UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO CAMPUS DE GUARATINGUETÁ GABRIEL BORDERES MOTTA

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO CAMPUS DE GUARATINGUETÁ GABRIEL BORDERES MOTTA SATÉLITES ESTABILIZADOS POR ROTAÇÃO E TORQUE DE RADIAÇÃO SOLAR DIRETA Guaratinguetá 2011

GABRIEL BORDERES MOTTA SATÉLITES ESTABILIZADOS POR ROTAÇÃO E TORQUE DE RADIAÇÃO SOLAR DIRETA Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Bacharelado em Física da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Bacharelado em Física Orientadora: Prof a Dr a Maria Cecília França de Paula Santos Zanardi Guaratinguetá 2011

M921s Motta, Gabriel Borderes Satélites estabilizados por rotação e torque de radiação solar direta / Gabriel Borderes Motta. Guaratinguetá : [s.n.], 2011 126 f.: il. Bibliografia: f.: 102-105 Trabalho de Graduação em Bacharelado em Física - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, 2011 Orientadora: Profa. Dra. Maria Cecília França de Paula As. Zanardi 1. Radiação solar 2. Torque 3. Satelites I. Título CDU 539.16

DADOS CURRICULARES GABRIEL BORDERES MOTTA NASCIMENTO 14.08.1989 ITAJAÍ / SC FILIAÇÃO Fernando da Silva Motta Tânia Regina Borderes Motta 2007/2011 Curso de Graduação em Bacharelado em Física na Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá.

AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar a Deus criador de todas as coisas visíveis e invisíveis. Agradeço por minha vida, inteligência, força de vontade, família, amigos e mestres, à minha orientadora Profa. Dra. Maria Cecília França de Paula S. Zanardi que jamais deixou de me incentivar ao decorrer do trabalho e do curso. Sem a sua orientação, dedicação e auxílio, o estudo aqui apresentado seria impossível, aos meus pais Fernando e Tânia, e minhas irmãs Mariana e Isabel, que apesar das dificuldades me deram base e apoio para concluir meus estudos, aos meus amigos que sempre proporcionaram boa companhia, momentos de alegria e apoio quando precisei, e a meus colegas de turma que batalharam ao meu lado nesta importante jornada.

Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos. Galileu Galilei

MOTTA, G. B. Satélites Estabilizados por Rotação e Torque De Radiação Solar Direta. 2011. N 126. Trabalho de Graduação Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2011. RESUMO Este trabalho tem por objetivo analisar a influência do torque de pressão de radiação solar direta (TPRS) no movimento rotacional de satélites artificiais estabilizados por rotação, implementar numericamente estas soluções e comparar os resultados com os dados reais dos Satélites Brasileiros de Coleta de Dados SCD1 e SCD2, fornecidos pelo INPE. Um modelo matemático para o torque de pressão de radiação solar direta é apresentado, seus componentes determinados em um sistema fixo no satélite e uma solução analítica para as equações do movimento rotacional é proposta. É usada a solução do torque de radiação solar direta para um satélite cilíndrico. São utilizadas duas formas de abordagens, a primeira simplesmente leva em conta a teoria proposta e a segunda introduz uma função baseada na variação da velocidade de rotação real para acompanhar a implementação, visto que o torque de pressão de radiação solar direta não tem componente que atua na velocidade de rotação. Os resultados de ambas as abordagens apontam que este torque tem pouca influência na ascensão reta e declinação do eixo de rotação, devido a pequena magnitude deste torque para o satélite com as características do SCD1 e SCD2. Para melhor validar a aplicação do modelo aqui desenvolvido, são também analisados o desvio angular do eixo de rotação e o ângulo de aspecto solar. As comparações dos resultados das abordagens realizadas com os dados reais acenam para uma coerência na teoria, podendo ser aplicada na predição do movimento rotacional de satélites artificiais estabilizados por rotação munido de outros torques externos além do torque de pressão de radiação solar direta. PALAVRAS CHAVE: Torque de Pressão de Radiação Solar. Ângulo de Aspecto Solar. Erro de Apontamento. Satélites estabilizados por rotação.

MOTTA, G. B. Spin-Stabilized Satellites and Pressure of Direct Solar Radiation Torque. 2011. 126 f. Trabalho de Graduação Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2011. ABSTRACT The aims of this work are to analyze the direct solar radiation pressure torque (TPRS) in the rotational motion of spin-stabilized artificial satellites, to numerically implement these solutions and to compare the results with real data of the Brazilian Satellite Data Collection SCD1 and SCD2, supplied by INPE. The mathematical model for this torque is determined for a cylindrical satellite, and the components of this torque are determined in a fixed system in the satellite. An analytical solution for the spin motion equations is proposed, in which TPRSD does not affect the spin velocity of the satellite. Two approaches are adopted in the numerical implementation of the developed theory: the first one considers the proposed theory and the second introduces a variation in the spin velocity based on its real variation. The results obtained indicate that the solar radiation pressure torque has little influence in the right ascension and declination axis of rotation due to the small dimension of the satellite and altitude in which it is found. To better validate the application of the presented theory, the angular deviation of the spin axis and solar aspect angle were also analyzed. The comparison of the results of the approaches conducted with real data show good precision in the theory, which can be applied in the prediction of the rotational motion of the spin-stabilized artificial satellites, when others external torques are considered besides the direct solar radiation pressure torque. KEYWORDS: Direct solar radiation pressure torque. Solar Aspect Angle. Pointing Error. Spin-stylized artificial satellite.

LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 - Representação do sistema geocêntrico O XYZ... 31 FIGURA 2 - Representação do sistema equatorial OXYZ... 32 FIGURA 3 - Sistema equatorial (X,Y,Z), sistema do satélite (x,y,z), ascensão reta (α) e declinação (δ) do eixo de rotação (z)... 33 FIGURA 4 - Sistema geocêntrico (X, Y, Z) e sistema orbital (x s, y s, z s )... 34 FIGURA 5 - Sistema do satélite (x, y, z) e sistema principal (x*, y*, z*)... 39 FIGURA 6 - Geometria da incidência da luz solar sobre o elemento de superfície.... FIGURA 7 - Posicionamento do CM do satélite e do elemento de superfície em relação ao sol... 45 46 FIGURA 8 - Disposição dos vetores que unem o satélite, a terra e o sol... 47 FIGURA 9 - Superfícies iluminadas do satélite cilíndrico... 52 FIGURA 10 - Coordenadas cilíndricas para a base (S 1 ) do satélite... 52 FIGURA 11 - Esquematização lateral iluminada S 2... 53 FIGURA FIGURA 12 - Esquematização do erro de apontamento eixo de rotação real do satélite Kˆ, eixo de rotação calculado, sistema equatorial com versores ( ) e sistema do satélite com versores ()... 13 - Esquematização do ângulo de aspecto solar : eixo de rotação kˆ e direção solar û em relação ao sistema equatorial ( )... 63 66 FIGURA 14 - Restrição para o ângulo de aspecto solar para o SCD1... 67 FIGURA 15 - Restrição para o ângulo de aspecto solar para o SCD2... 67 FIGURA 16 - Ascensão reta x tempo (SCD1)... 74 FIGURA FIGURA FIGURA 17 - Declinação do eixo de rotação x tempo (SCD1)... 18 - Diferença entre Ascensão Reta Calculada e a Fornecida pelo CCS/INPE com Média e Desvios (SCD1)... 19 - Diferença entre declinação do eixo de rotação calculada e a fornecida pelo ccs/inpe com média e desvios (SCD1)... 74 75 75

