DINÂMICA DE MÁQUINAS CAPITULO 2
Momentos de inércia de componentes de máquinas com diferentes geometrias 1. O corpo composto mostrado na figura consiste em uma barra esbelta de 3 kg e uma placa fina de 5kg. Determine: 1.1. a localização do centro de massa G do corpo; 1.2. o momento de inércia de massa relativamente ao eixo que passa por G; 1.3. o momento de inércia de massa relativamente ao eixo que passa por O. Figura 1 2. A manivela mostrada na figura é construída em aço de densidade 7850 kg/m 3. Determine o momento de inércia de massa da manivela em relação ao eixo x. Figura 2-2 -
3. A figura mostra uma peça de máquina construída em aço de densidade 7850 kg/m 3. Determine o momento de inércia relativamente ao eixo x para a peça homogénea de aço representada. Figura 3-3 -
Dinâmica da rotação de elementos de máquinas 4. O corpo composto mostrado na figura consiste em uma placa uniforme de 5 kg e uma barra esbelta de 2 kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reacção que o pino O exerce sobre a barra no instante θ = 30º, quando a sua velocidade angular é de ω = 3 rad/s. Figura 4 5. O redutor representado na figura transmite movimento do veio A (motor) para o veio (movido). No instante inicial o sistema parte do repouso sob a acção de um momento constante de 10N.m aplicado ao veio motor. Sabendo que o motor alcança a velocidade angular de 1500rpm 3s após o início do movimento (uniformemente variado), determine (durante a fase de arranque): 5.1. o número de voltas efectuadas pelos veios A e, e as respectivas velocidades angulares médias; 5.2. a intensidade do momento aplicado ao veio (carga do redutor); 5.3. as potências médias desenvolvidas pelo motor e transmitida pelo redutor (ao veio ). R A1 Dados: Dimensão das rodas: R A1 = 50mm, R A2 = 100mm, R = 150mm Massa das rodas: m A1 = 1.8kg, m A2 = 7.2kg, m = 16.2kg ω A R A2 R Figura 5-4 -
6. O Multiplicador representado na figura 9 é constituído por duas polias construídas em aço com massa volúmica de 7770 kg/m 3 e uma correia de transmissão de massa desprezável. As polias podem ser consideradas como discos circulares com espessura uniforme igual a 20 mm. O Multiplicador é utilizado para transmitir movimento da polia A para a polia C, sujeita a um momento resistente de 12 N.m. Sabendo que é aplicado à polia A um momento constante de 32 N.m, determine: 6.1. os momentos de inércia das massas das polias A e C em relação aos seus eixos de rotação; 6.2. a aceleração angular das polias A e C; 6.3. as componentes do vector aceleração no ponto P, para uma velocidade da correia de 5 m/s. Figura 6 7. No instante que a figura mostra as polias A e, iguais, rodam a 1200rpm e transmitem uma potência total de 2500W às correias (não representadas). Sabendo que o motor aplica um binário de 28N.m ao veio e que as correias sujeitam as polias aos esforços indicados na figura, determine: 7.1. o momento de inércia de massa das duas polias em conjunto; 7.2. a força F e o momento resistente total originado pelas correias; 7.3. a aceleração angular do motor; 7.4. o momento torçor entre as polias A e. Dados: Dimensão das polias: R A = R = 200mm 28 N.m A Massa das polias: m A = m = 25kg Nota: Considere as polias como discos finos uniformes. F 4F 4,5 F Figura 7 1,5 F - 5 -
