Exercícios 1. k q k q r x y z 3.3. V r V r 3.4. Para o anel uniformemente carregado na figura, determine a força elétrica de interação, usando a relação F qe a uma distância x do centro O. 3.5. Encontre a velocidade máxima adquirida pela carga q = +5nC a distâncias x muito grandes, para o caso do anel uniformemente carregado (a) e o disco uniformemente carregado (b). Use U V q (a) = +nc/m 1 Encontre a força que duas cargas colocadas em contato, cada uma com carga de +C, exerceram entre si quando estiverem a uma distância de mm, no aparato utilizado por Coulomb. Dado: Constante do vácuo: 1 k 9 1 4 9 N m C Permissividade do vácuo: 1 8.84 1 4 k 1 m C N Q V( x) 4 x a 1 Q x E 3 4 ( x R ) (b) = 5nC/m. V ( x) x R x Ez ( r) 1 R x x q q C; q C 1 3 3. Sabe-se que, para um dado potencial elétrico V, o campo elétrico é encontrado fazendo o cálculo do vetor gradiente: E V V ˆ E i V ˆ j V kˆ x y z Calcule o campo elétrico para os seguintes potenciais: 3.1. V(x,y) = y x +3xy x+y (V) 3 3.. V x x ( V) 4. Observe que, no caso do disco, quando R tender a infinito, teremos: teremos: x lim Ex( r) 1 lim R R R x Ex( r) Esse é o campo de um plano infinito? Justifique. 5. Mostre que, para um dipolo elétrico, de momento de dipolo p fazendo um ângulo = 35 com um campo elétrico 5 1 5 N E i ˆ C.
d (a) Se p q d, e q 19 1.61 C e 1 1.5 1 m, ache o valor do momento de dipolo p. (b)encontre o torque sobre o dipolo elétrico. p E p E sen (c) A energia potencial do sistema na posição indicada. U p E U p E cos 6. Encontre o campo elétrico resultante e o potencial do dipolo abaixo, a uma distância y do centro do dipolo. Escreva a resposta em termos do momento de dipolo e discuta o caso em que a distância y é muito maior que d. O momento de dipolo da água vale 1.85 D, onde D é o Debye, que equivale a: D 3 3.331 C m (Coulomb x metro). Transforme o momento de dipolo da água em unidades Debye para C.m. Texto: extraído de: http://pt.wikipedia.org/wiki/água_(substância) A água pura e sem íons é um excelente isolante elétrico, mas nem mesmo a água deionizada é completamente sem íons. A água sofre auto-ionização a qualquer temperatura acima do zero absoluto. Além disso, por ser um solvente de grande eficiência, quase sempre apresenta algum soluto dissolvido, mais freqüentemente um sal. Se a água contiver mesmo uma pequena quantidade de tal tipo de impureza, poderá conduzir eletricidade, pois as impurezas como o sal se separam em íons livres numa solução aquosa pela qual uma corrente elétrica pode fluir. A água pode ser separada em seus elementos constituintes, hidrogênio e oxigênio, fazendo-se passar uma corrente elétrica por ela. Esse processo se chama eletrólise. Neste processo, as moléculas de água se dissociam naturalmente em íons H + e OH, que são induzidos em direção aos eletrodos denominados cátodo e ânodo. No cátodo, dois íons H + ganham elétrons e formam gás H. No ânodo, quatro íons OH se combinam e liberam gás O, moléculas de água, e quatro elétrons. Os gases produzidos borbulham até a superfície, onde podem ser coletados. Sabe-se que a resistividade elétrica máxima teórica da água é de aproximadamente 18 kω m²/m (ou 18, MΩ cm²/cm) a 5 C. Esse valor é compatível com o que tipicamente se vê na osmose inversa e em sistemas de água ultrapura ultrafiltrada e deionizada usados, por exemplo, em fábricas de semicondutores. Um nível de contaminante salino ou ácido que exceda 1 partes por trilhão em volume (ppt v:v) em água ultrapura começa a baixar perceptivelmente seu nível de resistividade em até vários kω m²/m (uma variação de várias centenas de ns/m de condutância). abaixo. 