Constantes Constante de Gravitação Universal: G = 6.67 10 11 Nm 2 Kg 2 Velocidade do som no ar: v som = 344m/s velocidade da luz no vácuo c = 3 10 8 m/s m H = 1.0081u.m.a., m Helio = 4.0039u.m.a., 1u.m.a = 1.66 10 27 kg; distância da Terra ao Sol: D=1.5 10 11 m; luminosidade solar L = de/dt = 3.827 10 26 W Massa da Terra: M = 6 10 24 kg, Terra R = 6400km Raio da 1. Férias. Quase quuaase. Quando viajar lembre-se que o funcionamento de vários sinais luminosos e de telefones SOS colocados ao longo das estradas é assegurado por painéis solares. (a) Estime qual a energia máxima que se consegue armazenar num painel solar durante uma hora se o painel tiver uma área de 50cm 50cm e na suposição que o painel tem um sistema que lhe permite assegurar a incidência da luz do Sol na perpendicular. Considere que o rendimento do painel é de 15 %, que o sistema electrónico consome pouca energia e que só 35% da radiação incidente na atmosfera atinge a superfície da Terra. Os valores médios da luminosidade solar e da distância Terra-Sol são dados nas Constantes primeira folha do enunciado. Sugestão: comece por calcular a energia recebida por segundo na superfície do painel. (b) Suponha que o Sol teve uma luminosidade constante durante todo o período de vida estimado em 4.5 mil milhões de anos. Determine qual a quantidade de massa que o Sol perdeu por radiação durante 4.5 mil milhões de anos. Compare o valor obtido com o valor para a massa da Terra. Nota: Recorde a equação de Einstein: E = m c 2 2. Na escala de Vega, o Sol tem uma magnitude aparente mag sol = -26.5. A estrela Polar é uma supergigante amarela situada a 430 anos-luz da Terra e situa-se na constelação da Ursa- Menor, próximo do Norte celeste. A magnitude aparente da estrela Polar é mag = 2.0. Por definição, a magnitude de uma estrela é mag= -2.5 log 10 F + Const, onde F o fluxo recebido da estrela (energia por segundo e por m 2 ). (a) Qual o quantidade média de energia solar recebida na Terra, por m 2 e por segundo? (b) Compare o valor obtido para a energia recebido do Sol, por m 2 e por segundo, com a energia que receberia da estrela polar, por m 2 e por segundo, se esta se encontrasse a uma distância semelhante à que o Sol se encontra da Terra. Sugestão: comece por calcular a distância entre a Terra e a estrela Polar. 3. A energia solar usada para o abastecimento de energia a uma nave espacial. 1
(a) Qual a quantidade de energia solar que recebe uma nave espacial durante um ano se estiver situada a uma distância do Sol semelhante à distância a que a Terra se encontra do Sol. Considere que a superfície dos painéis solares é 50 m 2. Dê a resposta em Wh. Sugestão: Comece por calcular a energia solar recebida por segundo (de/dt) numa superfície de 50 m 2 de painéis solares de uma nave espacial situada a uma distância do Sol semelhante à distância a que a Terra se encontra do Sol. (b) Qual deveria passar a ser a área dos painéis solares se a nave passasse para uma uma distância 3 vezes superior para que continuasse a receber a mesma potência incidente do Sol? Justifique a resposta. 4. Uma amostra com isótopo radioactivo de iodo 131 I, com T 1/2 =8,04, dias apresenta uma radioactividade de 5 mci quando é produzida em Laboratório. Essa amostra é posteriormente levada para um Hospital onde fica armazenada. Antes de ser utilizada verificase que apresenta uma radioactividade de 4, 2 mci. Quanto tempo passou desde que a amostra foi produzida até que, no Hospital, se preparam para a utilizar? Recorde que 1Ci = 3,7 10 10 Bq = 3,7 10 10 dec/s. Sugestão: pode eventualmente começar por calcular λ, a constante de decaimento para o 131 I. 5. Chegou a sua vez de assegurar o comando de uma nave espacial que desde o dia 20 de Maio está em manobras de aproximação ao planeta Z. Actualmente a nave está numa órbita circular em torno desse planeta com um raio de 35 000 Km, por razões de segurança. O planeta Z é um planeta exterior de um sistema extra-solar e tem a uma massa semelhante à massa da Terra. Os cientistas receberam inicialmente um sinal estranho vindo desse planeta e agora pretendem perceber umas manchas verdes que aparentemente se movem à superície. Perguntam-lhe por isso se pode passar para uma nova órbita circular com raio de 8750 km. A massa total da nave, incluindo os