8. A figura representa uma cancela automática usada em passagens de nível. Este sistema é constituído por uma haste uniforme e por um contrapeso com centro de massa coincidente com o extremo da haste onde encaixa. A elevação da cancela é realizada por meio de um motor eléctrico e de um redutor com razão de transmissão de 1:12. Sabendo o centro de massa do conjunto coincide com o eixo de rotação, e que em 2s se alcança um ângulo de elevação de 30º (movimento uniformemente variado), calcule: 8.1. a massa do contrapeso; 8.2. o momento de inércia de massa do conjunto (haste e contrapeso); 8.3. as acelerações angulares da haste e do motor; 8.4. o binário do motor eléctrico. Dados: l = 6 m (comprimento total da haste) m = 15 kg (massa da haste) Nota: Considere desprezáveis os momentos de inércia de massa do redutor e do motor. Figura 8-6 -
Dinâmica de elementos de máquinas: Movimentos compostos 9. A barra esbelta A de 30 kg mostrada na figura move-se no plano vertical, guiada por pequenos rolos ao longo das ranhuras fixa. É aplicada à barra inicialmente em repouso uma força de 150 N. Para a posição θ = 30º, determine: 9.1. aceleração angular da barra; 9.2. as forças de reacção nos rolos A e. Figura 9 10. O mecanismo mostrado na figura é constituído por uma haste uniforme AD com 40 N presa à manivela C, que é ajustada com uma pequena roda que pode rolar sem atrito ao longo de uma ranhura vertical. Sabendo que no instante mostrado a manivela C gira com uma velocidade angular constante de 45 rpm no sentido horário determine as forças de reacção na articulação e rolete A. D 200 mm 100 mm C 200 mm A Figura 10-7 -
11. O mecanismo biela - manivela representado na figura faz parte de um compressor monocilíndrico cujo pistão, de massa 720g, tem um curso de 120mm e uma velocidade média de 11m/s. A biela mede entre centros L=240mm e forma com o cavilhão um conjunto solidário de 1620g, com centro de massa G, e momento de inércia em relação ao eixo do cavilhão igual a 52g.m 2. Com base nestes dados, responda às seguintes questões: 11.1 Calcule o momento de inércia centroidal do conjunto biela/cavilhão. A distância do centro de massa G 11.2 Determine as velocidades angulares da cambota (com M.C.U.) e da biela, e a aceleração do ponto G, para θ=0º. O módulo da aceleração do pistão é igual a 6220m.s -2. 11.3 Calcule os módulos das forças de contacto entre o pistão e o cavilhão e entre a biela e a cambota, nas condições da alínea anterior, quando a pressão p é igual a 6bar. O diâmetro interior do cilindro do compressor é D=100mm. Nota: As forças de atrito e o peso dos diferentes componentes do sistema são irrelevantes. Figura 11 12. O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado iela - Manivela - Pistão de um motor a combustão. Sabendo-se que L A =75 mm, L C = 175 mm, para o instante mostrado θ = 90 o eixo da manivela A possui uma velocidade angular ω A = 4800 rpm no sentido anti-horário e as massas da iela D e do pistão são respectivamente iguais a m D = 2 kg, e m P = 3 kg, determine: 12.1. a velocidade angular da biela D.....ω D = 0 rad/s 12.2. a velocidade do pistão..... V P =37.70 m/s 12.3. a aceleração angular da biela.... α D = 119848 rad/s 2 12.4. a aceleração do pistão...... a P = 8989 m/s 2 12.5. as forças actuantes nas conexões e D. 12.6. o diâmetro mínimo da cavilha construída em aço ASTM - A36. L C=175 mm L A=75 mm 90º 70º Ф Φ Figura 12-8 -
13. O eixo de manivela A de um motor térmico gira com uma aceleração angular de 20 rad.s -2 no sentido horário, conforme mostrado na figura 3. No instante e posição considerados a biela C (m = 650 g) e a manivela A (m = 400 g) têm velocidades angulares respectivamente iguais a ω C = 2,43 rad.s -1 e ω A = 10 rad.s -1. Para esse instante, considerando que o pistão C tem uma massa de 250 g, determine: 13.1. o centro de massa e o respectivo momento de inércia da biela esbelta C; 13.2. a aceleração do pistão C; 13.3. as componentes reactivas nas articulações e C. Nota: As forças de atrito e o peso dos diferentes componentes do sistema são irrelevantes. y ĵ α > 0 î x 225 mm 75 mm Figura 13-9 -