8. Calcule o torque sobre o dipolo elétrico Suponha 8 1 4 N E i ˆ C ; 19 1 q1.61 Ce d 1.5 1 m 7. 9. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico, consideramos uma área A que representa uma superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de campo elétrico. Definimos por: S D ds Q Ou i S Qi E ds
Qual o fluxo sobre a superfície fechada indicada? Determine o fluxo sobre a superfície esférica a seguir indicada. 1. 1. Um capacitor de placas paralelas e planas tem as placas quadradas com o lado de 1cm, separadas por 1mm. (a) Calcular a capacitância do capacitor. (b) Se o capacitor for carregado a 1 V, que quantidade de carga foi transferida de uma para outra placa? A Dado: C d 1 C 8,85 1 Nm A l 3 d 1mm 1 m 13. Na figura, determine o Campo elétrico de uma carga elétrica puntiforme q usando a Lei de Gauss. S qi E ds 3 14. Qual a relação entre o número de linhas que saem da carga positiva e penetram na carga negativa da figura? fluxo. Encontre a relação entre a carga e o 11. 15.
Mostre que, usando a Lei de Gauss: S qi E ds o campo no interior e no exterior de um condutor como mostra a figura acima vale: E no interior. nˆ, na parte externa da superfície e 16.. Calcule, pela Lei de Gauss: (a) o campo elétrico de uma esfera sólida de densidade de carga volumétrica e raio R. 4 Calcule, pela Lei de Gauss, o campo elétrico de uma esfera oca de densidade de carga superficial. 17. Calcule, pela Lei de Gauss, o campo elétrico de um fio infinito de densidade de carga linear. 18. Calcule, pela Lei de Gauss, o campo elétrico de um plano infinito de densidade de carga superficial. (b) O campo elétrico gerado por um cilindro sólido de comprimento infinito, de raio R e com densidade volumétrica de carga e carga total Q. S S E ds Qi E ds qi se r R Q se r R Com: q V q r L i i Q V qi R L S E ds r L Er 19. Suponha duas placas paralelas infinitas de densidade de carga + 1 e -. Encontre o campo elétrico resultante nos pontos a, b e c da figura abaixo. Termine agora,...
1. 3. Explique o termo gaiola de Faraday.. 5 Qual seria a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico no interior da esfera oca? Explique.. integral 4. Usando a Lei de Gauss, determine a Si Qi E ds Para as diferentes superfícies. Observando o esquema do gerador de Van der Graaff acima, qual a máxima carga que se pode carregá-lo, supondo a rigidez dielétrica do ar de E max = 3.1 6 V/m. 5. Uma pequena esfera oca concêntrica, de raio interno a e externo b é concêntrica com uma grande esfera oca concêntrica de raio interno c e raio externo d. A carga total na esfera oca interna é +q e na esfera oca externa é +4q. Determine o campo elétrico em qualquer valor de r. (r é a distância de um ponto ao centro da esfera).
