UM ALGORITMO POLINOMIAL PARA O PROBLEMA DISCRETO DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADE COM DISTÂNCIAS LIMITADAS E RESTRIÇÕES DE ATENDIMENTO.

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1 UM ALGORITMO POLINOMIAL PARA O PROBLEMA DISCRETO DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADE COM DISTÂNCIAS LIMITADAS E RESTRIÇÕES DE ATENDIMENTO. Thiago Pinheiro Jeronimo (UFRN) thiagopj@gmail.com Isaac Franco Fernandes (UFRN) isaacfranco@gmail.com Daniel Aloise (UFRN/GERAD) aloise@dca.ufrn.br Dario Jose Aloise (UERN) aloisedj@gmail.com O objetivo no problema de localização de facilidades com distâncias limitadas é minimizar a soma de funções de distância da facilidade para seus clientes, mas com um limite em cada uma destas distâncias, a partir da qual a função corresponddente torna-se constante. O problema tem aplicações em situações onde o serviço provido pela facilidade é impassível após uma distância limite. Neste trabalho, nós apresentamos um algoritmo polinomial para o caso discreto do problema com restrições de capacidade no número de clientes que podem ser servidos. Palavras-chaves: Teoria da localização, distâncias limitadas, restrições de atendimento

2 1. Introdução O problema de soma mínima (também conhecido como problema de Weber) é um dos mais básicos na teoria da localização. Ele remete a uma situação na qual existe um conjunto de pontos de demanda num plano e a localização de uma facilidade deve ser escolhida de modo que a soma das distâncias ponderadas da facilidade aos pontos clientes seja minimizada (WESOLOWSKY, 1993). As aplicações deste problema na vida real são inúmeras (e.g. Correa et al, 2004; Marín, 2011; Pelegrín et al., 2006; Johnson, Gorr e Roehrig, 2005; Beresnev, 2009), considerando que antenas, depósitos, escolas, fábricas e estações de tratamento, dentre outros exemplos, são centros que devem atender a um número de clientes numa região. Além disso, seus custos de instalação somados aos seus custos operacionais geralmente são altos, tornando-se necessário um estudo para a obtenção da melhor localização. Desta forma, construir um depósito mais próximo dos clientes, instalar antenas de serviço telefônico mais próximo de onde a demanda é maior ou até escolher um local para uma escola menos distante dos bairros residenciais são problemas comuns nos quais a teoria da localização se aplica. Particularmente no problema de decisão da localização de corpos de bombeiro e postos policiais, o serviço provido pela facilidade não tem efeito após certo tempo/distância limite. Uma casa em chamas estaria totalmente destruída após um determinado tempo, tornando o serviço provido pelos bombeiros ineficiente após esse período limite. Para o caso de postos policiais, poderia ser dado o exemplo no qual criminosos seriam inalcançáveis após um tempo limite desde o momento da chamada. Para casos assim, Drezner, Mehrez e Wesolowski (1991) propõem uma variação do modelo de Weber com distâncias limitadas. A equação 1 apresenta a definição matemática do problema, onde λ i é a distância máxima associada com o ponto de atendimento p i, para i=1,..., n. Desta forma, é possível verificar que se um ponto p i estiver a uma distância da facilidade maior do que λ i, então o modelo considera esta distância constante e igual a λ i. Por exemplo, consideremos o problema da localização de um corpo de bombeiros. Nesse contexto, cada propriedade possui uma distância limite depois da qual o serviço disponibilizado pelos bombeiros seria inútil, e a propriedade estaria completamente destruída. Um exemplo de pesquisa na aplicação dessa situação é definido por Drezner, Mehrez e Wesolowsky (1991). Os autores supõem uma situação na qual certo dano ocorre numa propriedade localizada em p i para i = 1,..., n a uma distância nula da estação de bombeiros (localizada em y R²), e onde esse dano cresce linearmente até uma distância λ i, na qual o dano é de 100%. Denotando pi - y como a distância entre o ponto p i e a facilidade localizada em y, e Ω como a proporção de dano a distância zero, a proporção de dano em p i é dada por Ω + (1 - Ω) p i y / λ i para p i y < λ i, e 1 caso contrário. O problema de localização de facilidade correspondente é expresso na equação (2). 2

3 O primeiro termo da soma é constante e (1 - Ω) é irrelevante ao segundo termo. Introduzindo variáveis binárias υ i que selecionam entre p i y e λ i no somatório da função objetivo, obtem-se o problema de minimização (3) Fernandes et al. (2010) estendem este modelo adicionando a ele restrições de capacidade no número de atendimentos passível de ser realizado por uma facilidade. Na prática, no funcionamento de uma facilidade existe uma quantidade máxima de clientes que podem ser atendidos sem afetar a qualidade do serviço. Em outras situações é necessário incorporar ao modelo a existência de um limite mínimo de usuários atendidos que justifiquem a instalação de uma facilidade. Neste mesmo artigo, os autores apresentam um algoritmo exato de decomposição para o modelo que inicialmente separa para avaliação apenas as subregiões do espaço que possam de fato alojar a solução ótima y*. A partir daí, cada um dos subproblemas associados às subregiões selecionadas é reformulado e resolvido por meio de solvers de otimização convexa. Utilizando distâncias Euclidianas e Manhattan para as mesmas instâncias, os autores fazem uso do CPLEX e de Bonmin (Bonami e Lee, 2007), respectivamente. Em muitos problemas de localização, a facilidade só pode ser instalada em um número finito de localizações em potencial. Nestes casos, um modelo comumente utilizado na literatura é o das p-medianas. Teitz e Bart (1968) definem o objetivo desse tipo de problema como o estabelecimento da localização de p facilidades num espaço dado (espaço Euclidiano, por exemplo) que satisfaçam n pontos de demanda de modo que a soma total de distâncias entre cada ponto de demanda e a facilidade que lhe é mais próxima seja minimizado. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo polinomial para a versão discreta do problema de localização de uma facilidade com distâncias limitadas e restrições de atendimento. A estrutura do trabalho se dá como a seguir. Na seção 2, o problema é formulado matematicamente Na seção 3, o algoritmo de resolução é apresentado acompanhado de uma demonstração formal de sua otimalidade A seção 4 reporta os resultados de nossos experimentos computacionais no que se referem à eficiência e eficácia do algoritmo, Por fim, são apresentadas as conclusões do trabalho. 2. Definição matemática do problema Definimos d(p i, y) como a distância entre o ponto p i e a facilidade y no plano. Dados n pontos de serviço p 1, p 2,..., p n com distâncias limitadas λ i > 0 e pesos w i para i = 1,..., n, o Problema Discreto de Soma Mínima com Distâncias Limitadas e Restrições de atendimento pode ser expresso por: O primeiro grupo de restrições define os limites LB e UB para o número de variáveis υ i, que podem ser iguais a 1. O segundo grupo de restrições assegura que υ i pode ser igual a 1 3

4 somente se a distância entre p i e a facilidade localizada em y for inferior (ou igual) à distância limite λ i. Isso evita a atribuição υ i = 1 apenas para satisfazer a restrição. A função objetivo de (4) assim como seu conjunto viável não são convexos, o que demanda métodos solucionadores mais sofisticados. Neste modelo, o valor da variável y pode assumir somente um valor de um conjunto finito e discreto de valores Y. A função objetivo de (4) pode ainda ser reescrita por meio da remoção dos termos constantes. Ela é expressa então como: 3. Algoritmo Polinomial Proposto No caso discreto do problema de localização de uma facilidade com distâncias limitadas e restrição de atendimento, as mesmas têm sua instalação limitada a um conjunto finito e conhecido de localidades. Nesse caso, o problema passa a ter uma complexidade significativamente menor do que o mesmo caso para um espaço contínuo, pois o numero de localidades potenciais é conhecido no plano. O pseudo-código do algoritmo proposto para o problema formulado na seção 2 é apresentado na Figura 1. Nas linhas de 1 a 6 são iniciadas as variáveis que configuram uma instância do problema, e nas linhas 7 e 8 são criadas duas variáveis para guardar a melhor solução (seu valor e seu índice). O laço principal que vai da linha 9 até a linha 23 calcula em cada iteração o custo de se instalar a facilidade em cada local candidato e seleciona a melhor localização. Dado um local candidato y, a linha 10 seleciona, no conjunto PA, os pontos de atendimento passíveis de serem atendidos caso a facilidade seja instalada em y. Caso a cardinalidade de PA seja superior a L (teste lógico da linha 11), os elementos de PA são ordenados de forma crescente em função da diferença de suas distâncias para y e suas respectivas distâncias máximas de atendimento. O custo da solução analisada na iteração corrente é inicializado na linha 13. O laço das linhas 15 a 17 é iterado até que tenhamos considerado todos os pontos passíveis de atendimento em PA ou que tenhamos atingindo o limite superior U, o que for menor, definido na linha 14. Deve-se notar que o custo dessa solução é sempre negativo em virtude da definição de PA e da otimização do segundo termo da equação (5), que desconsidera momentaneamente o termo constante. Nas linhas 18 até a 21 atualizamos a melhor solução com a solução da iteração investigada se esta for melhor. O algoritmo tem como saída o custo da melhor solução encontrada, corrigido através da soma do termo constante na linha 24, e o índice correspondente a melhor posição para a instalação da facilidade. O algoritmo é mostrado a seguir: 4

5 Figura 1 Algoritmo utilizado para a otimização do modelo O algoritmo proposto é polinomial, sendo sua complexidade avaliada observando a estrutura do mesmo. O laço da linha 9 a 23 é executado para cada local candidato para instalação da facilidade (O( Y )). A construção do conjunto PA na linha 10 é de tempo O( I ) pois todos os pontos de atendimento são avaliadas quanto a sua pertinência em PA. A operação de ordenação dos elementos de PA na linha 12 é de tempo O( I * Log( I )), sendo essa a operação mais custosa do laço principal. Conseqüentemente a complexidade final do algoritmo é O( Y * I * Log( I )). A exatidão do algoritmo é garantida pela prova a seguir Proposição 1: O algoritmo proposto encontra a solução ótima para o problema discreto de localização de uma facilidade com distâncias limitadas e restrições de atendimento. Prova: Suponha o local ótimo y* para instalação da facilidade. O algoritmo seleciona os B primeiros elementos de PA onde B = min{ PA,U }. Esses elementos i=1,..., B são ordenados segundo o critério d(i, y*) λ i 0. Vamos assumir a solução ótima v* correspondente aos elementos atendidos por y* respeitando L U. Temos que v i * = 1, caso a facilidade em y* considere na função objetivo o termo d(i, y*) e v i * = 0 caso este termo seja λ i. 5

6 Denotemos V ={i v i * = 1}. Analisemos dois casos. a) Para V < B. Se B= PA ou B=U, podemos tomar um elemento tal que i' PA e i' V para que v i' * = 1. Desta forma, temos uma solução resultante melhor do que a solução assumida anteriormente como ótima (uma contradição). b) Para V > B. Se B = U e V > B, a solução assumida como ótima é inviável. Caso contrário, se B = PA, existe um elemento i' em V que não pertence a PA. Portanto, este elemento pode ser retirado da solução (v i'' * = 0) de forma a obter uma solução melhor do que a ótima contradição). Logo, V = B. Precisamos ainda provar que os elementos de V correspondem aos B primeiros elementos de PA. Suponha que isto não seja verdade; existe um elemento i 1 entre os B primeiros de PA que não está em V, e logicamente, dado que V = B, existe um elemento i 2 em V que não está entre os B primeiros elementos de PA. Portanto, V não é ótimo, pois poderíamos fazer v i1 * = 1 e v i2 * = 0, melhorando o custo da solução (contradição). Desta forma provamos que o algoritmo proposto na Figura 1 é exato. 4. Experimentos computacionais Para a realização de testes de desempenho do algoritmo polinomial proposto, foram utilizadas as instâncias geradas por Fernandes et al. (2010). Como candidatos à instalação da facilidade, são definidos pontos pertencentes a uma grade gerada sobre o espaço contínuo. Essa grade é definida com limitações nos clientes mais extremos, e, para definição das potenciais localidades, ambos os eixos do plano limitado são divididos em um número igual de segmentos. Os pontos discretos definidos pelas interseções entre esses segmentos representam os pontos candidatos à instalação da facilidade. Essa discretização permitirá a observação da eficiência do algoritmo assim como uma comparação com as soluções ótimas do modelo contínuo obtidas por Fernandes et al. (2010). Quanto à quantidade de candidatos, é definido um fator de granularidade de pontos dentro do plano de busca, que representará a quantidade de seções em que será dividido o plano em cada eixo. Dessa forma, a comparação com os resultados obtidos no modelo contínuo vai depender da granularidade adotada em casa teste. Além disso, o fator de granularidade influenciará o desempenho do algoritmo devido a sua relação direta com o número de pontos candidatos. Assim, para um dado valor de granularidade g, seriam obtidos g² unidades de área, totalizando (g+1)² pontos no plano a serem analisados. Essa divisão, juntamente com as limitações estabelecidas previamente, gera uma grade, onde serão buscadas as soluções candidatas. A figura 2 mostra uma grade de granularidade 3, que gera 9 células e 16 pontos candidatos (indicados em vermelho na figura). Com o aumento do valor da granularidade, mais células e mais pontos são gerados, permitindo uma maior precisão da solução encontrada, se comparada ao ponto ótimo dentro do plano como espaço contínuo, encontrado pelo algoritmo de subregiões de Fernandes et al. (2010). 6

7 Figura 2- Plano de busca usado nos testes, para granularidade de 3x3. Os pontos pretos representam os clientes e os vermelhos representam os candidatos a localidade da facilidade O algoritmo proposto foi testado em uma plataforma Intel Core 2 Duo E GHz com 2GB de memória RAM. O algoritmo foi implementado em C++ e compilado pelo software Dev-C++. Os autores propuseram 9 instâncias, variando no número de pontos de demanda, suas distâncias limite e nas restrições de atendimento. As instâncias de teste podem ser encontradas em As instâncias são dividas em três grupos, de acordo com o número de clientes. As três primeiras possuem 10 pontos cliente, as seguintes possuem 100 e as últimas possuem A tabela 1 lista cada uma dessas instâncias e mostra os resultados obtidos pelo algoritmo em comparação aos resultados de Fernandes et al. (2010) para o modelo contínuo. A primeira coluna representa as instâncias enquanto na segunda são mostradas as distâncias limites dos pontos clientes. Nas seis colunas seguintes são exibidos os resultados de custo e de tempo de execução para o processamento das instâncias de acordo com a granularidade dada. Os resultados de custo são exibidos como a razão entre o valor da solução ótima, obtida pelo algoritmo de subregiões, e o valor obtido no algoritmo proposto para o caso discreto. Observa-se que as soluções obtidas no último sempre são de custo pior ou igual às soluções obtidas através de modelos contínuos, uma vez que esses são relaxações do caso discreto. Para os resultados de tempo de processamento, a razão é inversa: são divididos os tempos obtidos no algoritmo discreto pelos tempos levados pelo algoritmo de subregiões. Assim, no 7

8 processamento da instância l2_10_1 com granularidade de 50, o modelo discreto obteve custo com proximidade de 99,88% da solução ótima, utilizando 7,5% do tempo levado para encontrá-la. Por fim, nas duas últimas colunas são mostrados o custo ótimo da solução e o tempo de execução levado pelo método de subregiões de Fernandes et al. (2010). Algoritmo para espaço discreto Algoritmo de Fernandes et al. (2010) g = 50 g = 250 g = Instâncias λ i Custo Tempo Custo Tempo Custo Tempo Custo Tempo (s) l2_10_1 178,53 99,88% 7,50% 99,93% 59,19% 99,98% 224,27% 1475,14 1,24 l2_10_01 206,5 99,89% 3,63% 99,94% 29,30% 99,98% 109,22% 1670,93 2,56 l2_10_ ,78 99,86% 0,17% 99,96% 4,03% 99,97% 15,62% 1805,25 18,2 l2_100_1 60,14 99,97% 9,51% 100,00% 182,61% 100,00% 741,83% 5873,85 3,45 l2_100_01 73,23 99,97% 1,04% 100,00% 19,89% 100,00% 81,40% 7129,83 31,5 l2_100_001 84,08 99,95% 0,26% 100,00% 5,02% 100,00% 20,33% 8160,58 125,94 l2_1000_1 19,13 99,91% 8,86% 99,99% 211,68% 100,00% 895,97% 19063,44 29,46 l2_1000_01 23,42 99,93% 2,81% 99,99% 66,86% 100,00% 273,88% 23327,7 93,01 l2_1000_001 27,02 99,94% 0,83% 100,00% 19,93% 100,00% 81,18% 26903,01 319,22 Tabela 1- Comparação entre os resultados e tempos de execução obtidos no algoritmo para espaço discreto o os obtidos no algoritmo de subregiões Foram testadas as instâncias com 10 pontos clientes para granularidades que variavam de 50 a 500. Na figura 3 são mostrados os resultados de tempo para essas instâncias, onde o eixo das ordenadas representa a razão entre o tempo decorrido do procedimento e o tempo utilizado pelo algoritmo de subregiões. Figura 3 Razão entre os tempos de processamento do algoritmo discreto (T discreto ) pelo algoritmo de subregiões (T subregiões ), variando a granularidade entre 50 e 500 8

9 Observa-se na figura 3 que, para clientes com distâncias limites maiores, o algoritmo discreto se mostra mais veloz (instância l2_10_001), encontrando soluções muito próximas da ótima. Isto ocorre devido ao maior número de subregiões à medida que os valores das distâncias limite crescem (cf. Fernandes et al., 2010). Vale salientar como variam os tempos obtidos para cada grupo de três instâncias. No algoritmo de subregiões os tempos variam dentro de cada grupo significativamente, seguindo o aumento dos raios, como pode ser observado na última coluna da tabela 1. Para as instâncias da figura 3, por outro lado, os tempos de processamento foram similares para cada valor de granularidade. Nos testes com granularidade de 300, por exemplo, os tempos obtidos para as instâncias com 10 pontos foram de 0,98, 1 e 1,015 segundos. Isso acontece pelo fato da complexidade do algoritmo ser a mesma para essas instâncias As eventuais diferenças entre instâncias que compartilham as mesmas quantidades de pontos de demanda e de candidatos a localidade se devem às variações dos tamanhos dos raios nas instâncias testadas não houve variação das restrições de atendimento dentro de cada grupo. Quanto aos custos das soluções obtidas, na tabela 1 e na figura 4 pode ser observado como os valores encontrados tendem a se aproximar do ótimo à medida que aumentamos a granularidade da grade construída. Isso ocorre devido ao número de células geradas, que, quando pequeno, não permite uma boa aproximação da localidade ótima do problema discreto com relação à localidade ótima do problema contínuo. Figura 4 - Razão entre os custos de processamento do algoritmo de subregiões (C subregiões ) pelos custos do algoritmo discreto (C discreto ) pelo, variando a granularidade entre 5 e 25 Além disso, os custos obtidos podem oscilar devido às divisões das células. Na figura 4, por exemplo, os testes com granularidade igual a 15 obtiveram resultados levemente superiores (cerca de 0,01%) aos obtidos com granularidades iguais a 10 e a 20. Isso acontece devido à mudança de posição dos pontos candidatos determinada por cada tamanho de granularidade. Assim, apesar das soluções encontradas tenderem a crescer com o aumento de pontos candidatos, é possível que elas piorem eventualmente, embora com menor probabilidade. Só podemos garantir melhoria quando subdividimos as células já existentes, mantendo os pontos candidatos da solução anterior, como quando aumentamos a granularidade de 10 para 20, por exemplo nesse caso, cada célula foi dividida em 4 novas, gerando 5 pontos candidatos adicionais. 9

10 5. Conclusões XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO As restrições de atendimento adicionam ao trabalho de Drezner, Mehrez e Wesolowsky (1991) uma característica de limites de atendimento que pode representar, em situações reais, restrições de prestação de um serviço ou de justificativa para a instalação de uma facilidade. O trabalho buscou tratar do problema de localização de uma única facilidade com distâncias limitadas e restrições de atendimento dentro de um conjunto de pontos discretos como candidatos para a instalação. Fernandes et al. (2010) usam o modelo na localização dentro de um espaço contínuo, encontrando as soluções ótimas no plano Euclidiano. Foi proposto um algoritmo polinomial para o problema, no qual a decisão de onde localizar uma facilidade seria limitada a um número finito de potenciais localidades. O algoritmo comprovadamente encontra a solução ótima em tempo polinomial. Seus resultados em testes computacionais em comparação com os modelos para espaço contínuo se mostraram bastantes satisfatórios, obtendo soluções muito próximas dos ótimos encontrados no espaço contínuo de soluções, com um tempo de processamento cada vez menor à medida que os raios dos pontos de demanda crescem. Para instâncias com 10 pontos clientes, por exemplo, o algoritmo chegou a encontrar soluções 99,86% próximas da ótima, utilizando apenas 0,17% do tempo levado para encontrá-la no espaço contínuo. Com o aumento dos raios, numa das instâncias com 100 pontos, o tempo computacional do algoritmo para encontrar a solução ótima variou de 182,61% a 5,02% do tempo necessário para encontrá-la no espaço contínuo. Com o aumento do número de pontos candidatos, entretanto, o algoritmo mostrou uma perda da eficiência comparada ao modelo em espaço contínuo, encontrando soluções ótimas em tempos que em alguns casos equivaliam a 741,83% e 895,97% do tempo obtido nessa abordagem. O modelo computacional pode funcionar com instâncias com milhares de pontos de atendimento, sendo seu desempenho sensível a essa quantidade de pontos de demanda e às suas distâncias limites à quantidade de potenciais localidades. Do mesmo modo, as restrições de atendimento adicionadas também têm influência na eficiência do algoritmo. É importante ressaltar ainda que o mesmo independe do tipo de distância adotada na descrição da instância. Como entre os valores de entrada existe uma matriz de distâncias entre os clientes e os pontos candidatos, qualquer tipo de distância pode ser utilizada (Euclidiana, Manhattan etc.) de acordo com as características do problema. Finalmente, é importante ressaltar que o modelo apresentado nesse trabalho pode ser facilmente adaptado para casos onde os beneficiados têm pesos diferentes para atendimento ou para o caso onde se quer ter controle sobre o balanceamento de importância entre atender mais beneficiados ou percorrer menos distâncias. Referências BERESNEV, V. L. Upper Bounds for Objective Functions of Discrete Competitive Facility Location Problems. ISSN , Journal of Applied and Industrial Mathematics, Vol. 3, No. 4, pp BONAMI, P.; LEE, J. BONMIN user's manual. Technical report, IBM Corportaion. Junho, CORREA, E.S., STEINER, M.T.A., FREITAS, A.A., CARNIERI, C. A genetic algorithm for solving a capacitated p-median problem. Numerical Algorithms, 35 (2-4), pp DREZNER, Z.; MEHREZ, A.; WESOLOWSKY, G. The facility Location Problem with Limited Distances. In: Transportation Science. Volume 25, Nº 03, 1991, p Disponível em: < Acesso em 06 de dezembro de

11 FERNANDES, I. F. ; ALOISE, D. ; HANSEN, P. ; LIBERTI, L. ; ALOISE, D. J. On the facility location problem with limited distances and side constraints. Toulouse Global Optimization 2010, Toulouse. PROCEEDINGS OF THE TOULOUSE GLOBAL OPTIMIZATION WORKSHOP, 2010, p JOHNSON, M. P.; GORR. W. L.; ROEHRIG, S. Location of Service Facilities for the Elderly. Annals of Operations Research 136, , MARÍN, A. The discrete facility location problem with balanced allocation of customers. European Journal of Operational Research 210 p PELEGRÍN, B.; FERNÁNDEZ, P.; SUÁREZ, R.; GARCIA, M. D. Single facility location on a network under mill and delivered pricing. IMA Journal of Management Mathematics 17, TEITZ, M.B.; BART, P. Heuristic concentration: Two-stage solution construction, Operational Research Society. 16 (1968) WESOLOWSKY, G.O. The Weber problem: History and perspectives. Location Science 1 (1), pp