14. Considere o mecanismo de transformação de movimento de rotação da manivela M (com eixo O) em translação da haste H que a figura mostra. No instante representado a posição do centro de massa do braço coincide com o ponto M. Responda às seguintes questões: 14.1. calcule o curso do movimento de vaivém da haste; 14.2. determine as componentes rectangulares da aceleração do centro de massa do braço ; 14.3. determine a componente reactiva horizontal actuante na articulação cilíndrica C; 14.4. obtenha as equações de equilíbrio dinâmico do braço ; 14.5. determine as reacções normais nos pontos de contacto M e P, e componente reactiva vertical em C. Nota: Represente o diagrama de corpo livre nas alíneas 14.3. e 14.4. Figura 14 Dados: Velocidade angular (constante) da manivela: ω = 660 rpm. r 2 Aceleração da haste H : a C = 570 m/s r 2 Aceleração angular do braço : α = 1689 rad/s Massa do braço : m = 1,6 kg Momento de inércia da massa de (*): Massa da haste H: m H = 2,0 kg Forças de atrito desprezáveis. I = 24 g m 2 (*) Relativo ao eixo que passa pelo centro de massa do braço e que é paralelo ao eixo z. - 10 -
15. No sistema mecânico representado o movimento plano da biela A é condicionado pelos movimentos das articulações cilíndricas A e. Estes pontos descrevem trajectórias circulares em torno dos eixos fixos de rotação O e P. A biela e o braço OA podem considerar-se como barras esbeltas de secção constante. Sabendo que o volante P gira a 750rpm, calcule: 15.1. a velocidade angular do braço; 15.2. as acelerações angulares do braço e da biela; 15.3. as componentes reactivas actuantes nas articulações A e. Dados: m OA = 3 kg (massa do braço) m A = 15 kg (massa da biela) L = 1.2 m (comprimento da biela) r OA = 0.4 m (comprimento do braço) r P = 0.2 m (raio da trajectória de ) Nota: Despreze o peso dos componentes Figura 15 16. Considere o mecanismo mostrado na figura, no qual o colar C (m = 300 g) se movimenta para baixo com uma aceleração de 1 m.s -2. No instante considerado ele tem uma velocidade de 2 m.s -1, impondo às barras C (m = 800 g) e A (m = 600 g) velocidades angulares positivas iguais a ω A = ω C = 10 rad.s -1. Para esse instante, determine: 16.1. o centro de massa e o respectivo momento de inércia da barra esbelta C; 16.2. as acelerações angulares dos elementos C e A; 16.3. a intensidade da força de contacto desenvolvida entre o colar e a barra respectiva; 16.4. as componentes reactivas na articulação. Nota: As forças de atrito e o peso dos diferentes componentes do sistema são irrelevantes. - 11 - Figura 16
17. O disco mostrada na figura gira com velocidade angular ω = 50 rad/s. A barra (esbelta) rígida CA, com 1 m de comprimento e de massa 4.5 kg, está ligada ao colar A (de massa 0.77 kg) e ao disco através de pinos e contém uma massa C de 2 kg numa das extremidades. Para o instante em que θ = 70º, a velocidade e a aceleração angular da barra CA são -5.46 rad/s e 760.6 rad/s 2, a velocidade e a aceleração do colar são 7.98 m/s e -15.84 m/s 2, determine: 17..1. o centro de massa e o respectivo momento de inércia do conjunto composto pela barra e pela massa C; 17.2. a velocidade e aceleração do centro de massa calculado na alínea anterior; 17..3. o módulo da força de contacto entre a barra e o colar A; 17..4. o binário que é necessário aplicar ao disco. Nota: as forças de atrito e o peso dos diferentes componentes do sistema são irrelevantes. y (+) C x a A A Φ = 20º V A θ =70º 150mm O ω = 50 rad/s Figura 17-12 -
