x i O ; e k = e i i k (2.0.6) onde i k é uma matriz inversível. Temos P = O + e i x ( i = O + e k x k = P = O + e i x i O + i k x k) Com O = O + e k x k i O, obtemos x O = i k xo k e, como em (2.0.4) : ( ) x i = i k x k x k O (2.0.7) O espaço é Euclideano de modo que podemos tomar vetores unitários e ortogonais entre se, com o produto escalar dado por e i e j = δ ij (2.0.8) onde o símbolo de Kronecker : δ ij =1sei = j e é 0 caso i j. distância entre dois pontos P = O + e i x i e Q = O + e i y i é dada por PQ. = (y i x i )(y j x j ) δ ij = (y 1 x 1 ) 2 +(y 2 x 2 ) 2 +(y 3 x 3 ) 2 (2.0.9) o nos limitar às transformações que conservam as distâncias, ou equivalentemente o produto escalar, a matriz () com elementos i k deve obedecer a i k j l δ ij = δ kl (2.0.10) ou, em termos da matriz transposta () t : () t () =(I), i.e. () é uma matriz ortogonal, donde det 2 () = 1. Se além disso a orientação deve também conservar se, det() =+1e() será uma matriz de rotação. É importante notar que esse referencial espacial depende do instante T e que temos que supor que ele varia continuamente (de fato differenciavelmente) com T. O espaço-tempo não é um produto T E, como na Física de ristoteles. O tempo é absoluto mas o espaço não é, como vamos ver na primeira lei de Newton, sugerida por Galileu.

05/08/2008 5 2.1 s leis de Newton 1 a lei de Newton : Existe um referencial particular chamado Referencial Inercial ou Referencial de Galileu G, tal que uma partícula isolada (ou livre) se move em linha reta com velocidade constante, nesse referencial. noção de partícula se refere a um ponto material, que é o modelo mais simples da matéria, e isolada quer dizer suficientemente longe de qualquer outra matéria que poderia influenciar o seu movimento 2. Matematicamente em tal referencial G, a aceleração da partícula é nula : d 2 x i (t) = 0 (2.1.1) dt 2 Em outro referencial R, de acordo com (2.0.4) e (2.0.7), teremos : t = h (t t 0 ); x i (t )= i k(t) ( x k (t) x k O (t)) Para simplificar, tomamos a mesma unidade de intervalo de tempo de modo que h =1 e, em notação matricial, calculamos, com ẋ. = dx/dt, ẍ. = d 2 x/dt 2 : d 2 x dt 2 =()(ẍ ẍ O )+(Ä)(x x O )+2( )(ẋ ẋ O ) Logo, a condição necessária e suficiente para que o referencial R seja também um referencial de Galileu, i.e. d 2 x /dt 2 =0 d 2 x/dt 2 = 0, é que : { ( Ȧ) = 0, i.e. que () =( 0 ) seja uma matriz constante ẍ O = 0, i.e. que x O = x 0 + v 0 (t t 0 ). Essas transformações de referenciais formam o grupo de Galileu : { t t = t t 0 x i x i =( 0 ) i k ( x k (x 0 k + v 0 k (t t 0 )) ) (2.1.2) Como consequência, dois eventoa que, em tempos diferentes, ocorrem no mesmo lugar em G, não ocorrem necessariamente no mesmo lugar em G : O espaço é relativo! 2 Note que isso supõe a existência de um observador (i.e. referencial) que não interage com a partícula!

