ASSIMETRIA E CURTOSE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 15 de maio de 2017
Assimetria Numa distribuição estatística, a assimetria é o quanto sua curva de frequência se desvia ou se afasta da posição simétrica; Pode-se caracterizar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de centralidade.
Assimetria nula ou simétrica Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda, a média e a mediana. Figura 1: Gráfico de uma distribuição simétrica. ȳ = M d = M o
Assimétrica à direita ou positiva Quando a cauda da curva da distribuição declina para direita, tem-se uma distribuição com curva assimétrica positiva. Figura 2: Gráfico de uma distribuição assimétrica à direita ou positiva. ȳ > M d > M o
Assimétrica à esquerda ou negativa Analogamente, quando a cauda da curva da distribuição declina para esquerda, tem-se uma distribuição com curva assimétrica negativa. Figura 3: Gráfico de uma distribuição assimétrica à esquerda ou negativa. ȳ < M d < M o
Coeficiente de assimetria Existem diversos métodos para o cálculo da medida de assimetria, entre eles está o 2 o coeficiente de assimetria de Pearson, que é dado por: A s = 3(ȳ M d) s A interpretação do coeficiente de assimetria é: 1 < A s < 1, então a distribuição é simétrica; A s > 1 a distribuição é assimétrica positiva; A s < 1 a distribuição é assimétrica negativa.
Exemplo 1 As taxas de juros recebidas por uma amostra de 25 ações durante certo período foram (medidas em porcentagem): 2,50 2,52 2,53 2,54 2,59 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,68 2,69 2,70 2,72 2,75 2,77 2,80 2,81 2,82 2,83 2,85 2,88 2,89 2,91 Determine a assimetria e classifique o tipo de distribuição.
Assimetria A curtose ou achatamento mede a concentração ou dispersão dos valores de um conjunto de valores em relação às medidas de tendência central em uma distribuição de frequências conhecida (a distribuição Normal). A distribuição dos dados pode ser classificada em três classes: Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica
Distribuição Leptocúrtica A distribuição apresenta uma curva de frequências mais fechada que a da distribuição Normal. Figura 4: Gráfico de uma distribuição leptocúrtica.
Distribuição Mesocúrtica A distribuição apresenta uma curva de frequências idêntica a da distribuição Normal. Figura 5: Gráfico de uma distribuição mesocúrtica
Distribuição Platicúrtica A distribuição apresenta uma curva de frequências mais aberta que a da distribuição Normal. Figura 6: Gráfico de uma distribuição platicúrtica.
Coeficiente de curtose As medidas de curtose podem ser calculadas através da expressão: C = Q 3 Q 1 2(D 9 D 1 ) Relativamente à curva da distribuição Normal, temos: C < 0, 263, a curva ou distribuição é leptocúrtica (mais afilada); C = 0, 263, a curva ou distribuição é mesocúrtica; C > 0, 263, a curva ou distribuição é platicúrtica (mais achatada).
Exemplo 2 As taxas de juros recebidas por uma amostra de 25 ações durante certo período foram (medidas em porcentagem): 2,50 2,52 2,53 2,54 2,59 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,68 2,69 2,70 2,72 2,75 2,77 2,80 2,81 2,82 2,83 2,85 2,88 2,89 2,91 Determine a curtose e classifique o tipo de distribuição.
Exercício 1 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 1: Distribuição das alturas dos alunos do curso de estatística econômica - Turma 1000. Altura (cm) n i f i 154,0 160,2 5 0,10 160,2 166,4 5 0,10 166,4 172,6 9 0,19 172,6 178,8 13 0,27 178,8 185,0 4 0,08 185,0 191,2 12 0,25 TOTAL 48 1,000 Classifique a distribuição dos dados a respeito da assimetria e curtose.
Exercício 2 Para facilitar um projeto de ampliação de rede de esgoto de certa região de Curitiba, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 30 dos 250 quarteirões que compõe a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão (dados em rol): 10 12 13 13 14 15 15 16 18 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 36 40 40 42 42 57 60 Classifique a distribuição dos dados a respeito da assimetria e curtose.