18. O mecanismo da figura é composto por três barras esbeltas: A de 0,75 Kg, C de 3 Kg e DCE de 1,6 Kg (articuladas em A, C e D) e uma esfera de 1,6 Kg (fixa à barra DCE no ponto E). Determine qual o momento a aplicar em A, para o instante representado na figura (em que o ângulo entre a barra A e C é de 90º), de modo a que o movimento da barra A seja uniforme, com velocidade angular de 500 r.p.m.. Despreze o atrito nas articulações. D 0,4m 0,162m 0,1m 0,216m A C ω A E Figura 18 19. Na figura está representada uma serra de corte destinada ao corte de materiais. O mecanismo é composto por: motor, redutor (engrenagens O e P); barra esbelta A de 1,8 kg (articulada em A e ) e um quadro de 5,4 kg (centro da massa em A). O quadro suporte da lâmina desliza ao longo de uma guia horizontal como mostra a figura. O processo de corte é feito pela energia debitada pelo motor em duas fases: arranque do rotor, com movimento uniformemente variado e a fase em que este atinge uma velocidade de rotação constante. Calcule as componentes reactivas em A e e o binário M P debitado pelo motor para o instante θ=60º, na fase em que o rotor atinge a velocidade de rotação constante de 1200 rpm. Vista esquemática do redutor F = 5 0 0 N w r O O P w r P Representação do motor M P Dados e simplificações: Figura 19 após atingir a velocidade de rotação constante o binário do motor é M P [N.m]; força resistente ao corte F=500 N; na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 1200 rpm; o redutor apresenta uma relação de transmissão global de 12:1; o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante; a inércia do redutor é desprezável. - 13 -
20. O cilindro hidráulico da figura 1 estende-se com uma velocidade v A = 1.5 m/s e umaaceleração a A = 0.5m/s 2. Considere que a peça rígida AC é constituída por dois perfis esbeltos uniformes em todo o seu comprimento (segundo a sua secção) com uma massa específica de 5 kg/m. O pino está ligado a um êmbolo com a massa de m êmbolo = 2 kg que tem uma força aplicada de F êmbolo = 300N. A haste do cilindro hidráulico tem uma massa de m haste = 1kg. Para o instante representado na figura, determine: 20.1. a aceleração angular e a aceleração do centro de gravidade da peça rígida AC; 20.2. a força a exercer pelo cilindro hidráulico utilizando o princípio d Alembert (despreze as forças de atrito em toda a cadeia cinemática). Figura 20 21. O camião mostrado na figura é utilizado no transporte de cargas entulho/lixo. Este é equipado com uma caixa de carga e dois mecanismos de elevação, localizados simetricamente em relação ao eixo da caixa de carga. Cada mecanismo, é constituído diversos componentes mecânicos, destacando-se: - arra esbelta CD com comprimento igual a L 1 =1750 mm e massa desprezável. - Haste de ligação D com comprimento igual a L 2 =900 mm e massadesprezável. Estes mecanismos transformam o movimento de rotação das barras CD no movimento de rotação da caixa/carga em torno do eixo A. O conjunto caixa/carga tem uma massa, m=4 ton. com centro de massa em G e momento de inércia em relação ao eixo de rotação A, I A. Para o instante θ=30º as linhas de eixo A e CD são paralelas e o momento de inércia do conjunto caixa/carga é I G =6000 kg.m 2. Sabendo que a barra CD atinge a velocidade de rotação de 60 r.p.m em 8s (movimento variado), determine a aceleração angular α do conjunto caixa/carga e o momento M.. ω 40º Figura 21-14 -
