1 Circuitos RC série Quando aplicamos uma voltagem CC em uma associação série de um resistor e um capacitor, o capacitor é carregado até a tensão da fonte seguindo um crescimento exponencial e satura neste valor. Este não é o caso quando uma voltagem CA é aplicada a esta associação. Como a voltagem está constantemente mudando, o capacitor irá constantemente carregar e descarregar e irá continuamente tentar se opor às mudanças. Essencialmente, R e C neste circuito formam um divisor de voltagem CC. Podemos esperar que parte da voltagem aplicada estivesse sobre R e parte sobre C. Como a voltagem se distribuirá sobre estes componentes é a questão. Aplicando a Lei das Malhas temos: = + sen=.+ sen= [.+ ] cos= +1 = + Analisando o circuito em busca de uma solução plausível vemos que, fora algum comportamento transitório inicial a corrente deve oscilar na frequência da fonte, como ocorre para cada um dos elementos isoladamente quando ligados a uma fonte. Mas, sabemos que enquanto os resistores não alteram a fase da corrente em relação à fase da fonte, nos capacitores a corrente está adiantada de 90 em relação à tensão. Podemos então concluir que, pelo efeito dos dois elementos a corrente deve apresentar uma defasagem intermediária entre estes dois extremos. Propomos então uma solução do tipo: = + Substituindo na equação diferencial para ao circuito temos:
2 cos= cos ++ + cos= cos ++ + Desenvolvendo sen(ωt+φ) e cos(ωt+φ) temos: cos= [coscos ]+ [cos +cos] Isolando e igualando a zero os coeficientes de sen(ωt) temos: o que nos dá ]+ cos=0 "= 1 e fazendo o mesmo para o coeficiente de cos(ωt) temos: de onde tiramos que cos =0 = [ 1 +cos]= #$+" = #$ Usando a equação para tgφ e a relação 1/cos 2 φ- tg 2 φ = 1 temos que e portanto #$= = % & + 1 & % & + 1 &
3 Na figura ao lado podemos ver a defasagem entre a corrente e a tensão aplicada no circuito RC em corrente alternada. Circuitos RL série Quando aplicamos uma voltagem CA a um circuito RL série como mostrado ao lado, o circuito se comporta de algum modo como o circuito RC série e de outro como um tipo de reflexo dele. Por exemplo, a corrente é sempre a mesma em todos os elementos do circuito. V R estará em fase com a corrente I e V L estará 90 fora de fase com I. Entretanto, V L estará adiantado em relação a I, ou seja a defasagem será de +90 em vez de -90. Da mesma maneira, o circuito pode ser resolvido pela aplicação da Lei das Malhas e a escolha de uma solução adequada para a corrente que atravessa o circuito de modo a satisfazer a equação diferencial obtida pela aplicação da Lei das Malhas. A resolução pormenorizada fica como exercício. A solução a ser encontrada será: e "= ' = & +' & Na figura ao lado podemos ver a defasagem entre a corrente e a tensão aplicada no circuito RL em corrente alternada.
4 Circuitos RC série Representação fasorial Como um exemplo prático, assumimos que ε rms =10V na frequência de 1kHz, C=0.01µF e R=15kΩ. Se construirmos este circuito com um bom gerador de áudio, iremos medir V rms =6.855V sobre o resistor e V rms =7.275V sobre o capacitor. A soma é evidentemente maior do que os 10V fornecidos pelo gerador. Como isso é possível? A razão desta aparente discrepância é o fato de que, como vimos anteriormente, C causará uma defasagem entre a voltagem e a corrente. Uma vez que temos um circuito em série, a corrente deve necessariamente ser a mesma em todo o circuito. Portanto, a voltagem sobre o capacitor irá se atrasar de 90 em relação à corrente, enquanto que ao mesmo tempo a voltagem sobre o resistor estará em fase com a corrente. Como podemos lidar com esta aparente confusão? Representando voltagens como vetores O problema real aqui é a diferença de fase de 90 entre V C e V R. Uma vez que não estão em fase e uma certa quantidade de voltagem é depositada sobre cada componente, a relação de fase entre a voltagem e a corrente do gerador deve estar em algum valor entre os extremos. Precisamos então poder determinar esta relação de fase, assim como determinar o efeito combinado de R e X C neste circuito. Uma solução é mapear as componentes da voltagem graficamente, como mostrado na figura. Usando coordenadas X e Y, o eixo positivo de X é definido como referência para a marcação da fase, com o sentido anti-horário tomado como a direção positiva para a marcação dos ângulos. Uma vez que a corrente no circuito é necessariamente a mesma em todo o circuito, ela é usada como a referência para a medida dos ângulos de fase. A voltagem sobre o resistor V R, em fase com a corrente é mostrada em vermelho. A Voltagem capacitiva V C, está a - 90, como mostrado em azul. Desta maneira podemos representar as voltagens sobre R e C como vetores, possuindo magnitude e direção. Agora está claro que a voltagem composta por V R e V C deve ser um vetor soma, como mostrado em violeta. Para encontrarmos a voltagem resultante, devemos então usar as relações de soma de vetores:
5 ) =% & + & ) =*6,855 & +7,273 & = 47+53= 100 ) =10 Como nosso gerador produz uma tensão de saída de 10V, isto confirma nossas medidas. Representando voltagens como fasores Este tipo de representação geométrica das tensões e correntes num circuito CA pode ser mais completa se permitirmos na nossa representação que os vetores desenvolvam um movimento de rotação ao redor de um eixo perpendicular ao plano XY, no sentido anti-horário, com frequência ω. Ao fazermos isso, estamos introduzindo na representação a evolução temporal das tensões e correntes e, portanto nos permite calcular o valor das tensões e das correntes em qualquer instante. O módulo do vetor, que não se altera pela rotação aplicada será sempre representativo dos valores das amplitudes das tensões e correntes representadas e a projeção dos vetores no eixo vertical (quando a corrente é descrita por uma função seno) nos dará o valor das grandezas representadas num determinado instante, transcorrido um tempo t. Esta representação geométrica é chamada de representação fasorial e os vetores representados são chamados de fasores. Representação fasorial da corrente I (vermelho), da tensão na resistência V R (azul), da tensão no capacitor V C (verde) e da tensão da fonte V (margenta) em um circuito RC, no instante t= -φ/ω.