FIGURA FIGURA FIGURA 20 - Erro de apontamento x tempo (SCD1)... 21 - Ângulo de aspecto solar x tempo restrito aos ângulos de segurança para o satélite (SCD1)... 22 - Diferença entre ângulo de aspecto solar calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios (SCD1)... 76 77 78 FIGURA 23 - Ascensão reta x tempo (SCD2)... 79 FIGURA 24 - Declinação do eixo de rotação x tempo (SCD2)... 80 FIGURA FIGURA 25 - Diferença entre ascensão reta calculada e a fornecida pelo ccs/inpe com média e desvios (SCD2)... 26 - Diferença entre declinação do eixo de rotação calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios (SCD2)... 80 81 FIGURA 27 - Erro de apontamento x tempo (SCD2)... 82 FIGURA FIGURA 28 - Ângulo de aspecto solar x tempo e restrito aos ângulos de segurança para o satélite (SCD2)... 29 - Diferença entre ângulo de aspecto solar calculado e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios (SCD2)... 82 83 FIGURA 30 - Velocidade de rotação x tempo (SCD1)... 84 FIGURA 31 - Velocidade de rotação x tempo (SCD2)... 84 FIGURA 32 - Velocidade de rotação x tempo (SCD1) com coeficientes... 85 FIGURA 33 - Velocidade de rotação x tempo (SCD2) com coeficientes... 85 FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 34 - Ascensão reta x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 35 - Declinação do eixo de rotação x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 36 - Velocidade de rotação x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 37 - Diferença entre ascensão reta calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 87 87 88 88

FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 38 - Diferença entre declinação do eixo de rotação calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 39 - Diferença entre velocidade de rotação calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 40 - Erro de apontamento x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 41 - Ângulo de aspecto solar x tempo com variação da velocidade de rotação e restrito aos ângulos de segurança para o satélite (SCD1)... 42 - Diferença entre ângulo de aspecto solar calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios e com variação da velocidade de rotação (SCD1)... 43 - Ascensão reta x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 44 - Declinação do eixo de rotação x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 45 - Velocidade de rotação x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 46 - Diferença entre ascensão reta calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 47 - Diferença entre declinação do eixo de rotação calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 48 - Diferença entre velocidade de rotação calculada e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 49 - Erro de apontamento x tempo com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 50 - Ângulo de aspecto solar x tempo com variação da velocidade de rotação e restrito aos ângulos de segurança para o satélite (SCD2)... 89 89 90 91 91 93 93 94 94 95 95 96 97

FIGURA 51 - Diferença entre ângulo de aspecto solar calculado e a fornecida pelo CCS/INPE com média e desvios com variação da velocidade de rotação (SCD2)... 97 FIGURA 52 - Magnitude do TPRS no SCD1... 126 FIGURA 53 - Magnitude do TPRS no SCD2... 126 FIGURA FIGURA 54 - Magnitude do TPRS no SCD1 com variação na velocidade de rotação... 55 - Magnitude do TPRS no SCD2 com variação na velocidade de rotação... 126 126

LISTA DE TABELAS TABELA 1 - Dados de órbita para o primeiro dia de simulação 28 TABELA 2 - Dados do satélite SCD1 fornecidas pelo CCS/INPE, sendo α - ascensão reta do eixo de rotação, δ - declinação do eixo de rotação do satélite, W - velocidade de rotação... 29 TABELA 3 TABELA 4 TABELA 5 - Dados do satélite SCD2 fornecidas pelo CCS/INPE, Sendo que os Dias Destacados Representam a Ocorrência de Controle de Atitude... - Variação da médias das diferenças de ee média do entre as duas abordagens para o SCD1... - Variação da médias das diferenças de ee média do entre as duas abordagens para o SCD1... 30 92 98 TABELA B 1 - Ascensão reta e declinação do sol para o período de simulação do SCD1... TABELA B 2 - Ascensão reta e declinação do sol para o período de simulação do SCD2... 110 111 TABELA C 1 - Valores de α, δ e do SCD1 calculados pelo modelo teórico.. 113 TABELA C 2 - Valores das diferenças entre os resultados teóricos e os fornecidos pelo CCS/INPE de α, δ e e para o SCD1... 114 TABELA C 3 - Valores de α, δ e do SCD2 calculados pelo modelo teórico.. 115 TABELA C 4 - Valores das diferenças entre os resultados teóricos e os fornecidos pelo CCS/INPE de α, δ e e para o SCD2... TABELA C 5 - Valores de α, δ, W e do SCD1 calculados pelo modelo teórico com Variação da Velocidade de Rotação... TABELA C 6 - Valores das diferenças entre os resultados teóricos e os fornecidos pelo CCS/INPE de α, δ, W e e para o SCD1 com Variação da Velocidade de Rotação... TABELA C 7 - Valores de α, δ, W e do SCD2 calculados pelo modelo teórico com Variação da Velocidade de Rotação... TABELA C 8 - Valores das diferenças entre os resultados teóricos e os fornecidos pelo CCS/INPE de α, δ, W e e para o SCD2 com Variação da Velocidade de Rotação... 116 117 118 119 120

TABELA D - Coeficientes calculados e atribuídos para variação da velocidade de rotação... 122 TABELA E - Magnitude do TPRS... 124

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CCS INPE SCD1 SCD2 CM CP TPRS Centro de Rastreio e Controle de Satélites Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Primeiro Satélite Brasileiro de Coleta de Dados Segundo Satélite Brasileiro de Coleta de Dados Centro de Massa Centro de Pressão Torque de Pressão de Radiação Solar Direta

LISTA DE SÍMBOLOS A matriz de rotação que representa o sistema orbital em termo do sistema principal [l] a s semi eixo maior [m] B matriz de rotação que representa o sistema equatorial em termo do sistema principal [l] c velocidade da luz [m/s] ds elemento de superfície [m 2 ] e excentricidade [l] h altura do satélite [m] momento angular de translação [kg.m²/s] I inclinação orbital [ ] componentes principais do momento de inércia [kg.m²] vetores unitários dos sistemas de coordenadas geocêntrico e equatorial [l] vetores unitários do sistema de coordenadas do satélite [l] vetores unitários do sistema de coordenadas principal [l] vetores unitários do sistema de coordenadas orbital [l] torque de pressão de radiação solar [N.m] componentes do torque de pressão de radiação solar em termos do sistema de coordenadas do satélite [N.m] componentes do torque de pressão de radiação solar em termos do sistema de coordenadas do satélite [N.m] componentes do torque de pressão de radiação solar médio [N.m] o vetor unitário da direção normal à superfície [l] componentes do vetor unitário da direção normal à superfície [l] p pressão de radiação solar [kw.s/m 3 ] Q 1 t Q 1 matriz de rotação que representa o sistema do satélite em termo do sistema equatorial [l] matriz de rotação que representa o sistema do equatorial [l]

Q 2 Q 3 Q 4 em termo do sistema do satélite matriz de rotação que representa o sistema orbital em termo do sistema geocêntrico [l] matriz de rotação que representa o sistema orbital em termo do sistema do satélite [l] matriz de rotação que representa o sistema do satélite em termo do sistema [l] R distância da superfície atingida pelo fluxo ao Sol [m] R distância do centro de massa do satélite ao Sol [m] R s vetor que une a Terra e o Sol [m] r c raio da órbita circular [m] vetor posição de um elemento de área [m] vetor que une o CM do satélite e ao CM da Terra [m] S 0 constante solar [kw/m 2 ] fluxo de energia radiante [kw/m 2 ] T período orbital [s] t tempo [s] vetor unitário na direção de incidência do fluxo de radiação solar [l] componentes do vetor unitário na direção de incidência do fluxo de radiação solar [l] W Velocidade de rotação do satélite [rpm] ascensão reta do eixo de rotação do satélite [ ] ascensão reta do eixo de rotação do satélite fornecido pelo [ ] CRC/INPE ascensão reta do eixo de rotação do sol [ ] ascensão reta do eixo de rotação do satélite calculado [ ] levando em conta o TPRS total de fótons refletidos especularmente pela superfície dividido pela parcela dos que chocam com a superfície que [l] é refletida difusamente ou especularmente ângulo de aspecto solar [ ] declinação do eixo de rotação [ ]

parcela de todos os fótons que chocam com a superfície que é refletida difusamente ou especularmente [l] erro de apontamento [ ] Coeficiente de variação da velocidade de rotação [rpm/s] anomalia verdadeira [ ] ângulo de rotação entre o sistema principal e o do satélite [ ] ângulo de incidência [ ] longitude do nodo ascendente [ ] argumento do perigeu [ ] latitude verdadeira [ ]

