5 Supressão de ruído por decomposição wavelet

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet A decomposição a partir de funções de base especialmente selecionadas é uma poderosa ferramenta de análise e síntese de sinais. A teoria mais representativa desse tipo de abordagem é a decomposição de Fourier, que tem como funções de base funções harmônicas. Entretanto, a teoria de Fourier não é a mais apropriada para o tratamento de sinais cuja resposta ao impulso seja variante no tempo. Essa limitação motivou diversos pesquisadores ao longo do século passado, a buscarem conjuntos de funções de base alternativas às de Fourier. Na teoria de Fourier, as funções de base têm um escopo global, ou seja, estendem-se ao longo de todo o domínio de análise original (temporal). É essa característica que torna a análise de Fourier inadequada ao tratamento de sinais com resposta ao impulso variante no tempo. As teorias desenvolvidas para caracterizar esses sinais propõem o uso de funções de base com escopo localizado em ambos os domínios. A análise de Fourier em intervalos curtos de tempo (STFA Short Time Fourier Analysis ), a análise por distribuições de Wigner Ville e a análise por wavelets são teorias que permitem a análise conjunta temporal-frequencial [31]. Cada teoria apresenta um diferencial com relação às demais, e a escolha da teoria mais adequada depende de certas condições associadas ao sinal analisado, bem como do tipo de informação que se deseje extrair. Entretanto, apesar de ser relativamente nova, é fácil constatar na literatura que a teoria de wavelets em particular tem sido aplicada a um número cada vez maior de problemas ligados direta ou indiretamente à área de processamento de sinais. A crescente popularidade da teoria de wavelets e a quase ausência de publicações associando essa teoria a problemas de estimação do canal de propagação rádio-móvel motivaram uma das propostas desta tese. De fato, apenas algumas poucas referências foram encontradas associando os dois campos de interesse, estimação espectral espacial-temporal e teoria de wavelets. Mais ainda, até o momento as possibilidades de aplicação direta da teoria de wavelets não se

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 102 mostraram atraentes o suficiente para compensar o maior esforço computacional resultante, entre outras contrapartidas. Por outro lado, houve motivação para uma aplicação indireta da teoria de wavelets. A supressão de ruído baseada em decomposição por wavelets foi concebida como alternativa a um procedimento de pós-processamento de PDPs. O capítulo seguinte apresenta os resultados dessa aplicação em dois conjuntos distintos de PDPs gerados a partir de sondagens de canal faixa-larga disponíveis [8-10]. Do exposto, este capítulo tem por objetivo apresentar inicialmente conceitos fundamentais sobre wavelets. Em seguida, um breve resumo sobre algumas aplicações diretas da teoria de wavelets ao problema da estimação espectral espacial-temporal é apresentado, ainda que não tenham se mostrado tão promissoras quanto o esperado. Por fim, a aplicação específica da teoria de wavelets de maior interesse nesta tese é detalhada: a supressão de ruído. 5.1. Fundamentos da teoria de wavelets Sob um ponto de vista histórico, a análise por wavelets é um novo método, apesar de sua fundamentação matemática ter sido derivada do trabalho de Joseph Fourier no século XIX. Fourier estabeleceu aquela base com suas teorias sobre análise frequencial, comprovadamente de grande importância e influência. A atenção de pesquisadores foi gradualmente migrando da análise baseada em freqüência para a análise baseada em escala, que é a abordagem da análise por wavelets, quando começou a ficar claro que uma abordagem medindo flutuações médias em escalas diferentes levava a uma menor sensibilidade ao ruído. A primeira menção ao que hoje é chamado de wavelet parece ter sido de 1909, em uma tese de Alfred Haar. O conceito de wavelets na sua forma teórica atual foi proposto pela primeira vez por Jean Morlet e pela equipe de pesquisadores de Alex Grossman trabalhando no Centro de Física Teórica de Marseille na França. Os métodos de análise por wavelets foram desenvolvidos principalmente por Y. Meyer e seus colegas, que asseguraram a disseminação dos métodos. O algoritmo principal é da época do trabalho de Stephane Mallat em 1988. Desde então, a pesquisa em wavelets se tornou internacional. Tal pesquisa é

