A TERRA ESFÉRICA Parte I Conceitos Gerais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
O modelo de Terra esférica Observações dos astros Sombra da Terra em um eclipse lunar ~ uma esfera TERRA SOL LUA
ECLIPSE LUNAR
A primeira imagem registrada de nosso planeta do espaço foi esta fotografia em branco e preto e granulada. Tirada em 24 de outubro de 1946, foi produzida por uma câmera de cinema acoplada a um míssil V2 lançado da base de White Sands no Novo México, Estados Unidos. Várias fotografias foram capturadas a 65 milhas de altitude, ou cerca de 104 km. A câmera registrava uma foto a cada 1,5 segundo http://revistagalileu.globo.com/
A sonda Lunar Orbiter 1 tira a primeira foto da Terra a partir da Lua: 23 de agosto de 1966, às 16h35min GMT
Imagem reconstruída Sonda Lunar Orbiter 1 AGO-OUT,1966
NASCER DA TERRA VISTO DA LUA (FONTE: NASA)
The Blue Marble (1972) Fotografia da Terra, tirada em 7 de dezembro de 1972 pela tripulação da missão Apollo 17, a uma distância de aproximadamente 45 000 km da Terra, a caminho da Lua.
The Blue Marble 2001 2002 FONTE: NASA
A impressão inicial é de uma bola azul Modelo de uma esfera para Terra
1ª determinação ERATÓSTENES (200 A.C.) Observações feitas no mesmo horário, no solstício de verão Siena ~ Sol no zênite α=7,2 l 5000 estádias 800 km R = 360. l 2π. 7,2 2πR 360 l 7,2 R = 6. 366, 198 km bem próximo do real!
Esfera Lugar geométrico dos pontos do espaço igualmente distanciados de um ponto denominado de centro. A = 4πR 2 V = 4πR3 3 Superfície esférica: é a superfície que envolve uma esfera.
Círculo A = πr 2 Área interna delimitada por uma circunferência. O R c = 2πR Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano igualmente distanciados de um ponto denominado centro.
Círculo máximo (ou circunferência máxima): Toda a circunferência da superfície esférica que contém o centro da esfera. Círculo menor: Não contém o centro da esfera
Na Terra esférica: Eixo de rotação PN POLO: Ponto da superfície da terra esférica onde o eixo de rotação coincide com a superfície. PN: Polo norte PS: Polo sul EQUADOR: círculo máximo perpendicular ao eixo de rotação PS MERIDIANO: círculo máximo que contém o eixo de rotação, e por isso, também os polos. PARALELO: círculo menor paralelo ao Equador e perpendicular ao eixo de rotação.
PS POLO SUL
PN POLO NORTE
COORDENADAS GEOGRÁFICAS Meridiano do Ponto A G A Latitude Geográfica(φ) φ λ O Equador Longitude Geográfica(λ) Meridiano de Greenwich (G)
Latitude geográfica (φ) É o arco de meridiano contado desde o Equador até o ponto considerado. Convenções: Positiva no Hemisfério Norte (N) varia de 0 a +90 Negativa no Hemisfério Sul (S) varia de 0 a -90
Longitude geográfica (λ) É o arco de Equador contado desde o Meridiano de Greenwich até o meridiano do ponto considerado. Convenções: Positiva a leste do Meridiano de Greenwich (E) varia de 0 a +180 Negativa a oeste do Meridiano de Greenwich (W) varia de 0 a -180
Estimativas lineares de arcos Seja o raio aproximado da Terra R = 6372 km. Então o comprimento do Equador será 2πR = 40036 km 360 Logo, na Terra suposta esférica, temos que (para o Equador): 40036 km 1 = 111 km 360 1 111.000 m = 1852 m (1 milha náutica) 60 1" 30 m Nesse raciocínio: 0,1 equivale a 3 m 0,01 equivale a 30 cm 0,001 equivale a 3 cm 0,0001 equivale a 3 mm Demais paralelos, o comprimento é diferente A quantidade de casas decimais tem relação com o refinamento dos cálculos
Raio de um paralelo (R P ) É uma redução do Raio (R) da Terra esférica em função da latitude (φ) do paralelo. Paralelo PN R P R P = R. cos φ φ R O φ R Equador PS Eixo de rotação
Velocidade de rotação de um ponto na Terra esférica É função da latitude (φ) do ponto. O comprimento do paralelo diminui, a medida que a latitude aumenta. Equador PN No Equador (Eq): R = 6 372 km c Eq = 2πR = 40 036 km v Eq = 1 volta(= c Eq) 24 h v Eq = 1 668 km/h R O No Ponto P, com φ = 67 32 S : R P = R. cos φ = 6 372 km. cos( 67 32 ) R P = 2 435 km φ P R P PS c P = 2πR P = 15 300 km v P = 1 volta(= c P) 24 h v P = 638 km/h
R P = R. cos φ v P = 2πR p /24
Distância entre dois meridianos, medida sobre um paralelo Δλ: diferença de longitude (em radianos) R p = R. cos φ S = R P. λ PN O A Δλ R P S B Paralelo R P B O Δλ S R P PS A
Distância entre dois meridianos, medida sobre um paralelo Δλ: diferença de longitude (em radianos) R p = R. cos φ S = R P. λ Exemplo Calcule a menor distância entre os meridianos de λ 1 = 13 W e λ 2 = 5 E, sobre o paralelo φ = 45 N. Considere o raio da Terra esférica igual a 6372 km. λ 12 = λ 2 λ 1 = 5 13 Δλ 12 = 18 R p = 6372 km. cos(45 ) R P = 4506 km Então S = R P. Δλ = 4506.18. S = 1416 km conversão para radianos π 180
Apartamento (ap): é a distância percorrida em uma direção Leste Oeste (E W), expressa em milhas náuticas (m.n.), ao longo de uma linha de rumo/azimute constante. loxodrômica PN valor em minutos ap = Δλ ( ). cos (φ m ) latitude média A φ m = φ A + φ B 2 ap φ m B Δλ PS Em geral, o uso da Latitude média ( φ m ) é aceitável até distâncias da ordem de 600 milhas náuticas (600 m.n.), ou quando a latitude média não exceder 55º e a diferença de latitudes for inferior a 15º.