05/08/2008 6 2 a lei de Newton : Um ponto material é definido em um referencial inercial G por sua posição e é caracterizado por uma quantidade escalar, a sua massa m, que mede a resistência do corpo à mudança de seu movimento para uma determinada força F aplicada. Escrevemos : m a = F (2.1.3) onde a aceleração é a = dv/dt = d 2 x/dt 2. Nessa formulação da segunda lei de Newton é subentendido que a força F é determinada independentemente da equação (2.1.3). Se a força for dada como função da posição e da velocidade do ponto material, com uma eventual dependência explicita do tempo, o problema de (2.1.3) se reduz a um sistema de equações diferenciais da segunda ordem : m d2 x dx = F(x,,t) (2.1.4) dt 2 dt que, mediante certas condições de diferenciabilidade, possuem uma única solução dependendo de condições iniciais x(t 0 )ev(t 0 ). Para um sistema de partículas {, B, }, temos equações d 2 x m = F ext dt 2 + F int d 2 x B m B = F ext dt 2 B + F int B = (2.1.5) onde as forças externas F ext dependem de x e v, enquanto, pela lei de Stevin, as forças internas F int são dadas por uma soma das forças, que cada partícula B exerce sobre : F B/ funcao de (x, x B ): F int = B = F B/ 3 a lei de Newton : terceira lei das forças internas afirma, na versão fraca, que à cada ação F B/ corresponde uma reação F /B igual em módulo e oposta na direção. F /B + F B/ = 0 (2.1.6) Numa forma mais forte, a terceira lei, além de (2.1.6), exige que a força esteja na direção da reta que une as duas partículas, i.e. (x B x ) F B/ = 0 (2.1.7)

07/08/2008 7 2.2 Teoremas Gerais de Sistemas de Partículas O momento linear, ou a quantidade de movimento na terminologia de Newton, de uma partícula é definido como : p = m v (2.2.1) Para um sistema de partículas, o momento linear total do sistema é P = p. s equações (2.1.5), em certo referencial inercial G, escrevem-se como : d p dt = F ext + B = F B/ (2.2.2) Fazendo uma soma sobre o subscripto, aplicamos a 3 a lei (2.1.6) com resultado Obtemos : (,B), =B F B/ 1 2 d P dt = (,B), =B F ext ( FB/ + F /B ) =0. = F ext tot (2.2.3) Em particular, se a soma das forças externas for nula, o momento linear total do sistema será conservado. massa total do sistema é M = m e o centro de massa, C é o ponto com coordenada x C e velocidade v C, tal que m x M x C =0,Mv C = m v = P (2.2.4) O momento angular, de uma partícula em relação a um ponto Q, com vetor posição x Q,é: l (/Q) =(x x Q ) m (v v Q );L (/Q) = l (/Q) (2.2.5) d L (/Q) dt. = d l (/Q) dt = {(x x Q ) m (a a Q )} = (x x Q ) F + M (x Q x C ) a Q

07/08/2008 8 soma dos torques das forças internos é nula se a versão forte da 3 a lei valer. (,B), =B (x x Q ) F B/ = 1 2 = 1 2 (,B), =B (,B), =B ( (x x Q ) F B/ +(x B x Q ) F /B ) ( (x x B ) ( F B/ + F /B )) =0 O torque externo total em relação ao ponto Q é a soma dos torques externos agindo sobre cada partícula : τ(/q) ext =(x x Q ) F ext ; τ(/q) ext = τ ext (/Q) (2.2.6) Obtemos : d L (/Q) = τ(/q) ext dt M (x C x Q ) a Q (2.2.7) Se Q estiver em repouso no referencial inercial (a Q = 0), ou se Q for o centro de massa ((x C x Q ) = 0), o segundo termo de (2.2.7) se anula e temos apenas o torque externo total como causa de non-conservação do momento angular total. O teorema de trabalho-energia Introduzimos em (2.2.4) a posição do centro de massa x C. Se, em certo referencial inercial G, a partícula tem vetor posição x, a sua posição em relação ao centro de massa será x = x x c e a sua velocidade relativo ao CM é v = v v C. energia cinética em G é obtida como : T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 M v C 2 (2.2.8) energia cinética do sistema é a soma da energia cinética relativa ao CM com a energia cinética da massa total se movendo com a velocidade v C. Calculamos a soma dos trabalhas feitos pelas forças ao longo de uma solução das equações do movimento. W (i f) = = i f f i F dx = m ẍ ẋ dt i f ( ) 1 2 m ẋ 2 = T (f) T (i) (2.2.9) d dt