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 21 1.1 Objetivos... 24 1.2 Justificativa e Motivação... 24 1.3 Sequência do trabalho... 25 2 OS SATÉLITES BRASILEIROS DE COLETA DE DADOS... 27 3 SISTEMAS DE COORDENADAS... 32 3.1 Sistema de Coordenadas Geocêntrico... 32 3.2 Sistema de Coordenadas Equatorial... 33 3.3 Sistema de Coordenadas do Satélite... 33 3.4 Sistema de Coordenadas Principal... 34 3.5 Sistema de Coordenadas Orbital... 34 3.6 Relações Entre Sistemas de Coordenadas... 35 3.6.1 Sistema de Coordenadas Equatorial e do Satélite... 36 3.6.2 Sistema de Coordenadas Geocêntrico e Orbital... 37 3.6.3 Sistemas de Coordenadas do Satélite e Orbital... 38 3.6.4 Sistemas de Coordenadas do Satélite e Principal... 39 3.6.5 Sistemas de Coordenadas do Orbital e Principal... 40 3.6.6 Sistemas de Coordenadas do Equatorial e Principal... 42 4 TORQUE DE PRESSÃO DE RADIAÇÃO SOLAR DIRETA... 43 4.1 Conceito de Força e Torque de Pressão de Radiação Solar... 43 4.2 Pressão de Radiação Solar... 44 4.3 Força de Pressão de Radiação Solar Direta... 45 4.4 Torque de Radiação Solar e Suas Componentes... 46 4.5 Aplicação ao Satélite Cilíndrico... 52

4.6 Determinação dos Componentes do Torque de Pressão de Radiação Solar Médio... 57 5 ABORDAGEM ANALÍTICA PARA AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO... 60 5.1 Equações do movimento... 60 5.2 Solução analítica para a declinação do eixo de rotação... 62 5.3 Solução analítica para a ascensão reta do eixo de rotação... 63 6 ERRO DE APONTAMENTO E ÂNGULO DE ASPECTO SOLAR 64 6.1 Erro de Apontamento... 64 6.1.1 Cálculo do Erro de Apontamento... 65 6.2 Ângulo de Aspecto Solar... 66 6.2.1 Cálculo do Ângulo de Aspecto Solar... 68 7 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS E RESULTADOS PARA OS SATÉLITES SCD1 E SCD2... 70 7.1 Algoritmo para Simulação Computacional... 70 7.2 Abordagem sem variação da velocidade de rotação... 73 7.2.1 Resultados para o SCD1... 74 7.2.1.1 Ascensão Reta e Declinação do Eixo de Rotação... 74 7.2.1.2 Erro de Apontamento e Ângulo de Aspecto Solar... 77 7.2.2 Resultados para o SCD2... 79 7.2.2.1 Ascensão Reta e Declinação do Eixo de Rotação... 80 7.2.2.2 Erro de Apontamento e Ângulo de Aspecto Solar... 82 7.3 Abordagem com variação da velocidade de rotação... 84 7.3.1 Resultados para o SCD1... 87 7.3.1.1 Ascensão Reta, Declinação do Eixo de Rotação e Velocidade de Rotação 87 7.3.1.2 Erro de Apontamento e Ângulo de Aspecto Solar... 91 7.3.2 Resultados para o SCD2... 93 Ascensão Reta, Declinação do Eixo de Rotação e Velocidade de 7.3.2.1 Rotação... 93

7.3.2.2 Erro de Apontamento e Ângulo de Aspecto Solar... 97 8 CONCLUSÃO... 100 REFERENCIAS... 103 APÊNDICE A CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO DO TPRS... 107 APÊNDICE B ASCENSÃO RETA DE DECLINAÇÃO DO SOL... 110 APÊNDICE C VALORES E VARIAÇÕES ENTRE CALCULADO E REAL,, W, E 113 APÊNDICE D COEFICIENTES DE VARIAÇÃO DO W... 122 APÊNDICE E RESULTADOS DAS MAGNITUDES DO TPRS... 124

21 1 INTRODUÇÃO O sucesso de missões espaciais envolvendo satélites artificiais depende da posição e orientação em que estes se encontram no espaço, pois os veículos espaciais carregam instrumentos a bordo, os quais precisam ser posicionados e direcionados com muita precisão. Assim, conhecer a atitude do satélite, bem como comandar uma atitude desejada, são indispensáveis para o bom desempenho da missão a que ele se destina. Porém, a ação continua de forças oriundas do meio onde os satélites orbitam, influencia significativamente no movimento destes, ou seja, na atitude e na órbita destes satélites. Assim, uma análise da atitude de satélites na presença de torques externos torna-se necessário, o que pode ser realizado através da determinação de soluções para as equações do movimento rotacional, nas quais são incluídas as parcelas dos torques ambientais. Neste trabalho o enfoque é dado aos satélites estabilizados por rotação (para os quais o eixo de rotação se alinha com o eixo de maior momento principal de inércia) sob atuação exclusiva do Torque de Pressão de Radiação Solar (TPRS). Os demais torques ambientais (Torque de Gradiente de Gravidade, Torque Aerodinâmico, Torques Magnéticos) não são aqui considerados, apesar de poderem afetar significativamente a atitude do satélite. Estes torques já foram considerados em diversos trabalhos anteriores, destacando-se as abordagens analíticas aplicadas em satélites estabilizados por rotação nos trabalhos que consideram a atuação isolada de cada torque (QUIRELLI, 2002; ASSIS, 2004; GARCIA, 2007; CHIARADIA, 2007; CHIARADIA, 2010) ou considerando a influência conjunta de todos eles (PEREIRA, 2011). Quirelli (2002) apresenta uma abordagem analítica para a propagação da atitude de satélites artificiais estabilizados por rotação, em órbita elíptica, considerando a influência de torques magnéticos. É utilizado o modelo de vetor de dipolo inclinado para o campo geomagnético e o método da média é aplicado para determinar o torque ao longo de um período orbital. Observa-se que o torque magnético residual não afeta o módulo da velocidade de rotação, contribuindo somente para as variações temporais da ascensão reta e declinação do eixo de rotação. O torque magnético devido às correntes de Foucault causa um decaimento exponencial no módulo da velocidade de rotação. As simulações numéricas que são realizadas apresentam uma boa concordância entre a solução analítica obtida e o comportamento real do

