Prova final de MTMÁTI - o ciclo 014-1 a hamada Proposta de resolução aderno 1 1. omo as grandezas x e y são inversamente proporcionais, sabemos que x y é um valor constante. ntão temos que 15 0 = 1 a 00 = 1a 00 1 = a 5 = a. Organizado os dados numa tabela, podemos obter os quatro primeiros termos da sequência subtraindo sucessivamente a cada termo, partindo do quinto termo: Ordem 1 4 5 Termo 5 8 11 14 Pela observação da tabela podemos verificar que todos os termos da sequência diferem de 1 unidade de um múltiplo de. ssim, temos que 8 é um termo da sequência, porque 8 = 1 80 é um termo da sequência porque 80 = 7 1 800 é um termo da sequência porque 800 = 67 1 Logo 88 não é um termo da sequência porque 88 = 0. omo sabemos que a b = 88, os valores da opção () não podem ser os de a e de b porque 7 119 = 8 Podemos excluir os valores da opção (), porque 4 = 1, logo o máximo divisor comum entre estes números é 1 e não 7 Também podemos excluir a opção () porque 7 não é um divisor de 18, logo não pode ser o máximo divisor comum entre 18 e 49 ssim, os valores de a e b podem ser 14 e 6, porque 14 6 = 88, e também podemos verificar que, como 14 = 7 e 6 = 7, logo, M.d.c.(14,6)=7 Resposta: Opção 4. 4.1. O lugar geométrico dos pontos que estão a igual distância de um ponto fixo é uma circunferência. Neste caso o lugar geométrico é a circunferência de centro no ponto e raio 1,6 cm (ou raio P ). Página 1 de 5
4.. O triângulo [P ] é retângulo em P. omo, relativamente ao ângulo P, o lado [P ] é o cateto adjacente e o lado [P ] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos: tg 65 = P P tg 65 = P 1,6 1,6 tg 65 = P omo tg 65,14, vem que: P 1,6,14,4 ssim, arredondando o resultado às décimas, vem que P,4 cm 4.. omo o ângulo O é o ângulo ao centro que, para o mesmo arco, corresponde ao ângulo inscrito temos que Ô = Â ssim, vem que Ô = 65 = 10 5. 5.1. O volume total (V T ) do sólido pode ser calculado como a soma dos volumes do paralelepípedo retângulo (V P R ) e do prisma triangular (V P T ). alculando o volume do paralelepípedo retângulo, temos: V P R = J = 15 15 6 = 150 alculando o volume do prisma triangular, considerando como base o triângulo [] e a altura a medida da aresta [I], como I = J e =, vem ssim, temos que V P T = [] J = h Logo o volume total do sólido é 05 cm J = 15 6 V T = V P R + V P T = 150 + 675 = 05 15 = 15 15 = 675 H 5.. omo o plano I é o plano que contém a base superior do paralelepípedo retângulo, qualquer reta contida na base inferior do paralelepípedo é paralela ao plano I e não está contida no plano. ssim, usando as letras da figura, uma das respostas possíveis é a reta J G F I J Página de 5
aderno 6. Observando os dados do gráfico, podemos concluir que o número total de alunos da turma é 10+5+7 =, dos quais 5 têm olhos azuis. ssim, temos que, recorrendo à Regra de Laplace, existem 5 casos favoráveis para que o aluno escolhido tenha olhos azuis e casos possíveis, pelo que a probabilidade é p = 5 7. 7.1. omo o casal tem filhos, duas filhas (que vamos designar por M 1 e M ) e um filho (que vamos designar por H), podemos organizar uma lista de todas as disposições possíveis para a fotografia: H M 1 M H M M 1 M 1 H M M 1 M H M H M 1 M M 1 H Observando os seis casos possíveis, podemos verificar que em 4 deles as filhas do casal ficam juntas, pelo que, recorrendo à Regra de Laplace, temos que a probabilidade é p = 4 6 = 7.. esignado por x a idade do filho do casal Silva, como o valor exato da média das idades dos três irmãos é 14, temos que 15 + 15 + x = 14 0 + x Logo, o filho do casal Silva tem 1 anos. = 14 0 + x = 14 0 + x = 4 x = 4 0 x = 1 8. Representando o conjunto na reta real, temos: 1 0 1 4 5 6 + ssim temos que ]0,[ ],5[=]0,5[ Resposta: Opção 9. Usando as potências de e a potência de expoente negativo, temos que: 10. 1 8 = 1 = 10.1. ois pontos com a mesma ordenada pertencem à mesma reta horizontal. ssim, dois pontos com a mesma ordenada, são (por exemplo) os pontos e Página de 5
10.. altura do trapézio () pode ser calculada como a diferença das ordenadas dos pontos e ssim, calculando a ordenada do ponto, recorrendo à função g, temos: y = g() = () = 4 = 8 a mesma forma, podemos obter a ordenada do ponto, com recurso à função f: y = f(4) = 1 4 = 4 = ssim temos que = y y = 8 = 6, = 4 e = alculado a área do trapézio [], vem: [] = + b 11. Pela observação da figura, temos que h = ssim, a área do quadrado de lado O é Resposta: Opção + = 4 + O = O = a 6 = 6 6 = 6 = 18 = (a ) (a ) = (a ) = a + = a 6a + 9 1. screvendo a equação na fórmula canónica, e usando a fórmula resolvente, vem: (a = 8, b = e c = 1) x = 4x 1 x 1 () = 4x 1 1 () x = 8x 1 8x + x + 1 = 0 x = ± 4( 8)(1) ( 8) x = 6 x = + 6 {.S.= 1 } 4,1 x = ± 4 + x = ± 6 x = ± 6 x = 8 x = 4 x = 1 x = 1 4 1. Resolvendo a inequação, temos 1 + x + 1 6 6 + x + 6 6 4x 6.S.=[ 1, + [ 1 x + 1 (1 x) 1 + 1 x 1 + x + 1 1 x 1 (6) () () () 7 x + 4x 6 7x 7 x 7 x 1 14. 14.1. omo os triângulos [] e [] são semelhantes, e os lados [] e [] são lados correspondentes, a razão de semelhança (r) é r = = 4 6 = omo a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos que Resposta: Opção área do triângulo [] área do triângulo [] = r = ( ) = 4 9 Página 4 de 5
14.. 14..1. esignado por M o ponto médio do lado [], temos que o triângulo [M] é retângulo em M, e que M = = 6 = omo l = M, usando o Teorema de Pitágoras, temos: l = M + M 7 = M + 49 = M + 9 49 9 = M 40 = M 40 = M M>0 cm 4 cm M 6 cm 14... Os triângulos [] e [F ] são congruentes, porque F =, [] é um lado comum, e os ângulos e F são iguais (porque são ângulos alternos internos). F ssim, temos que os lados [F ] e [] são lados correspondentes, e por isso F = = 7 7 cm 7 cm Logo o raio da circunferência de centro em F e que contém o ponto tem comprimento 7 cm. Página 5 de 5