4. Números Racionais (continuação) Quando falamos em números, com as pessoas comuns, estamos nos referindo a uma classe bem especial de números racionais (Q) os chamados números decimais. Números Decimais Os números decimais surgiram no século XVI com o matemático francês François Viète. O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. Veja alguns exemplos: 1205 11,7547 9,82 10 000,00 0,000349 Esses números podem representar medidas de comprimento, preços de objetos, notas de provas, e muito mais. Leitura de números decimais Quando lemos um número com vírgula, é importante estar atento e compreender o que está antes e depois da vírgula. Os algarismos que aparecem depois da vírgula representam a parte decimal, ou seja, as unidades que foram subdivididas. Cada algarismo, da parte decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações: décimos...: quando houver uma casa decimal; centésimos... : quando houver duas casas decimais; milésimos... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos... : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. Veja alguns exemplos: 0,8 oito décimos 0,18 dezoito centésimos 5,8 cinco inteiros e oito décimos 7,20 sete inteiros e vinte centésimos Muitas vezes lemos simplesmente: 12,425 km doze, vírgula, quatrocentos e vinte e cinco quilômetros Encontrando números decimais através da divisão Agora, vamos aprender a dividir sem deixar resto. Exemplo 1 Vamos dividir 37 por 8. Já aprendemos a realizar essa operação assim: 37 8. -32 4 5 Dizemos que o quociente é 4 e o resto é 5. Para continuar a divisão, colocamos um zero à direita do resto, uma vírgula no quociente e continuamos a divisão. Cada resto ganhará um zero e a conta poderá continuar. Portanto 4,625 multiplicado por 8 é exatamente 37. 37 8. -32 4,625 50 5 unidades valem 50 décimos -48 20 2 décimos valem 20 centésimos -16 40 4 centésimos valem 40 milésimos -40 00 Dizima Periódica Você deve estar perguntando se, numa divisão, sempre conseguimos obter resto zero. A resposta é não. Existem divisões que não acabam nunca. Veja uma delas: 13 3. Quando realizamos esta divisão, temos o seguinte resultado: 4, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3...
Esse número incrível é chamado de dízima periódica. Ele representa o resultado de uma divisão que não acaba nunca. Mas não se preocupe. Na prática, nunca vamos precisar de um número desse tamanho. Para as nossas necessidades diárias, duas ou três casas decimais são suficientes (aproximações). A fração e o número decimal Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais: 1 10 = 0,1 1 100 = 0,01 1 1000 = 0,001 1 10000 = 0,0001 Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. Assim, a lista anterior pode ser reconhecida como 1205 = 1205 11,7547 = 117547 9,82 = 982 0,000349 = 349 1 10000 100 1000000 Assim, um número decimal é igual à fração cujo numerador o é número decimal sem a vírgula e o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. 2) 47,23 = 4723 100 2 zeros 2 casas decimais 3) 0,00431 = 431 100000 5 zeros 5 casas decimais Do mesmo modo uma fração é igual ao um número decimal, cuja a quantidade casas decimais é igual quantidade de zeros no denominador. 4) 324 10 = 32,4 1 zeros 2 casas decimais 6) 5 4 = 500 400 = 500 1 4 100 = 500 4 1 100 = 125 1 100 = 125 100 = 1,25 7) 1 2 = 10 20 = 10 1 2 10 = 10 2 1 10 = 5 1 10 = 5 10 = 0,5 34 5) 10000 = 0,0034 5 zeros 5 casas decimais Um numeral decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros à direita da sua parte decimal. 8) 34,1 = 34,10 = 34,100 = 34,1000 A principal consequência disso é que dois números decimais quaisquer podem sempre ser representados com o mesmo número de ordens decimais. Exemplo 9 Os números 4,156 e 2,14 podem ser escritos: Como 4,156 e 2,140 (ambos com 3 casas) Agora vamos multiplicar o número 4,518 por 10, por 100 e por 1000: 4,518 10 = 4518 1000 10 1 = 4518 4518 = 45,18 4,518 100 = 100 1000 100 1 = 4518 10 = 451,8 4,518 1000 = 4518 1000 1000 = 4518 = 4518 1 1
Portanto para multiplicar um número decimal por 10, basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita. Já para multiplicar um número decimal por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Mas para multiplicar um número decimal por 1000, basta deslocar a vírgula três casas decimais para a direita. Exemplo 10 0,00412 1000 = 4,12 Agora vamos dividir número 314,21 por 10, por 100 e por 1000: 314,21 10 = 31421 100 10 1 = 31421 10 = 31421 1000 = 31,421 314,21 100 = 31421 100 100 1 = 31421 100 = 31421 10000 = 3,1421 314,21 1000 = 31421 100 1000 1 = 31421 1000 = 31421 100000 = 0,31421 Portanto para dividir um número decimal por 10, basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda. Já para dividir um número decimal por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda. Mas para dividir um número decimal por 1000, basta deslocar a vírgula três casas decimais para a esquerda. Exemplo 11 434,25 100 = 4,3425 Comparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos: Primeiro caso: as partes inteiras são diferentes O maior é aquele que possui a maior parte inteira. 12) 3,4 > 2,943, pois 3 > 2. 13) 0,6 > 9,2342, pois 10 > 9. Segundo caso: as partes inteiras são iguais O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros. 14) 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 15) 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3. Adição e subtração de números decimais Para calcular a soma 3,6 + 0,38 + 31,424 podemos converter os decimais em frações e somá-las: 3,6 + 0,38 + 31,424 = 36 10 + 38 100 + 31424 1000 = 3600 1000 + 380 1000 + 31424 1000 = 35404 1000 = 35,404 Ou simplesmente somar os números decimais da seguinte forma: 3,600 0,380 + 31, 424 35,404 Portanto para somar numerais decimais: Exemplo 16 Vamos somar 47,5 com 3,28. 47,5 = 4 dezenas + 7 unidades + 5 décimos (47 inteiros e 5 décimos) 3,28 = 3 unidades + 2 décimos + 8 centésimos (3 inteiros e 28 centésimos) 1) Igualamos o número de casas decimais das parcelas, acrescentando zeros. 2) Colocamos vírgula debaixo de vírgula. 3) Somamos como se fossem números naturais e colocamos a vírgula alinhada com as outras.