22 satélite, dentro das limitações da abordagem analítica realizada. Zanardi, Quirelli & Kuga (2005) também discutem esta abordagem. Assis (2004) apresenta uma abordagem analítica para a propagação de atitude de satélites artificiais estabilizados por rotação em órbita circular com a inclusão do torque residual. O modelo de quadripolo é utilizado para descrever o campo magnético da Terra, sendo aplicado o método da média para determinar o torque médio em um período orbital. A partir da solução analítica apresentada é possível observar que o torque magnético residual contribui para a deriva e precessão do eixo de rotação. No trabalho desenvolvido por Garcia (2007) é apresentado uma abordagem analítica para o movimento rotacional de satélites artificiais estabilizados por rotação, considerando os satélites em órbita elíptica e a influência do torque magnético residual. A diferença principal deste trabalho com de Assis (2004) está no fato da órbita do satélite ser elíptica, o que acarreta em expansões analíticas na excentricidade orbital e na anomalia média. Comparações dos resultados obtidos nesta abordagem e nas abordagens de Assis (2004) e Quirelli (2002) foram realizadas, considerando os dados dos satélites brasileiros de coleta de dados. Os principais resultados desta abordagem foram também apresentados em Garcia, Zanardi & Kuga (2009). O trabalho desenvolvido por Chiaradia (2007) determina a magnitude do Torque de gradiente de gravidade levando em consideração a variação desta magnitude em relação à altitude e aos momentos principais de inércia do satélite. A influência deste torque no movimento rotacional de satélites estabilizados por rotação é analisada para satélites de pequeno e médio porte em órbita circular. Chiaradia (2010) faz um estudo sobre o torque aerodinâmico aplicado no movimento de satélites estabilizados por rotação com o intuito de obter as soluções analíticas para as equações de movimento. Neste trabalho é avaliada a variação da magnitude do torque aerodinâmico com a altitude, a qual está relacionada com a densidade atmosférica em cada ponto da órbita do satélite, e são determinadas soluções analíticas para as equações do movimento, incluindo parcelas do torque aerodinâmico. Aplicações são realizadas para os satélites brasileiros SCD1 e SCD2, os quais se encontram a uma altitude aproximadamente 700 km, de modo que a magnitude do torque aerodinâmico é pequena, sendo pequena a influência deste torque no movimento rotacional destes satélites. Pereira (2011) apresenta uma abordagem analítica para o movimento rotacional de satélites artificiais estabilizados por rotação, considerando os satélites em órbita elíptica e sob influência conjunta do torque aerodinâmico, o torque de gradiente de gravidade, o torque magnético residual e o torque magnético devido às correntes de Foucault. Modelos

23 matemáticos são apresentados para todos os torques e os componentes médios de cada torque são determinados para um intervalo de tempo de um período orbital. Aplicações são realizadas para os satélites SCD1 e SCD2 através de duas abordagens. Os resultados mostram uma boa concordância entre os valores obtidos pela teoria e os dados fornecidos pelo Centro de Controle de Satélites do INPE na primeira abordagem (com atualização diária dos dados) para um período de 40 dias. Para a abordagem sem atualização diária dos dados, os resultados mostram-se adequados apenas por três dias de simulação. São também verificados o erro de apontamento (desvio do eixo de rotação calculado pela teoria com o eixo de rotação real) e o ângulo de aspecto solar, sendo que os desvios obtidos encontram-se dentro das precisões requeridas para as missões destes satélites.resultados parciais desta abordagem são discutidos em Zanardi et al (2011). Assim este trabalho dá continuidade aos estudos já desenvolvidos, apresentado uma análise da influência do TPRS no movimento rotacional de satélites estabilizados por rotação. O modelo matemático para o TPRS foi desenvolvido por Zanardi (1993) para um satélite em órbita elíptica, utilizando variáveis de Andoyer (LUM & BLOCH, 1999) para descrever o movimento rotacional, com aplicação para um satélite cilíndrico circular. Neste trabalho, o modelo é adaptado para um satélite estabilizado por rotação em órbita circular. O TPRS é causado pela Força de Pressão de Radiação Solar, a qual é gerada pelo contínuo fluxo de fótons que se chocam com a superfície do satélite. A transferência de momento dos fótons para o satélite origina a Força de Radiação Solar. Nesse trabalho será considerado um satélite de forma cilíndrica, em órbita circular, com a força de radiação solar oriunda apenas da incidência direta da luz solar sobre a superfície do satélite. É também admitido que o satélite está sempre iluminado, não incluindo nas equações do movimento a função sombra da Terra, associada à fase da órbita em que a Terra produz uma sombra sobre o satélite de modo que a força de pressão de radiação solar direta se anula (VILHENA DE MORAES, ZANARDI, 1997). O modelo para o TPRS foi desenvolvido por Zanardi (1993) utilizando variáveis de Andoyer (LUM & BLOCH, 1999) para descrever a atitude de um satélite qualquer. Salienta se diferença neste trabalho é que a atitude é descrita por ângulos de Euler e aplicado para um satélite estabilizado por rotação As equações do movimento rotacional de satélites estabilizados por rotação são descritas em termos do módulo da velocidade de rotação (W), da ascensão reta (α) e da declinação do eixo de rotação do satélite (δ). Neste trabalho é considerado que a órbita do satélite ao redor da Terra é conhecida, aproximada inicialmente pela órbita Kepleriana, sendo posteriormente incluídas as principais variações devido ao achatamento da Terra. Estas

24 equações do movimento dependem dos componentes dos torques externos atuantes no satélite, expressas em um sistema fixo no satélite, no qual o eixo Oz coincide com o eixo de rotação do satélite. No desenvolvimento deste trabalho, os componentes médios do TPRS são incluídos nas equações do movimento rotacional e já levam em conta os principais efeitos do TPRS sobre a atitude do satélite. Estes componentes médios são obtidos pela média do torque instantâneo em um intervalo de tempo de um período orbital. A análise da dinâmica do movimento rotacional dos satélites aqui realizada envolve também o estudo do comportamento temporal do erro de apontamento (desvio angular entre o eixo de rotação real e o eixo de rotação calculado pela teoria proposta), que será representado por, e do ângulo de aspecto solar (ângulo entre o eixo de rotação e a direção de incidência do Sol), que será representado por. Estas análises contribuirão para validar a abordagem analítica realizada. 1.1 Objetivos Analisar a influência do torque de pressão de radiação solar direta no movimento rotacional de satélites artificiais estabilizados por rotação. As componentes do torque de radiação solar direta deverão ser determinadas no sistema fixo no satélite e uma solução analítica para as equações do movimento rotacional deverá ser proposta. Aplicações serão feitas para os dados reais dos Satélites Brasileiros de Coleta de Dados SCD1 e SCD2. 1.2 Justificativa e Motivação Soluções analíticas para as equações do movimento rotacional de satélites estabilizados por rotação já foram determinadas em trabalhos anteriores (QUIRELLI, 2002; ASSIS, 2004; GARCIA, 2007; CHIARADIA, 2007; CHIARADIA, 2010), considerando outros torques externos (gradiente de gravidade, aerodinâmico, magnético residual e magnético induzido). Assim este trabalho estará complementando os projetos anteriores. Com a inclusão deste torque em conjunto com os demais torques externos a solução analítica deverá representar de modo mais real o comportamento do satélite no espaço. Os resultados a serem determinados poderão ser úteis em análise de missões espaciais do Brasil.

25 O software MATLAB que será utilizado nas simulações numéricas é adequado para diversas aplicações, podendo ser utilizado por um aluno de bacharelado em Física em diversas áreas da física. 1.3 Sequência do trabalho Na sequência deste trabalho são apresentados no Capítulo 2 os Satélites Brasileiros de Coleta de Dados SCD1 e SCD2, e seus dados que serão utilizados nas aplicações da teoria desenvolvida, através da comparação dos resultados obtidos pela teoria com o comportamento real destes satélites. No Capítulo 3 são introduzidos os sistemas de coordenadas e a relação entre eles, as quais serão necessárias no desenvolvimento do trabalho. O Capítulo 4 introduz o TPRS e os diversos parâmetros envolvidos no modelo deste torque. Os componentes médios do TPRS no sistema de referência fixo no satélite, necessárias nas equações do movimento, são também determinados. No Capítulo 5 são determinadas as equações do movimento rotacional de um satélite estabilizado por rotação, para as quais são obtidas soluções analíticas quando o TPRS atua. O Capítulo 6 apresenta a determinação do erro de apontamento e do ângulo de aspecto solar, em termos da ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite, respectivamente. No Capítulo 7 é realizada a implementação numérica das soluções analíticas para ascensão reta e declinação do eixo de rotação com os dados dos satélites SCD1 e SCD2. Como as aplicações da teoria desenvolvida são realizadas para um intervalo maior do que um período orbital, os elementos orbitais são atualizados levando-se em conta as principais influências do achatamento da Terra. Na abordagem aqui realizada todos os dados de atitude e órbita são atualizados a cada 24 horas com os dados fornecidos pelo Centro de Controle de Satélites do INPE (CCS). O comportamento temporal do erro de apontamento e ângulo de aspecto solar é também avaliado para essa abordagem. Também são realizadas comparações entre as médias de erros relacionadas com os componentes da atitude do satélite, erro de apontamento e do ângulo de aspecto solar. É proposta e realizada ainda uma segunda abordagem onde se faz variar a velocidade de rotação introduzindo uma função baseada no comportamento real da velocidade de rotação. Ao fim são comparados os dados das duas abordagens.