astronautas, é 20000kg. Essa massa manter-se-á praticamente inalterada na viagem pois os motores com que está equipada a nave usam combustível da nova geração GF-PT. (a) É possível que, sem fazer nada, i.e só por acção da força gravítica do planeta, a nave caia de uma órbita circular estável com raio de 35000 km para uma órbita circular de 8750 km? (b) Qual a energia total da nave quando começou a analisar o problema? Qual a relação entre a energia potencial e a energia total? (c) Qual a velocidade orbital, energia cinética e a energia potencial que terá obrigatoriamente a nave para estar em órbita circular a 8750 km? Compare com o resultado da alínea anterior e diga se para fazer a manobra precisa de accionar os motores. (d) Como comandante da nave só pode aceitar passar para uma órbita inferior se conseguir assegurar que os depósitos de energia de reserva da nave lhe permitirem, em situação de emergência, afastar-se do planeta libertando-se completamente da força de atracção gravítica deste. Qual a energia que obrigatoriamente deverá ter de reserva quando estiver em a órbita a 8750 km? 6. Como é do seu conhecimento, a energia potencial gravítica de um corpo de massa m à superfície da Terra é geralmente dada por E p = mgh, onde h é a altura sobre a superfície da Terra a que se encontra o corpo de massa m, g = 9.8m/s 2. Por outro lado, a energia potencial gravítica de um corpo de massa m a uma distância R do centro da Terra, sendo R maior que 2
o raio da Terra, é dada por E p = GMm, R onde G é a constante de Newton e M a massa da Terra. (a) Explique por que motivo para R = R Terra + h e h << R Terra se podem usar as duas expressões para energia potencial de um corpo de massa m próximo da superfície da Terra. (b) Use a relação entre força e energia potencial e calcule num e noutro caso, i.e usando cada uma das expressões para a energia potencial acima referidas, a força gravítica que actua em m se h = 10m e h = 5 10 3 m. Determine o valor para g em cada situação. (a) (12/04/2006) Qual a energia mecânica de uma nave (m = 5 10 3 kg) em órbita em torno da Terra a uma altitude de 500 km? Considere que a nave está unicamente sujeita à força gravítica terrestre. Para responder, indique as expressões para a energia potencial, a velocidade orbital da nave, a energia cinética da nave e a relação entre a energia potencial e a energia mecânica da nave. (b) Qual a energia que deverá ser dissipada por atrito, para que a nave consiga parar à superfície da Terra? Considere que a aterragem se dá numa pista à latitude do Equador. Comece por calcular a energia potencial na nave à superfície da Terra e posteriormente calcule a velocidade de qualquer ponto à superfície da Terra no Equador, devida a rotação da Terra em torno do seu eixo. 7. Considere o sistema da figura 1.1 (a) Represente esquematicamente as forças que actuam nas massas m 1 e m 2, presas nos ganchos 1 e 2, respectivamente. (b) Qual a relação entre a aceleração de m 1 e a aceleração de m 2? E a relação entre as tensões aplicadas em cada massa? Justifique. (c) Escreva as equações de movimento para cada massa. Calcule as expressões para as acelerações e tensões relativas a cada massa. (d) Qual a relação entre as massas m 1 e m 2 para que os sistema esteja em equilíbrio? (e) Se as massas forem iguais o que acontece ao sistema? 3
(f) Pretende-se usar o sistema de roldanas da Fig 1.2 para elevar e colocar uma pedra sobre um tapete rolante. A massa da pedra é M = 100kg. O sistema de roldanas está suspenso ao tecto num carril. Compare a força que será necessária para elevar a pedra do chão e pôr no tapete rolante nas seguintes situações: i) prende a pedra no gancho 1 e puxa em 2 ( F 2 ); ii) prende a pedra no gancho 2 e puxa em 1 ( F 1 ). 