Métodos energéticos 1. O corpo composto mostrado na figura consiste em uma placa uniforme de 5 kg e uma barra esbelta de 2 kg. Deduza uma expressão para a velocidade e aceleração angulares do corpo em função de θ. Recorra ao princípio do trabalho e energia. Considere um θ mínimo de 30º. 2. A barra de 10 kg mostrada na figura tem o seu movimento restrito de forma que suas extremidades se movem ao longo de ranhuras. A barra está inicialmente em repouso quando θ=0º. Se o bloco deslizante em sofre a acção de uma força horizontal P=50 N, utilizando o princípio do trabalho e energia, determine a velocidade angular da barra no instante θ=45º. Nota: despreze o atrito e as massa dos blocos A e. 3. A barra esbelta A de 10 kg mostrada na figura move-se lentamente no plano vertical, guiada por pequenos rolos ao longo de ranhuras fixas. Pretendendo-se elevar o peso P, suspenso no ponto, é aplicada à barra uma força de 150 N. Calcule o valor de θ para o qual se obtém a elevação máxima. Recorra ao método dos trabalhos virtuais. P = 100 N - 15 -
4. O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado iela - Manivela - Pistão de um motor a combustão interna. Usando o T.T.V determine para uma velocidade angular de 4800 rpm (constante e com sentido anti-horário), e para o instante θ = 90º, o momento aplicado ao braço A da manivela. Considere: ω D = 0 rad/s ; V P =37.70 m/s; α D = 119848 rad/s 2 e a P = 8989 m/s 2 Dados: D P = 50 mm R = 75 mm L = 175 mm m P = 600 g (incluindo a massa da cavilha D) m D = 800 g 75 mm 175 mm 970º Ф Φ - 16 -
5. A figura 3 representa esquematicamente um sistema de elevação composto por: motor eléctrico; redutor de 2 andares; e tambor de enrolamento do cabo de tracção. O processo de elevação da carga pode ser dividido em duas fases relevantes: de arranque, com movimento uniformemente variado, e de subida a velocidade constante V. Pretende-se que calcule: 5.1. a aceleração da placa e a força de tracção no cabo durante o arranque; 5.2. o binário M desenvolvido pelo motor durante a elevação a velocidade constante. Sugere-se que recorra ao método dos trabalhos virtuais no cálculo da aceleração (alínea 6.1) e na resolução da alínea 5.2). Rotor cilíndrico: - diâmetro de 120 mm; - comprimento de 150 mm; - massa de 12kg. Vista pormenorizada do redutor Placa rectangular: - largura de 800 mm; - altura de 1600 mm; - massa de 100 kg. Dados e simplificações: durante o arranque, o rotor (parte móvel do motor) é sujeito a forças electromagnéticas com momento resultante igual a 20 N.m (assumido igual ao binário nominal do motor); na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 1440 rpm; o redutor apresenta uma relação de transmissão (global) de 7,20:1; o diâmetro de enrolamento do cabo é de 124 mm ( diâmetro do tambor); o rotor pode considerar-se cilíndrico e homogéneo (dimensões indicadas na figura); a inércia conjunta do redutor e tambor/cabo é desprezável; o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante. - 17 -
6. A figura representa esquematicamente um sistema de elevação composto por: motor eléctrico; redutor de vários andares; e um mecanismo interno em que mantém o ângulo entre os elementos treliça A e C igual a duas vezes o ângulo θ entre C e a horizontal. O processo de elevação da cabina e do homem com massa global de 200 kg é feito pela energia debitada pelo motor em duas fases: arranque do rotor, com movimento uniformemente variado e a fase em que este atinge uma velocidade de rotação constante. Calcule o binário M D debitado pelo motor para o instante θ=30º, na fase em que o rotor atinge a velocidade de rotação constante de 600 rpm ; Nota: na resolução do problema considere todos os dados e simplificações apresentadas. Sugestão: recorra ao método dos trabalhos virtuais. Vista esquemática do redutor M D w r A 4 m D c M C 2θ 2θ y 4 m w r C 2θ θ x Representação do motor C Dados e simplificações: após atingir a velocidade de rotação constante o binário do motor é M D [N.m]; r no instante θ=30º : = 0 iˆ + 2,18 ˆ r j = 0,63 iˆ + 1,09 ˆ r j r a A v A = 0 iˆ 0,394 ˆj v r a = 0,341 iˆ 0,197 ˆj w r C w A = 0,314 kˆ = +0,314 kˆ na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 600 rpm; o redutor de diversos andares apresenta uma relação global de transmissão de 200:1; as geometrias dos elementos treliça C e A podem ser aproximadas a barras esbeltas homogéneas com massas de 50 kg; o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante. a inércia do redutor é desprezável. - 18 -