07/08/2008 9 Fizemos a decomposição da força F agindo sobre em força externa F ext e forças internas que geralmente são supostas resultar como soma de forças F B/ entre pares de partículas. Suponhamos que a força externa é conservativa, i.e.existe uma função potencial V ext (x ) tal que F ext Com a energia potencial externa total V ext trabalho (2.2.9), feito pelas forças externas : W ext (i f) = i f = grad V ext (x ) (2.2.10). =, obtemos a contribuição ao V ext F ext dx = ( V ext (f) V ext (i) ) (2.2.11) s forças entre pares F B/ são supostas direcionadas ao longo da posição relativo x B/. = xb x e com módulo função da distância r ab. = xb x. Isso acontece se F B/ derive de um potencial V (B) (r ab ), onde V (B) é simétrica na troca B. F B/ = grad V (B) (r ab )= dv (B) dr ab x x B r ab (2.2.12) O trabalho feito pelas forças internas será : W int (i f) = F B/ dx i f B = 1 ( ) = FB/ dx + F /B dx B B,B = 2 i f = 1 F B/ d (x x B ) 2 B,B = i f = 1 dv (B) x x B d (x x B ) 2 B,B = i f dr ab r ab = 1 ( V(B) (f) V (B) (i) ) (2.2.13) 2 Finalmente, com B,B = V int. = 1 2 V (B) B,B = teremos conservação da energia mecânica total : E. = T + V ext + V int ; E(f) E(i) = 0 (2.2.14)

12/08/2008 10 3 Coordenadas e Equações de Lagrange 3.1 Princípio de d lembert e sistemas com vínculos Para um sistema de N partículas com vínculos as equações de Newton (2.1.2) são : m d 2 x dt 2 onde as forças aplicadas F apl de vínculos F vinc = m a = F apl + Fvinc,=1, 2,,N (3.1.1). = F ext + Fint são supostas dadas, enquanto as forças são desconhecidas e devem ser calculadas usando as equações de vínculos. Há uma grande diversificação de vínculos possíveis. Podem ser desigualdes como no caso do problema, de Física I, da massa dentro do campo gravitacional constante g, entrando tangencialmente com velocidade v 0 no fundo de um trilho circular, vertical, sem atrito, de raio R. condição de vínculo nesse caso é que a reação normal do trilho sobre a massa deve ser positiva na direção do centro. Exercício: Formule cuidadsosamente e resolve o sistema acima. Um outro sistema, de Física II, é o pêndulo simples no plano vertical z =0. tração na massa da haste sobre a massa m é uma força de vínculo que deve ser calculada a partir do vínculo : x 2 + y 2 = L 2,z= 0 entre as coordenadas, onde o ponto de suspensâo é tomado na origem O, o eixo O X sendo horizontal e o eixo O Y vertical de modo que g =+g j. Exercício: Formule cuidadsosamente e resolve o sistema acima. Um outro exemplo, também de Física I, é de um disco rolando verticalmente sem deslizar ao longo de uma reta O X. Sendo x a coordenado do centro de. massa e φ o ângulo de rotação em torno do CM, as velocidades linear v x = ẋ do CM e angular ω =. φ estão relacionadas por v x = Rω. Se o disco rolar sem deslizar sobre um plano horizontal, teremos coordenadas {x, y} do CM, um ângulo φ como no caso acima mais um ângulo θ especificando a direção da velocidade v do CM tal que v x = v cos θ e v y = v sin θ. s condições de rolamento sem deslizamento agora são : v x Rω cos θ =0,v y Rω sin θ =0

12/08/2008 11 Nesse curso vamos considerar apenas vínculos diferenciais que serão K < 3N relações independentes, lineares nas velocidades da forma C α (x, t) dx + C0 α (x, t) dt =0; α =1, 2,,K (3.1.2) onde denotamos colectivamente como x as 3N variaveis {x },=1, 2,,N. Um deslocamento possível do sistema são deslocamentos que obedecem a (3.1.2). Um deslocamento virtual δx é uma variação das coordenadas que satisfaz os vínculos com o tempo fixo dt = 0, i.e. C α (x, t) δx =0; α =1, 2,,K (3.1.3) Para variações arbitrárias δ x das coordenadas, as equações de Newton (3.1.1) são equivalentes à condição ( m a + F apl ) + F vinc δ x = 0 (3.1.4) Generalizando a noção de contato liso, d lembert considere forças de contato tais que o trabalho total em um deslocamento virtual δx se anula : F vinc δx = 0 (3.1.5) O princípio de d lembert afirma que ( ) m a + F apl δx =0, com C α (x, t) δx = 0 (3.1.6) Do ponto de visto geométrico : à cada instante t, os deslocamentos virtuais δx serão perpendicular aos K vetores no espaço 3N-dimensional C α (x, t).

