Teoria da Medida e Integração (MAT505)

Teoria da Medida e Integração (MAT505) Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 204 Conteúdo Riemann. vs Lebesgue..............................2 Teorema Fundamental do Cálculo............... 2 2 Derivadas 4 2. Hardy-Littlewood.......................... 6 2.2 Derivação............................... 7 2.3 de Lebesgue............................. 0 3 Variação Limitada 3. Definição............................... 2 3.2 Propriedades............................. 3 4 Cont. Abs. 5 4. Definição............................... 5 Riemann. vs Lebesgue Riemann-integrável é Lebesgue-integrável O próximo é resultado bem conhecido dos cursos de Análise no R n : Teorema Uma função limitada ƒ : [, b] R é integrável à Riemann se, e só se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de ƒ tem medida (de Lebesgue) nula.

Vamos ver que nestas condições ƒ é Lebesgue integrável e que o integral de Riemann b ƒ (t) dt tem o mesmo valor que [,b] ƒ dλ. Mensurabilidade Seja D = { [, b] : ƒ é descontínua em }. Então g = ƒ [, b] \ D : [, b] \ D R é limitada e contínua no seu domínio, portanto g é Borel mensurável. Segue que ƒ [,b]\d é mensurável pois é igual à função mensurável g em [, b] \ D e igual a zero em D, com D conjunto mensurável. Finalmente, a diferença entre ƒ e ƒ [,b]\d ocorre num conjunto de medida nula, portanto ƒ é mensurável. Integral com mesmo valor Para cada ϵ > 0 existe partição P de [, b] dada por = 0 < < < n = b tal que n ƒ P, dλ = inf ƒ [, ] b ( ) = S(ƒ ; P) ƒ (t) dt ϵ b n ƒ (t) dt + ϵ S(ƒ ; P) = sp ƒ [, ] ( ) = ƒ P,+ dλ onde ƒ P, = inf ƒ [, ] [, ) e ƒ P,+ = sp ƒ [, ] [, ) são funções simples e mensuráveis. Repetindo este argumento para cada ϵ = / n obtemos sequências ƒ n, ƒ ƒ n,+ para n e podemos definir as funções mensuráveis limitadas (λ-integráveis) ƒ = sp n ƒ n, e ƒ + = inf n ƒ n,+. Estas funções satisfazem ƒ + dλ b ƒ (t) dt ƒ dλ e temos também (ƒ + ƒ ) dλ 0 ƒ + dλ ƒ dλ. Portanto (ƒ + ƒ ) dλ = 0 e obtemos ƒ = ƒ +, λ-qtp. Finalmente, como ƒ ƒ ƒ +, deduzimos que ƒ = ƒ ±, λ-qtp e portanto ƒ é λ-integrável e ƒ + dλ = b ƒ (t) dt = ƒ dλ = ƒ dλ. 2

.2 Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Se ƒ : [, b] R é contínua e sua derivada ƒ é também contínua e definida em todo ponto de [, b], então o Teorema Fundamental do Cálculo garante que ƒ () = ƒ () + ƒ (t) dt, [, b]. Esta expressão poderia fazer sentido em contextos mais amplos: se ƒ () só existisse λ-qtp e fosse λ-integrável, por exemplo. No entanto, o Teorema Fundamental do Cálculo não vale com hipóteses tão fracas. A função de Cantor Defina a seguinte função ƒ : [0, ]. Para cada seja n com n {0,, 2} sua expansão em base 3 e ˆ N() = se n nunca assume o valor ; ˆ N() = min{k : k = e j =, j < k}. Agora seja y = /2 para < N() e y n = se N() = n. Definimos agora ƒ () = N() y n 2 n. É um exercício verificar que esta função é não descrescente, contínua, Hölder contínua, e constante em cada intervalo do complemento do conjunto ternário de Cantor. n 3 n A função de Cantor Construção de Função de Cantor Podemos definir recusivamente uma sequência de funções começando com ƒ 0 () =. Depois, para cada n 0, temos ˆ ƒ n+ () = 2 ƒ n(3) para 0 3 ; ˆ ƒ n+ () = 2 para 3 2 3 ; ˆ ƒ n+ () = 2 + 2 ƒ n(3 2) para 2 3. 3