8. 6. 6 Converta 1Gev, 1Tev e 1Mev para J (Joules). 9. 1eV 1.6 1 19 J 7. Discuta como varia o potencial elétrico com a distância à carga elétrica nas situações (a) e (b), ao longo da linha de força. Determine a força elétrica sobre a partícula de carga 1nC entre os pontos a e b e a energia potencial nesses pontos. 3. Mostre que o potencial elétrico em um ponto r, é dado pela expressão acima, usando a expressão: V E dl final inicial
31. Determine o potencial elétrico que atua na região entre as placas separadas pela distância d do capacitor de placas paralelas indicado, onde há um campo elétrico uniforme E e a energia potencial elétrica na carga q. 33. Determine a distância y com que o elétron atinge a tela. Despreze o peso do elétron. 7 3. Indique as propriedades das superfícies equipotenciais observando as figuras acima. 34. (a) Determine a distância y vertical com 19 que o elétron de carga elétrica q 1.6 1 Ce massa me e 31 9.111 kg atinge a tela S, se v e o campo elétrico na região entre s as placas vale: 3 E 1 N ˆj C 6 6.5 1 m iˆ (b) Na figura vemos uma representação do tubo de raios catódicos: Suponha que entre as placas de deflexão vertical de comprimento l = 8 cm atue um campo elétrico E 5 N ˆj e um elétron penetra com C m velocidade v 5 1 6 ˆ i i. s
detectado por um circuito eletrônico apropriado e convertido em um clique audível. Suponha que o raio do fio central seja igual a 145µm e o raio do cilindro oco seja de 1,8 cm. Qual deve ser a diferença de potencial entre o fio e o cilindro para que se produza um campo elétrico igual a,.1 4 V/m a uma distância de 1, cm do fio? (b.1) Qual a aceleração do elétron? Despreze seu peso comparado com a força elétrica. (b.) Calcule o tempo que o elétron leva para percorrer a distância l. (b.3) Qual a deflexão vertical y quando o elétron acabar de percorrer essa distância horizontal l? 35. Encontre o campo elétrico e o potencial elétrico no centro do cubo. 36. Uma pequena esfera oca de massa 1.6g está pendurada por um fio isolante entre placas paralelas verticais separadas por uma distância igual a 5 cm. A carga da esfera é 8.9.1-6 C. Calcule a diferença de potencial entre as placas para que o fio fique inclinado de 3 em relação à horizontal. 37. Um contador Geiger detecta radiações como as partículas alfa, usando o fato de que uma radiação ioniza o ar ao longo de sua trajetória. Ao longo do eixo de um cilindro metálico oco existe um fio fino que está isolado do cilindro. Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo, mantendo-se o fio em um potencial mais elevado; isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para fora do fio. Quando uma radiação ionizante entra no dispositivo ocorre ionização de algumas moléculas de ar. Os elétrons livres produzidos são acelerados no sentido do fio pelo campo elétrico e, quando eles aproximam do fio, ionizam muitas outras moléculas de ar. Logo, um pulso de corrente elétrica é gerado e pode ser 38. Um precipitador eletrostático usa forças elétricas para remover partículas poluentes originárias de fumaça, em particular fumaças expelidas em usinas que queimam carvão. Um tipo de precipitador é constituído por um cilindro metálico oco vertical com um fio fino ao longo de seu eixo que está isolado do cilindro. Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo, mantendo-se o fio em um potencial mais baixo. Isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para o interior do cilindro. O campo elétrico produz uma região com ar ionizado nas vizinhanças do fio. A fumaça entra pela base do precipitador, as cinzas e a poeira absorvem os elétrons e os poluentes carregados são acelerados para as paredes externas do cilindro pelo campo elétrico. Suponha que o raio do fio central seja 9 µm, o raio do cilindro oco seja igual a 14, cm e que uma diferença de potencial de 5 kv seja estabelecida entre o fio e o cilindro. Seuponha também que o fio e o cilindro possuam comprimentos muito maiores que o raio do cilindro, de forma que os resultados anteriores possam ser usados. (a) Qual o módulo do campo elétrico nos pontos situados na metade da distância entre o fio e a parede do cilindro? (b) Qual deve ser o módula da carga sobre uma partícula de cinza com 3, µg para que o campo elétrico obtido no item (a) possa exercer sobre a partícula uma força 1 vezes maior que seu peso? 39. Determine a capacitância dos capacitores indicados: (Veja nas notas de aula, está resolvido). 8