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 103 particularmente ativa nos EUA, graças ao trabalho de cientistas como Ingrid Daubechies, Ronald Coifman e Victor Wickerhauser [32]. O domínio wavelet tem crescido rapidamente. Diversos artigos matemáticos e tentativas de aplicações práticas são publicadas todos os meses [33]. No que diz respeito ao campo do processamento de sinais propriamente dito, as aplicações incluem: detecção de descontinuidades e pontos de quebra; análises específicas dos comportamentos de curto e longo prazo; identificação frequencial (ainda que não tão direta e facilmente como a teoria de Fourier, mas com a vantagem de poder acompanhar variações com o tempo); supressão de sinais; supressão de ruído; e compactação. Em particular, estas duas últimas parecem ser as aplicações mais comuns da teoria de wavelets atualmente. Entretanto, é fácil constatar que à medida que a teoria vem sendo difundida e compreendida, novas aplicações vêm surgindo nas mais diversas áreas. Um dos grandes atrativos da teoria de wavelets é a capacidade de analisar sinais com espectro variante no tempo. Tradicionalmente, os sinais são estudados ou como função do tempo, ou como função da freqüência. Entretanto, a maioria dos sinais encontrados na prática apresentam espectros variantes no tempo, como por exemplo tons de música. Na Natureza, poucos sinais possuem conteúdo frequencial que não mude ao longo do tempo. Em várias aplicações práticas, caracterizar o sinal simultaneamente nos domínios temporal e frequencial é de grande utilidade, como no processamento de sinais de voz [31]. Para compreender melhor o conceito fundamental da teoria de wavelets, é interessante inicialmente relembrar resumidamente os fundamentos da análise de Fourier, que decompõe um sinal em componentes senoidais de diferentes freqüências. Tal decomposição é o que permite a análise do espectro de freqüências do sinal, como ilustrado na Figura 26. Figura 26 Transformada de Fourier de um sinal.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 104 Embora para muitos sinais a análise de Fourier seja extremamente útil, ela apresenta uma séria contrapartida, conforme previamente mencionado. A transformação espectral acarreta perda total da informação temporal do sinal, e vice-versa com a transformação inversa. Se as propriedades do sinal não se modificam substancialmente ao longo do tempo mais especificamente, se o sinal for estacionário esta contrapartida não é muito relevante. Entretanto, a maioria dos sinais de interesse contém diversas características transitórias ou nãoestacionárias: desvios; tendências; mudanças bruscas; e começos e términos de eventos. Estas características são eventualmente as mais importantes do sinal, mas nesses casos, a análise de Fourier não é adequada para detectá-las. Num esforço para sobrepor a limitação previamente citada, em 1946 Dennis Gabor propôs uma adaptação à transformada de Fourier, em que apenas uma pequena seção do sinal em um dado instante era analisada uma técnica chamada de janelamento do sinal. A adaptação de Gabor, chamada Transformada de Fourier em Intervalos Curtos (Short-Time Fourier Transform STFT) mapeia um sinal em uma função bi-dimensional do tempo e da freqüência, conforme ilustrado na Figura 27. O janelamento temporal traz consigo uma incerteza associada à precisão da análise, que não havia na transformada Fourier convencional. Essa imprecisão se manifesta em uma relação de compromisso entre a resolução frequencial e a capacidade de acompanhar as variações espectrais ao longo do tempo. Além disso, quanto menor a largura da janela, maior o esforço computacional necessário para realizar a análise espectral do sinal. Na STFT, a largura da janela temporal é fixa para um dado sinal analisado. Com isso, o grau de incerteza associado ao janelamento é o mesmo para todo o espectro conjunto frequencial-temporal. Figura 27 Transformada de Fourier em intervalos curtos (STFT) de um sinal.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 105 Há muitos casos em que a análise de um determinado sinal prioriza faixas específicas do espectro, dando menor importância para o restante do conteúdo frequencial. Para explorar melhor essa situação, seria interessante uma transformação que flexibilizasse a largura da janela temporal, aplicando janelas mais estreitas às áreas espectrais desejadas, e aumentando a largura para o espectro de menor interesse. Uma das técnicas que permite essa abordagem diferenciada é a análise por wavelets. Uma das estratégias de janelamento temporal mais utilizadas na análise por wavelets é a que aplica as menores larguras ao conteúdo de alta freqüência (intimamente associado às variações rápidas), e as maiores larguras ao conteúdo espectral baixo (variações lentas). A Figura 28 ilustra o conceito em questão, onde a escala é interpretada como uma grandeza inversamente proporcional à freqüência. Figura 28 Transformada de wavelet de um sinal. Mas o que seria afinal uma wavelet? Uma wavelet é uma forma de onda de duração limitada e que possui um valor médio igual a zero. A comparação inicial inevitável é a de uma wavelet com uma senóide, que é a base da análise de Fourier. Senóides são ilimitadas no tempo elas se estendem de a +. Mais ainda, enquanto senóides são suaves e previsíveis, wavelets tendem a ser irregulares e assimétricas. A Figura 29 ilustra essas diferenças.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 106 Figura 29 Comparação entre uma senóide e uma wavelet (db10). A análise de Fourier consiste em decompor um sinal em ondas senoidais de várias freqüências. De forma análoga, a análise por wavelets é a decomposição de um sinal em versões deslocadas e escalonadas da wavelet original (ou wavelet mãe ). Ao observar ilustrações de wavelets e ondas senoidais, como as da Figura 29, deduz-se intuitivamente que sinais com mudanças abruptas são potencialmente melhor analisados com uma típica e irregular wavelet que com uma suave senóide, assim como certos alimentos são melhor manuseados com um garfo que com uma colher. Formalmente falando, a maioria das wavelets de interesse são funções ditas localizadas 6 tanto no tempo quanto em escala (freqüência). É essa característica das wavelets que viabiliza aplicações como a compactação do sinal, a focalização da análise para uma região específica de interesse do espectro variante no tempo, ou ainda a localização das áreas de maior concentração de energia, entre outras. O tratamento analítico para a análise por wavelets inclui a transformada contínua de wavelet, assim como a discreta, além de suas respectivas transformadas inversas. A transformada contínua traz consigo uma grande redundância de informações sobre o sinal analisado, o que a torna computacionalmente desinteressante. Via de regra, a transformada discreta é utilizada, seja em sua versão mais simples na chamada análise de multiresolução, seja na versão que permite um detalhamento personalizado do espectro, que é a análise por pacotes. 6 Um sinal é dito localizado em torno de um ponto se sua energia está concentrada nas proximidades do referido ponto.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 107 5.1.1. Transformada contínua de wavelet O tratamento analítico da transformada contínua de wavelet guarda semelhanças com o da análise de Fourier, cuja transformada é representada por: F ( ω ) f ( t) jωt = e dt (5.1) que é a soma sobre todo o domínio temporal do sinal f(t) multiplicado por uma exponencial complexa (que pode ser decomposta em componentes senoidais reais e imaginárias). Os resultados da transformada são os coeficientes de Fourier F(ω), que quando multiplicados por uma senóide de freqüência ω, compreendem as componentes constituintes do sinal original. A Figura 30 ilustra o referido processo de decomposição. Figura 30 Decomposição de um sinal em suas componentes senoidais constituintes por transformada de Fourier. Analogamente, a transformada contínua de wavelet (CWT Continuous Wavelet Transform) é definida como a soma sobre todo o domínio temporal do sinal multiplicado por versões escalonadas e deslocadas da função wavelet ψ: ( a, b) f ( t) ψ ( a, b t) C =, dt (5.2) onde os parâmetros a e b correspondem aos fatores de escala e de deslocamento (posição), respectivamente.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 108 O resultado da CWT são diversos coeficientes wavelet C, que são função da escala e da posição. Multiplicando-se cada coeficiente pela wavelet correspondente apropriadamente escalonada e deslocada, obtém-se as wavelets constituintes do sinal original, conforme ilustrado na Figura 31. Figura 31 Decomposição de um sinal em suas componentes wavelets constituintes por CWT. A análise por wavelets produz uma visão tempo-escala de um sinal. Conforme previamente mencionado, as escalas tem associação inversa com as freqüências de um sinal. Basicamente, escalonar uma wavelet significa alongá-la ou comprimí-la. A ilustração da Figura 32 exemplifica o escalonamento de uma wavelet, onde a é o fator de escala. Figura 32 Ilustração do escalonamento de uma wavelet. Se a função wavelet for definida como uma senóide de freqüência ω por exemplo, verifica-se facilmente que o fator de escala a é exatamente o inverso de ω. De modo geral portanto, a escala está relacionada ao conteúdo frequencial do sinal na análise por wavelets.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 109 Deslocar uma wavelet significa simplesmente acrescentar um retardo, como no exemplo da Figura 33. Figura 33 Ilustração do deslocamento de uma wavelet. Portanto, a CWT é a soma sobre todo o domínio temporal da multiplicação do sinal por versões escalonadas e deslocadas de uma wavelet apropriadamente escolhida. Este processo produz coeficientes wavelet C que são função de escala e posição (tempo). Quanto maior C, maior a similaridade entre a wavelet e a seção do sinal que está sendo tomada para o cálculo do coeficiente. Mais precisamente, se a energia do sinal e a energia da wavelet forem unitárias, C pode ser interpretado como um coeficiente de correlação. Obviamente os resultados dependem da forma da wavelet escolhida. Os coeficientes calculados para as diferentes escalas em diferentes seções do sinal devem ser agrupados de maneira ordenada, particularmente quando se deseja visualizar esses resultados em um gráfico. A Figura 34 por exemplo, ilustra um gráfico típico, onde o eixo horizontal representa os deslocamentos de tempo, o eixo vertical a escala, e a magnitude do coeficiente wavelet é representada por uma escala de cores. Alternativamente, pode-se optar por um gráfico 3D como o da Figura 35. Figura 34 Gráfico típico de uma CWT de um sinal, usando escala de cores para representar a magnitude dos coeficientes wavelet.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 110 Figura 35 Gráfico típico de uma CWT de um sinal, usando um terceiro eixo ortogonal para representar a magnitude dos coeficientes wavelet. 5.1.2. Transformada discreta de wavelet análise de multi-resolução Na CWT, o conjunto de escalas e posições (deslocamentos) nas quais ela é operada é contínuo. A CWT pode operar em qualquer escala, desde a correspondente ao tamanho do sinal original até uma escala pequena o suficiente para ponderar variações dentro de um limite de resolução associado à medição do sinal original, por exemplo. Da mesma forma, a CWT é contínua em termos de deslocamento durante o cálculo dos coeficientes, pois a wavelet analisadora é deslocada suavemente sobre todo o domínio temporal do sinal analisado. Via de regra, qualquer processamento de sinal realizado em um computador utilizando dados coletados experimentalmente deve ser executado em um sinal discreto na prática. Além disso, calcular coeficientes wavelet para um número muito grande de escalas é uma tarefa que gera um volume enorme de dados. Uma estratégia computacionalmente mais eficiente e atraente seria a escolha de apenas um sub-conjunto de escalas e posições específicas para as quais os coeficientes devem ser calculados. Adotando-se essa estratégia genérica, a transformada de wavelet deixa de ser contínua para ser discreta. Um dos esquemas de transformação discreta mais utilizados dentre os disponíveis na literatura opera com escalas e posições baseadas em potências de 2 (dois) as chamadas escalas e posições diádicas. Tal esquema foi organizado na maneira como se conhece atualmente por Mallat em 1988, que enxergou uma