Esta sequência converge pontualmente para a função de Cantor. Além disto, a convergência é uniforme, pois mx ƒ n+() ƒ n () [0,] 2 mx ƒ n() ƒ n (), n. [0,] Construção de Função de Cantor Função de Cantor como contra-exemplo Em particular, temos ƒ (0) = 0, ƒ () = e, como o conjunto ternário de Cantor tem medida de Lebesgue nula, temos também que ƒ = 0, λ-qtp. Portanto obtemos ƒ () ƒ (0) = = 0 ƒ dλ = 0. A função de Cantor não satisfaz o Teorema Fundamental do Cálculo! 2 Derivadas Derivação de medidas no espaço euclidiano O Teorema de Radon-Nikodym fornece uma noção abstrata de derivada de uma medida complexa ou com sinal ν em relação a outra medida μ num espaço mensurável (X, A). 4

Agora consideramos o caso X = R n e A = B a σ-álgebra de Borel. Vamos definir uma derivada pontual de ν em relação a λ usando bolas em torno de um ponto R n por F() = lim r 0 ν(b(, r)) λ(b(, r)) quando o limite existe. As bolas podem ser substituídas por outras famílias de conjuntos adequadas. Derivação pontual e Radon-Nikodym Se ν λ, então ν = ƒ λ e neste caso ν(b(, r)) λ(b(, r)) = ƒ dλ λ(b(, r)) B(,r) e nós gostaríamos que F = ƒ, λ-qtp. Isto vai acontecer realmente e podemos olhar para isto como uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada da integral indefinida de ƒ (ou seja, de ν) é ƒ. A partir de agora integrável e qtp serão em relação à medida de Lebesgue em R n se nada for mencionado em contrário. 5

Lema técnico muito útil Lema (versão do recobrimento de Vitali) Seja C coleção de bolas abertas em R n e seja U = B C B. Se λ(u) > c, então existe família finita disjunta B,..., B k C tal que k λ(b ) > c/3 n. Se λ(u) > c então existe compacto K U com λ(k) > c e uma família finita de bolas A,..., A m C cobre K. Seja B a bola A j com o maior raio; B 2 a bola com maior raio entre as A que não intersectam B ; B 3 a bola com maior raio entre as A que não intersecta B B 2 ; e assim sucessivamente até que todos os A foram usados ou não sobra nenhum disjunto dos B j escolhidos. Prova do lema Por construção, se A j não é um dos B, então existe tal que A j B = e se é o menor índice com esta propriedade, então o raio de A j é menor ou igual ao raio de B. Então A j B do raio. com B Desta maneira obtemos K k B a bola de mesmo centro que B mas o triplo e k c < λ(k) λ(b k ) = 3 n λ(b ) como no enunciado do lema. Funções localmente integráveis Uma função mensurável ƒ : R n C é localmente integrável se B ƒ, dλ < para todo conjunto limitado e mensurável B Rn. O espaço destas funções será denotado por L oc. Se ƒ L oc e Rn e r > 0, definimos A r ƒ () = ƒ dλ. λ(b(, r)) B(,r) Lema Se ƒ L oc, então R+ R n R, (r, ) A r ƒ () é contínua. Notemos que λ(b(, r)) = cr n com c = λ(b(0, )) e λ(s(, r)) = 0, onde S(, r) = {y R n : y 2 = r} é o bordo B(, r) da bola, ou seja, a superfície da bola. 6

2. Hardy-Littlewood Prova do lema e a função de Hardy-Littlewood Temos que B(,r) B( 0,r 0 ) pontualmente para todos os (r,) (r 0, 0 ) pontos de R n \ S( 0, r 0 ), portanto temos convergência qtp e B(,r) B(0,r 0 +) sempre que r r 0 e 0. O Teorema da Convergência Dominada garante que ƒ dλ varia continuamente com (r, ) e portanto o mesmo acontece com A r ƒ () = B(,r) c r n ƒ dλ, concluindo a prova do lema. B(,r) Definimos agora a função maximal de Hardy-Littlewood Hƒ () = sp A r ƒ () = sp ƒ dλ. r>0 r>0 λ(b(, r)) B(,r) O Teorema Maximal É claro que Hƒ é função mensurável e que (Hƒ ) (, ) = (A r ƒ ) (, + ) r>0 é aberto para cada R pelo lema acabado de provar. Teorema (o Teorema Maximal) Existe C > 0 tal que para toda ƒ L (λ) e todo α > 0 λ[hƒ > α] C α ƒ dλ. Para a prova, seja E α = [Hƒ > α]. Prova do teorema Para cada E α existe r > 0 tal que A r ƒ () > α. B(, r ) cobrem E α. As bolas Logo, pelo lema de cobertura, se c < λ(e α ), então podemos achar,..., k E α tais que B j = B( j, r j ) são disjuntas e k λ(b ) > 3 n c. Mas c < 3 n k λ(b ) 3n α k ƒ dλ B 3n ƒ dλ. α Fazendo c λ(e α ) completamos a prova do teorema. 7