6 Representação fasorial da corrente I (vermelho), da tensão na resistência V R (azul), da tensão no capacitor V C (verde) e da tensão da fonte V (margenta) em um circuito RC, e os correspondentes valores instantâneos, depois de transcorrido um tempo t=tφ/ω. Impedância Outro ponto a considerar aqui é que o circuito contém a combinação de uma resistência (R) e de uma reatância (X C ). Isto não é nem uma resistência pura nem uma reatância pura. Precisamos um nome para esta característica combinada e uma maneira de calculála. O nome é simples: impedância, e é representada pela letra Z. Para calcular Z, devemos primeiro notar que, de acordo com a Lei de Ohm, R = V R /I e X C = V C /I. Entretanto, já sabemos que estas voltagens estão defasadas de 90. Uma vez que a corrente I no circuito é a mesma em qualquer elemento, então R e X C devem estar defasadas de 90 também. Então, devemos aplicar o mesmo método que usamos para calcular V G para calcular Z, como fazemos abaixo: 3 = 3 = 1 245 1 6,28.1000.0,00000001 = 1 6,28.10 67 3 =15,929: < =% & +3 & < =*15 & +15,92 & =*225+253,45+*478,45 < =21,879:
7 =>? = )=>? < =>? = 10 21,879 =>? =0,457@A =>? =>? = =>?. =0,457@A.159: =>? =6,855 =>? =>? = =>?.3 =0,457@A.15,929: =>? =7,275 O ângulo de fase entre corrente e a voltagem no gerador é (com a voltagem atrasada em relação à corrente): B=" 6C3 ="6C15,929 159 ="6C 1,061=46,7 Então, todos os cálculos e valores relativos ao circuito permanecem consistentes uns com os outros assim como com as medidas experimentais realizadas. Circuitos RL Série Representação fasorial Para este circuito assumiremos valores experimentais como segue: R = 560, L = 100 mh, e ε 0 = 10 V. Medidas cuidadosas no circuito mostram 7.464 V sobre L e 6.656 V sobre R. Como podemos ver, a somas destes valores excedem substancialmente a voltagem da fonte, e a defasagem é a razão disto. Os vetores em um circuito RL série Os vetores para este exemplo estão mostrados ao lado. Desta vez o ângulo de fase é positivo e não negativo como no circuito RC porque V L está adiantado em relação a I L. Para determinar Quanto é o ângulo de fase, devemos começar determinando X L e então calcular os outros parâmetros do circuito. 3 D =245' 3 D =6,28.1000.0,1 3 D =628:
8 < =% & +3 D & < =*560 & +628 & = 313600+394384+ 707984 < =841,4: =>? = )=>? < =>? = 10 841,4 =>? =11,9@A =>? =>? =. =0,0119A.560: =>? =6,656 D =>? D =>? = =>?.3 D =11,9@A.628: D =>? =7,464 B=" 6C3 D ="6C628 560 ="6C 1,121=48,28 Os fasores em um circuito RL série Representação fasorial da corrente I (vermelho), da tensão na resistência V R (azul), da tensão no indutor V L (verde) e da tensão da fonte V (margenta) em um circuito RL, no instante t= t= -φ/ω. Representação fasorial da corrente I (vermelho), da tensão na resistência V R (azul), da tensão no indutor V L (verde) e da tensão da fonte V (margenta) em um circuito RL, e os correspondentes valores instantâneos, depois de transcorrido um tempo t= t-φ/ω. Assim temos uma completa descrição do circuito RL série com um sinal CA aplicado nele. Começando com o valor dos componentes e da frequência da voltagem CA aplicada, descrevemos os diferentes aspectos do comportamento do circuito naquela frequência e os valores instantâneos das correntes e tensões no circuito.