8. Considere os sistemas representados nas figuras seguintes e indique, em cada caso, que força deverá aplicar para equilibrar um peso de 20 kg. 9. Suponha que, como Engenheiro e por estar devidamente preparado, se candidatou ao seguinte Projecto: construção de um tapete rolante que permita o transporte de bagagens dos passageiros dos aviões desde o nível onde são descarregadas até ao nível onde podem ser recolhidas. Com o tapete rolante as bagagens serão elevadas 3 metros. (a) Qual poderá ser o comprimento mínimo do tapete rolante para que as bagagens subam o tapete sem deslizar. Considere que o atrito estático máximo entre as bagagens e o tapete rolante é tipicamente µ = 0.57. Para resolver o problema represente esquematicamente as forças que actuam numa mala e determine o angulo α máximo que o tapete pode fazer com o chão. (b) Considere que, por qualquer razão (por exemplo estética ou financeira) a empresa que o contratou lhe impõe um limite máximo para o comprimento do tapete rolante e que é inferior ao que determinou na alínea anterior. Naturalmente não vai perder a oportunidade de mostrar que consegue apresentar uma proposta alternativa e ainda mais competitiva. Qual é essa proposta, i.e quais deverão ser os novos parâmetros do sistema? Pode mudar o que quiser mas justifique bem a resposta, de um modo convincente, pois esperam-se 73 propostas e só será escolhida uma, talvez a sua. 10. Uma seta e um alvo estão inicialmente à mesma altura h 1 do chão, sendo h 1 = 1.5m. A distância da seta ao alvo é de D = 2m. Um dispositivo assegura que quando a seta é lançada no sentido do alvo, o alvo é deixado cair na vertical sem velocidade inicial. Verifica-se que a seta atinje o alvo a uma altura do chão h 2 = 0.5m. (a) Qual o intervalo de tempo entre o instante em que a seta é lançada e o instante em que chega ao alvo? (b) Qual a velocidade inicial da seta? 4
11. Pretende-se que uma bola, lançada com velocidade inicial v o, atinja - no ponto mais alto da sua trajectória - a caixa de uma carrinha colocado em cima de uma mesa. A altura da mesa é h = 0,9 m e está a 2 metros do ponto de lançamento. Calcule a velocidade inicial da bola e o ângulo de lançamento. 12. Uma bola (A) é lançada com uma velocidade inicial v o,a = v 0 e x (m/s) de uma altura h. A uma distância D está uma outra bola (B), à mesma altura h. Um mecanismo assegura que a bola A é lançada na direcção da bola B e exactamente no mesmo instante em que a bola B é deixada cair sem velocidade inicial. As massas de A e B são iguais. (a) Qual a velocidade mínima que deverá ter a bola A para que possa colidir com a bola B, em função da distância D e da altura h? (b) Nas alíneas seguintes considere v o,a = 5 e x (m/s) e h = 1,5m, D = 2m. Se por falha dos sistema, A e B fossem lançadas em instantes diferentes e não houvesse colisão, quais seriam as componentes das velocidades de A e B quando tocassem no chão? Ao fim de quanto tempo A e B chegariam ao chão? (c) Considere os valores indicados no enunciado, nomeadamente que a bola (A) é lançada com uma velocidade inicial v o,a = 5 e x (m/s). Ao fim de quanto tempo se dá a colisão? (d) A que altura do chão se dá a colisão? (e) Quais as componentes da velocidade (v x,a,v y,a ) para a bola A e (v x,b,v y,b ) para a bola B no instante antes da colisão? (f) Considere que a colisão entre A e B é uma colisão elástica. Calcule as componentes (vx,v y ) das velocidades de A e B logo após a colisão. Justifique a resposta considerando que há conservação da energia cinética e conservação do momento linear durante a colisão. (g) Calcule as coordenadas (x A,y A ) do ponto onde A atinje o solo e as coordenadas (x B,y B ) onde B atinje o solo. (h) Considere agora que A e B foram lançadas em instantes diferentes, não colidem, e determine as coordendas em que tocam no chão. 13. A escolha de um referencial e de um sistema de eixos adequado pode simplificar bastante a análise do movimento de um corpo. Para o demonstrar, na aula teórica analisou-se o caso do movimento circular uniforme de um corpo usando coordenadas polares (r,ϕ), como definido na figura seguinte. Seja r o raio vector que caracteriza a posição do corpo A e r = x e x + y e y. Seja r o módulo de r. Os versores e r e e ϕ estão definidos na figura 3. (a) Defina o vector r em coordenadas polares. 5