2.2 Teorema Fundamental de Derivação Teorema Fundamental da Derivação Usamos a seguir a noção de limite superior de função real de variável real ϕ: lim sp r R ϕ(r) = lim e o fato simples de verificar lim r R sp ϵ 0 0< r R <ϵ ϕ(r) = inf sp r>0 0< r R <ϵ ϕ(r) = c lim sp ϕ(r) c = 0. r R Teorema (derivação de Lebesgue) Se ƒ L oc, então lim r 0 A r ƒ () = ƒ () para λ-qtp R n. ϕ(r) Prova do teorema Observemos que este resultado garante que lim ƒ (y) ƒ () dλ(y) = 0. r 0 λ(b(, r)) B(,r) Para provar o teorema, basta mostrar que para N temos A r ƒ () ƒ () para qtp com N. Mas para N e r os valores de A r ƒ () dependem apenas dos valores de ƒ (y) com y N +. Portanto, substituindo ƒ por ƒ B(0,N+) podemos assumir que ƒ L (λ). Usando isto, sabemos que para cada ϵ > 0 podemos achar uma função contínua e integrável g tal que ƒ g < ϵ. Assim g é uniformemente contínua no fecho da bola B(0, N + ). Para cada δ > 0 existe r > 0 tal que se y 2 < r então A r g() g() = g(y) g() dλ(y) λ(b(, r)) Portanto A r g() r 0 B(,r) δ λ(b(, r)) = δ. λ(b(, r)) g() para cada B(0, N + ), logo lim sp A r ƒ () ƒ () r 0 = lim sp A r (ƒ g)() + (A r g g)() + (g ƒ )() r 0 H(ƒ g)() + 0 + ƒ g (). 8

Fazemos agora E α = [lim sp r 0 A r ƒ ƒ > α] e F α = [ ƒ g > α]. Notamos que vale E α F α/2 [H(ƒ g) > α/2]. Mas α 2 λ(e α/2) E α/2 ƒ g dλ < ϵ que junto com o lema maximal garante que λ(e α ) 2ϵ α + 2Cϵ α com ϵ > 0 arbitrário. Deduzimos assim que λ(e α ) = 0 para todo α > 0 e portanto que lim A rƒ () = ƒ (), r 0 B(0, N + ) \ E /n. n Como λ( n E /n ) = 0 a prova está completa. Conjunto de Lebesgue de uma função Para cada ƒ L definimos conjunto de Lebesgue oc L(ƒ ) = R n : lim r 0 λ(b(, r)) Proposição Para cada ƒ L oc temos que λ(rn \ L(ƒ )) = 0. ƒ (y) ƒ () dλ(y) = 0 B(,r) Para provar, para cada c C aplicamos o teorema anterior à função g c () = ƒ () c e deduzimos que, exceto num conjunto E c de medida nula lim r 0 λ(b(, r)) ƒ (y) c dλ(y) = ƒ () c. B(,r). Prova da Proposição Fixando D conjunto enumerável denso em C e E = c D E c, então λ(e) = 0. Para C \ E e cada ϵ > 0, existe c D com ƒ () c < ϵ e logo ƒ (y) ƒ () < ƒ (y) c + ϵ e assim lim sp ƒ (y) ƒ () dλ(y) = ƒ () c + ϵ < 2ϵ. r 0 λ(b(, r)) B(,r) Como ϵ > 0 é arbitrário, concluimos que C \ E L(ƒ ) e portanto R n \ L(ƒ ) E tem medida nula, como no enunciado, completando a prova. 9

Famílias mais gerais que bolas Uma família de conjuntos {E r } r>0 é substancial em R n se ˆ E r B(, r) para todo r > 0; ˆ existe α > 0 independente de r > 0 tal que λ(e r ) > αλ(b(, r)). Observe que E r não tem que conter o ponto. Exemplo: se U é algum boreliano contido em B(0, ) com medida positiva e E r = { + ry : y U}, então {E r } r>0 é família substancial em. 2.3 Teorema de Derivação de Lebesgue Teorema de Derivação de Lebesgue Teorema Seja ƒ L. Para cada L(ƒ ) oc lim sp ƒ (y) ƒ () dλ(y) = 0 r 0 λ(e r ) E r lim ƒ dλ = ƒ () r 0 λ(e r ) E r e para toda família substancial {E r } r>0 em. Para a prova basta observar que ƒ ƒ () dλ λ(e r ) E r ƒ ƒ () dλ ƒ ƒ () dλ. λ(e r ) B(,r) αλ(b(, r)) B(,r) Pontos de densidade Se E R n é mensurável, sua densidade é a função D E () = lim r 0 λ(e B(,r)) λ(b(,r)) sempre que o limite existe. Como D E () = A r E () e E () é localmente integrável, então pelo Teorema de Derivação de Lebesgue obtemos que D E () = para λ qtp E e D E () = 0 para λ-qtp R n \ E. Os pontos onde D E () = chamam-se pontos de densidade de Lebesgue do conjunto E. É um excelente exercício obter exemplos de mensuráveis E e pontos para os quais D E () = α para algum α fixado em (0, ), ou tal que D E () não existe, e em cada caso com E ou com / E. 0

Representação de Lebesgue-Radon-Nikodym Seja ν uma medida σ-finita com sinal ou complexa boreliana em R n e ν = ν s + ƒ λ sua representação via decomposição de Lebesgue com respeito a λ e Radon-Nikodym. Proposição Para λ-qtp R n e toda família substancial {E r } r>0 em temos D ν () := lim r 0 ν(e r ) λ(e r ) = ƒ (). Todas as medidas envolvidas neste enunciado são regulares no sentido topológico, ou seja, ν é regular porque é Boreliana e σ- finita. Prova da proposição Pelos resultados anteriores, como ν = ν s + ƒ λ, basta mostrar que ν s (E r )/λ(e r ) 0 quando r 0. Podemos assumir que ν s é positiva e que E r = B(, r), porque ν s (E r ) λ(e r ) ν s (E r ) λ(e r ) ν s (B(, r)) λ(e r ) ν s (B(, r)) αλ(b(, r)). Assumindo que ν s 0 seja A boreliano tal que ν s (A) = λ(r n \ A) = 0 e ν s (B(, r)) F k = A : lim sp r 0 λ(b(, r)) >. k Vamos mostrar que λ(f k ) = 0 para todo k, terminando o argumento. Para cada ϵ > 0 existe U ϵ aberto tal que U ϵ A e ν s (U ϵ ) < ϵ. Cada F k é o centro de uma bola B U ϵ tal que ν s (B ) > k λ(b ). Seja V ϵ = Fk B. Por lema de cobertura, se c < λ(v ϵ ), então existem,..., J tais que B são disjuntas para =,..., J e c < 3 n J λ(b ) 3 n k J ν s (B ) 3 n kν s (V ϵ ) 3 n kν s (U ϵ ) 3 n kϵ. Portanto λ(v ϵ ) 3 n kϵ. Como F k V ϵ e ϵ > 0 é arbitrário, concluimos que λ(f k ) = 0 como queremos.

3 Variação Limitada Generalizando o Teorema Fundamental do Cálculo Se ƒ : [, b] R satisfaz então ƒ () ƒ (y) = y ƒ (t) dt, y b ˆ a função μ([y, )) = ƒ () ƒ (y) é como se fosse medida com sinal; ˆ essa medida com sinal μ é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Pela representação de Lebesgue-Radon-Nikodym, se μ definida acima é medida com sinal, então ƒ () ƒ (y) = μ([y, )) = μ s ([y, ]) + D μ dλ. [y,) Plano de prova Então queremos que ˆ μ s ([y, ]) 0, isto é, que μ s = 0 e assim μ λ; e ainda ˆ [y,) D μ dλ = y ƒ (t) dt. Vamos assim. classificar as ƒ : [, b] R tais que μ([y, )) := ƒ () ƒ (y) define medida com sinal; 2. entre estas funções, identificar aquelas tais que μ λ. Feito isto, identificamos a classe de funções que satisfazem o Teorem Fundamental do Cálculo. 3. Definição Funções de variação limitada Seja ƒ : [, b] R(C). Para cada [, b] definimos a variação de ƒ em n V ƒ () = sp ƒ ( j ) ƒ ( j ) : 0 < < < n = j= 2