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 111 analogia bastante apropriada entre o algoritmo de decomposição diádico (análise de multi-resolução) e o uso de um banco de filtros, conceito este oriundo da teoria geral de processamento de sinais. Por ser provavelmente o esquema de decomposição mais conhecido e empregado, o termo transformada discreta de wavelet (DWT Discrete Wavelet Transform) se refere especificamente ao algoritmo de Mallat, embora outros esquemas de transformação discreta existam. Embora historicamente a análise de multi-resolução preceda a DWT, para o escopo deste texto o entendimento da última é mais conveniente num primeiro estágio. Compreendido o conceito da DWT a partir do conceito do banco de filtros, a associação com os principais conceitos e equações da análise de multiresolução será apresentada em seguida. A DWT divide o sinal analisado em componentes de alta escala e baixa escala. As primeiras são chamadas de aproximações, já que correspondem ao conteúdo de baixa freqüência do sinal. As variações rápidas do sinal são chamadas de detalhes. No seu nível mais básico, o processo de filtragem que gera a divisão mencionada pode ser entendido através da ilustração da Figura 36. O sinal original (S) é decomposto por dois filtros complementares. O filtro passa-baixas gera a componente de aproximações (A), enquanto o passa-altas gera a componente de detalhes (D). Figura 36 Filtragem de um estágio para geração de aproximações (A) e detalhes (D) de um sinal (S). O resultado de uma DWT apresentaria portanto duas vezes mais dados que o sinal original, o que seria um retrocesso em termos de eficiência computacional. Supondo, por exemplo, que o sinal original S consista de 1000 amostras, então os

