Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009
2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel 80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br
Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.
Sumário Contagem 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem 11 2. O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração 17 1. A adição 17 2. A subtração 18 Multiplicação e divisão 21 1. A multiplicação 21 2. A divisão 23 Frações (I) 25 1. As frações 25 2. Resolução de problemas com frações 28 3. Frações próprias e impróprias 30 4. Simplificação de frações 31 Frações (II) 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 37 4. Multiplicação com frações 40 5. Divisão com frações 41 Potenciação 43 1. Potenciação 43
Expressões numéricas 47 1. Introdução 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas 47 Geometria (I) 53 1. Polígono 53 2. Ângulos 55 3. Triângulo 55 4. Quadrilátero 56 5. Perímetro de um polígono 57 6. Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) 65 1. Unidade de área 65 2. Áreas de figuras planas 66 3. Volumes 70 Razão e proporção 75 1. Razão 75 2. Proporção 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85 1. Grandezas diretamente proporcionais 85 2. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95 1. Proporcionalidade composta 95 2. Regra de três composta 97
Porcentagem e juro 105 1. Porcentagem 105 2. Juro 111 Equações do 1. o grau 117 1. Introdução 117 Equações do 2. o grau 125 1. Noção de equação do 2. o grau 125 2. Forma geral 125 3. Solução de uma equação do 2. o grau 127 4. Resolução de problemas do 2. o grau 137 5. Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 x 2 143 1. Introdução 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição 153 Radiciação 159 1. Introdução 159 2. Quadrados perfeitos 160 3. Raiz quadrada 161 Gráfico e função 163 1. Plano cartesiano 163 2. Função afim 164 3. Função quadrática 168
Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 1. Proporcionalidade composta Observe as figuras: A 4 x2 B 5 A C 8 B 10 C Triângulo Base Altura Área 5 4 x2 x2 A = 5. 4 2 = 10 10 8 A = 10. 8 2 = 40 x 2 x 2
96 Matemática Elementar I Caderno de Atividades B 2 A 4 C B x3 6 8 A 12 C Triângulo Base Altura Área 4 2 x3 x3 A = 4. 2 2 = 4 12 6 A = 12. 6 2 = 36 x 3 x 3 Pelas figuras anteriores observamos que: Se uma grandeza é proporcional a outras, então os valores de suas medidas são proporcionais ao produto dos valores das medidas das outras. Vamos ver como funciona: a) Triângulo Base Altura Área 10 5 25 x2 x2 x2 x2 20 10 100
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 97 b) Triângulo Base Altura Área 7 6 21 x2 x½ x 2 x½ 14 3 21 c) Triângulo Base Altura Área 4 3 6 x2 x½ x 2 x½ 8 1,5 6 Agora, vamos seguir a resolução de um problema passo a passo, estudando a regra de três composta. 2. Regra de três composta Problemas que envolvem várias grandezas, direta ou inversamente proporcionais, são resolvidos com o auxílio de uma regra chamada regra de três composta. Vejamos alguns exemplos: a) Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$400,00. Quanto receberão 5 operários por 12 dias de trabalho? Operários Tempo Valor 2 8 dias R$400,00 5 12 dias x
98 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Analise, isoladamente e com cada uma das outras, a grandeza que contém o valor desconhecido. Assim: aumenta Operários Valor 2 R$400,00 5 x também aumenta Se 2 operários recebem R$400,00, 5 operários deverão receber mais. Então, as grandezas operário e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é: 2 5 e 400 x aumenta Tempo Valor 8 dias R$400,00 12 dias x também aumenta Se em 8 dias os operários recebem R$400,00, em 12 dias deverão receber mais. Então, as grandezas tempo e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é: 8 12 e 400 x Para as três grandezas, a ordem das razões é: 2 5, 400 x e 8 12. Podemos concluir então que: 400 x = 2 5. 8 12 400 4 400. 15 = x = = 1 500. x 15 4 Resposta: 5 operários receberão por 12 dias de trabalho R$1.500,00.
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 99 b) Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em 2 dias de viagem, 1 800km. Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 3 375km? Velocidade Tempo Percurso 80km/h 2 dias 1 800km 60km/h x 3 375km Velocidade Tempo diminui 80km/h 60km/h 2 dias x aumenta Se a velocidade do carro for de 80km/h o tempo necessário é de 2 dias. Quando a velocidade for de 60km/h o carro precisará de mais tempo. Então, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é: 60 e 2 80 x Tempo Percurso aumenta 2 dias 1 800km x 3 375km aumenta Se para percorrer 1 800km o carro leva 2 dias, para percorrer 3 375km o carro vai precisar de mais tempo. Então, máquinas e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é: 2 e 1 800 x 3 375 Para as três grandezas, a ordem das razões é: 60 80, 2 x e 1 800 3 375 Então podemos concluir que: 2 = 60. 1 800 2 = 2 x = 5 x 80 3 375 x 5 Resposta: Serão necessários 5 dias.
100 Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) 6 máquinas trabalhando 4 horas produzem 200m de um tecido. Quantas máquinas serão necessárias para, em 3 horas, produzir 800m desse tecido? Máquinas Tempo Comprimento 6 4h 200m x 3h 800m inversa 6 x = 3 4. 200 800 direta 5 1 x = 3 x=15 Resposta: Serão necessárias 15 máquinas. d) Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias terão alimento, se fizerem apenas 2 refeições diárias? Pessoas Tempo Refeições/dia 20 21 dias 3 35 x 2 inversa 21 x = 2 3. 35 20 inversa 21 x = 14 x =18 dias 12 Resposta: Terão alimento por apenas 18 dias.
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 101 Exercícios Tente resolver os seguintes problemas: 1. Cinco operários demoram 9 horas para retirar 1 000 tijolos da carroceria de um caminhão. Quantos tijolos 6 operários, com a mesma capacidade dos anteriores, conseguirão retirar em 5 horas? 2. Cinco grupos de estudo com 4 alunos em cada grupo resolvem, em 2 horas, 36 problemas. Em quanto tempo 10 grupos de 8 alunos resolverão 72 problemas? 3. Uma perfuradora de cartões, trabalhando 12 horas por dia, perfura 3 200 cartões em 8 dias. Quantas horas por dia deverá trabalhar para perfurar 5 000 cartões em 15 dias?
102 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 4. Dezesseis operários fazem 720 peças em 6 dias. Quantos operários são necessários para fazer 2 160 peças em 24 dias? 5. Um aluno efetua 200 operações em 2 dias, estudando 8 horas por dia. Em quantos dias esse aluno, estudando 2 horas por dia, efetuará 100 operações? 6. Quantos homens são necessários para construir um muro de 150m de comprimento por 10m de altura em 30 dias, sabendo que, nas mesmas condições, 25 homens constroem um muro de 50m de comprimento por 8m de altura, em 8 dias?
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 103 7. Andando 14 horas por dia, com uma velocidade média de 30km/h, um carro leva 6 dias para percorrer 2 520km. Qual deve ser a velocidade média desse carro para ele percorrer essa mesma distância em 7 dias, andando 10 horas por dia? 8. Numa indústria, 4 máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Quantos dias serão necessários para que apenas 2 máquinas produzam 900 peças? 9. Cinco operários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias produzem 200 objetos. Quantos objetos serão produzidos por 8 operários trabalhando 4 horas por dia durante 15 dias?
104 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações
Gabarito Gabarito Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 1. 2 160 tijolos 2. 1h 3. 10h/dia 4. 12 operários 5. 4 dias 6. 25 homens 7. 36km/h 8. 24 dias 9. 320 objetos
Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações