MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS APLICADO A LOCALIZAÇÃO DE CONCENTRADORES EM REDES DO TIPO EIXO-RAIO COM ALOCAÇÃO SIMPLES

MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS APLICADO A LOCALIZAÇÃO DE CONCENTRADORES EM REDES DO TIPO EIXO-RAIO COM ALOCAÇÃO SIMPLES Raphael Castro raphaelufop@yahoo.com.br Ricardo Saraiva de Camargo rcamargo@dep.ufmg.br Gilberto de Miranda Júnior miranda@dep.ufmg.br Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte MG Brasil RESUMO Neste trabalho, três implementações do método de decomposição de Benders são apresentadas para a resolução do problema de localização de concentradores com alocação simples. Esse problema consiste em determinar quantos concentradores instalar e como alocar os clientes aos mesmos de forma a minimizar o custo total. Uma das implementações se mostrou bastante competitiva frente ao software de otimização CPLEX. PALAVRAS CHAVE. Redes Eixo-Raio. Método de Decomposição de Benders. Programação Matemática. ABSTRACT In this paper, three variants of the Benders decomposition method are presented to solve the single allocation hub location problem. This problem consists in determining the optimal number of hubs to be installed and how the clients are allocated to these installed hubs in order to minimize the total cost. One of the variants has demostrated to be very effective when compared to the optimization software CPLEX. KEYWORDS. Hub-and-spoe networs. Benders Decomposition Method. Mathematical Programming. XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1168

1. Introdução Redes logísticas do tipo eixo-raio ou, em inglês, hub-and-spoe networs, tornaram-se, nas últimas décadas, um importante campo de pesquisa da área de localização. A relevância é em grande parte explicada pela sua ampla utilização no transporte de cargas e de passageiros e em redes de telecomunicações (Alumur e Kara, 2008; Campbell et al., 2002). Nesses tipos de redes, ao invés de servir cada demanda entre pontos de origem e de destino com uma conexão direta, fluxos oriundos de diversas origens são consolidados a partir de pontos de transbordo ou concentradores (hubs). Os fluxos são então enviados através de uma rede de concentradores, para serem entregues aos seus respectivos destinos. Ao se transportar os fluxos consolidados entre os concentradores, tem-se um rateio maior dos custos de transporte, permitindo assim que economias de escala sejam obtidas (O Kelly, 1998). Em termos gerais, o desenho de redes logísticas do tipo eixo-raio envolve a localização dos concentradores e a alocação dos pontos de demanda a estes, de forma a permitir o tráfego entre os diversos pares de origem-destino. Redes do tipo eixo-raio são muito utilizadas em sistemas logísticos de transporte. Nestas redes, transportadoras de cargas podem, por exemplo, recolher cargas em caminhões menores e transportar até os concentradores. Nestes pontos, cargas chegando de diferentes regiões são consolidadas por semelhança de destino e transportadas até outros concentradores ou até aos seus respectivos destinos. Normalmente, o transporte entre concentradores é feito por caminhões maiores ou por outros meios de transporte como ferroviário e aéreo. As vantagens da utilização destes tipos de redes são, principalmente, a redução dos custos de transporte em função da economia de escala obtida, diminuição dos custos de instalação; aumento da eficiência logística e do desempenho do sistema (Kara e Tansel, 2003a). Existem duas configurações básicas de alocação dos pontos de origem e de destino aos concentradores instalados. Estas configurações se diferenciam na quantidade de concentradores conectados a um nó. No primeiro caso, chamado de sistema de Alocação Simples ou Single Allocation, cada ponto de origem ou de destino é conectado a apenas um concentrador. No segundo caso, chamado de Alocação Múltipla ou Multiple Allocation, cada ponto de origem ou de destino pode ser conectado a mais de um concentrador. Neste artigo, o problema de localização de concentradores não capacitados com alocação simples (PLCNCAS) é abordado. Na seção 2, um exame da literatura é apresentado. Na seção 4, três algoritmos especializados baseados no método de decomposição de Benders (Benders, 1962), usando as definições e a formulação da seção 3, são aplicado na resolução de problemas testes padrão. Os resultados computacionais obtidos e os comentários finais são mostrados nas seções 5 e 6, respectivamente. 2. Exame da literatura Na literatura, existem diversos e importantes trabalhos de redes do tipo eixo-raio publicados que tiveram uma grande expansão em números de publicações a partir de 2001 (Alumur e Kara, 2008). Esta área de pesquisa possui quatro macro campos: problemas do tipo p-hub median, problemas do tipo p-hub center, problemas do tipo hub covering e problemas de alocação de concentradores com custos fixos. Em cada macro grupo, metodologias e conceitos são diferenciados em relação ao tipo de alocação (simples ou múltipla) dos pontos de demandas aos concentradores. Neste trabalho, foca-se no exame da literatura de sistemas de alocação simples. Os problemas do tipo p-hub median com alocação simples são utilizados para minimizar o custo total de transporte de forma a atender os pontos de demanda, localizando exatamente p concentradores. Campbell (1994) é um dos primeiros autores a formular esse problema propondo uma formulação de programação matemática com n 4 variáveis contínuas e n 2 binárias. Formulações semelhantes também foram propostas por Sorin-Kapov et al. (1996) e O Kelly et al. (1996). Ernst e Krishnamoorthy (1996) ainda propuseram uma formulação linear inteira possuindo uma XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1169

quantidade menor de variáveis e restrições. Os autores trataram o problema de forma interessante. Através de restrições de balanceamento de fluxos, eles hierarquizaram o desenho da rede em três níveis: coleta, transporte e distribuição. Ernst e Krishnamoorthy (1998) ainda usaram esta formulação em um algoritmo baseado em branch-and-bound obtendo bons resultados. Outra formulação, específica para a localização de dois ou três concentradores, foi feita por Ebery (2001) possuindo tempos computacionais de resolução, em pacotes de otimização, menores do que a formulação de Ernst e Krishnamoorthy (1996). As duas primeiras heurísticas utilizadas para resolver problemas do tipo p-hub median com alocação simples foram propostas por O Kelly (1987). O Kelly propôs um procedimento para alocar os pontos de demanda ao concentrador mais próximo. Klincewicz (1991, 1992) desenvolveu heurísticas baseadas no método de busca tabu e GRASP (Greeyd Randomized Search Procedure) obtendo resultados melhores dos que os conseguidos por O Kelly (1987). Sorin-Kapov e Sorin- Kapov (1994) também usaram o mesmo método de busca tabu de Klincewicz, porém com um desempenho melhor. Ernst e Krishnamoorthy (1996) obtiveram resultados comparáveis aos de Sorin-Kapov e Sorin-Kapov (1994) usando simulated annealing. Campbell (1996), por sua vez, propôs heurísticas baseadas na resolução do problema de p-hub median de alocação múltipla conseguindo bons resultados. Entretanto, a heurística mais eficiente, baseada em relaxação lagrangeana, foi proposta por Pirul e Schilling (1998). Os problemas do tipo p-hub center são mais aplicados quando o tempo de deslocamento é um fator crítico, como no caso de transporte de produtos perecíveis (Campbell, 1994). Kara e Tansel (2000), Campbell et al. (2007) e Ernst et al. (2009) apresentaram formulações para o problema de alocação simples tanto para os casos de problemas capacitados quanto não-capacitados. Os problemas do tipo hub covering definem que a demanda de um ponto é coberta (atendida), se o ponto estiver a menos de uma distância especificada de um concentrador que possui a capacidade para servi-lo. Campbell (1994) foi o primeiro a desenvolver formulações nessa área minimizando o custo de se instalar um concentrador e maximizando as demandas atendidas pelo concentrador. Kara e Tansel (2003b) apresentaram modelos com um número maior de variáveis, porém com tempos computacionais melhores. Os problemas de localização de concentradores considerando o custo de instalação determinam o número de concentradores a serem instalados a partir da matriz de custos. O Kelly (1992) é um dos primeiros a considerar o custo fixo em sua formulação. Entre os algoritmos desenvolvidos, destacam-se as heurísticas híbridas. Abdinnour-Helm (1998) propôs uma heurística híbrida baseada em algoritmos genéticos e em busca tabu. O algoritmo genético é utilizado para determinar a quantidade e localização dos concentradores, enquanto a busca tabu efetua a melhor alocação dos pontos de demanda. Chen (2007) também usou uma heurística híbrida baseando-se em simulated annealing, busca tabu e procedimentos de melhoria, obtendo um desempenho melhor. Cunha e Silva (2007, 2008) combinaram algoritmos genéticos e simulated annealing, propondo também uma heurística híbrida que superaram os resultados de Abdinnour-Helm. Outro trabalho que se destaca é o algoritmo genético proposto por Topcuoglu et al. (2005) que obtêm resultados em um tempo computacional competitivo. Há também trabalhos que consideram restrições de capacidade nos concentradores a serem instalados, como os de Ayin (1994), de Ernst e Krishnamoorthy (1999) e de Labbé et al. (2005). Entretanto, são poucos os métodos exatos que abordam o PLCNCAS e conseguem resolver problemas testes padrão de tamanho médio. O presente trabalho vem contribuir neste sentido. 3. Definições e formulação A formulação usanda para o PLCNCAS é baseada na formulação Sorin-Kapov et al. (1996) e usa as seguintes definições: sejam N o conjunto de pontos de demanda e K o conjunto de pontos candidatos a se instalar um concentrador, tal que K N. Normalmente, K N, mas vai-se considerar aqui que todos os pontos de origem e de destino são candidatos potenciais a se XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1170

instalar um concentrador, em outras palavras, tem-se K N. Para qualquer par de pontos i e j (i, j N : i j), têm-se w ij > 0 a demanda do ponto i para o ponto j a ser roteada através de um ou dois concentradores instalados. Normalmente, têm-se w ij w ji. Sejam também f o custo de instalação de um concentrador no ponto K e c ijm o custo unitário de se transportar uma unidade de fluxo desde a origem i até o destino j usando a rota i m j e os concentradores instalados em e m (i, j N e, m K). Se apenas um concentrador é utilizado, então = m e a rota usada é i j. O custo unitário de transporte da rota ligando os pontos i e j, através dos concentradores em e m, nesta ordem, é a composição dos custos dos segmentos ou c ijm = c i + α c m + c mj. As parcelas c i e c mj são, respectivamente, os custos unitário de transporte do ponto i até o concentrador em e do concentrador em m até o ponto j. Têm-se ainda que c = 0, quando m =. A economia de escala nas conexões entre concentradores é representada por um fator de desconto α (0 α 1), sendo αc m o custo unitário de transporte com desconto entre os concentradores instalados em e m. Como o problema abordado só permite que cada ponto de origem ou de destino seja conectado a apenas um concentrador instalado, define-se então a variável z i {0, 1} que é igual a 1 se o ponto i N é alocado ao concentrador instalado em K e 0, caso contrário. Quando i = e z = 1, significa que há um concentrador instalado em. A fração do fluxo total da demanda entre a origem i e o destino j que é transportada via os concentradores instalados nos pontos e m, isto é, a fração de fluxo que usa a rota i m j, é definida como x ijm 0. Ao longo do texto, os índices i e j (i, j N) indicam os pontos de origem e de destino, respectivamente, enquanto os índices e m (, m K) representam os pontos candidatos a se instalar os concentradores. De forma a simplificar a notação, o domínio destes índices será suprimido sem prejuízo da compreensão. O PLCNCAS pode ser então formulado como: min f z + w ij c ijm x ijm (1) i j i m s. a: z i = 1 i (2) x ijm = z i i, j, : i j (3) m x ijm = z j i, j, : i j (4) m z i z i, : i (5) x ijm 0 i, j,, m : i j (6) z i {0, 1} i, (7) A função objetivo (1) minimiza os custos de instalação de concentradores e de transporte das demandas. As restrições (2) asseguram que todo nó i N é alocado a apenas um concentrador. As restrições (3) garantem que as rotas originando em i N e passando primeiramente pelo concentrador instalado em K existirão apenas se o ponto i N estiver alocado ao concentrador instalado em K. De forma semelhante, as rotas que terminam em j N passando por último pelo concentrador instalado em K só existirão se o destino j N for alocado ao concentrador instalado em K, restrições (4). As restrições (5) garantem que um ponto i N só poderá ser alocado a um concentrador em K se o mesmo estiver instalado. As restrições (6) e (7) são de não negatividade e de integralidade das variáveis, respectivamente. A função objetivo pode ser reformulada de forma a auxiliar o método de decomposição de Benders (seção 4) na alocação dos pontos de demanda aos concentradores instalados. Para tal XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1171

definem-se O i = j w ij e D i = j w ji, i N, como a demanda total que tem como origem e destino i N, respectivamente. A função objetivo pode ser assim escrita: min f z + i + D i ) c i z i + i i(o w ij α c m x ijm (8) i j i m Apesar do número elevado de variáveis e de restrições (Ernst e Krishnamoorthy, 1999), a formulação (2)-(8) possui uma relaxação linear justa (Sorin-Kapov et al., 1996) e uma característica interessante. Ao se fixar o vetor de variáveis inteiras z, de forma que uma solução viável possa ser obtida para a formulação original, pode-se decompor o problema resultante em problemas de atribuição, um para cada par de origem-destino i j. Essas duas características contribuem para o bom desempenho do método de decomposição de Benders Benders (1962) para resolver o PLCNCAS, assunto da próxima seção 4. 4. Método de decomposição de Benders O método de decomposição de Benders (Benders, 1962) é um procedimento utilizado na resolução de problemas de programação linear inteira mista e não linear. Na abordagem, o problema original é decomposto em dois mais simples: (i) o problema mestre, uma versão relaxada do problema original possuindo o conjunto de variáveis inteiras juntamente com suas respectivas restrições e uma variável contínua adicional; e (ii) o subproblema, o problema original com os valores das variáveis inteiras temporariamente fixadas pelo problema mestre. O algoritmo proposto por Benders resolve cada um dos dois problemas mais simples de forma iterativa. A cada ciclo, uma nova restrição, conhecida como corte de Benders, é adicionada ao problema mestre. Essa nova restrição, originada a partir da resolução do dual do subproblema, permite estimar limites inferiores para o problema original. O algoritmo cicla até que as funções objetivo do problema mestre e do subproblema sejam iguais. Ao final do processo, tem-se a solução ótima do problema linear inteiro misto original. A eficiência computacional da decomposição de Benders na resolução de alguns problemas de larga escala pode ser verificada no trabalho pioneiro de Geoffrion e Graves (1974), na resolução de problemas estocásticos de transporte e localização de França e Luna (1982), no problema de sequenciamento aéreo integrado de Papadaos (2009) e, mais recentemente, na resolução de problemas de localização de concentradores em redes do tipo eixo-raio com alocação múltipla de Camargo et al. (2008, 2009). Ao se aplicar o método no PLCNCAS, obtém-se o subproblema primal de Benders através da fixação de um z = z h viável, em um dado ciclo h do procedimento. Ao se fazer isso, o seguinte problema linear é obtido: min w ij α c m x ijm + s h (9) i j i m s. a: x ijm = zi h i, j, : i j (10) m x ijm = zj h i, j, : i j (11) m x ijm 0 i, j,, m : i j (12) onde s h é soma dos custos de instalação dos concentradores e de transporte desde os pontos de origem e de destino até os concentradores associados ao vetor z. Através da função objetivo do dual do subproblema primal (9)-(12), pode-se construir uma restrição conhecida como corte de Benders que é adicionada ao problema mestre a cada ciclo do XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1172

procedimento. Então, associando as variáveis duais u ij e v ij às restrições (3) e (4), respectivamente, tem-se o seguinte problema linear dual para cada par de origem-destino i j (i j) para um dado ciclo h: max u ij z h i + v ij z h j (13) s.a : u ij + v ijm w ij α c m, m : m (14) u ij + v ij 0 (15) u ij IR (16) v ij IR (17) A partir da função objetivo (13) pode-se construir, com o auxílio da variável contínua η, a seguinte restrição (18), conhecida como corte de Benders, a ser adicionada ao problema mestre. A variável η subestima o custo de transporte a cada ciclo. η i u h ij z i + i j i vij h z j (18) onde u h ij e vh ij são os valores ótimos das variáveis duais de um dado ciclo h. O problema mestre pode ser assim formulado: min η + f z + (O i + D i ) c i z i (19) i i s.a : η u h ij z i + vij h z j h = 1,..., H (20) i j i i j i z i = 1 i (21) z i z i, : i (22) η 0 z i {0, 1} i, (24) onde H é o número máximo de ciclos. Utilizando o subproblema dual (13)-(17) e o problema mestre (19)-(24), pode-se formalizar o algoritmo do método clássico de decomposição de Benders da seguinte forma: Algoritmo 1: Método clássico de decomposição de Benders PASSO 1 Faça LS = +, LI =. PASSO 2 Se LS = LI, então PARE. A solução ótima do problema original (2)-(8) foi obtida. PASSO 3 Resolva o problema mestre (19)-(24) Obtenha zp M e os valores ótimos das variáveis inteiras z. PASSO 4 Faça LI = zp M e atualize os valores de z no subproblema dual (13)-(17). PASSO 5 Resolva o subproblema dual (13)-(17) Obtenha zsp e os valores ótimos das variáveis duais uh e v h. PASSO 6 Adicione o novo corte de Benders ao problema mestre (19)-(24) usando (18) PASSO 7 Se zsp + f z + i i (O i + D i ) c i z i < LS, então Faça LS = zsp + f z + i i (O i + D i ) c i z i. PASSO 7 Vá para o PASSO 2 onde LS e LI são os limites superiores e inferiores, e zsp e z P M são as soluções ótimas obtidas resolvendo-se o problema mestre e o subproblema correntes, respectivamente. j i (23) XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1173

A eficiência computacional do algoritmo acima depende principalmente de três questões: (i) o número de ciclo necessários para convergência global; (ii) o tempo gasto na resolução do subproblema em cada iteração; (iii) o tempo e o esforço computacional demandados para resolução do problema mestre. Uma maneira de abordar a questão (i) é adicionar mais de um corte de Benders por ciclo. Isso pode ser feito quando o subproblema dual possui múltiplas soluções ótimas e se consegue gerar cortes que não são dominados por nenhum outro corte presente no problema mestre (Magnanti et al., 1986) e quando se consegue reformular o corte de Benders, decompondo-o (Birge e Louveaux, 1988). Enquanto a primeira opção é uma tarefa difícil de ser realizada, envolvendo a solução de um programa linear adicional por ciclo, a segunda pode ser aplicada quando o subproblema dual poder ser desagregado em função de seus índices. Observando as restrições (18), pode-se decompô-las ou por cada par i j, restrições (25), ou por cada i, restrições (26), permitindo assim a adição de mais de um corte por ciclo h. Esta estratégia é conhecida como multi-corte (Birge e Louveaux, 1988). Então, ao invés de se usar a restrição (18) no PASSO 6 do algoritmo clássico do método de decomposição de Benders, pode-se escolher entre as restrições (25) e (26). η ij u h ij z i + v h ij z j i, j : i j (25) η i u h ij z i + vij h z j i (26) j i j i Na próxima seção 5, os desempenhos computacionais das variantes dos algoritmos do método de decomposição de Benders (clássico e multicorte) são comparados com a resolução da formulação (2)-(8) usando o CPLEX. 5. Resultados Computacionais Os testes computacionais foram realizados usando dois conjuntos padrões de problemas testes da literatura: (a) CAB do Conselho de Aviação Civil dos Estados Unidos da América (O Kelly, 1987) e (b) AP do serviço Postal Australiano (Ernst e Krishnamoorthy, 1996, 1999). Os problemas testes CAB possuem tamanho com 10, 15, 20 e 25 pontos de demanda, enquanto que testes de 10 até 200 pontos de demanda podem ser gerados a partir do conjunto AP. Muitos estudos da literatura (O Kelly e Bryan, 1998; Elhedhli e Hu, 2005; Ebery et al., 2000; Boland et al., 2004) usam esses problemas testes para medir o desempenho dos métodos de resolução. Entretanto, enquanto o conjunto CAB não possui os custos de instalação dos concentradores; o conjunto AP possui apenas os cinqüenta primeiros custos de instalação. Em função dessa limitação, custos fixos foram gerados para todos os problemas testes através de uma distribuição normal com média igual a f o e coeficiente de variação igual a 40% desse valor. Isso foi feito para representar a variação dos custos de instalação em problemas reais. O valor f o foi calculado como sugerido por Ebery et al. (2000) e representa a diferença normalizada entre um cenário que possui apenas um concentrador imaginário localizado no centro de massa das demandas e outro tendo todos os pontos de demanda como concentradores. Ainda como sugerido por Ebery et al. (2000), todos os maiores custos de instalação gerados foram atribuídos aos pontos de maior demanda. Em geral, essa atribuição dificulta a seleção dos pontos de demanda nos quais se instalará um concentrador. Além disso, como as matrizes de demanda do conjunto de dados AP são fracionárias, elas foram normalizadas para se manter a coerência com os dados do conjunto CAB. Os testes padrões foram nomeados como cabn.α e apn.α indicando a origem dos dados, o número de pontos de demanda, n e o desconto usado, α. O símbolo α pode assumir valores 2, 4, 6 e 8 significando 20%, 40%, 60% e 80%, respectivamente. XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1174