(b) Sabendo que o ângulo ϕ varia com o tempo, considere ω = dϕ/dt. Calcule a velocidade v = d r/dt em coordenadas polares. Indique as componentes radial e tangencial da velocidade. Sugestão: comece por calcular d e r /dt e d e ϕ /dt. (c) Calcule a aceleração do móvel em coordenadas polares no caso particular do movimento circular uniforme. Identifique as componentes radial e tangencial. Qual a aceleração centrípeta? (d) Obtenha a expressão para v e a em coordenadas cartesianas (x, y) para o movimento circular uniforme. 14. Num simulador de vôo de um Boeing 737 pretende-se simular uma travagem do avião após uma aterragem. O comandante tem 1000 metros de pista para parar e tocou a pista a 180 km/h. A sensação de travagem é conseguida inclinando o módulo do simulador. Qual o ângulo a que se deve inclinar o módulo do simulador para simular esta travagem e para que o piloto sinta a mesma desaceleração? Quais as forças qua actuam no piloto durante a travagem real e no simulador? Para Físicos: quais as conclusões desta experiência no que diz respeito à comparação entre a massa gravitacional e a massa inercial? 15. A cadeira de um piloto de um avião de testes está ligada a uma balança, sendo que o piloto fica sentado na balança. No solo a balança indica uma força de 800 N. (a) Qual o valor indicado na balança durante a fase de vôo em que a altitude do avião é constante e igual a h=10.000m, a velocidade do avião é de 900 km/h. (b) A que velocidade deveria ir o avião para que a uma altitude de 10.000m a força na balança se anulasse? 16. Um avião em vôo cruzeiro prepara-se para fazer uma curva. Durante esta a manobra as asas do avião terão que fazer um ângulo α com a horizontal. Se o ângulo α durante a manobra de um avião puder tomar um valor máxino de 45 o e o módulo da velocidade do avião se mantiver igual à velocidade em cruzeiro v = 900km/h, calcule o raio mínimo da trajectória. Considere a massa do avião M=10 3 kg. Sugestão: relacione o ângulo com as forças que actuam no avião durante a manobra. 17. Um avião, que se desloca com uma velocidade v = 900km/h a uma altitude h =12000m, tem que fazer uma curva de raio R=5000m. A massa do avião com o piloto é 19150 kg. (a) Represente esquematicamente quais as forças que actuam no avião, do ponto de vista do piloto e do ponto de vista de um controlador aéreo situado numa torre de controlo de um aeroporto. Qual a expressão para a aceleração do avião em cada um dos referenciais? (b) Seja α o ângulo que as asas do avião fazem com o horizonte durante a manobra. Qual o valor de α para que durante a manobra o módulo da velocidade do avião se mantenha igual á velocidade em cruzeiro v = 900km/h? (c) Qual a relação entre a força de sustentação do avião durante a manobra e anteriormente à manobra indicada? (d) Qual seria o raio de curvatura da trajéctoria se a velocidade do avião fosse 1480 km/h e o piloto sentisse uma aceleração centrífuga a = 6g? 18. Qual o trabalho da força gravítica, F no deslocamento de um corpo de massa m de um ponto situado a uma distância inicial ao centro da Terra, R i, até um ponto situado a uma distância final R f do Centro da Terra. Considere que o movimento só tem componente radial. Compare 6
a situação em que o corpo se aproxima com a situação em que o corpo se afasta do centro da Terra. Considere que o mdulo da força força gravítica é dada por F = GM Terram R 19. Qual o trabalho da força gravítica, F no deslocamento de um corpo de massa m de um ponto situado a uma altitude, h i, até um ponto situado a uma altitude final h f sobre a superfície da Terra. Considere que o movimento ocorre perpendicularmente à superfície. Compare a situação em que durante o movimento a altitude a que o corpo se encontra aumenta com a situação em que o altitude a que o corpo se encontra diminui. Considere que a força gravítica é dada por F = mgh. 20. Qual a energia total mecânica de um satélite em órbita da Terra? Compare com a energia potencial gravítica e com a energia cinética. 21. Uma bola com massa m 1 = 1g colide com um alvo parado de massa m 2. Considere que a colisão é completamente elástica e que a velocidade inicial da bola é v 1 = 1m/s. Analise o problema assumindo que a colisão se passa ao longo de uma direcção que une o centros de massa de m 1 e m 2. (a) Considere que há conservação da energia e do momento linear na colisão e demonstre que as expressões para v1 - a velocidade da bola após a colisão e v 2 - a velocidade do alvo após a colisão são dadas, respectivamente, por: v 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 e v 2 = 2m 1 m 1 + m 2 v 1 (b) Calcule a velocidade final da bola e do alvo nos casos em que: i) a massa da bola e do alvo são iguais; ii) a massa do alvo pode ser considerada infinitamente maior que a massa da bola. (c) Calcule o momento linear transferido ao alvo nos casos anteriormente definidos como i) e ii) por cada colisão. 