P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 1 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Trata-se de uma permutação com repetições, ou seja, é uma sequência de oito letras em que a letra repete-se duas vezes e a letra três vezes. O número de chaves distintas é dado por. Outra resolução: Começa-se por escolher duas posições entre as oito para as letras, em seguida três posições entre as restantes seis para as letras. Finalmente as três letras que faltam, que são distintas, permutam nas restantes três posições de maneiras. O número de chaves distintas é dado por: Resposta: A 2. Um vetor diretor da reta definida por por pode ser. Como o plano é perpendicular à reta, então o vetor é um vetor normal a e portanto o plano pode ser definido por uma equação da forma. Como o ponto de coordenadas pertence ao plano, substituindo-o na equação vem. Então uma equação cartesiana do plano é. O número de casos possíveis é. O ponto pertence ao plano se as suas coordenadas satisfizerem a equação, ou seja, se a soma das suas coordenadas for. Assim nos três lançamentos pode sair a sequência:, o número de maneiras de ocorrer esta sequência é (permutações com repetições);, o número de maneiras de ocorrer esta sequência é ;, o número de maneiras de ocorrer esta sequência é ;, o número de maneiras de ocorrer esta sequência é ;, o número de maneiras de ocorrer esta sequência é. Logo, o número de casos favoráveis é e probabilidade pedida é. Resposta: B Nota: A sequência pode ocorrer de maneiras distintas (permutações de três elementos em que dois são repetidos), que são, e. A sequência pode ocorrer de maneiras distintas (permutações de três elementos distintos), que são,,,, e. 3. Sabe-se que. A média da variável aleatória é, portanto: www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 1
Assim: { { { { { 4. Tem-se. Assim: Resposta: D Resposta: B 5. A resposta correta é a ID, pois sendo uma progressão aritmética de razão e, o seu termo geral é do tipo. Logo e portanto, pela definição de limite segundo Heine: Resposta: D 6. Tem-se que e que. Assim: Como o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em ] ] e tem a concavidade voltada para cima em [ [, então e. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: p.i. p.i. No intervalo [ [, o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima. Resposta: A www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 2
7. Tem-se, portanto. Assim: ( ) A imagem geométrica de pertence à bissetriz dos quadrantes pares se ( ) ( ). Portanto: ( ) ( ) Resposta: D 8. A condição representa um círculo de raio centrado na imagem geométrica de. A condição (z) (z ) π A representa duas semirretas com origem na imagem geométrica de e que fazem um ângulo de amplitude e com o semieixo B O (z) real positivo, respetivamente. Na figura o ponto é a imagem geométrica de e o ponto é a imagem geométrica de. (z ) π Resposta: C GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 1. 1.1. Cálculos Auxiliares: Para escrever na forma trigonométrica, vem:. Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 3
1.2. { } { } { } Portanto as soluções da equação são, e. Na figura, o ponto é a imagem geométrica de, o ponto é a imagem geométrica de e o ponto a de. O triângulo [ ] é equilátero, assim: (z) [ ] B D A [ ] O (z) 2. 2.1. O número de casos possíveis é. Agrupando num bloco as três figuras e o ás de espadas, o bloco e as restantes nove cartas permutam entre si de Maneiras. Para cada uma destas maneiras as quatro cartas do bloco permutam entre si de maneiras. Logo o número de casos favoráveis é (observa a figura seguinte) e portanto a probabilidade pedida é. Outra resolução: Considerando apenas os lugares que as figuras e o ás podem ocupar, tem-se que o número de casos possíveis é (número de maneiras de escolher quatro lugares entre treze). O número de casos favoráveis é (ficando as quatro cartas juntas, elas podem ocupar os lugares do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares). Portanto a probabilidade pedida é. Observa a figura seguinte: maneiras distintas www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 4
Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A 2.2. ( ) designa a probabilidade das quatros cartas retiradas serem de naipes distintos, sabendo que a primeira carta é do naipe espadas e a segunda carta é do naipe copas. Como já foram retiradas duas cartas, ficam no baralho cartas. Logo, o número de casos possíveis é (é o número de maneiras de extrair, ordenadamente, duas cartas entre as restantes). Visto que as duas primeiras cartas retiradas foram do naipe espadas e do naipe copas, respetivamente, então as duas seguintes terão de ser do naipe paus e do naipe ouros (ou vice-versa). Cada um desses naipes tem treze cartas, assim o número de casos favoráveis é. Pela lei de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer uma das cartas tem igual probabilidade de ser escolhida, a lei de Laplace pode ser aplicada a este problema. Portanto, ( ). 3. Tem-se: ( ) ( ) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 4. A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de, quando. Assim, ( ). Determinando o declive e a ordenada na origem da assíntota oblíqua do gráfico de em função de e, vem: e. Logo. ( ) Portanto www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 5
Como a função é contínua em então também é contínua em e portanto: Assim: ) Se então (limite notável). i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Logo, 5. 5.1. Tem-se: Como ] [, tem-se. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: n.d. n.d. n.d. n.d. min. A função é decrescente em ] ], é crescente em [ [ e tem mínimo relativo em. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 6
5.2. Tem-se. Seja. A função é contínua em ] [ pois é a diferença entre funções continuas em ] [. Logo, é contínua em [ ] ] [. Tem-se: Assim, como e têm sinais contrários (e portanto ), pelo corolário do teorema de Bolzano ] [:, ou seja, a equação tem pelo menos uma solução em [ ]. 6. A afirmação com o passar do tempo o número de leões tende para os indivíduos pode ser traduzida matematicamente por. Assim: Portanto. Com as condições e podemos formar um sistema para determinar e : { { { { { { { { { { Logo,, e. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 7
7. 7.1. Tem-se: π y O x π Outra resolução: Substituindo por números inteiros, e sabendo que [ ], obtemos: Portanto, o conjunto solução da condição [ ] é: { } www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 8
7.2.1. Seja. Tem-se que, assim: ( ) Q B P ( ) C R O S A Como ] [, então. Outra forma de mostrar que Tem-se que. Assim: ( ) ) i), pois e são perpendiculares e a amplitude do ângulo formado por e é, pois e são colineares com sentidos opostos. Como e, vem: 7.2.2. Seja o ponto de interseção do segmento de reta [ ] com o segmento de reta [ ]. O ponto é simétrico do ponto em relação à reta, portanto e e. Assim: [ ] www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 9
Cálculos auxiliares: Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se e na janela de visualização [ ] [ ]. y f O a b π α Assim, ] [, com e. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 10