26 Finalmente no Capítulo 8 são apresentadas as conclusões e comentários finais sobre o trabalho desenvolvido.

27 2 OS SATÉLITES BRASILEIROS DE COLETA DE DADOS Os Satélites Brasileiros de Coleta de Dados SCD1 e SCD2 podem ser considerados como os dois marcos mais importantes das atividades espaciais brasileiras, pois foram os primeiros a serem concebidos, projetados e fabricados no Brasil (WINTER & PRADO, 2007). Estes satélites possuem o eixo de rotação nominal alinhado como eixo de maior momento principal de inércia, ou seja, são satélites estabilizados por rotação e são adequadas para aplicação da teoria analítica aqui proposta. A missão do SCD1 e SCD2 consiste, basicamente, em retransmitir, em direção às estações receptoras (estações de rastreio de Cuiabá e Alcântara, no caso), os dados obtidos por uma rede de Plataformas Automáticas de Coleta de Dados Ambientais (PCD) distribuídas ao longo do território nacional. Cada plataforma, após coletar os dados relativos à sua aplicação específica, transmite-os na banda de freqüência UHF, em aproximadamente 400 MHz. Quando o satélite passa sobre a região de visibilidade (alcance das antenas) da estação, os sinais das plataformas que se encontram visíveis ao satélite são captados e retransmitidos à estação onde os dados são gravados. Após a passagem do satélite, estes dados são transmitidos ao Centro de Controle de Missão, em Cachoeira Paulista, onde, então, são processados e distribuídos aos usuários para suas análises e pesquisas. O contato entre o sistema de controle de solo e um satélite é estabelecido pelas estações de rastreio, quando o satélite passa sobre a região de visibilidade (alcance) de suas antenas. Durante períodos de visibilidade (ou passagens do satélite), o sinal transmitido pelo satélite é captado pela antena da estação, sendo estabelecido um enlace descendente de comunicação. O sinal recebido contém as informações (dados) de telemetria que revelam o estado atual de funcionamento do satélite. Uma vez estabelecido o enlace descendente, a estação estabelece também um enlace ascendente, que é utilizado para envio de telecomandos (comandos para o satélite), e execução de medidas de rastreio (distância e velocidade), utilizados para manutenção e operação do satélite. O SCD1 e o SCD2 foram injetados em órbitas semelhantes, aproximadamente circulares, com altitudes da ordem de 750 km e com 25º de inclinação em relação ao plano do equador. Esses satélites realizam aproximadamente um total de 14 órbitas a cada 24 horas. Destas 14 passagens diárias, devido à inclinação do plano orbital, em média, apenas 8 passagens consecutivas são visíveis pela estação de Cuiabá, que é a estação de rastreio primária utilizada no controle. Deste modo, a cada 24 horas, ocorre um intervalo de tempo

28 correspondente em média a 6 órbitas (aproximadamente 10 horas) em que não há passagens de um dos satélites sobre Cuiabá. Os parâmetros orbitais do SCD2 foram projetados de maneira tal que seu ciclo diário de passagens consecutivas por Cuiabá fosse complementar ao ciclo de passagens do SCD1, a fim de que o período diário em que não há passagens de um satélite seja coberto pelo outro. O SCD1 foi lançado em 9 de fevereiro de 1993 às 14:42:20 UTC e foi colocado em órbita pelo lançador norte-americano Pégasus. Neste veículo lançador o satélite é transportado fixo a um avião até um determinado ponto, onde é liberado, após alguns segundos de queda livre seus propulsores são acionados, iniciando-se o lançamento(orlando, LOPES & KUGA, 1997; WINTER & PRADO, 2007). Este satélite foi lançado com rotação de 120rpm, não possui controle de órbita e tem sua atitude estabilizada inercialmente por rotação que decai ao longo do tempo sob o efeito de torques ambientais, notadamente o torque magnético residual e os gerados pelas correntes de Foucault. Em 2002 0 SCD1 apresentava ainda uma rotação de 50 rpm (WINTER & PRADO, 2007). O SCD2, segundo satélite de coleta de dados, projetado, construído e operado em órbita pelo INPE, foi lançado em 22 de Outubro de 1998, também pelo lançador norte-americano Pégasus (KUGA, ORLANDO & LOPES, 1999; WINTER & PRADO, 2007). Exatamente às 22:12:57 horas (horário de Brasília) ocorreu a separação entre o satélite e o último estágio do lançador, concluindo o lançamento com êxito e garantindo a continuidade do Programa de Coleta de Dados Ambientais. Aproximadamente 12 segundos após a separação entre o satélite e o último estágio do foguete lançador, o SCD2 entrou na região de visibilidade (alcance) da estação de rastreio de Alcântara. A antena da estação imediatamente captou o sinal transmitido pelo SCD2, o que indicava que o transmissor de telecomunicações de serviço do satélite, que deveria ser automaticamente ativado durante a separação, estava ativo. Este satélite foi lançado com rotação de 120rpm, não possui controle de órbita e tem sua atitude estabilidade autonomamente em torno de 32rpm, através de um sistema de controle de rotação autônomo. As Tabelas 2 e 3 apresentam os dados de atitude do SCD1 e SCD2 fornecidos pelo Centro de Controle de Satélite (CCS) do INPE para o intervalo de tempo considerado nas simulações a serem realizadas. Para o SCD1 os dados fornecidos pelo CCS referem-se ao início da vida do satélite, com data inicial de 24 de julho de 1993 às 0h GMT, durante o qual o SCD1 experimentou um forte decaimento de cerca de 5rpm em 40 dias. Para o SCD2 foi

29 escolhido um período arbitrário, durante o qual foram executadas manobras de reorientação de atitude do eixo de rotação, com data inicial de 01 de fevereiro de 2002 às 0h GMT. Tabela 1 - Dados de órbita para o primeiro dia de simulação Dados SCD1 SCD2 Dia da simulação 24/07/1993 01/02/2002 Semi-eixo maior 7139615,83 m 7133679,70 m Excentricidade 0,00454 0,00175 Inclinação 25º 25,01º Ascensão reta do nodo ascendente 260,43º 88,30º Argumento do perigeu 260,23º 288,21º Anomalia média 102,89º 300,03º