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 112 sinais resultantes da filtragem terão cada um também 1000 amostras, ou seja, a decomposição resultaria num total de 2000 amostras. Para compensar o esforço extra indesejável, a decomposição é realizada reduzindo-se a taxa de amostragem (downsampling) na mesma proporção que o número de decomposições, ou seja, dois no caso em questão, como na ilustração da Figura 37. Figura 37 Decomposição por filtragem de um estágio: sem e com downsampling. Para exemplificar o processo, seja um sinal senoidal puro com ruído adicionado. A DWT deste sinal (S) produz as componentes cd (detalhes) e ca (aproximações), conforme ilustrado na Figura 38. Observa-se que os coeficientes da componente cd são pequenos e consistem essencialmente de ruído, enquanto que os coeficientes da componente aproximações ca contém muito menos ruído que o sinal original. Figura 38 DWT de um estágio para um sinal senoidal com ruído. O processo de decomposição da DWT pode ser repetido, sempre atuando sobre as componentes de aproximações. Sucessivas decomposições geram a

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 113 chamada árvore de decomposição wavelet, como ilustrado na Figura 39. O limite máximo de decomposições corresponde ao nível em que a componente de detalhes consista de apenas uma amostra. O limite prático entretanto costuma ser selecionado com base na natureza do sinal, ou em um critério mais específico tal como o da entropia. Figura 39 Árvore de decomposição wavelet um exemplo. A DWT implementa na forma de um banco de filtros a chamada análise de multi-resolução (MRA Multi-Resolution Analysis). A MRA permite analisar um sinal em vários níveis de resolução, e é formalmente representada por uma seqüência crescente de subespaços fechados V n (n inteiro) de funções quadraticamente integráveis definidas no corpo dos números reais, onde cada subespaço V j-1 V j. Para o equacionamento da MRA, define-se inicialmente a chamada função de escalonamento (scaling function) ϕ(x) V 0, cujas translações inteiras geram este subespaço. Considerando-se as relações entre os subespaços funcionais, verifica-se que as funções de base de um subespaço V j podem ser expressas como combinação linear das funções de base do espaço V j+i, para i > 0. Em particular, para j = 0 e i = 1,existem coeficientes {h e (k)} tais que: ( x) = h ( k ) 2ϕ ( 2x k ϕ ) (5.3) k e

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 114 A raiz quadrada na expressão acima decorre da relação diádica entre os subespaços sucessivos, mas também do interesse em se obter bases ortonormais para todos subespaços funcionais. A eq. (5.3) é fundamental para a MRA e é normalmente referida como equação de refinamento ou equação de escalonamento. O conjunto de coeficientes {h e (k)} pode ser encarado como os pesos de um filtro, comumente chamado de filtro de escalonamento. Generalizando a equação mediante a combinação dos operadores de translação e escalonamento, pode-se obter as funções do subespaço V j a partir das funções de base de V 0, ou seja: j j ( x) = 2 / 2 ( 2 x k ) ϕ (5.4) j, k ϕ Voltando ao conceito dos subespaços funcionais hierarquizados em escala crescente, um subespaço V j+1 pode ser gerado pelo subespaço de nível inferior V j somado a seu complemento ortogonal W j. Em outras palavras, este subespaço terá funções de base ψ j,k ortogonais às funções de base ϕ j,k do subespaço complementar. Com isso, analogamente à definição da equação de escalonamento, chamando ψ de função wavelet, com ψ W 0, como W 0 V 1, existem coeficientes {h w (k)} tais que: ( x) = h ( k) 2ϕ ( 2x k ψ ) (5.5) k w Assim como considerado para a função de escalonamento, os coeficientes {h w (k)} são convenientemente associados aos pesos de um filtro denominado filtro wavelet. Sob a mesma analogia, a partir da função wavelet pode-se gerar uma classe de funções com operações de translação e escalonamento dadas por: j j ( x) = 2 / 2 ( 2 x k) ψ (5.6) j, k ψ Resumindo, o problema genérico de decomposição discreta de um sinal S(x), dado por:

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 115 ( x) a j ( x) S ψ, k j, k = k j (5.7) pode ser resolvido segundo a abordagem da DWT, que se baseia na análise de multi-resolução, como em: S ( x) = c ϕ ( x) + d ( x) k j0, k j0, k j, kψ j, k k j= j0 (5.8) onde os coeficientes c j,k e d j,k de decomposição do sinal são calculados como o resultado da filtragem do sinal por um banco de filtros, cujos pesos devem ser computados a partir de uma função de escalonamento adequadamente escolhida (e de sua ortogonal wavelet). Na eq. (5.8), o termo associado à função escalonadora corresponde à componente de aproximações, enquanto que o termo restante está associado aos detalhes. A decomposição no primeiro nível divide o sinal em duas componentes independentes aproximações (A 1 ) e detalhes (D 1 ), de modo que S(x) = A 1 + D 1. Usando o conceito dos subespaços complementares sobre cada componente de aproximações A i calculada sucessivamente para cada nível i, a árvore de decomposição wavelet exemplificada na Figura 39 vai se expandindo, permitindo uma análise cada vez mais detalhada do sinal. Para i decomposições, o sinal pode ser representado mais compactamente por: S ( x) = + A i D j i j= 1 (5.9) 5.1.3. Análise por pacotes wavelet O método por pacotes wavelet é uma generalização da DWT que oferece uma gama mais rica de possibilidades para a análise de sinais. Na DWT, um sinal é decomposto em uma componente de aproximações e uma de detalhes. A primeira por si só é então decomposta em aproximações e detalhes de segundo nível, e o processo se repete, como ilustrado na Figura 40. Para n níveis, a DWT oferece n + 1 possibilidades de decomposição do sinal.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 116 Figura 40 DWT de 3 níveis de um sinal. Na análise por pacotes wavelet, os detalhes também podem ser decompostos. Isto compreende mais de 1 2 2 n maneiras diferentes para decompor o sinal. Tem-se então a chamada árvore de decomposição por pacotes wavelet, como ilustrado na Figura 41. A árvore de decomposição wavelet da DWT (Figura 39) corresponde a apenas um ramo da árvore binária completa. Figura 41 Árvore de decomposição por pacotes wavelet diagrama de níveis. Por exemplo, a análise por pacotes wavelet permite que o sinal S seja representado como a soma das componentes A 1 + AAD 3 + DAD 3 + DD 2 (Figura 41). Este é um exemplo de representação que não é possível com a DWT. Escolher uma dentre todas as possíveis codificações corresponde por si só a um problema adicional a ser resolvido. Um dos critérios existentes baseia-se no conceito de entropia para selecionar a decomposição mais adequada de um sinal dado. Neste método, cada nó da decomposição é observado e quantifica-se o ganho de informação associado. Existem algoritmos simples e eficientes tanto para decomposição por pacotes wavelet quanto para seleção ótima do ramo de decomposição. Coifman e

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 117 Wickerhauser propuseram um algoritmo de filtragem adaptativa, com aplicabilidade direta em codificação ótima de sinais e compressão de dados. Tais algoritmos permitem otimizar a decomposição tanto globalmente quanto localmente com respeito a cada nó. 5.1.4. Algumas funções wavelet especiais e suas propriedades Dentre os diversos fatores que impulsionaram a difusão da teoria de wavelets nos últimos anos, destacam-se os estudos que introduzem funções ou famílias de funções apropriadas para serem utilizadas como wavelets. A Figura 42 apresenta alguns exemplos de funções wavelet e suas funções escalonadoras associadas. As famílias de funções são comumente representadas pela abreviação do pesquisador que as desenvolveram ( coif para Coifman ou db para Daubechies) ou de alguma denominação dada ( sym para Symlets), seguido por um número que costuma representar uma característica da função. Como característica geral, observa-se que todas as funções decaem rapidamente para zero. As wavelets Morlet e chapéu mexicano não possuem escalonadoras e são simétricas. A wavelet Haar é a única função descontínua, com três pontos de descontinuidade. As funções wavelet oscilam mais que suas escalonadoras associadas. A wavelet coif2 exibe alguns pontos angulares. As wavelets db6 e sym6 são bastante suaves.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 118 Figura 42 Algumas funções wavelet e suas escalonadoras associadas. Há diferentes tipos de famílias de funções wavelet, cujas qualidades variam de acordo com diversos critérios. Um dos aspectos relevantes é o comprimento (também chamado de suporte ) das funções wavelet e escalonadora, bem como de suas respectivas transformadas de Fourier. Mais especificamente, a velocidade de convergência para zero dessas funções à medida que o tempo (ou a freqüência no caso das transformadas) tende para infinito, quantifica a capacidade de localização da função (no tempo ou na freqüência). Outro aspecto importante é a simetria, especialmente em aplicações como processamento de imagens, para as quais é desejável evitar a perda de fase do sinal analisado. O número que costuma acompanhar a designação compacta de uma wavelet (como em db6 por exemplo) corresponde ao número de momentos nulos (vanishing moments) da função. Esta propriedade é especialmente importante para aplicações de compressão de sinais, bem como de supressão de sinais. Outra propriedade importante é a regularidade, que pode ser inclusive quantificada. Para um sinal f diferenciável continuamente no tempo até a ordem s