e a variação total de ƒ: V(ƒ ) = V ƒ (b). Dizemos que ƒ tem variação limitada se V(ƒ ) < ; e que ƒ de variação limitada é normalizada se ƒ é contínua à esquerda em todo ponto: lim r ƒ () = ƒ (r), r [, b]. Segue que para ƒ.g : [, b] R(C) de variação limitada e c C se tem V ƒ +cg () V ƒ () + c V g (), [, b]; e portanto V(ƒ + cg) V(ƒ ) + c V(g). Assim, o conjunto VL = VL([, b]) das funções de variação limitada e o subconjunto VLN = VLN([, b]) das normalizadas, são espaços vetoriais (reais ou complexos). Exemplos Toda ƒ : [, b] R não descrescente tem variação limitada: V(ƒ ) = ƒ (b) ƒ () <. Se ƒ = Q então ƒ não tem variação limitada: tome n e = n Q; e alternadamente j Q, j / Q, j =,..., n. Portanto n j= ƒ ( j) ƒ ( j ) = n e assim V(ƒ ) n. Como n é um inteiro positivo arbitrário, provamos que V(ƒ ) =. 3.2 Propriedades Propriedades de funções de variação limitada Lema Se ƒ : [, b] R(C) tem variação limitada, então., y, > y = ƒ () ƒ (y) V ƒ () V ƒ (y); 2. r [, b] existem os limites à esquerda lim r ± ƒ (); 3. o conjunto dos pontos de densidade é enumerável (podendo ser finito ou vazio). O ítem () segue diretamente da definição de V ƒ (). Para o item (2), se V(ƒ ) <, então V ƒ é não-decrescente e assume valores finitos logo, dado r [, b], existem os limites laterais lim r ± V ƒ () (pelo ítem ()). Fixemos o caso r + (o outro é análogo). Pelo ítem (), se r + < y < ƒ () ƒ (y) V ƒ () V ƒ (y) y, r + 0. Para o ítem (3), se V ƒ é contínua em r, então ƒ é contínua em r (pelo ítem ()). Mas V ƒ é monótona não decrescente, logo seus pontos de descontinuidade estão associados a intervalos no complemento da imagem de ƒ (resultado bem conhecido de Análise) e, 3

portanto, formam um conjunto enumerável. Isto conclui a prova do Lema. Proposição Se ƒ : [, b] R é função de variação limitada, então existem g, h : [, b] R não decrescentes (de variação limitada) tais que ƒ = g h. Se ƒ é normalizada, então g, h também são. A prova se resume a tomar g = 2 (ƒ + V ƒ ) e h = 2 (V ƒ ƒ ) e a verificar as propriedades enunciadas. É fácil ver que g, h são não decrescentes e de variação limitada. Prova da proposição Resta mostrar que se ƒ é normalizada, então g, h também são. Mas como VLN, assim como VL, é espaço vetorial, basta mostrar que V ƒ é normalizada. Seja r. Então V ƒ (r) V ƒ (). Para ϵ > 0 fixado, existe ζ > 0 tal que 0 < r < ζ = ƒ (r) ƒ () < ϵ/2. Podemos agora escolher = 0 < < < n = r com V ƒ (r) n ƒ ( ) ƒ ( ) < ϵ 2 e r n < ζ e obtemos V ƒ (r) V ƒ () majorado por n ƒ ( ) ƒ ( ) + ϵ n 2 e por ƒ (r) ƒ () + ϵ/2 < ϵ. Teorema Para ƒ : [, b] R(C): ƒ ( ) ƒ ( ) ƒ () ƒ ( n ). ƒ VLN!μ medida complexa tal que ƒ () ƒ () = μ([, )), [, b]. 2. ƒ VLN é contínua em r [, b] μ({r}) = 0. 3. se ƒ VLN, então V ƒ () = μ ([, )), [, b]. Ítem (): se ƒ () ƒ () = μ([, )), [, b] V ƒ () = sp n μ([ j, j )) : = 0 < < < n = μ ([, )) μ ([, b]) < e ƒ VL 4