30 Tabela 2 Dados do satélite SCD1 fornecidas pelo CCS/INPE, sendo α - ascensão reta do eixo de rotação, δ - declinação do eixo de rotação do satélite, W - velocidade de rotação. Dia-SCD1 ( ) ( ) (rpm) 1 24/7/1993 234,1000 77,3000 90,8100 2 25/7/1993 233,7400 77,6900 90,7100 3 26/7/1993 233,5400 78,0900 90,6200 4 27/7/1993 233,5300 78,5000 90,5200 5 28/7/1993 233,7300 78,9300 90,4200 6 29/7/1993 234,1400 79,3500 90,3300 7 30/7/1993 234,8300 79,7800 90,2300 8 31/7/1993 235,8000 80,2000 90,1200 9 1/8/1993 237,1200 80,6000 90,0200 10 2/8/1993 238,8200 80,9900 89,9100 11 3/8/1993 240,8900 81,3400 89,8100 12 4/8/1993 244,0400 81,8600 89,5400 13 5/8/1993 246,6200 82,1200 89,3500 14 6/8/1993 249,5300 82,3300 89,1600 15 7/8/1993 252,7400 82,4800 88,9700 16 8/8/1993 256,1500 82,5800 88,7900 17 9/8/1993 259,7000 82,6000 88,5900 18 10/8/1993 263,2000 82,5600 88,4100 19 11/8/1993 266,5500 82,4400 88,2200 20 12/8/1993 269,7000 82,2800 88,0300 21 13/8/1993 272,5400 82,0600 87,8500 22 14/8/1993 275,7500 81,8500 87,6100 23 15/8/1993 277,4500 81,6200 87,4200 24 16/8/1993 278,9000 81,3700 87,2400 25 17/8/1993 280,0900 81,1000 87,0600 26 18/8/1993 281,0100 80,8200 86,8800 27 19/8/1993 281,7400 80,5300 86,7100 28 20/8/1993 282,2400 80,2300 86,5400 29 21/8/1993 282,5700 79,9300 86,3700 30 22/8/1993 282,7000 79,6400 86,2100 31 23/8/1993 282,6700 79,3500 86,0400 32 24/8/1993 283,5000 79,2200 85,8800 33 25/8/1993 283,0100 78,9500 85,8000 34 26/8/1993 282,4300 78,7000 85,7300 35 27/8/1993 281,7600 78,4800 85,6600 36 28/8/1993 281,0100 78,2700 85,5800 37 29/8/1993 280,1800 78,0800 85,5100 38 30/8/1993 279,2900 77,9100 85,4400 39 31/8/1993 278,3400 77,7800 85,3700 40 1/9/1993 277,3600 77,6700 85,3100

31 Tabela 3 Dados do satélite SCD2 fornecidas pelo CCS/INPE, sendo que os dias destacados representam a ocorrência de controle de atitude. Dia-SCD2 ( ) ( ) (rpm) 1 1/2/2002 281,7200 62,7400 34,5700 2 2/2/2002 281,5300 62,9499 34,5900 3 3/2/2002 281,3800 63,2019 34,6100 4 4/2/2002 281,2800 63,4429 34,6300 5 5/2/2002 280,0500 63,3900 34,6300 6 6/2/2002 280,0600 63,4747 34,6200 7 7/2/2002 280,0900 63,5517 34,6200 8 8/2/2002 280,1300 63,6142 34,6100 9 9/2/2002 280,1800 63,6780 34,6100 10 10/2/2002 280,2500 63,7348 34,6000 11 11/2/2002 280,3100 63,7863 34,6000 12 12/2/2002 278,7100 63,4700 34,4800 13 13/2/2002 278,7300 63,5146 34,4200 14 14/2/2002 278,7400 63,4636 34,3700 15 15/2/2002 278,7400 63,4090 34,3100 16 16/2/2002 278,7200 63,3570 34,2600 17 17/2/2002 278,6800 63,3160 34,2000 18 18/2/2002 278,6300 63,2964 34,1400 19 19/2/2002 278,5700 63,2926 34,0800 20 20/2/2002 278,5000 63,3014 34,0200 21 21/2/2002 278,4200 63,3170 33,9600 22 22/2/2002 278,3300 63,3421 33,9000 23 23/2/2002 278,2300 63,3590 33,8300 24 24/2/2002 276,6000 61,2200 33,6900 25 25/2/2002 276,4200 61,1443 33,6900 26 26/2/2002 276,2000 60,9304 33,5500 27 27/2/2002 275,9400 60,7028 33,4800 28 28/2/2002 275,6400 60,4678 33,4000 29 1/3/2002 273,7500 59,4002 33,4300 30 2/3/2002 273,3900 59,1207 33,4100 31 3/3/2002 272,9700 58,8507 33,3800 32 4/3/2002 272,5200 58,5730 33,3500 33 5/3/2002 271,6300 58,2500 33,3400 34 6/3/2002 271,1400 57,9950 33,3600 35 7/3/2002 270,6300 57,7446 33,3800 36 8/3/2002 270,0700 57,5159 33,4000 37 9/3/2002 269,4900 57,3094 33,4200 38 10/3/2002 268,8700 57,1157 33,4400 39 11/3/2002 268,2400 56,9538 33,4600 40 12/3/2002 267,8400 56,7966 33,5100

32 3 SISTEMAS DE COORDENADAS Neste Capítulo são introduzidos os sistemas de referência que serão utilizados durante o desenvolvimento deste trabalho, bem como as matrizes de rotação que os relacionam. As matrizes de rotação são definidas em termos de conjuntos de ângulos de Euler, que envolvem os elementos orbitais (longitude do nodo ascendente (), inclinação orbital (I), anomalia verdadeira (), argumento do perigeu ()), a ascensão reta (α) e declinação do eixo de rotação (δ) do satélite e a velocidade rotação do satélite (W). As matrizes de rotação que relacionam os diversos sistemas de referência são utilizadas para determinar os componentes do TPRS no sistema fixo no satélite, os quais são necessários nas equações do movimento rotacional de satélites estabilizados por rotação. 3.1 Sistema de Coordenadas Geocêntrico O sistema de coordenadas denominado geocêntrico, representado por O XYZ, possui sua origem no centro de massa da Terra, com o plano de referência O XY paralelo ao plano do equador terrestre, com o eixo O X apontando na direção do ponto vernal (intersecção do plano da eclíptica com o plano do equador terrestre), o eixo O Z na direção do pólo norte e o eixo O Y forma o sistema dextrógiro. Os vetores unitários deste sistema são representados por (BATE, 1971). Este sistema está representado na Figura 1. Figura 1 Representação do sistema geocêntrico O XYZ

33 3.2 Sistema de Coordenadas Equatorial Neste sistema OXYZ, representado na Figura 2, a origem coincide com o centro de massa do satélite O e os eixos são paralelos aos do sistema geocêntrico (KUGA, FERREIRA & GUEDES, 1987). Assim os vetores unitários deste sistema também são representados por. Figura 2 Representação do sistema equatorial OXYZ 3.3 Sistema de Coordenadas do Satélite O sistema do satélite Oxyz (KUGA, SILVA & GUEDES, 1987) possui sua origem no centro de massa do satélite O, com o eixo Oz na direção do eixo de rotação do satélite (), com o plano Oxy sendo perpendicular a Oz, com o eixo Ox na intersecção de Oxy com o plano equatorial OXY e o eixo Oy formando o sistema dextrógiro. O plano Oxy é chamado de plano de rotação e os vetores unitários deste sistema são representados por. Este sistema esta representado na Figura 3, juntamente com o sistema equatorial, onde também estão representados os ângulos da ascensão reta α e declinação δ que expressam a posição do eixo de rotação em relação ao sistema equatorial, sendo definidos por: α ângulo que a projeção do eixo de rotação no plano OXY forma com o eixo OX; δ- ângulo que o eixo de rotação forma com o plano OXZ.

34 Figura 3 - Sistema equatorial (X,Y,Z), sistema do satélite (x,y,z), ascensão reta (α) e declinação (δ) do eixo de rotação Oz 3.4 Sistema de Coordenadas Principal O sistema de coordenadas principal Ox*y*z* tem sua origem no centro de massa do satélite e possui seus eixos coincidentes com as direções dos eixos principais de inércia do satélite. Se considerarmos que o eixo Oz* está associado com o maior momento principal de inércia do satélite, então o eixo Oz do sistema do satélite é coincidente com o eixo Oz* deste sistema. Os versores deste sistema são representados por. 3.5 Sistema de Coordenadas Orbital O sistema orbital possui sua origem no centro de massa da Terra O e está associado com o movimento translacional do satélite em torno da Terra, sendo que o plano

35 coincide com o plano orbital, o eixo está na direção radial (que une o centro de massa da Terra ao centro de massa do satélite), é perpendicular ao plano orbital e forma o sistema dextrogiro. Os vetores unitários deste sistema são representados por. Este sistema está representado na Figura 4, juntamente o sistema geocêntrico e os ângulos de longitude do nodo ascendente, argumento do pericentro ( ), inclinação orbital (I) e anomalia verdadeira (). Figura 4 - Sistema Geocêntrico (O XYZ) e Sistema Orbital (O x s y s z s ). 3.6 Relações Entre Sistemas de Coordenadas Neste item serão introduzidas as matrizes de rotação que relacionam os diversos sistema de coordenadas.

