Propriedades das escalas diatônicas Texto por Igor S. Livramento Nota introdutória: Este texto explorará oito propriedades das escalas diatônicas. As propriedades descritas são traduções livres de parte da gama teórica produzida sob o nome de teoria de conjuntos diatônicos; sendo traduções livres, não se expõem as referências bibliográficas. Todos os exemplos utilizam a escala de dó maior, a qual se nomeia por letras (maneira comum nas tradições anglófonas), tal que escrevemos a escala da seguinte maneira: C dó (fundamental); D ré; E mi; F fá; G sol; A lá; B si e C' dó (oitava). O que neste texto chama-se nota é conhecido em inglês como pitch no meio acadêmico luso-brasileiro: altura isto é, uma frequência específica associada a um nome, por exemplo: A 440 Hz. Já o que aqui se chama tom é conhecido em inglês como pitch class no meio acadêmico luso-brasileiro: classe de altura que corresponde ao conjunto de notas de mesmo nome, por exemplo, o conjunto formado por todas as notas chamadas A = {..., 27,5 Hz, 55 Hz, 110 Hz, 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz,...}. Propriedades das escalas diatônicas com exemplos a partir da escala de dó maior Definindo-se a escala por seus intervalos A partir da afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava pode-se nomear os intervalos entre tons sucessivos de três maneiras: a) por intervalos musicais, tal que a escala diatônica maior se define: M2 (segunda maior), M2, m2 (segunda menor), M2, M2, M2, m2; b) por intervalos cromáticos: t (tom inteiro), t, s (semitom), t, t, t, s; c) por números inteiros que representam a quantidade de passos dados na afinação que separam as notas: 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1. Como se vê há sempre um intervalo grande e outro pequeno, então podemos generalizar a nomenclatura utilizando G (para intervalos grandes) e p (para intervalos pequenos), portanto a escala diatônica maior generalizada é: G G p G G G p todavia, como estamos utilizando uma nomenclatura de notas mais próxima da anglófona, e como G é a nomenclatura do tom Sol, redefiniremos a nomenclatura em inglês, com L (Large, Grande) e s (small, pequeno), portanto: LLsLLLs (a presença de vírgulas ou espaços é desnecessária pois a leitura não é ambígua).
#01 Uniformidade distributiva Observando atentamente o padrão que aparece em todas essas representações intervalares percebemos que os dois intervalos pequenos estão o mais distante possível um do outro, estão "o mais espalhados possível" nomeemos essa propriedade uniformidade distributiva máxima. A uniformidade distributiva máxima é válida para a escala diatônica maior, mas também para escalas começando em qualquer um de seus tons. Essas escalas são conhecidas como modos gregos ou modos da Igreja e constituem o conjunto de escalas diatônicas. De fato, a escala diatônica maior corresponde ao modo jônio (LLsLLLs), assim como a escala menor natural corresponde ao modo Æólio (LLsLLsL), também chamado modo Eólio. Definindo-se de maneira mais precisa: uma escala é uniformemente distribuída quando cada classe intervalar (segunda, terça, quarta, quinta, etc.) também chamada de intervalo genérico ou intervalo diatônico é constituída por exatamente dois intervalos específicos. Os intervalos específicos são as distâncias absolutas, isto é, distâncias em passos dados na afinação; no caso da afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava trata-se de medir os semitons que separam os tons. A escala diatônica maior realmente é uniformemente distribuída pela definição provida, veja-se: Só há duas segundas: m2 (segunda menor, 1 semitom, de E a F) e M2 (segunda maior, 2 semitons, de C a D); o mesmo é verdadeiro para as terças: m3 (terça menor, 3 semitons, de D a F) e M3 (terça maior, 4 semitons, de C a E); J4 (quarta justa, 5 semitons, de C a F) e A4 (quarta aumentada, 6 semitons, de F a B); d5 (quinta diminuta, 6 semitons, de B a F) e J5 (quinta justa, 7 semitons, de C a G); m6 (sexta menor, 8 semitons, de E a C) e M6 (sexta maior, 9 semitons, de C a A); m7 (sétima menor, 10 semitons, de E a D) e M7 (sétima maior, 11 semitons, de C a B). #02 Ambiguidade A fundamental e a oitava coincidem, não tendo dois intervalos específicos uma vez que constituem o período de equivalência (ponto a partir do qual a escala se repete). O intervalo genérico de quarta de F a B é constituído por um intervalo específico de 6 semitons, bem como o intervalo genérico de quinta de B a F também é constituído por um intervalo específico de 6 semitons; chama-se ambiguidade a essa relação de intervalos genéricos diferentes com intervalos específicos iguais. Há ambiguidade na escala diatônica maior porque os intervalos referidos A4 (quarta aumentada) ou d5 (quinta diminuta), ou seja, 6 semitons dividem o universo (total) de tons ao meio: 12 é a quantidade de tons na afinação/escala cromática,
portanto seu tamanho total; 6 é o tamanho do intervalo específico; daí 12 6 = 2, de fato o famoso trítono (A4 d5) divide ao meio e gera ambiguidade. #03 Estrutura constante A presença de ambiguidade na escala diatônica maior, bem como na afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava, impede que ambas sejam estruturas constantes. Uma escala é uma estrutura constante quando cada intervalo específico pertence a um e apenas um intervalo genérico, isto é, quando não há ambiguidade na escala. Chama-se à estrutura constante, nos meios acadêmicos, propriedade da partição, daí tanto a escala diatônica maior quanto a afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava não são escalas particionadas. #04 Coleção gerada bem-formada A escala diatônica maior possui uniformidade distributiva máxima por ser uma coleção gerada bem-formada 1. Uma coleção gerada bem-formada é uma escala formada pela iteração de um intervalo específico fixo; mais detalhadamente: um intervalo específico coprimo com o universo tonal em questão, senão vejamos: tem-se o universo tonal de tamanho 12 (doze tons disponíveis), pode-se gerar a escala diatônica maior a partir da repetição da J5, uma vez que esse intervalo tem 7 semitons e m.d.c.(7, 12) = 1 (o maior divisor comum entre 7 e 12 é 1, isto é, esses números não têm divisores comuns, portanto são coprimos). Exemplo: comecemos em F e adicionemos uma J5 (5 + 7) = 12; sabemos que 12 é a oitava, nosso período de equivalência, portanto 12 = 0 2, então fomos de F a C. Continuando o processo, temos: C + J5 (0 + 7) = G (7); G + J5 (7 + 7) = D (14, 14-12 = 2); D + J5 (2 + 7) = A (9); A + J5 (9 + 7) = E (16, 16-12 = 4); E + J5 (4 + 7) = B (11). Geramos a escala diatônica maior como previsto: F C G D A E B = C D E F G A B. A redução do universo de tons por um gerador coprimo fornece outro gerador coprimo, o qual é seu inverso, vejamos: 12-7 = 5, de fato m.d.c.(5, 12) = 1 (e como observamos anteriormente: 5 + 7 = 12). De fato, o intervalo específico de 5 semitons (J4) gera a mesma escala diatônica maior, porém desta vez iniciando em B, vejamos: B + J4 (11 + 5) = E (16 mod12 = 4); E + J4 (4 + 5) = A (9); A + J4 (9 + 5) = D (14 mod12 = 2); D + J4 (2 + 5) = G (7); G + J4 (7 + 5) = C (12 mod12 = 0); C + J4 (0 + 5) = F (5). De fato, pela inversão do intervalo gerador inicial encontramos outro que gera a mesma escala: B E A D G C F = C D E F G A B. À redução do intervalo específico pelo tamanho do universo de tons chamamos inversão (do intervalo específico). O mesmo é válido para intervalos genéricos, mas ainda permaneceria 1 Também chamada não-degenerada. 2 Essa operação de reduzir para 12 (pensemos num relógio de ponteiros, por exemplo) chama-se: módulo. No caso desta propriedade estamos utilizando mod12 (módulo 12).
a dúvida sobre qual tamanho de intervalo específico utilizar, o que torna mais prática a utilização direta do intervalo específico. Em geral coleções geradas bem-formadas possuem n 2 ou n 2 + 1 tons no total, com n sendo o tamanho total do universo tonal. No caso da escala diatônica maior (bem como todos os modos) isso se mostra verdadeiro, uma vez que temos doze tons no total, daí 12 2 + 1 = 7. #05 Vetores intervalares Se considerarmos equivalentes os intervalos invertíveis por exemplo: M2 m7 (a partir da nota inicial basta subir ou descer 2 semitons, respectivamente) podemos então definir vetores intervalares como sendo a sequência de números inteiros em ordem crescente do menor intervalo, neste caso a segunda menor (m2 M7, 1 semitom), até à metade 3 do universo de tons utilizado, neste caso o trítono (A4 d5, 6 semitons), da escala em questão. Parece complicado, mas é simplesmente o seguinte, para a escala diatônica maior: m2 M7 M2 m7 m3 M6 M3 m6 J4 J5 A4 d5 2 5 4 3 6 1 Se quisermos anotar isso como vetor, tal qual definido acima, teremos, de maneira mais simples e elegante: <2, 5, 4, 3, 6, 1>. #06 Propriedade das escalas profundas Observando o vetor intervalar que caracteriza a escala diatônica maior percebemos que nas seis posições relativas 4 a cada intervalo específico e seu inverso não há um só algarismo repetido, cada algarismo aparece uma e apenas uma vez. Chamam-se escalas profundas àquelas que são caracterizadas por vetores intervalares sem repetições de algarismos em cada posição, também pode-se dizer delas que têm profundeza ou profundidade. Todas as escalas profundas de um dado universo tonal são produzidas pela iteração de um intervalo específico coprimo ao tamanho do universo tonal em questão, ou seja, são todas coleções geradas bem-formadas 5. #07 Teorema do tom compartilhado 3 Aqui deve ser óbvio que estamos apenas utilizando mod6 (isto é, módulo 6, módulo pelo trítono). 4 Deve estar claro aqui que se tratam de classes intervalares características, pois definem o vetor intervalar que caracteriza uma escala qualquer. 5 O inverso não é verdadeiro, isto é, nem todas as coleções geradas bem-formadas possuem profundidade. Um exemplo é a escala formada pela iteração do intervalo específico 11, isto é, B. Na afinação de 12 tons equidistantes por oitava, o vetor intervalar dessa escala undecatônica (Lssssssssss) é: <10, 10, 10, 10, 10, 5>. Claramente repetindo algarismos, não constitui uma escala profunda, ainda que seja uma coleção gerada bemformada (além de ser uniformemente distribuída), dado se faça pela iteração de um intervalo específico coprimo com o tamanho do universo tonal.
Escalas com profundidade nos levam ao teorema do tom compartilhado, o qual diz: uma transposição da escala terá uma quantidade de tons compartilhados com a escala original igual ao algarismo do respectivo intervalo de transposição no vetor intervalar que caracteriza a escala original. Pode parecer muito complexo, mas um exemplo deve tornar tudo mais claro, vamos a ele. É notado que aparecem seis J4 J5, portanto, pelo teorema do tom compartilhado, transpondo de C para G (C G = 0 + 7 = C + J5 ) devemos obter seis tons em comum entre as escalas de C e G, o que ocorre de fato: C D E F G A B C G A B C D E F# G Logo as escalas de C maior e G maior têm os seguintes tons em comum: [C, D, E, G, A, e B], seis, como esperado. Uma vez que J4 J5, transpor para a J4, ou seja, F, também renderá seis tons compartilhados com C maior (C F = 0 + 7 = C + J5 ), veja-se: C D E F G A B C F G A Bb C D E F De fato, como previsto, C maior e F maior compartilham seis tons também [C, D, E, F, G e A]. #08 Cardinalidade gera variedade Ainda outra propriedade da escala diatônica maior consiste das transposições de linhas melódicas. Uma linha melódica composta x tons na escala diatônica maior gera uma quantidade x de conjuntos de intervalos ordenados, isto é, uma quantidade de conjuntos de intervalos ordenados igual à quantidade de tons presente na linha melódica. A essa propriedade chamamos cardinalidade gera variedade 6, cardinalidade sendo a quantidade de tons (distintos) presentes na linha melódica a ser transposta e variedade referindo-se ao fato das transposições de x tons distintos gerarem x conjuntos de intervalos ordenados. O exemplo a seguir deve facilitar a compreensão. A linha melódica C D E se constitui de uma M2 seguida de outra M2. Já D E F se faz por uma M2 seguida de m2. Por fim, E F G tem m2 seguida de M2. C D E tem três tons. Como observado nas duas transposições anteriores dessa linha melódica, três conjuntos de intervalos ordenados surgiram: [M2, M2], [M2, m2] e [m2, M2]. De fato, se transposta por toda a escala diatônica maior essa linha melódica se constituirá a 6 Melhoro posto como CV.
cada transposição de uma dessas três possibilidades. A quantidade de tons na linha melódica nos forneceu a quantidade de conjuntos de intervalos ordenados. #09 Estrutura implica multiplicidade Se observarmos o círculo de quintas da escala diatônica maior, há outra propriedade interessante referente aos conjuntos de intervalos ordenados. Primeiramente, observemos o círculo de quintas: C G D A E B F C Podemos decompor a linha melódica anterior (C D E) no círculo de quintas da escala diatônica maior, se levarmos em conta as menores distâncias entre tons, teremos algumas relações interessantes: De E C tem-se três intervalos (E B, B F, F C). De C D tem-se dois intervalos (C G, G D). De D E tem-se dois intervalos (D A, A E). Curiosamente, assim como de C E houve três intervalos, o padrão [M2, M2] ocorre três vezes no total de transposições da linha melódica C D E ao longo de toda a escala diatônica maior. Igualmente à distância de C D com dois intervalos, o padrão [M2, m2] ocorre duas vezes no total de transposições ao longo da escala diatônica maior. Isso também é verdadeiro para a distância de D E: [m2, M2] ocorre duas vezes no total de transposições da linha melódica pela escala diatônica maior. A essa propriedade saber o total de cada conjunto de intervalos ordenados chamamos estrutura implica multiplicidade 7. Estrutura aqui se refere ao círculo de quintas diatônico, enquanto a multiplicidade se refere à quantidade de vezes que cada conjunto de intervalos ordenados aparece. O termo implica é utilizado (em vez de gera, como na propriedade anterior) porque sabemos quantos conjuntos há, mas não onde ocorrem. #10a Pequena curiosidade Por fim, uma curiosidade: a escala diatônica maior pode ser composta por três terças maiores (3 M3) e quatro terças menores (4 m3), veja-se: C+M3 (0 + 4) = E (4); E + m3 (4 + 3) = G (7); G + M3 (7 + 4) = B (11); B + m3 (11 + 3) = D (14 mod12 = 2); D + m3 (2 + 3) = F (5); F + M3 (5 + 4) = A (9); A + m3 (9 + 3) = C (12 mod12 = 0). 7 Melhor posto como SM, utilizando S de structure (estrutura, em inglês), uma vez que E já se refere ao tom Mi.
C E G B D F A C' = C D E F G A B C', como esperado. #10b Exemplos extremos de escala profunda Um exemplo (extremo) de escala profunda pode ser obtido num universo de 31 tons equidistantes por oitava. Como já não podemos mais falar em tons inteiros e semitons, anotaremos a escala em questão por números inteiros referentes aos passos cromáticos 8 que a constituem: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 27, 29, (31 = 0). O vetor intervalar que a caracteriza é dado por: <0, 14, 1, 13, 2, 12, 3, 11, 4, 10, 5, 9, 6, 8, 7>. De fato, como proposto, nenhum algarismo se repete nas posições relativas aos intervalos, bem como a escala em questão (ssssssssssslsss) possui o tamanho esperado: 31 2 = 15,5, de fato, o menor inteiro mais próximo de 15,5 é 15 (uma vez que oitava e fundamental são o período de equivalência, contam como apenas um tom), dando o equivalente da metade do universo tonal, o que se encaixa na teorização fornecida. Outro exemplo possível é gerar uma coleção bem-formada pela iteração do intervalo específico 11 num universo de 20 tons equidistantes por oitava. Os resultados seguem abaixo, começando com a mencionada escala (LLLLLsLLLLs) em passos cromáticos 9 : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20 = 0. Agora, o vetor intervalar que caracteriza a escala para averiguação da profundidade: <2, 9, 4, 7, 6, 5, 8, 3, 10, 1>. Por fim, uma matriz intervalar mostrando os intervalos específicos em relação aos passos cromáticos que definem a escala: Passo/intervalo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 4 6 8 10 11 13 15 17 19 20 2 2 4 6 8 9 11 13 15 17 18 20 4 2 4 6 7 9 11 13 15 16 18 20 6 2 4 5 7 9 11 13 14 16 18 20 8 Aqui deve ficar claro que utilizaremos mod31, isto é, 31 = 0. 9 Aqui estamos utilizando mod20, isto é, 20 = 0.
8 2 3 5 7 9 11 12 14 16 18 20 10 1 3 5 7 9 10 12 14 16 18 20 11 2 4 6 8 9 11 13 15 17 19 20 13 2 4 6 7 9 11 13 15 17 18 20 15 2 4 5 7 9 11 13 15 16 18 20 17 2 3 5 7 9 11 13 14 16 18 20 19 1 3 5 7 9 11 12 14 16 18 20 #11 Espécie de conclusão Após averiguar tantas propriedades, a emergência das escalas diatônicas na tradição musical ocidental (e seu uso como principal sustentáculo e arcabouço indispensável à composição) parece um feito para entrar na história da humanidade 10 ; mas o mais surpreendente é que chegamos a tudo isso guiados majoritariamente pela audição e pelas emoções evocadas pelas coleções de tons (escalas). A afinação de 12 tons equidistantes por oitava 11 é um desenvolvimento mais recente que as escalas diatônicas, mas sua presença propiciou a percepção e enumeração das propriedades desenvolvidas ao longo do presente texto. Assim, a consolidação dessas estruturas como básicas durante o barroco tardio e o período clássico mostra uma sensibilidade ímpar da época e, mais mostra-nos o resultado do esforço coletivo e colaborativo entre compositores, executores, público, críticos e teóricos, um resultado sem precedentes que nos influencia até hoje. 10 De fato, é histórico se pensarmos nos quase 300 anos entre o período barroco e o romântico tardio onde as escalas diatônicas constituem a maior parte das composições. 11 Para considerações mais aprofundadas sobre a afinação, cf. do presente autor: Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes, de minha autoria, disponível em: < http://static.recantodasletras.com.br/arquivos/5499991.pdf>, acesso em 26 de janeiro de 2016.