9 41. Discuta o efeito da inserção de um dielétrico entre as placas de um capacitor, explicando com detalhes o que ocasionará com o campo elétrico, potencial e capacitância em seu interior. Como é calculada a capacitância do capacitor de placas paralelas com a presença de um dielétrico? 4. A capacitância equivalente das associações em série e paralelo são representadas a seguir, juntamente com as relações entre as cargas e a tensão em cada capacitor: Determine a capacitância equivalente dos circuitos:
4. Um indicador do nível de combustível num automóvel utiliza um capacitor para indicar a altura de combustível atingida em um tanque. A constante dielétrica efetiva varia de um valor igual a 1 quando o tanque está vazio até um valor K, quando o tanque está cheio. Um circuito elétrico apropriado pode ser usado para determinar a constante dielétrica da camada de ar combinada com a camada de combustível entre as placas do capacitor. Cada uma das placas possui largura w e comprimento L. A altura do combustível entre as placas é h. Despreze qualquer efeito de borda. (a) Deduza a expressão para K ef em função de h. (b) Qual é a constante dielétrica efetiva quando o tanque está cheio até um quarto de seu volume? E até metade de seu volume? E até ¾ de seu volume? Suponha gasolina (K = 1,95). (c) Repita (b) para o metanol (K = 33). 43. Um cilindro de alumínio tem 1 cm de comprimento e área de seção transversal.1-4 m. Entre seus terminais ele está submetido a uma tensão de 1V. (a) Calcule a resistência elétrica do cilindro. (b) Encontre a corrente elétrica I que o atravessa. (c) Qual a condutividade Al do alumínio e a densidade de corrente J? (d) Determine a intensidade do campo elétrico no cilindro. Dados: Al =.8.1-8.m l R A 1 V R I I J A J E 44. Um fio de cobre calibre 18 (geralmente usado nos fios que ligam lâmpadas) possui um diâmetro D = 1. mm. Esse fio está conectado a uma lâmpada de W e conduz uma corrente de 1.67 A. A densidade dos elétrons livres é de n = 8.5.1 8 e - /m 3 (elétrons por metro cúbico). (a) Calcule a densidade de corrente J. (b) Encontre a velocidade de arraste pela relação: J ne qe vd (c) Se a área da seção transversal desse fio D vale A calcule o módulo do campo elétrico 4 do fio usando a relação J E. Dados: Cu = 1.7.1-8.m ; 1 (d) Determine a diferença de potencial entre dois pontos do fio separados de 5m. Use a relação: V E d (e) Encontre a resistência elétrica para este fio com comprimento de 5m. l Use: R A (f) A dependência da resistividade com a temperatura é dada, num condutor por: 1 ( T T ) Mostre que resistência de um condutor com a temperatura pode ser escrita por: R R 1 ( T T ) aqui: R é a resistência em T e é o coeficiente de temperatura da resistência. Usando: R 1.5 T C 1 Cu.393 C, ache a resistência R para T = C e para T = 1 C. 45. Dispomos de duas lâmpadas, de valores nominais 3W 1V e 6W 1V. (a) Encontre a resistência elétrica de cada lâmpada. (b) Na associação de lâmpadas da figura, a ddp vale v = 1V. 1
(e) Encontre as correntes indicadas. Ache corrente em cada lâmpada. (c) Repita o item anterior para v = 1V a associação: (f) Dê a resistência equivalente, a corrente e a potência liberada para os casos: i. Chave S 1 aberta e S fechada. ii. Chave S 1 fechada e S fechada. iii. Chave S 1 fechada e S aberta. 11 Discuta o que acontecerá se v = V. 46. Ache a resistência equivalente para os itens (a) a (e): (a) 47. Três lâmpadas (6W-1V) são ligadas em 1V conforme ilustra a figura: (b) (a) Encontre a corrente em cada lâmpada e a potência dissipada em cada uma delas. (b) Qual a tensão em cada lâmpada? 48. Quando carregamos um capacitor com o circuito mostrado: (c) (d) Temos: dq q dq 1 R q dt C dt RC Cuja solução desta equação diferencial é:
RC q( t) C(1 e ) Num circuito, R = 8.1 5, C = 5F e = 1V. (a) Encontre a constante de tempo do circuito: = R.C. (b) Determine a máxima carga no capacitor: q max =.C. (c) Encontre a carga no capacitor para t = /. (d) Encontre a corrente no resistor para o instante t = /. 49. Para descarregar um capacitor, utilizamos o circuito da figura: t 51. Encontre a capacitância equivalente, a tensão e a carga em cada capacitor das associações: (a) (b) 1 Temos, aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff: q dq 1 R I q C dt RC Cuja solução desta equação diferencial é: q() t q e t RC Num circuito, R = 8.1 5, C = 5F e carga inicial q = 6C. (a) Encontre a constante de tempo do circuito: = R.C. (b) Determine a carga inicial no capacitor: q max =.C. (c) Encontre a carga no capacitor para t = /. (d) Encontre a corrente no resistor para o instante t = /. (e) Escreva como varia a energia armazenada no capacitor: q V q Ut () C Encontre a energia armazenada para o instante t = /. 5. Descreva o que acontece com a luminosidade da lâmpada quando a chave do circuito abaixo é fechada. Assuma que o capacitor está inicialmente descarregado. 5. A placa carregada positivamente de um condensador de placas paralelas, tem uma carga igual à Q. Quando o espaço entre as placas é evacuado de ar, a intensidade do campo 5 eléctrico entre as placas é.5 1 V m. Quando o espaço é preenchido com um determinado material dieléctrico, a intensidade do campo entre a placas é reduzida para 5 1. 1 V m. (a) Qual é a constante dielétrica do material? (b) Se Q = 1nC, o que é a área das placas? (c) Qual é a carga total induzida carga ligada em ambas as faces do material dielétrico? 53. Encontre a capacitância do capacitor da figura, dadas as constantes dielétricas. 54. Um condensador de placas paralelas, que não tem dieléctrico no espaço entre as placas tem uma capacidade C e separação entre as placas d; dois dieléctricos são em seguida inseridos entre as placas, como mostrado, e têm constantes dielétricas 1 e, respectivamente. cada dielétrico tem uma espessura d/ e tem a mesma área A, como a área de cada uma das placas do condensador. Quando a carga no condensador de placa de carga positiva é Q, encontrar (a) o campo eléctrico em cada dieléctrico e (b) a diferença de potencial entre as placas.
(c) Mostre que a capacitância do sistema após os dielétricos estarem inseridos é dada por: 1 C 1 (d) Mostrar que esta é a capacitância equivalente de uma combinação série de dois capacitores, cada um com placas de área e distância igual ao espaço entre as placas, onde um é preenchido com um material que tem uma constante dieléctrica 1 e as placas do outro é preenchido com um material que tem uma constante dieléctrica igual a 57. Um condensador de placas paralelas retangular que tem um comprimento a e uma largura b tem um dieléctrico que tem uma largura b parcialmente inserido a uma distância entre as placas, como mostrado na Figura. (a) Encontre a capacitância em função de x e despreze os efeitos de borda. (b) Mostre que sua resposta dá o esperado para x = e x = a. 13 55. As placas de um condensador de placas paralelas separadas por distância d e cada placa tem uma área A. Um metal de espessura d está inserido entre as placas de tal modo que é paralelo com as placas do condensador. (a) Mostrar que a nova capacitância é dado por: A d d, independentemente da distância entre o metal e a placa carregada positivamente. (b) Mostre que esse arranjo pode ser modelado como um condensador, que tem placa de separação em série com um condensador de placa de separação a em série com um capacitor de separação entre as placas de b, onde: a+b+d=d. 56. Um condensador de placas paralelas que tem a área da placa A e é cheia com dois dieléctricos constantes dielétricas 1 e de tamanho igual, como mostrado na Figura. (a) Mostre que este sistema pode ser modelado como dois capacitores que são ligados em paralelo e cada um tem uma área A/. (b) Mostre que a capacitância é dada por 1 Onde C é a capacitância sem material dielétrico entre as placas. C C A d 58. Em cada item, encontre a corrente e a ddp em cada resistor. (a) (b) (c) (d) V ab = 11 V 59. Uma bateria de carro totalmente carregada deve ser conectado por cabos de ligação a uma bateria de carro descarregada, a fim de carregálo. (a) Para qual terminal da bateria descarregada deve o terminal positivo da bateria carregada ser ligado?