Os algoritmos desenvolvidos e comparados foram: o método de decomposição de Benders clássico (BD1); o multicorte decomposto para cada ponto de demanda i (BD2); o multicorte decomposto para cada par de origem-destino i j (BD3). Todos os testes foram realizados em um computador Core 2 Duo com 2.5 GHz e com 8 GB de memória usando o sistema operacional Linux. Os problemas mestres e os subproblemas foram resolvidos através do pacote de otimização CPLEX 9.1. A tabela 1 apresenta os resultados computacionais obtidos. Os nomes dos problemas testes são mostrados na primeira coluna, os tempos computacionais gastos na resolução da formulação (2)-(8) usando o CPLEX estão na segunda coluna. A coluna # hubs apresenta o número de concentradores instalados na solução ótima. Para cada versão do método de decomposição de Benders registrou-se: o número de ciclos gastos, coluna Ciclos; o tempo total de computação em segundos, coluna T (s); e a porcentagem da diferença entre o limite superior e o inferior dividido pelo limite superior (100 (LS LI)/LS), mostrados entre parênteses na coluna do tempo total, caso o limite máximo de tempo de 18.000 segundos tenha sido alcançado. A figura 1 apresenta um comparativo dos tempos de processamento dos métodos na resolução dos problemas testes CAB e AP. Cada barra do gráfico relata, para a instância testada, a porcentagem de tempo de processamento gasto para os quatro métodos testados. No primeiro caso, instâncias CAB, verifica-se que o método de Benders clássico possui, em linhas gerais, tempos de processamentos maiores. À medida que se modifica o método, através da adição de n-cortes (BD2) e n 2 -cortes (BD3), um esforço computacional menor é exigido. No segundo caso, instâncias AP, tem-se uma situação adversa, uma vez que o método CPLEX destaca-se por tempos de processamento maiores. Ainda assim, os métodos de n-cortes e n2-cortes configuram-se com resultados satisfatórios. 100% 80% 60% 40% 20% 0% cab10.2 cab10.4 cab10.6 cab10.8 cab15.2 cab15.4 cab15.6 cab15.8 cab20.2 cab20.4 cab20.6 cab20.8 cab25.2 cab25.4 cab25.6 cab25.8 ap10.2 ap10.4 ap10.6 ap10.8 ap20.2 ap20.4 ap20.6 ap20.8 ap30.2 ap30.4 ap30.6 ap30.8 ap40.2 ap40.4 ap40.6 ap40.8 ap50.2 ap50.4 ap50.6 ap50.8 ap60.2 ap60.4 ap60.6 ap60.8 CPLEX BD1 BD2 BD3 Figura 1: Porcentagem do tempo para as instâncias CAB e AP. A figura 2 mostra a evolução da convergência do limite inferior dos métodos de decomposição de Benders na resolução do problema teste CAB20.4. Curiosamente, os métodos apresentam uma convergência semelhante nos 3 primeiros ciclos, isto é, a menos de 5% do ótimo, a evolução dos métodos é a mesma. A partir desta referência, uma convergência mais acentuada da implementação BD3 é observada em relação BD1 e BD2. Essa análise mostra que com a reestruturação do XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1175

Tabela 1: Desempenho Computacional dos algoritmos Instância CPLEX # BD1 BD2 BD3 T (s) Hubs Ciclos T (s) Ciclos T (s) Ciclos T (s) cab10.2 0,06 6 14 0,25 16 0,57 4 0.12 cab10.4 0,05 3 12 0,24 4 0,08 3 0,05 cab10.6 0,03 5 17 0,50 6 0,19 5 0,16 cab10.8 0,05 7 15 0,27 11 0,37 5 0,15 cab15.2 0,17 3 5 0,21 4 0,24 3 0.15 cab15.4 0,28 3 9 0,56 4 0,28 4 0,34 cab15.6 0,29 9 24 1,29 5 0,29 5 0,64 cab15.8 0,38 6 199 156,72 8 2,00 6 1,40 cab20.2 0,65 4 7 0,70 4 0,44 4 0,55 cab20.4 1,56 5 42 10,00 8 2,54 5 1,62 cab20.6 2,43 4 48 20,44 6 2,69 4 1,72 cab20.8 3,10 7 429 18049,32 11 34,96 7 7,95 (0,32) cab25.2 2,17 3 6 1,28 4 0,97 3 0,75 cab25.4 6,85 7 155 183,15 6 4,74 6 4,07 cab25.6 13,24 4 96 81,61 8 7,88 6 6,70 cab25.8 14,03 5 445 18056,11 5 44,24 7 13,39 (0,28) ap10.2 0,15 3 6 0,10 4 0,08 4 0,08 ap10.4 0,04 2 9 0,18 4 0,09 3 0,06 ap10.6 0,04 1 4 0,07 3 0,05 3 0,05 ap10.8 0,03 1 3 0,03 2 0,03 2 0,04 ap20.2 1,77 5 1 0,12 1 0,13 1 0,13 