e provamos uma desigualdade do ítem (3). Além disto, lim r ƒ () = ƒ () + lim μ([, )) = ƒ () + μ([, r)) r = ƒ () + ƒ (r) ƒ () = ƒ (r) e ƒ VLN. Para a recíproca do ítem (), suponhamos que ƒ VLN é real não descrescente. No semianel S dos subintervalos de [, b] fechados à esquerda e abertos à direita, seja τ([, y)) = ƒ (y) ƒ (). Isto define uma medida regular σ-finita no semianel e também uma medida exterior μ cuja restrição aos mensuráveis coincide com τ em S, logo μ([, )) = τ([, )) = ƒ () ƒ (). Para o caso de ƒ VLN real em geral, escrevemos ƒ = g h comc g, h não descrescentes, definimos μ g, μ h como acima e definimos μ = μ g μ h que é medida com sinal tal que μ([, )) = g() g() (h() h()) = g() h() (g() h()) = ƒ () ƒ (). Para ƒ VLN complexa, reduzimos às suas componentes reais e imaginárias para obter funções reais em VLN e aplicar as ideias anteriores a cada componente, para obter uma medida complexa que representa ƒ () ƒ (). Ítem (2): segue do ítem () lim r () ƒ (r)) = lim μ([, )) = μ([, r)) + μ({r}) +(ƒ + r = ƒ (r) ƒ () + μ({r}) logo lim r + ƒ () = ƒ (r) + μ({r}) e vale continuidade de ƒ VLN se, e só se, μ({r}) = 0. Ítem (3): já sabemos que V ƒ () = ν([, )) com ν medida positiva, porque V ƒ é não descrescente e está em VLN. Além disto μ([, )) ν([, )) para todo [, b]. Portanto μ ν (pois a desigualdade anterior se estende a qualquer coleção finita de intervalos e portanto a todo boreliano), logo μ ([, )) V ƒ (). 4 Continuidade Absoluta 4. Definição Funções absolutamente contínuas 5

Veremos agora quando μ ƒ dada por ƒ () ƒ () é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Dizemos que ƒ : [, b] R(C) é absolutamente contínua se para cada ϵ > 0 existe δ > 0 tal que se < b < 2 < b 2 < < n < b n em [, b] com n N, então n (b j j ) δ = j= É fácil verificar que n ƒ (b j ) ƒ ( j ) < ϵ. j= ˆ o conjunto AC([, b]) das funções absolutamente contínuas em [, b] é um espaço vetorial com a soma de funções e produto escalar usuais; ˆ toda ƒ AC([, b]) é uniformemente contínua. ˆ toda ƒ : [, b] R(C) Lipschitziana está em AC([, b]). Propriedades de funções AC Proposição Seja ƒ : [, b] R(C) em AC. Então ƒ VL e V ƒ AC. A prova fica como exercício. Teorema Seja ƒ VLN e μ = μ ƒ sua medida associada. Então ƒ AC μ λ. No caso particular de ƒ AC é não descrescente, temos μ medida positiva e, se N é boreliano com λ(n) = 0 podemos usar a regularidade para, dado ϵ > 0, achar δ (de acordo com AC) e uma cobertura ( j, b j ) j de N por intervalos abertos tal que j λ( j, b j ) = j (b j j ) < ϵ. Então N j= ƒ (b j) ƒ ( j ) < ϵ, N e deduzimos j μ([ j, b j )) ϵ logo μ(n) ϵ. Portanto μ λ. É um exercício provar que μ λ ϵ > 0 δ > 0 : λ(e) < δ = μ(e) < ϵ para todo boreliano E. Para E = [, b )... [ n, b n ) com os, b como na definição de AC, temos λ(e) = j (b j j ) < δ = j ƒ (b j) ƒ ( j ) < ϵ e esta última soma é majorante para μ(e), portanto μ λ. No caso geral em que ƒ AC é complexa, então V ƒ AC (proposição anterior) e V ƒ é não descrescente; pelo caso particular já visto, temos μ λ onde μ é a medida associada a ƒ, portanto μ λ. Se μ λ com μ medida complexa, então μ λ e a função associada a μ está em AC, ou seja, V ƒ AC. Como ƒ (y) ƒ () V ƒ () V ƒ (y) então ƒ AC também e completamos a prova. 6