12/08/2008 12 3.2 Equações de Lagrange No caso holônomo ou integrável, existem K funções Γ α (x, t) tais que as equações (3.1.2) são equivalentes a : d Γ α grad Γ α dx + Γ α / t dt = 0 (3.2.1) Temos K relações entre as 3N coordenadas {x } e as equações : Γ α (x, t) =c α (3.2.2) definem uma variedade 3N K-dimensional de modo que os deslocamentos virtuais sejam paralelos a esta superfície. Esses vínculos serão independentes se o posto da matriz K 3N com elementos Γ α / x for K. sk equações definem uma variedade, em geral dependendo do tempo, com n =3N. K dimensões dentro do espaço 3Ndimensional das variáveis {x}. Quando os vínculos (3.2.3) dependem do tempo é preferível considerar o sistema como descrito por um ponto de um espaço-tempo com n + 1 dimensões e coordenadas {q,t} dentro do espaço-tempo com 3N + 1 dimensões {x, t}. Localmente a superfície é dada por 3N + 1 equações x = X (q,t); t = t (3.2.3) tais que as relações Γ α (X(q,t),t)=c α sejam identicamente satisfeitas. Essas coordenadas locais {q 1,q 2,,q n ; t} são chamadas coordenadas de Lagrange. dmitimos mudanças de coordenadas : (q,t) (q,t ) : q = Q (q,t),t = t (3.2.4) com Yacobiano J(q,t). = det( Q i (q,t)/ q j ) 0. Obviamente, os deslocamentos δx. = X q j δq j (3.2.5) obedecem (3.1.3) visto que Γ α (X(q,t),t) c α é identicamente nula. estratégia consiste em substituir os deslocamentos virtuais δx variações independentes δq i. em função das

12/08/2008 13 ***************** Lema : Da equação segue que Ẋ q i = X q i Ẋ = X (q,t) q i, Ẋ q i q i + X (q,t) t = 2 X q i q j qj + 2 X q i t = d dt ( ) X q i (3.2.6) Podemos simplificar por e comutar d/dt com / q i. ******************************************** Usando (3.2.5) calculamos : m Ẍ δx = X m Ẍ δq j q j X m Ẍ = d ( ) X m q j Ẋ m dt q j energia cinética total do sistema é definida como Temos, usando o lema acima : T. = 1 2 Ẋ Ẋ q j m (Ẋ) 2 (3.2.7) T q j = m Ẋ Ẋ q j = X m Ẋ q j T q j = m Ẋ Ẋ q j chamos ( d T m Ẍ δx = dt q T ) δq j (3.2.8) j q j O trabalho virtual das forças aplicadas,nas coordenadas de Lagrange, é : δw =. ( F apl δx = F apl X ) δq j Q q j j δq j onde os Q j são as forças generalizadas. O princípio de d lembert (3.1.6) implique que ( ( m a + F apl ) δx = d T dt q + T ) j q + Q j j δq j =0

12/08/2008 14 e, como as variações δq j sã arbitrárias, obtemos as equações de Lagrange : d dt Para obter essas equações é preciso : T q T j q = Q j j (3.2.9) 1. Escolher as coordenadas de Lagrange {q j } i.e.o número mínimo de variáveis independentes definindo o espaço de configuração do sistema. 2. Escrever a energia ciética em função dessas coordenadas. 3. Calcular as forças generalizadas Q j. 4. Escrever as equações (3.2.9), que formam um sistema de n =3N K equações diferenciais ordinárias da segunda ordem, nas variáveis q j (t).

14/08/2008 Lasciate ogne speranza, voi ch intrate! 15 3.3 Forma explícita das equações de Lagrange