Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009
2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel 80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br
Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.
Sumário Contagem 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem 11 2. O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração 17 1. A adição 17 2. A subtração 18 Multiplicação e divisão 21 1. A multiplicação 21 2. A divisão 23 Frações (I) 25 1. As frações 25 2. Resolução de problemas com frações 28 3. Frações próprias e impróprias 30 4. Simplificação de frações 31 Frações (II) 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 37 4. Multiplicação com frações 40 5. Divisão com frações 41 Potenciação 43 1. Potenciação 43
Expressões numéricas 47 1. Introdução 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas 47 Geometria (I) 53 1. Polígono 53 2. Ângulos 55 3. Triângulo 55 4. Quadrilátero 56 5. Perímetro de um polígono 57 6. Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) 65 1. Unidade de área 65 2. Áreas de figuras planas 66 3. Volumes 70 Razão e proporção 75 1. Razão 75 2. Proporção 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85 1. Grandezas diretamente proporcionais 85 2. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95 1. Proporcionalidade composta 95 2. Regra de três composta 97
Porcentagem e juro 105 1. Porcentagem 105 2. Juro 111 Equações do 1. o grau 117 1. Introdução 117 Equações do 2. o grau 125 1. Noção de equação do 2. o grau 125 2. Forma geral 125 3. Solução de uma equação do 2. o grau 127 4. Resolução de problemas do 2. o grau 137 5. Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 x 2 143 1. Introdução 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição 153 Radiciação 159 1. Introdução 159 2. Quadrados perfeitos 160 3. Raiz quadrada 161 Gráfico e função 163 1. Plano cartesiano 163 2. Função afim 164 3. Função quadrática 168
Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.
Frações (II) 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) Estudaremos um dispositivo prático para a obtenção do m.m.c. Por exemplo, para obtermos o m.m.c entre 15 e 25 devemos dividi-los sucessivamente pelos números primos. Números primos são aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos. Assim, números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Veja os exemplos: a) 15, 25 3 5, 25 5 1, 5 5 1, 1 3 x 5 x 5 = 75 O m.m.c entre 15 e 25 é igual a 75. b) Agora vamos calcular o m.m.c entre 2, 9 e 18. 2, 9, 18 2 1, 9, 9 3 1, 3, 3 3 1, 1, 1 2 x 3 x 3 = 18 O m.m.c entre 2, 9 e 18 é o número 18.
36 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador Quando as frações têm o mesmo denominador, juntamos, retiramos ou comparamos pedaços do mesmo tamanho. Para efetuarmos uma adição ou uma subtração com frações do mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum. Veja as figuras: 3 9 4 9 7 9 Adição: 3 4 + = 7 9 9 9 7 9 2 9 5 9 Subtração: 7 2 = 5 9 9 9 Observe mais alguns exemplos: a) 1 17 + 7 17 + 3 17 = 11 17 c) 3 10 + 8 = 11 10 10 b) 19 43 5 43 = 14 43 d) 25 13 11 = 14 13 13
Frações (II) 37 Exercícios 1. Calcule: 3 a) 17 + 8 17 b) 7 11 + 2 11 + 5 11 c) 17 18 3 18 d) 16 10 8 10 3 10 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam quantidades de pedaços internos que têm tamanhos diferentes. Por isso, essas quantidades (os numeradores) não podem ser adicionados. Então, como calcular 1 2 + 1 6? Uma técnica para efetuar adições e subtrações com frações, cujos denominadores são diferentes, é encontrar frações equivalentes às frações dadas com denominadores iguais. Um modo que permite reduzir as frações a um mesmo denominador é encontrando o mínimo múltiplo comum ou m.m.c dos denominadores dados. Veja, nos exemplos, como funciona:
38 Matemática Elementar I Caderno de Atividades a) x 7 3 + 2 5 = x 35 15 + 6 15 = 41 15 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 3 x 5 = 15 m.m.c (3, 5) = 15 b) x 1 2 + 1 x 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 2, 3 2 1, 3 3 1, 1 2 x 3 = 6 m.m.c (2, 3) = 6 c) 18 7 + 1 13 x x + x = 2 49 252 98 + 49 + 98 26 98 = 327 98 7, 2, 49 2 7, 1, 49 7 1, 1, 7 7 1, 1, 1 2 x 7 x 7 = 98 m.m.c (7, 2, 49) = 98
Frações (II) 39 Exercícios 2. Calcule: a) 1 + 1 3 5 b) 7 11 3 10 c) 3 2 + 1 6 1 2 d) 7 9 + 1 3 + 2 5 e) 4 7 + 1 8 + 2 3 f) 42 101 + 3 5 g) 1 1 10 + 1 5 3
40 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 4. Multiplicação com frações O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Veja: a b. c d = a. c, sendo a, b, c e d números naturais e b e d diferentes de zero. b. d Acompanhe agora alguns exemplos: a) 1 3. 3 4 = 1. 3 3. 4 = 3 12, simplificando, 3 = 3 : 3 = 1 12 12 : 3 4 b) 2 3. 1 3. 7 = 2. 1. 7 = 14 5 3. 3. 5 45 c) 1 5. 1. 1 = 1. 1. 1 = 1 5 5 5. 5. 5 125 Exercícios 3. Calcule: 1 a) 5. 1 2 b) 3 7. 3 14
Frações (II) 41 c) 12 13. 1 8 d) 8 9. 9 8 e) 3 4. 2 3 5. Divisão com frações Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira pela segunda fração invertida. Veja: a) 3 7 : 4 5 = 3. 5 7 4 = 15 28 b) 2 : 4 = 2. 9 = 18 9 9 9 4 36 Simplificando, 18 = 18 : 18 = 1 36 36 : 18 2 c) 2 2 2 3 6 : =. = 3 3 3 2 6 Simplificando, 6 = 6 : 6 = 1 = 1 6 6 : 6 1
42 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Exercícios 4. Calcule: a) 1 3 : 1 2 b) 7 8 : 3 4 c) 11 10 : 1 3 d) 12 15 : 5 8
Gabarito 1. a) 11 17 2. a) Gabarito Frações (II) b) 14 11 c) 14 = 7 18 9 d) 5 = 1 10 2 b) 8 15 37 110 c) 7 6 d) 68 45 e) 229 168 f) 513 505 3. a) g) 13 30 1 10 b) 9 98
Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) 12 = 3 104 26 d) 72 = 1 72 e) 6 = 1 12 2 4. a) 2 3 b) 28 = 7 24 6 c) 33 10 d) 96 = 32 75 25