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 119 em um ponto x 0, sendo s um inteiro 0, a sua regularidade é definida por s. Se a derivada de ordem m da função f se assemelha a r x x0 localmente ao redor de x 0, então a regularidade s é dada por s = m + r, com 0 < r < 1. A regularidade de f em um domínio é aquela que corresponda ao ponto menos regular do domínio, ou seja, a menor calculada. Quanto maior s, mais regular o sinal. A regularidade é útil para se extrair características como a suavidade de um sinal reconstruído, ou ainda em problemas de estimação de funções em análises por regressões nãolineares. 5.2. Algumas aplicações da teoria de wavelets a problemas de estimação do espectro espacial-temporal Uma idéia geral para a aplicação de wavelets em processamento de sinais em arranjos é apresentada em [34]. Um esquema de estimação de DOA baseado em decomposição wavelet é proposto. Em linhas gerais, o sinal é amostrado no arranjo segundo um escalonamento diádico (em potências de 2) wavelet, de modo que além da amostragem à taxa de Nyquist (λ/2), sub-amostragens a taxas maiores também são tomadas (λ, 2λ, 4λ,...). Se por um lado o processo permite melhorar a resolução em certas situações especiais, na maioria dos casos, como não se sabe a priori as DOAs, a contrapartida da ambigüidade angular resultante da subamostragem tende a ser o efeito predominante. Deve-se destacar que a teoria de wavelets é usada apenas com o intuito previamente destacado, e não para a estimação propriamente dita, para a qual os autores utilizaram o método MUSIC em suas simulações. Segundo os autores, suas simulações indicaram que a nova abordagem melhorava o desempenho de estimação, particularmente para fontes próximas à direção de broadside. Apesar de interessante e aparentemente promissora, a abordagem proposta em [34] não parece ser de grande interesse para aplicações de sondagens de canal na prática. Inicialmente, o exemplo tomado para se obter a vantagem apregoada pelo uso da técnica foi convenientemente escolhido para evitar o problema da ambigüidade angular de um arranjo ULA sub-amostrado no domínio espacial, como parte da técnica impõe. As DOAs do problema original pertenciam ao cone angular não-ambíguo ao redor da direção de broadside para uma amostragem a 2λ, ângulos no intervalo [-14,5 o, +14,5 o ] podem ser distinguidos. Mais ainda, a

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 120 vantagem tende a ser reduzida para arranjos práticos com um número menor de elementos, como 8 ou 4, pois o número máximo de níveis de decomposição wavelet é conseqüentemente menor. Por exemplo, um arranjo ULA de 8 elementos permitiria uma decomposição em no máximo 3 níveis, contra os 5 da simulação (ULA-32). Há um número crescente, embora ainda reduzido, de aplicações da teoria de wavelets em problemas de estimação de TDOA, que compreende uma das técnicas conhecidas para localização de posição. A maioria das referências aplica a supressão de ruído por decomposição wavelet para melhorar o desempenho dos métodos de estimação [35-40]. Uma outra linha de ação é encontrada em [41], onde um arranjo de antenas é empregado para agregar alguma redundância espacial ao processo de estimação de TDOA. Para aproveitar a redundância em benefício de uma maior resolução do processo de estimação de TDOA, os autores propõem um método que inclui decomposição por pacotes wavelet dos sinais em cada elemento do arranjo. A comparação por correlação dos sinais reconstruídos nível-a-nível pode indicar variações de alta freqüência, que correspondem a TDOAs muito próximas, com separação menor que a resolução de métodos convencionais de estimação (periodograma). Os autores realizaram algumas medidas, e compararam seu método inclusive com o MUSIC, com vantagem para o método que eles propuseram. Entretanto, o esforço computacional do método parece ser grande demais para a vantagem conquistada, e a própria diversidade espacial que o arranjo proporciona parece ser sub-aproveitada. 5.3. Supressão de ruído usando transformada de wavelet O resultado de qualquer decomposição wavelet é um conjunto de coeficientes que apresenta boa correlação entre o sinal e as funções-base da transformação. Uma das possibilidades óbvias de processamento derivadas dessa propriedade é a reconstituição de sinais desprezando parte dos coeficientes de menor correlação, já que a forma geral do sinal seria preservada. De fato, esse é o princípio básico de duas das aplicações mais significativas da análise por wavelets: a compressão de sinais, muito utilizada com imagens; e a supressão de ruído (de-noising).