36 3.6.1 Sistema de Coordenadas Equatorial e do Satélite Na Figura 3 observamos que o sistema do satélite Oxyz (com versores ) é obtido do sistema equatorial OXYZ (com versores) por uma seqüência de duas rotações (KUGA, SILVA & GUEDES, 1987): - (α - 270 ) no eixo OZ; - (90 δ) no eixo Ox; de modo que a relação entre estes dois sistemas é dada por: (3.1) ou seja: (3.2) com (3.3) Logo substituindo a equação (3.3) em (3.2) e efetuando os produtos, tem se que os vetores unitários do sistema do satélite são expressos no sistema equatorial através de: (3.4) Na determinação dos componentes dos torques externos ao longo deste trabalho muitas vezes será necessário representar os versores do sistema equatorial em termos do sistema do

37 satélite. Como a matriz de rotação é ortogonal, ou seja, sua inversa é igual a sua transposta, a partir da equação (3.2) tem-se: (3.5) Deste modo os vetores unitários () podem ser representados em termos dos vetores unitários do sistema do satélite (), utilizando a transposta da matriz Q 1, através de: (3.6) 3.6.2 Sistema de Coordenadas Geocêntrico e Orbital O sistema orbital (Figura 4) relaciona-se com o sistema geocêntrico através dos elementos orbitais (longitude do nodo ascendente, a inclinação orbital (I), e a latitude verdadeira ( + )), ou seja, o sistema orbital (com versores ) é obtido do sistema equatorial (versores ) através da seqüência de ângulos de Euler 3-1-3, ou seja são necessárias três rotações consecutivas: I - rotação de no eixo OZ; II - rotação de I no eixo intermediário Ox ; III - ( v) no eixo Oz S. Realizando as três rotações necessárias encontramos a relação expressa por: (3.7)

38 onde (3.8) e (3.9) 3.6.3 Sistemas de Coordenadas do Satélite e Orbital A relação entre os sistemas de coordenadas orbital e do satélite () é obtida utilizando as relações dadas nas Eqs (3.5) e (3.7), de modo que: (3.10) Efetuando os cálculos tem-se: (3.11)

39 com (3.12) 3.6.4 Sistemas de Coordenadas do Satélite e Principal O eixo Oz do sistema do satélite é coincidente com o eixo Oz* do sistema principal. Estes dois sistemas estão representados na Figura 5, na qual pode se observar que o sistema principal é obtido do sistema do satélite através de uma rotação no eixo Oz de um ângulo de rotação θ, ou seja(pereira, 2011): (3.13)

40 com (3.14) Figura 5 - Sistema do satélite (Oxyz) e sistema principal (Ox*y*z*) No instante inicial considera-se que os dois sistemas são coincidentes, de modo que o ângulo de rotação θ, entre o eixo Ox* do sistema principal e o eixo Ox do sistema do satélite, no instante inicial é zero e a cada instante t é dado por θ = W t (3.15) sendo W a velocidade de rotação do satélite ao longo do eixo de maior momento principal de inércia do satélite (I z ). 3.6.5 Sistemas de Coordenadas do Orbital e Principal A equação (3.10) fornece a relação entre o sistema orbital e do satélite, através da matriz de rotação Q 3. A equação (3.13) fornece a relação entre o sistema principal e o sistema

41 do satélite, através da matriz Q 4. Assim a relação entre o sistema orbital e principal * * * ( î, ĵ,kˆ ) é determinada substituindo (3.13) em (3.10)(PEREIRA, 2011): (3.16) Com (3.17) temos assim: (3.18) sendo (3.19)

42 3.6.6 Sistemas de Coordenadas Equatorial e Principal A equação (3.5) fornece a relação entre o sistema equatorial e do satélite, através da matriz de rotação Q 1. A equação (3.13) fornece a relação entre o sistema principal e o sistema do satélite, através da matriz Q 4. Assim a relação entre o sistema equatorial e principal é determinada substituindo (3.13) em (3.5): com (3.20) (3.21) Temos assim: (3.22) sendo (3.23)

43 4 TORQUE DE PRESSÃO DE RADIAÇÃO SOLAR DIRETA Neste Capitulo será introduzido um modelo matemático para o Torque de Pressão de Radiação Solar(TPRS) bem como serão determinados os componentes desse torque no sistema principal e do satélite. O modelo matemático para o TPRS foi desenvolvido por Zanardi (1993) para um satélite em órbita elíptica, utilizando variáveis de Andoyer para descrever o movimento rotacional, com aplicação para um satélite cilíndrico circular. Neste Capítulo o modelo é adaptado para um satélite estabilizado por rotação em órbita circular. 4.1 Conceito de Força e Torque de Pressão de Radiação Solar A Pressão de Radiação Solar é gerada pelo contínuo fluxo de fótons que se chocam com a superfície do satélite, podendo esta absorver ou refletir este fluxo. A taxa da quantidade de movimento de todos os fótons incidentes na superfície do satélite origina a Força de Radiação Solar, a qual pode causar consideráveis perturbações em órbitas de veículos espaciais de grande razão área por massa, bem como pode gerar um torque (Torque de Pressão de Radiação Solar). As fontes importantes de radiação para um satélite terrestre são apenas o Sol e a Terra. A radiação provida da Terra possui duas parcelas significativas: a radiação solar refletida difusamente pela superfície da Terra, chamada de albedo terrestre, e a radiação terrestre, que é a emissão espontânea na faixa do infra-vermelho, proporcional à quarta potência da temperatura absoluta da superfície terrestre. Quando é considerada apenas a radiação incidente no satélite oriundos diretamente do Sol define-se a Pressão de Radiação Solar Direta. A Força de Pressão de Radiação Solar Direta afeta principalmente a excentricidade e o semi-eixo da órbita do satélite. A sua variação é praticamente independente da altitude do satélite: começa a predominar sobre a força aerodinâmica a partir dos 700 km. É grande a sua influência nos satélites geoestacionários (que se encontram aproximadamente 36.000 km de altitude da superfície da Terra) (VILHENA DE MORAES, 1978).

44 Tanto o albedo quanto a radiação terrestre atuam quase que exclusivamente na vertical, aumentando o semi-eixo orbital. A radiação terrestre é extremamente simétrica com relação a vertical local, tornando a detecção dos seus efeitos bastante difícil e complexa. O albedo é cerca de 90% menor que a radiação solar direta a 700 km de altitude e a radiação terrestre é aproximadamente 93% menor que a radiação solar direta. Ambos decrescem com o aumento da altitude (VILHENA DE MORAES, 1978). Neste trabalho é considerado o torque devido à força de pressão radiação solar direta, cujos componentes no sistema do satélite são introduzidos nas equações do movimento rotacional de modo a analisar sua influência na atitude do satélite estabilizado por rotação, considerando o satélite sempre iluminado. 4.2 Pressão de Radiação Solar A taxa de variação de energia radiante por unidade de área é denominada fluxo de energia radiante. Ou seja: (4.1) O fluxo de energia radiante incidente em um elemento de superfície a uma distância de uma unidade astronômica, que equivale à a s = 1,49597870 x 10 11 m, é chamado constante solar. O valor atribuído para a constante solar é S 0 = 1,353 kw/m 2, com erro de 1,5% (ZANARDI, 1993). Como o fluxo de energia radiante é proporcional ao quadrado da distância heliocêntrica, então: (4.2) onde R é a distância heliocêntrica da superfície atingida pelo fluxo. Determina-se a Pressão de Radiação Solar quando o fluxo de energia radiante for perpendicular à superfície em questão:

45 (4.3) onde c é a velocidade da luz. Convém explicitar a distância R na expressão acima, reescrevendo-a: (4.4) onde 1,01 x 10 17 kg m/s (ZANARDI, 1993). 4.3 Força de Pressão de Radiação Solar Direta Considerando que uma parcela de todos os fótons que chocam com a superfície é refletida difusamente ou especularmente e a outra parte (1- ) é absorvida pela superfície e novamente irradiada isotropicamente na vizinhança do espaço; que é o total de fótons refletidos especularmente pela superfície; e que os fótons refletidos difusamente obedecem à Lei de Lambert, haverá uma expressão para o Elemento de Força de Pressão de Radiação Solar sobre um infinitesimal de área (ds) dada por (ZANARDI, 1993): (4.5) onde é o coeficiente de reflexão total, é o coeficiente de reflexão especular, n é o vetor unitário da direção normal à superfície, u é o vetor unitário na direção de incidência do fluxo de radiação solar sobre o elemento de superfície ds e θ i é o ângulo de incidência, ângulo entre os versores e como indica a Figura 6.

46 Figura 6 - Geometria da incidência da luz solar sobre o elemento de superfície. Então, a Força de Pressão de Radiação Solar sobre toda a superfície do satélite é dada pela integral sobre toda a superfície do satélite na qual há a incidência da luz solar, ou seja: (4.6) 4. 4 Torque de Radiação Solar e Suas Componentes O Torque de Pressão de Radiação Solar (TPRS) em torno do centro de massa do satélite (CM) devido à força de pressão de radiação solar elementar é dada por: (4.7) em que r é o vetor posição de um elemento de área ds do satélite com relação à origem (CM) de um sistema de referência, o qual está fixado no satélite, como indica a Figura 7. Portanto, realizando o produto vetorial e efetuando a integral sobre toda a superfície S do satélite na qual há a incidência da luz solar, é obtido o TPRS total sobre o satélite: (4.8)

47 As equações dinâmicas do movimento de satélite artificial necessitam dos componentes dos torques em um sistema fixo no satélite, usualmente o Sistema Principal. Este torque não é contínuo, pois ele só existe quando o satélite está iluminado. A Terra pode fazer sombra no satélite, bem como a disposição de seus componentes ou mesmo a sua forma podem contribuir para isso. Para introduzir a descontinuidade do TPRS nas equações do movimento, é utilizado uma função auxiliar, chamada Função Sombra (VILHENA DE MORAES & ZANARDI, 1997), que não se enquadra no enfoque deste trabalho como mencionado anteriormente. Para obter as componentes do torque no sistema de eixos principais é preciso determinar a direção de incidência da luz ( u ), a direção normal à superfície ( n ), o vetor posição ( r ) do elemento de área ds com relação ao centro de massa (CM) do satélite, o vetor de posição ( R ' ) do Sol em relação ao elemento de área ds e o ângulo de incidência ( ) entre u e n, representando-os no Sistema de Eixos Principais do Satélite em termos de elementos orbitais e da orientação espacial do satélite (I, θ, ν+ ω, Ω, α, δ) e elementos do posicionamento do Sol (ascensão reta do Sol α s, declinação do Sol s ). Para isso algumas considerações são necessárias (ZANARDI, 1993): 1. Como as dimensões do satélite são extremamente pequenas em relação a distância satélite-sol, então consideraremos que o vetor posição R' é o próprio vetor R, que une o Sol ao CM do satélite; Figura 7 - Posicionamento do CM do satélite e do elemento de superfície em relação ao sol 2. r e n dependem da forma do satélite. Representaremos suas componentes no Sistema Principal do satélite por:

48 (4.9) sendo os versores do Sistema Principal; 3. Por conveniência é representado o vetor do Sol ( R ) em relação ao centro de massa (CM) do satélite em termos do vetor que une a Terra e o Sol ( R s ) e o vetor que une o CM do satélite e ao CM da Terra ( r ' ), como mostra a Figura 8. Figura 8: Disposição dos vetores que unem o satélite, a terra e o sol A partir da Figura 8 pode-se escrever: (4.10) a) Vetor posição do CM do satélite em relação ao CM da Terra r ' Seja o Sistema Orbital cujos vetores unitários são dado por S, S, S, e seja o Sistema Principal, cujos vetores unitários são. Através da matriz de rotação entre os dois sistemas, dada na equação (3.17), temos : (4.11) onde, sendo a o semi-eixo maior, e a excentricidade da órbita e é a anomalia verdadeira, e (a 1, a 2 e a 3 ) são as componentes da matriz de rotação dadas na equação (3.19);

49 b) Vetor posição do Sol em relação ao CM da Terra R S Considerando o Sistema Equatorial e o Sistema do Satélite pode-se utilizar a matriz de rotação entre o Sistema Principal e o Sistema Equatorial dada na equação 3.21, resultando em (ZANARDI, 1993): (4.12) onde (4.13) sendo a S é a distância média entre o Sol a Terra, dada por: (4.14) S é a ascensão reta e S é a declinação do Sol e b i, i = 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9, são os elementos da matriz de rotação entre o Sistema Equatorial e o Sistema Principal, dados pela equação (3.21). Logo o módulo de é determinado por: (4.15) 4. A direção ( u ) e o ângulo ( ) de incidência da luz solar, representados nas Figuras 6 respectivamente, são dados por: (4.16) (4.17)

50 cujas componentes são: (4.18) e (4.19) com a 1, a 2 e a 3 os elementos da matriz de rotação, dados pela equação (3.19). Todos os parâmetros já estão definidos no Sistema de Eixos Principais, substituindo estes parâmetros na expressão (4.8) é obtido: (4.20) onde (4.21)

51 (4.22) (4.23) sendo que, (4.24) (4.25)

52 (4.26) (4.27) 4.5 Aplicação ao Satélite Cilíndrico Para aplicar as equações do torque deve-se conhecer as características geométricas e orbitais e os momentos principais de inércia do satélite. O modelo aqui apresentado é válido para um satélite cilíndrico, com raio e altura h, com os momentos principias de inércia em relação aos eixos x e y iguais (I x =I y ). O maior momento principal de inércia (I z ) é em relação ao eixo z, sendo o eixo z perpendicular às bases do cilindro. Com isso, o CM do satélite coincide com o seu centro geométrico. Admitindo-se também que o satélite está sempre iluminado. Os valores numéricos para a ascensão reta e na declinação do Sol são assumidos conhecidos e fornecidos pelo ASTRONÔMICAL ALMANAC (2011). As superfícies iluminadas do satélite cilíndrico são a base (S 1 ) e parcialmente a lateral (S 2 )(ZANARDI, 1993).

53 Figura 9 - Superfícies iluminadas do satélite cilíndrico Vamos analisar cada superfície separadamente, sendo que a representação de cada uma delas pode ser feita em termo de coordenadas cilíndricas no Sistema Principal (ZANARDI, 1993; VILHENA DE MORAIS & ZANARDI, 1997). Superfície S 1 (base) Figura 10 - Coordenadas cilíndricas para a base (S 1 ) do satélite Consideremos as coordenadas cilíndricas (z,, ), como mostra a Figura 10. As variações das coordenadas são as seguintes: (4.28) (4.29) (4.30)

P 54 Expressando n 1 e r 1 em coordenadas cilíndricas: (4.31) (4.32) Portanto, a expressão do TPRS para a base (S 1 ) fica (ZANARDI, 1993): (4.33) É interessante observar que 1 e 1 poderiam variar no intervalo de tempo considerado, porém é adotado valores médios fixos conhecidos para estes coeficientes para que possam ser considerados constantes no processo de integração. Superfície S 2 (lateral) Figura 11- Esquematização lateral iluminada S 2