22. Uma superfície faz um ângulo de 30 o com a horizontal. Sobre a superfície incidem uniformemente 20000 esferas por segundo, cada esfera tem m = 1g e velocidade v = 2m/s, sendo paralela à horizontal. Considere a superfície um alvo com massa M = 1,7kg e um sistema de fixação que não lhe permite deslocar-se. Calcule o momento linear transferido à superfície por cada colisão e indique o sentido do vector momento linear. Calcule a componente F S - força de sustentação, e que é a componente da força F que actua na superfície devido às colisões. Compare com o peso da superfície. 23. Um disco e um anel rodam sem deslizar por um plano inclinado com L = 3m de comprimento. Considere as massas do anel e do disco iguais a 200g, e os raios do anel e do disco iguais a 10 cm. O plano inclinado faz um ângulo de 15 o com a horizontal. Considere o anel infinitamente estreito com r int = r ext. 7
(a) [1] Qual a altura, relativamente a um plano horizontal, de que são largados o anel e o disco? (b) Calcule os momentos de inércia do disco e do anel relativamente ao ponto que passa no centro de cada um e é perpendicular ao plano de rotação. (c) Calcule a aceleração do anel e a aceleração do disco durante este movimento. i. Calcule a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação do anel e do disco quando se deslocaram 3 metros ao longo do plano inclinado. ii. Calcule a velocidade do disco quando chega ao fim do plano inclinado. iii. Calcule a velocidade do anel quando chega ao fim do plano inclinado. iv. Qual dos dois (anel ou disco) chega primeiro ao fim do plano inclinado? Justifique. 24. Uma massa m = 0.7kg está ligada a uma roldana de raio r = 5cm como se vê na figura em anexo e deixa-se cair de uma altura h = 1.5m. O momento de inércia da roldana é desconhecido. O objectivo deste trabalho é precisamente determinar o momento de inércia da roldana. (a) Calcule a expressão para a aceleração linear da massa m em queda. (b) Verifica-se que ao largar a massa m esta cai no chão ao fim de 1 segundo. Sabendo que a altura da queda é h = 1.5m, calcule o momento de inércia da roldana. (c) (Alternativo: só se não conseguiu resolver as alíneas anteriores) Calcule a aceleração com que a massa cai se a roldana tiver densidade constante, massa=0.7 kg e raio 5cm. Calcule a velocidade com que a massa atinge o solo e o tempo que demora a cair. 25. Demonstre que o momento de inércia de um anel homogénio relativamente a um eixo que passa no centro de massa e é perpendicular ao plano do anel é dado por I anel = 1 2 m (r 2 int + r2 ext onde m, r int e r ext são, respectivamente, a massa, o raio interior e o raio exterior do anel. 26. Um vendedor prepara-se para usar uma balança semelhante à indicada na figura para pesar as cerejas que um Inspector à paisana da IGVAEEO lhe pretende comprar. Enquanto estava à espera que lhe indicassem o peso das cerejas que colocara no saco, o Inspector repara que a balança não está bem centrada e que a distância d 1 =AC é cerca de 1cm maior que a distância d 2 =AB=20cm. O vendedor diz-lhe que no saco estão 2 kg de cerejas. O Inspector retira o saco do suporte em C e troca-o de posição com as massas usadas para pesar. Assim, as cerejas ficam suspensas em B e as massas em C. Recorde a experiência mostrada numa aula teórica e responda às seguintes questões. ) (a) Qual a equação para o equilíbrio do sistema quando as cerejas estão suspensas em C e as massas em B. Obtenha a expressão para o valor da massa de cerejas contidas no saco em função do valor das massas colocadas em C e das distâncias d 1 e d 2. 8
(b) Qual o valor da massa m que deve ser usado para equilibrar as cerejas quando estas passam para a posição B. Compare o novo valor com o resultado da alínea anterior. (c) Suponha que levava as cerejas numa missão espacial para um planeta distante.as cerejas não sofrem quaisquer alterações durante a viagem. Quanto chega ao planeta resolve pesar as cerejas usando a mesma balança e coloca as cerejas na posição B. A força gravítica à superfície do planeta é 1/5 da força gravítica à superfície da Terra. Qual o valor da massa que deve agora colocar em C para conseguir o equilíbrio do sistema. Compare com a situação da alínea anterior. 9