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 121 A idéia básica por trás da supressão de ruído é escolher quais coeficientes a serem mantidos para preservar a informação do sinal, removendo conseqüentemente os coeficientes associados à contribuição do ruído. A análise por wavelets apresenta duas propriedades que viabilizam a idéia citada [42]. A primeira é que apenas alguns poucos coeficientes de decomposição serão nãonulos se as funções-base forem selecionadas adequadamente de acordo com as características do sinal analisado, tais como regularidade e número de momentos nulos por exemplo. A outra propriedade é que, se o sinal apresentar distribuição gaussiana, os coeficientes wavelet também apresentarão tal distribuição. Neste sentido, decomposições wavelet ortogonais são operações lineares que transformam ruído branco em ruído branco. Portanto, a adição de ruído a um sinal leva a coeficientes de decomposição ruidosos, com o ruído contribuindo em todos os coeficientes, mas o sinal contribuindo apenas em alguns poucos. Uma abordagem genérica para resolver o problema da supressão de ruído foi proposta originalmente por Donoho e Johnstone [43], de cortar os coeficientes menores que um certo limiar (thresholding), estabelecido de acordo com algum critério. A supressão de ruído pode ser formalmente definida da seguinte forma. Seja x(t) o sinal de dados corrompido por ruído: x(t) = s(t) + n(t) (5.10) onde s(t) é o sinal original, e n(t) o ruído aditivo, ambos funções do tempo a serrem amostrados. Sejam W( ) o operador direto e W -1 ( ) o inverso que representam a transformada de wavelet, escolhidos apropriadamente. Seja ainda D(,α) o operador que representa a supressão de ruído para um limiar α. Como o objetivo é suprimir o ruído de x(t) para obter uma estimativa sˆ ( t) de s(t), então o procedimento completo pode ser resumido nas três equações a seguir: C = W(x) (5.11) C d = D(C, α) (5.12) 1 sˆ ( t) = W ( C d ) (5.13)

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 122 Ou seja, inicialmente os coeficientes de decomposição wavelet C são calculados. Em seguida, o operador de supressão de ruído é aplicado a C, cortando tudo o que for menor que um limiar α apropriadamente estabelecido. Por fim, a estimativa sˆ ( t) do sinal original é obtida a partir da transformada inversa dos coeficientes com ruído suprimido Cd. Como pode ser observado no procedimento supracitado, a supressão de ruído por decomposição wavelet não deve ser confundida com suavização (smoothing) do sinal. A suavização é uma filtragem passa-baixas do sinal, ou seja, apenas o conteúdo de alta freqüência é suprimido. A supressão de ruído por sua vez, procura remover qualquer ruído presente, retendo qualquer conteúdo de informação do sinal, independentemente do conteúdo frequencial do mesmo [44]. Mais ainda, a suavização é um procedimento linear, enquanto que a supressão de ruído é não-linear mais especificamente o operador D(C, α) da eq. (5.12). É interessante salientar ainda que a supressão de ruído é considerada uma técnica não-paramétrica. O exemplo a seguir ajuda a ilustrar a diferença entre supressão de ruído e suavização. A Figura 43 apresenta a decomposição wavelet (por DWT) em cinco níveis de um sinal ruidoso com conteúdo frequencial variante no tempo (por isso mesmo chamado convenientemente de Doppler ). Cada componente de aproximações corresponde a uma versão filtrada com seletividade crescente com o nível. Como o ruído está presente em toda o espectro de freqüências, é de se esperar que à medida que a seletividade do filtro passa-baixas aumente (nível de decomposição), o ruído diminua. De fato, esse comportamento fica claro ao observar as componentes a 1 a a 5. Da mesma forma, a suavização crescente do sinal também fica clara, a tal ponto que, na componente a 5, observa-se que o conteúdo frequencial mais alto do sinal, que ocorre no primeiro quinto da escala de tempo, está totalmente suprimido.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 123 Figura 43 Decomposição wavelet de um sinal com DWT em cinco níveis (wavelet Sym4). A supressão de ruído atua de forma bem mais seletiva, sem o prejuízo ao conteúdo frequencial da suavização. A Figura 44 ilustra o estabelecimento de limiares de corte às componentes de detalhes d 1 a d 5 do sinal. Observa-se que, segundo o critério utilizado, a componente d 1, que representa o conteúdo frequencial mais alto do sinal, é tomada como ruído puro, sendo completamente descartada. O resultado final da reconstituição do sinal após a supressão de ruído é ilustrado na própria Figura 44. Embora o procedimento procure preservar o conteúdo frequencial, percebe-se que a supressão de ruído não é milagrosa, sendo ineficiente para relações sinal/ruído muito baixas. O detalhamento do procedimento genérico de supressão de ruído definido previamente envolve principalmente a definição do limiar. Algumas técnicas de definição bastante difundidas na literatura são descritas a seguir, assim como as principais maneiras de se efetuar a conformação do corte.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 124 Figura 44 Supressão de ruído de um sinal tipo Doppler, decomposto por DWT em cinco níveis, e o estabelecimento de limiares de corte para as componentes de detalhes. 5.3.1. Conformação do limiar de supressão: limiar abrupto ou suave A conformação do limiar de supressão de ruído aos coeficientes é realizada normalmente de duas maneiras distintas. O modo mais simples é a aplicação do chamado limiar abrupto (hard), que simplesmente substitui os coeficientes menores que o limiar por zero. A equação abaixo representa esta conformação: C C, C > α = 0 C α d H, (5.14) A conformação de limiar suave (soft), definida na eq. (5.15), apresenta propriedades matemáticas mais interessantes, pois encolhe os coeficientes para evitar a descontinuidade que a conformação abrupta impõe. Em função desse encolhimento no domínio da transformada, o procedimento de supressão é comumente referido na literatura como supressão de ruído por decomposição wavelet com encolhimento (wavelet shrinkage de-noising), quando a conformação suave é escolhida [44]. A Figura 45 ilustra a diferença entre as duas abordagens para a conformação de limiar.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 125 C sign = 0 C α d S, ( C)( C α ), C > α (5.15) Figura 45 Diferenças entre as conformações de limiar abrupto e suave. 5.3.2. Regras para seleção de limiar Embora pesquisadores especialistas em wavelets como Mallat, Wickerhauser e Coifman tenham sido os primeiros a abordar a aplicação da supressão de ruído, o trabalho de Donoho parece ser o mais divulgado, muito provavelmente por ter sido o primeiro a interpretar formalmente o assunto [45]. Particularmente, em seu trabalho algumas regras para seleção de limiar foram desenvolvidas, entre elas a mais simples e utilizada de todas, a chamada regra universal ou VisuShrink. O termo shrink se refere ao efeito de encolhimento previamente mencionado que a conformação de limiar suave provoca, uma vez que esta foi a escolha de Donoho no desenvolvimento analítico de sua regra. O esquema VisuShrink foi desenvolvido como a solução de um problema de otimização, no qual um critério minimax submetido a restrições foi adotado. O