ap20.4 1,75 5 1 0,10 1 0,11 1 0,10 ap20.6 1,79 5 1 0,10 1 0,12 1 0,15 ap20.8 1,76 5 1 0,15 1 0,09 1 0,12 ap30.2 40,36 5 19 10,22 7 6,55 6 7,77 ap30.4 93,26 3 99 236,78 8 21,79 7 25,52 ap30.6 92,80 2 43 67,08 6 13,69 6 17,07 ap30.8 104,5 2 43 85,91 6 13,05 6 13,54 ap40.2 257,78 5 39 100,87 8 51,69 6 185,67 ap40.4 514,94 4 112 823,24 7 73,56 6 58,09 ap40.6 1040,36 3 295 18005,17 9 298,97 9 757,72 (0,07) ap40.8 1368,09 3 200 18123,92 9 549,03 9 475,04 (0,65) ap50.2 604,17 6 33 201,49 6 39,66 6 63,02 ap50.4 1766,29 6 69 614,80 8 125,50 6 156,45 ap50.6 6373,66 6 56 771,27 13 4246,48 9 2746,4 ap50.8 9368,42 2 152 18211,39 11 10383,64 9 3407,31 (3,02) ap60.2 590,65 7 16 102,82 5 45,07 4 46,76 ap60.4 1883,96 7 60 633,18 5 62,52 6 127,79 ap60.6 3771,25 6 106 2751,59 6 177,69 6 236,99 ap60.8 9554,88 4 141 18124,34 7 653,49 7 1275,94 (0,52) corte de Benders, o método torna-se consideravelmente mais eficaz, reduzindo o esforço computacional e diminuindo o tempo de processamento. Uma forma de analisar o desempenho das implementações BD1, BD2 e BD3 é observar a quantidade de ciclos usados para se alcançar a solução ótima. Na figura 3, observa-se que a implementação BD1 requer uma quantidade maior de ciclos em todas as instâncias. Já as implementações BD2 e BD3 requerem um número pequeno de ciclos independente da instância, configurando um comportamento ligeiramente estável. Observando apenas o tempo computacional e o número de instâncias nos quais cada método foi mais rápido, pode-se ver que, para as instâncias CAB, o CPLEX teve o maior número de testes com menor tempo de processamento (62% dos testes). Além disso, a implementação BD1 foi incapaz de realizar algum teste no menor tempo de processamento. Já a implementação BD3 obteve em 5 instâncias (31% dos testes) o menor tempo de processamento. Para as instâncias AP, XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1176

Instância cab20.4 LB (%) 0,00-5,00-10,00-15,00-20,00-25,00-30,00-35,00-40,00-45,00-50,00-55,00-60,00-65,00-70,00-75,00-80,00-85,00-90,00-95,00-100,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Ciclos BD1 BD2 BD3 Figura 2: Convergência dos métodos implementados. Quantidade de Ciclos 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 cab10.2 cab10.4 cab10.6 cab10.8 cab15.2 cab15.4 cab15.6 cab15.8 cab20.2 cab20.4 cab20.6 cab20.8 cab25.2 cab25.4 cab25.6 cab25.8 ap10.2 ap10.4 ap10.6 ap10.8 ap20.2 ap20.4 ap20.6 ap20.8 ap30.2 ap30.4 ap30.6 ap30.8 ap40.2 ap40.4 ap40.6 ap40.8 ap50.2 ap50.4 ap50.6 ap50.8 ap60.2 ap60.4 ap60.6 ap60.8 BD1 BD2 BD3 Figura 3: Número de concentradores (hubs) instalados. a implementação BD2 conseguiu em 14 testes o menor tempo de processamento (58% dos testes). O método de Benders com algumas modificações apenas na estrutura de seus cortes torna-se consideravelmente mais eficiente. 6. Conclusão No presente trabalho, três variantes do método de decomposição de Benders foram apresentados como estratégias de resolução do problema de localização de concentradores com alocação simples. A variante BD2 se mostrou competitiva quando comparada com o desempenho do software de otimização CPLEX. Há possibilidades de se melhorar ainda mais o desempenho da decomposição de Benders utilizando as abordagens feitas por McDaniel e Devine (1977) e por Papadaos (2009). Espera-se, desta forma, resolver problemas testes maiores ainda. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer a CNPq (processo 480757/2008 9) e a Fapemig pelo suporte financeiro. Referências Abdinnour-Helm, S. (1998). A hybrid heuristic for the uncapacitated hub location problem. Eu- XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1177

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