Primeiro somamos os centésimos. Depois os décimos, as unidades e as dezenas. Essa conta seria assim: 8 com O dá 8. (algumas pessoas colocam um zero para preencher as "casas" vazias) 47,50 5 com 2 dá 7. + 3,28 7 com 3 dá 10. (Coloca-se o zero e vai 1). 50,78 1 com 4 dá 5. Resultado: 50,78, que pode ser lido: 50 inteiros e 78 centésimos ou 50 vírgula 78. Em contas com dinheiro, só consideramos duas casas decimais. Para subtrair numerais decimais, procedemos de modo similar ao usado na adição. Exemplo 17 Agora vamos subtrair 4,6 de 25,35: 25,35 4,6 =. Essa conta seria assim: 25,35-4,6. 20,75 5 menos 0 dá 5. (zero preenche a casa vazia) Como de 3 não podemos tirar 6, emprestamos 1 unidade (10 décimos) à casa dos décimos. Então: 13 menos 6 dá 7. 4 menos 4 dá 0. Abaixa o 2. Portanto para somar ou diminuir números com vírgula, devemos colocá-las uns debaixo dos outros, de modo que todas as vírgulas também fiquem uma debaixo da outra. Multiplicação de números decimais Para calcular o produto 18,36 3,6 podemos converter os decimais em frações e multiplicá-las. 18,36 3,6 = 1836 100 36 10 = 66096 1000 = 66,096 Ou simplesmente multiplicar esses números da seguinte forma: 18,36 3,6 11016 5508. 66,096 Portanto temos que para multiplicar numerais decimais: 1) Multiplicamos os decimais como fossem números naturais. 2) Damos ao produto tantas casas decimais quanto seja a soma dos números de casas decimais dos fatores. Exemplo 18 No açougue você pede 1,5 kg aproximadamente de carne. O açougueiro corta a carne, coloca na balança e o resultado é 1,750 kg. Se o quilo dessa carne custa R$ 6,80, quanto você deve pagar pelo total? Para obter o preço total, devemos multiplicar 1,750 por 3,80. Não escrevemos os zeros que aparecem à direita de cada número. Na realidade, vamos fazer a operação 1,75 3,8. Depois que chegamos ao resultado, verificamos que os dois números possuem, ao todo, 3 casas decimais. Logo, o resultado também deve ter 3 casas decimais. 1,75 3,8 1400 525. 6,650 Resposta: o preço a pagar é R$ 6,65 (6 reais e 65 centavos). Divisão de frações Para calcular a divisão 3,24 1,8 pode ser feita da seguinte forma: 3,24 1,8 = 324 100 18 10 = 324 0 18 = 324 180 Logo, dividir 3,24 por 1,8 é o mesmo que dividir 324 por 180.
324 180-180 1,8 1440-1440 0000 Daí para dividir dois decimais: 1) Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros. 2) Eliminamos as vírgulas. 3) Dividimos os números naturais que resultam das etapas anteriores Exercícios 1) Escreva como se lêem as medidas, conforme o modelo: 3,5 = três centímetros e cinco décimos de centímetro a) 4,98 = b) 5,40 = c) 5,4 = d) 5,394 = 2) Calcule: a) 13 2 = b) 47 5 = c) 23 4 = d) 298 8 = 3) Transforme estes números decimais em frações: a) 0,37 b) 32,5 c) 6,0422 d) 0,618 4) Observe o contracheque da figura abaixo. Calcule o total líquido que o empregado irá receber. (Total líquido a receber Total de vencimentos - Total de descontos) Recibo de pagamento de salario Empresa: No Registro/Chapa: Nome do Empregado Função: Código Descrição Vencimentos Descontos 07 Salário 572,79 61 Anuênio 71,36 22 Salário-família 1,00 53 Contribuição sindical 7,01 101 INSS 56,95 190 IRRF 18,82 Total de Vencimentos Total de Descontos Total Líquido a Receber 5) Se 1 metro de corda custa R$ 0,35, quanto custarão: a) 10 metros? b) 8 metros? c) 25 metros? d) 60 metros? 6) Calcule: a) 4,7 12 = b) 6,25 8 = c) 3,18 2,4 = d) 0,12 0,05 = 7) Efetue estas divisões, prolongando até a terceira casa decimal, no máximo: a)56 3 = b) 100 8 = c) 34,5 4 = d) 42,57 3 =