Introdução a Modelos VAR

Introdução a Modelos VAR Henrique Dantas Neder - Professor Associado Universidade Federal de Uberlândia July 24, 2014 Um VAR é um modelo no qual K variáveis são especicadas como funções lineares de p de seus próprios lags, p lags das outras K 1 variáveis e possivelmente de outras variáveis exógenas. Algebricamente, um modelo VAR de ordem p, escrito como VAR(p) com variáveis exógenas x t é dado por: y t = v + A 1 y t 1 +... + A p y t p + B 0 x t + B 1 x t 1 +... + B s x t s + u t t (, ) (1) onde y t = (y 1t,..., y Kt ) é um vetor aleatório K 1 A 1 a A k são matrizes de parâmetros K K x t é um vetor de variáveis exógenas M 1 B 0 a B s são matrizes de coecientes K M v é um vetor de parâmetros K 1 e u t é assumido como sendo um vetor de ruídos brancos, ou seja E(u t ) = 0, E(u t u t) = Σe E(u t u s) = 0 para t s O total de parâmetros na equação (7) é K 2 p + K (M(s + 1) + 1) para y t e o total de parâmetros na matriz de covariânciaσé {K (K + 1)}/2. Uma maneira de reduzir o número de parâmetros é especicar um VAR incompleto no qual algumas das matrizes Aou B são denidas como iguais a zero. Outra forma é especicar restrições lineares em alguns dos coecientes no VAR. Um VAR pode ser visto como a forma reduzida de um sistema de equações simultâneas dinâmicas. Considere o sistema: W 0 y t = a + W 1 y t 1 +... + W p y t p + W 1 x t + W 2 x t 2... + W s x t s + e t (2) onde a é um vetor de K 1 parâmetros, cada W i, i = 1,..., p é uma matriz de K K parâmetros e e t é um vetor de erros aleatórios K 1. Na tradicional Este texto é baseado em uma tradução livre de diversas partes do Manual de Séries Temporais do Stata (que acompanha o software e pode ser visualizado através do menu Help - Documentation) 1

abordagem de equações simultâaneas dinâmicas, um número suciente de restrições são impostas as matrizes W i, para obter identicação 1. Assumindo que W 0 é uma matriz não singular, (8) pode ser re-escrita como y t = W 1 0 a + W 1 que é um VAR com 0 W 1y t 1 +... + W0 1 W py t p + W0 1 +W0 1 W s x t s + W0 1 e t v = W 1 0 a W 1 x t + W 1 0 W 2 x t 2... (3) A i = W 1 0 W i B i = W 1 0 W i u t = W 1 0 e t A matriz de variância-covariância dos erros Σcontem toda unformação sobre as correlações contemporaneas no VAR e pode ser ao mesmo tempo o ponto mais forte do VAR ou seu ponto mais fraco. Dado que suposições a priori não questionáveis não são impostas, estimar um VAR permite que os dados falem por si mesmos. Entretanto, sem impor algumas restrições a estrutura de Σ não podemos fazer uma interpretação causal de seus resultados. Se estabelecemos hipóteses técnicas adicionais, podemos derivar outra representação do VAR em (7). Se o VAR é estável (veremos adiante o que isto signica), podemos re-escrever y t como y t = µ + D i x t i + Φ i u t i (4) i=0 onde µé a média invariante no tempo do processo com dimensão K 1e D i e Φ i são matrizes de parâmetros K M e K K, respectivamente.a equação (10) estabelece que o processo pelo qual as variáveis y t utuam em torno de suas médias invariantes no tempo, µ, são completamente determinados pelos parâmetros em D i e Φ i e a (innita) história passada das variáveis exógenas x t e dos choques ou inovações independentes e identicamente distribuidos (i.i.d.), u t 1, u t 2,... A equação (10) é conhecida como a representação de médiasmóveis do VAR. As matrizes D i são as funções de multiplicadores dinâmicos ou funções de transferência. Os coecientes de médias móveis Φ i são também conhecidos como simples IRF (impulse response function) no horizonte i. 1 Um sistema é exatamente identicado quando o número de parâmetros a ser estimado é igual ao número de equações do sistema e um sistema é sobreidenticado quando o número de equações do sistema supera o número de parâmetros a serem estimados. i=0 2