Apartamento (ap) valor em minutos ap = Δλ ( ). cos (φ m ) valor em milhas náuticas latitude média 60 PN 30 m.n. φ m = φ A + φ B 2 Calcule o apartamento entre os meridianos (10 E e 11 E) sobre os seguintes paralelos: Δλ = 11 10 = 1 Δλ = 60 30 52 m.n. a) φ = 0 ap a = 60. cos 0 = 60 m.n. 0 60 m.n. b) φ = 30 ap b = 60. cos 30 = 52 m.n. Equador 10 E 11 E Δλ = 60 c) φ = 60 ap c = 60. cos 60 = 30 m.n. 1 milha náutica = 1 m. n. = 1852 m
Posicionamento de um ponto P (φ P, λ P ) Latitude e longitude geográfica (ou esférica) Meridiano de Greenwich λ = 0 G PN P Paralelo de latitude φ P O R φ P λ P Equador φ = 0 PS Meridiano de longitude λ P
Posicionamento de um ponto P (X P, Y P, Z P ) Coordenadas cartesianas tridimensionais na Terra suposta esférica G PN Z Sistema de referência Origem geocêntrica (Centro de massa da Terra) Eixo Z na direção do eixo de rotação, positivo para o PN X R O Y Eixo X na direção da intersecção do meridiano de Greenwich e o plano do Equador Eixo Y completando o terno dextrogiro PS
Posicionamento de um ponto P (X P, Y P, Z P ) Coordenadas cartesianas tridimensionais na Terra suposta esférica PN Z G P X P O R Z P φ P λ X P P Y P P Y PS
Posicionamento de um ponto P na Terra esférica Dadas coordenadas cartesianas tridimensionais, determinar latitude e longitude geográficas. P φ P, λ P P X P, Y P, Z P X P = R. cos φ P. cos λ P Y P = R. cos φ P. sen λ P Z P = R. sen φ P Z P R Os valores dos módulos de X P, Y P, Z P serão sempre menores ou iguais ao R da Terra Esférica O λ P φ P Z P X P Y X P Y P P
Posicionamento de um ponto P na Terra esférica Dadas latitude e longitude geográficas, determinar coordenadas cartesianas tridimensionais. P X P, Y P, Z P P φ P, λ P λ P = arctan Y P X P Z φ P = arcsen Z P X P 2 + Y P 2 + Z P 2 R = X P 2 + Y P 2 + Z P 2 R P O φ P Z P Y λ P X P X P Y P P
EXERCÍCIOS 1) Seja o ponto A com as seguintes coordenadas geográficas: φ A = 15 15 15" N; λ A =42 58 00" W Determinar as respectivas coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km). 2) Seja o ponto B com as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km): X B = 3444,172 km Y B = 4507,969 km Z B = 2901,427 km Determinar as respectivas coordenadas geográficas.
EXERCÍCIOS SOLUÇÃO 1) Seja o ponto A com as seguintes coordenadas geográficas: φ A = 15 15 15" N; λ A =42 58 00" W Determinar as respectivas coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km). X A = R. cos φ A. cos λ A X A = 6372. cos( 15 15 15").cos ( 42 58 00") X A = 4498, 437 km Y A = R. cos φ A. sen λ A Y A = 6372. cos( 15 15 15").sen( 42 58 00") Y A = 4189, 971 km Z A = R. sen φ A Z A = 6372. sen( 15 15 15") Z A = 1676, 482 km
EXERCÍCIOS SOLUÇÃO 2) Seja o ponto B com as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km): X B = 3444,172 km Y B = 4507,969 km Z B = 2901,427 km Determinar as respectivas coordenadas geográficas. λ B = arctan Y B = arctan 4507,969 X B 3444,172 λ B = 52 37 10, 2"=52 37 10,2" W φ B = arcsen Z B = arcsen Z B 2901,427 = arcsen X 2 B + Y 2 2 B + Z R 6372,000 B φ B = 27 05 12, 54" = 27 05 12, 54"S
λ (W) λ (E) A Componente: É POSITIVA para: É NEGATIVA para: X Longitudes (λ) de: 0 a 90 W 0 a 90 E Longitudes (λ) de: 90 W a 180 W 90 E a 180 E Y Longitudes (λ) a leste (E) Longitudes (λ) a oeste (W) Z Latitudes (φ) ao norte (N) Latitudes (φ) ao sul (s) φ (N) φ (S)