7. Na figura está representada uma serra de corte destinada ao corte de materiais. O mecanismo é composto por: motor, redutor (engrenagens O e P); barra esbelta A de 1,8 kg (articulada em A e ) e um quadro de 5,4 kg (centro da massa em A). O quadro suporte da lâmina desliza ao longo de uma guia horizontal como mostra a figura. O processo de corte é feito pela energia debitada pelo motor em duas fases: arranque do rotor, com movimento uniformemente variado e a fase em que este atinge uma velocidade de rotação constante. Calcule as componentes reactivas em A e e o binário M P debitado pelo motor para o instante θ=60º, na fase em que o rotor atinge a velocidade de rotação constante de 1200 rpm. Sugestão: recorra ao método dos trabalhos virtuais Vista esquemática do redutor F = 5 0 0 N w r O O P w r P Representação do motor M P Dados e simplificações: após atingir a velocidade de rotação constante o binário do motor é M P [N.m]; força resistente ao corte F=500 N; na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 1200 rpm; o redutor apresenta uma relação de transmissão global de 12:1; o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante; a inércia do redutor é desprezável. - 19 -
8. O mecanismo representado na figura é constituído por diversos componentes mecânicos com distribuição de massa uniforme e articulados em O, A e C destacando-se: - barra esbelta OA com comprimento igual a L 1, momento de Inércia I G1 e massa m 1 =2 kg; - componente 2 com a forma de um triângulo equilátero de 400mm de lado, momento de Inércia I G2 =0,025 kg.m 2 e massa m 2 =3 kg; - componente 3 com forma cilíndrica de massa m 3 = 600 g. Este mecanismo transforma o movimento de rotação constante da barra OA no movimento de translação do componente 3. Sabendo que para o instante, representado na figura, (θ= 60º e φ= 15º) a velocidade do ponto G 1 (ponto médio da barra OA) é V G1 =2m/s, determine o momento motor M 1. Nota: Despreze todas as formas de atrito e utilize o teorema dos trabalhos virtuais na resolução do problema. G 2 v G1 A ω 1 M 1 G 1 θ φ C G 3 O - 20 -
9. O Mecanismo de alavanca articulado representado esquematicamente na figura 1 é utilizado em situações onde é necessário uma elevada força F à custa de uma força motora reduzida, como por exemplo, prensas mecânicas, britadeiras, entre outras aplicações. O mecanismo, é constituído por um motor e diversos elementos mecânicos, destacando-se: - Volante de inércia OA de raio R=50 mm e massa m 1 =5 Kg; - Haste de ligação esbelta A, com comprimento L 2 =250 mm entre centros e massa m 2 =4 kg ; - arras esbeltas C e D com comprimentos iguais a L 3 =L 4 =200 mm e massas m 3 =m 4 =2 kg. - Compactador com forma cilíndrica de massa m 5 =0,5 kg. Este mecanismo transforma o movimento circular do volante de inércia (com eixo de rotação O) no movimento rectilíneo do compactador C. Sabendo que no instante, θ=30º o volante de inércia atinge a velocidade de rotação constante de 600 rpm e a força de compactação é de F=2000 N, calcule o valor do momento de binário M 1 no volante. Nota: Utilize o teorema dos trabalhos virtuais. ω 1 O R θ A φ L 2 D L 3 L 4 C F 390 mm - 21 -