A distribuição conjunta de y t é determinada pelas distribuições de x t e u t e os parâmetros v, B i e A i. Estimar os parâmetros em um VAR exige que as variáveis y t e x t sejam estacionárias em covariância, o que signica que seus dois primeiros momentos existam e são invariáveis no tempo. Se as séries em y t não são estacionárias em covariância, mas suas primeiras diferenças são, um modelo de correção de erros vetorial (VECM) pode ser usado. Trataremos em uma parte mais avançada sobre estes modelos. Se as variáveis em u t têm média zero, são um processo vetorial i.i.d. e y t e x t são estacionárias em covariância e são não correlacionadas com com as séries em u t, estimativas consistentes e ecientes de B i, A i e v são obtidas via regressoes aparentemente não relacionadas (seemingly unrelated regression), produzindo estimadores que são assintoticamente normalmente distribuídos. Quando as equações para as variáveis y t têm o mesmo conjunto de regressores, estimativas OLS equação-por-equação são as estimativas de máxima verossimilhança condicional. Grande parte do interesse em modelos VAR está focada nas previsões, IRFs, funções de multiplicadores dinâmicos e as FEVDs, todos os quais são funções dos parâmetros estimados. A estimação dessas funções é simples, mas seus erros padrão assintóticos são normalmente obtidos assumindo-se queos termos em u t é um processo vetorial de média zero, i.i.d. e gaussiano (normal). Além disso, alguns dos testes de especicação para VAR foram derivados usando o princípio da razão de verossimilhança e a forte suposição gaussiana. Na ausência de variáveis exógenas contemporâneas, a matriz de variânciacovariância dos erros contém todas as informações sobre correlações contemporâneas entre as variáveis. Os modelosvar às vezes são clas()sicados em três tipos, dependendo de que forma eles denem esta correlação contemporânea. (Veja Stock e Watson [2001] para uma derivação dessa taxonomia.) Stata tem dois comandos para estimar VARs n forma reduzida: var e varbasic. O comando var permite restrições a serem impostas aos coecientes. O comando varbasic permite estimar um VAR simples rapidamente sem restrições e construir gráco das IRFs (funções de impulso-resposta). Como a montagem de um VAR de ordem correta pode ser importante, o comando varsoc oferece vários métodos para escolher a ordem de defasagens p do VAR para se adequar. Após estimar um VAR, e antes de prosseguir com a inferência, interpretação ou previsão, vericar se o VAR se ajusta aos dados é importante.o comando varlmar pode ser usado para vericar se há autocorrelação nos erros. O comando varwle realiza testes Wald para determinar se certas defasagens podem ser excluídas. O comando varnorm testa a hipótese nula de que os erros são normalmente distribuídos. O comando varstable veri- ca a condição de auto-valor (eigenvalue) para a estabilidade, o que é necessário para interpretar as IRFs. 3

1 Funções de Impulso-Resposta (IRF) e Funções de Decomposição da Variância do Erro de Previsão (FEDV) Um modelo autoregressivo vetorial de p-ésima ordem (VAR) com variáveis exógenas é dado por: y t = υ + A 1 y t 1 +... + A p y t p + Bx t + u t onde y t = (y 1t,..., y Kt ) é um vetor aleatório K 1 A i são matrizes de parâmetros K K xas x t é um vetor de variáveis exógenas R 0 1 B é uma matriz de coecientes K R 0 υ é um vetor de parâmetros xos K 1 e u t é assumido como sendo um ruido branco com: E(u t ) =0 E(u t u t) = Σ E(u t u s) = 0 para t s Qualquer variável exógena é assumida como sendo estacionária em covariância. 2 Exemplos de estimação VAR no Stata 2.1 Exemplo 1: Modelo VAR Para estimar o uso básico do comando var replicamos o exemplo em Lutkepohl (2005, 7778). Os dados consistem de três variáveis: a primeira diferença do logaritmo natural do investimento, dln_inv; a primeira diferença do logaritmo natural da renda, dln_inc e a primeira diferença do logaritimo natural do consumo, dln_consump. O conjunto de dados até o quarto trimestre de 1982, embora Lutkepohl use somente informações até o quarto trimestre de 1978. use http://www.stata-press.com/data/r13/lutkepohl2 tsset var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr<=tq(1978q4), lutstats dfk 4

A saída anterior tem duas partes: um cabeçalho e a tabela de saída padrão Stata para os coecientes, erros padrão e intervalos de conança. O cabeçalho contém estatísticas descritivas para cada equação no VAR e estatísticas utilizadas na seleção da ordem de defasagens do VAR. Embora existam fórmulas padrão para todos as estatísticas de ordem de defasagens, Lutkepohl (2005) dá versões diferentes dos três critérios de informação que eliminam o termo constante da verossimilhança. Para obter as versões Lutkepohl (2005), especicamos a opçãolutstats. As fórmulas para as versões padrão e Lutkepohl destas estatísticas são dadas em Métodos e fórmulas de [TS] varsoc. A opção dfk especica que o divisor de pequena amostra 1/(T m) é utilizado na estimativa de Σem vez do divisor de máxima verossimilhança (ML) 1/T, onde m é o número médio de parâmetros incluídos em cada uma das K equações. Todas as estatísticas de ordem de defasagem são calculadas usando o estimador ML de Σ. Assim, especicando dfk não vai mudar as estatísticas de ordem de defasagem calculadas, mas vai mudar a estimativa da matriz de variância- 5

covariância. Além disso, quando dfk for especicado, o log da verossimilhança dfk-ajustada é computada e armazenada em e(ll_dfk). A opção lag() dene uma lista de lags a ser incluida no modelo. Para especi- car um modelo que inclui o primeiro e segundo lags, deve ser escrito o seguinte comando: var y1 y2 y3, lags(1/2) 2.2 Modelo VAR com variáveis exógenas Usamos a opção exog() para incluir variáveis exógenas em um modelo VAR. var dln_inc dln_consump if qtr<=tq(1978q4), dfk exog(dln_inv) Todos os comandos de pós-estimação para analisar o VAR funcionam quando variáveis exógenas são incluidas no modelo, mas os erros padrões assintoticos para as previsões h passos a frente não são disponíveis. 6