(b) Suponha que a bateria carregada tem uma fem 1 = 1 V e a fem da bateria descarregada tem = 11 V; as resistências internas das baterias são r 1 = r =. e a resistência dos cabos de ligação é R =.1; qual será a corrente de carga? (c) Qual será o atual, se as baterias estão conectadas de forma incorreta? (b) 14 (c) (d) 6. Aplique as Leis de Kirchhoff em cada item e encontre a corrente que circula em cada malha. (a) (e) 61. Mostre que a tensão e a corrente na bateria são dadas, respectivamente, por: V r i i r R
6. Um capacitor carregado é ligado a um resistor. Encontre a variação da carga do capacitor com o tempo. 63. Um capacitor descarregado é ligado a um resistor e a uma bateria. Encontre a variação da carga e da corrente do capacitor com o tempo. 65. Qual a velocidade de correnteza dos elétrons de condução no fio de cobre de raio 1 mm? Suponha 1 elétron livre por átomo de cobre. Dados: i Q n e V n e e A d t t t i n e A v e i e i ne e r v n n n N A e 1 a a Cu MCu 3 átomos N A 6. 1 mol g MCu 63.5 mol g 3 kg Cu 8.9 8.9 1 3 Cu 3 cm m Você pode perguntar: "Os elétrons se movem tão vagarosamente, como a luz se acende logo que imediatamente que acionamos o interruptor?". Esta confusão é de não distinguirmos a velocidade da correnteza dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da luz. Similarmente, quando você abre a torneira em uma mangueira de jardim, se esta contiver água, imediatamente sairá água na outra extremidade, devido à pressão, porém a velocidade da correnteza é pequena. 66. No gerador da figura: 15 64. O Capacitor estáinicialmente descarregado. Encontre a corrente em cada malha ao ser ligada a chave. (a) Determine a corrente que circula no circuito. (b) Ache a corrente de curto circuito, quando retiramos o resistor R e o sbstituimos por um fio (causando o curto circuito). (c) Qual a potência lançada pelo gerador? (Ou potência total? P i t (d) Determine a potência útil fornecida pelo gerador: Pu Vab i Pu i r i (e) Qual o valor das potências dissipadas nas resistências? (f) Encontre o rendimento do gerador nessa corrente. Pu P t
67. Encontre a indicação do amperímetro e do voltímetro ligado aos geradores: Constante dielétrica relativa de alguns materiais. Material Constante dielétrica k = R Ar (1 atm ) 1,54 Papel 3,5 Óleo transformado 4,5 Porcelana 6,5 Silício 1 Água ( C) 8,4 Germânio 16 Resistividade de alguns materiais. 16 68. A curva característica de um gerador é dada abaixo: V r i (a) Encontre sua fem e sua resistência interna; (b) Determine sua corrente de curto circuito, i cc e a máxima potência útil lançada. 69. No circuito abaixo, quando a chave S é fechada, a indicação do voltímetro é.97 V e a do amperímetro, 1.65 A. A chave aberta, a leitura do voltímetro é de 3.8 V. Encontre a fem do gerador, sua resistência interna r e o valor da resistência R. Material Resistividade R (.m). Coeficiente de resistividade ( K 1 ) Metais Típicos Cobre 1, 69. 1 8 4, 3. 1 3 Alumínio, 75. 1 8 4, 4. 1 3 Tungstênio 5, 5. 1 8 4, 5. 1 3 Ferro 9, 68. 1 8 6, 5. 1 3 Platina 1, 6. 1 8 3, 9. 1 3 Semicondutores típicos Silício puro, 5. 1 3 7. 1 Silício tipo p 8, 7. 1 4 Silício tipo n, 8. 1 3 Isolantes Típicos Vidro 1 1 1 14 Quartzo 1 16 7. No circuito da figura, uma ponte de resistores, determine os valores de I 1, I e I 3.
17