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 126 critério minimax é comumente utilizado em Estatística para projetar estimadores. Para o problema da supressão de ruído, a função de regressão desconhecida a ser estimada é o sinal sem ruído. O estimador minimax provê um resultado que corresponde ao menor erro médio quadrático máximo de um dado conjunto de funções [33]. Este conjunto de funções é submetido à restrição que condiciona a estimativa para ser tão suave quanto o sinal original [45]. A motivação para essa restrição foi a necessidade de uma melhor relação de compromisso entre variância e polarização (bias). O princípio minimax otimiza apenas o erro médio quadrático, resultando em uma relação de compromisso entre a polarização e a variância que mantém ambos com ordem de grandeza de mesma magnitude. Em conseqüência, as estimativas exibem consideravelmente algumas estruturas indesejáveis induzidas por ruído, tais como ondulações (ripples), manchas (blips) e oscilações [45]. A regra de seleção Visu é muito simples de aplicar, pois é uma função simplesmente da largura amostral n do sinal original, que é também o número de coeficientes computado para uma transformada de wavelet ortogonal. Para um sinal x(t) corrompido por ruído gaussiano de média nula, o limiar Visu é dado por: ( n) α= σ 2log (5.16) onde σ é o nível de ruído, e o logaritmo está na base natural. O esquema Visu é eventualmente acusado de super-suavizar as estimativas [46]. Para evitar essa possibilidade, uma outra classe de regras, que computa o limiar de uma forma adaptativa aos dados, pode ser usada no lugar da Visu. Uma dessas regras utiliza o estimador de risco não-polarizado de Stein (SURE ou SUREShrink Stein s Unbiased Risk Estimator), que minimiza uma função de risco para um valor de limiar particular. Para um dado conjunto de coeficientes, o limiar é aquele que apresenta o menor risco. Outro esquema adaptativo aos dados anti-super-suavização é a regra RiskShrink, que pode ser compreendida como o esquema Visu não submetido à restrição da suavidade. Exatamente por isso, esse esquema é conhecido também como Minimax, já que o limiar é selecionado de acordo com o critério minimax.

5 Supressão de ruído por decomposição wavelet 127 Uma alternativa interessante às regras de seleção anteriores pode ser uma mistura delas. A chamada solução heurística aplica o esquema SURE, a menos que a relação sinal/ruído seja baixa. Neste caso, o limiar Visu é selecionado em seu lugar, uma vez que a regra SURE tende a ser mais conservativa, ou seja, sua estimativa ainda seria muito ruidosa [33]. A adaptabilidade aos dados das regras de seleção Risk e SURE permite outra caracterização para o limiar. Com relação aos diferentes níveis de decomposição wavelet, o limiar universal é o mesmo para todos, motivo pelo qual o limiar é classificado como global. Por outro lado, o limiar é dito local para os esquemas SURE e Risk, já que é estimado localmente para cada nível de decomposição. Quando uma regra adaptativa aos dados é escolhida, um procedimento de quatro etapas é mais representativo do procedimento geral de supressão de ruído, que o de três estágios representados pelas eqs. (5.11) a (5.13). Naquela seqüência, antes de se aplicar o operador de supressão de ruído da eq. (5.12), um operador de determinação de limiar deve ser aplicado, como na eq. (5.17) abaixo. α = d(c) (5.17)