Números e funções O experimento Experimento Avalanches 1. 2. 3. Objetivos da unidade Modelar o fenômeno de avalanches; Construir gráficos; Linearizar gráficos através de logaritmos. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação
Avalanches O experimento Sinopse Este experimento propõe modelar matematicamente avalanches provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões. Conteúdos Logaritmos e suas aplicações. 1. 2. 3. Objetivos da unidade Modelar o fenômeno de avalanches; Construir gráficos; Linearizar gráficos através de logaritmos. Duração Uma aula dupla.
Introdução A modelagem é uma área muito importante dentro da Matemática, com aplicações em diversos campos como economia, biologia, etc. Usando modelagem é possível prever desde terremotos, furacões ou até o comportamento de um simples íon dentro de uma célula do corpo humano. A previsão de grandes avalanches e outros fenômenos torna-se importante para o impedimento de tragédias, como muitas já ocorridas na história de nossa civilização. Neste experimento, os alunos são convidados a vivenciar um pouco de como cientistas desenvolvem seus modelos. Através de pequenas avalanches produzidas com materiais simples, os alunos poderão entender e descobrir um pouco dessa grande área que é a modelagem matemática. Avalanches O Experimento 2 / 1
O Experimento Material necessário Grãos de feijão ( dois pacotes de meio quilo); Grãos de pipoca (dois pacotes de meio quilo); Copos de plástico. Materiais alternativos Pode ser usado qualquer outro tipo de recipiente com raio próximo ao de um copo; Podem ser usados outros grãos, contanto que tenham tamanho próximo aos sugeridos. Preparação Inicialmente divida a sala em dois grupos (com aproximadamente o mesmo número de alunos) de forma que cada um receberá um tipo diferente de grão. Isso é necessário para que, no Fechamento, seja possível discutir as diferenças entre as funções encontradas para cada um dos tipos. Divida, então, novamente cada grupo em equipes de 3 alunos, para os quais serão distribuídos um recipiente, os grãos e uma Folha do Aluno. ºº Peça aos alunos para apoiarem a montagem sobre uma folha de sulfite, ou caderno, a fim de facilitar a contagem dos grãos, e também para garantir que eles não se percam. Coleta dos dados etapa 1 fig. 1 Cada grupo deve preencher o recipiente com o máximo de grãos possível de modo que se acomodem e formem um morrinho sobre o copo. A partir dessa situação, os próximos grãos devem ser colocados cuidadosamente, um de cada vez, em qualquer lugar do morrinho até que comecem a cair. A queda desse grãos em excesso chama-se avalanche. O número de grãos que cai em uma avalanche será chamado de intensidade. ºº Talvez seja necessário descartar as primeiras avalanches até a pilha ficar estável. Avalanches O Experimento 3 / 1
As equipes devem produzir avalanches durante dez minutos e as intensidades de todas elas devem ser registradas. Uma tabela deverá ser produzida por cada grupo conforme mostra o exemplo abaixo, figura 3, onde Q é o número de vezes que a avalanche de intensidade I ocorreu para esse grupo.!! Cuide para que os alunos não esbarrem na montagem. fig. 2 Colocação dos grãos e contagem dos que caem O cuidado, ou a sua falta, na colocação de cada grão pode provocar variações nos dados obtidos por diferentes grupos, porém, como serão todos reunidos no final, essas variações devem ser pouco relevantes. Terminada a coleta dos dados, cada grupo deverá escrever os seus dados na lousa, numa nova tabela, como já feita pelos alunos dentro de suas equipes, mostrada abaixo, na qual I é a intensidade, ou seja, a quantidade de grãos que caem de uma avalanche, e Q é a quantidade de vezes que a avalanche de intensidade I ocorreu durante o experimento. fig. 3 Tabela construída na lousa com os resultados finais de todas as equipes de um mesmo grupo da sala. ºº Professor, deixe essa tabela montada previamente para que os alunos a preencham à medida que terminarem a coleta. Avalanches O Experimento 4 / 1
Representação gráfica etapa 2 Após terminado o preenchimento da tabela na lousa, oriente seus alunos para copiarem em seus cadernos. fig. 4 Gráfico de I x Q I Q 1 54 2 26 3 18 4 4 5 1 6 1 ºº Professor, a tabela ao lado e os gráficos seguintes correspondem a apenas um tipo de grão, feijão. Na Folha do Aluno, há uma pergunta que aborda o formato desse gráfico e questiona se os alunos conhecem alguma função que se aproxime da figura encontrada. Como podemos ver abaixo, o formato do gráfico se assemelha, em linhas gerais, ao formato do gráfico da função y = k/x, com kx >. Para mais informações, vide Guia do Professor.!! Os alunos devem construir um gráfico de dispersão. Isso significa que eles não precisam se preocupar em ligar os pontos. 7 2 8 3 9 1 Tabela 1 Tabela para ser reproduzida no caderno. Feito isso, os alunos devem construir um gráfico de I Q utilizando os valores reunidos de seu grupo, na tabela 1. fig. 5 Gráfico de I x Q Avalanches O Experimento 5 / 1
Uma nova representação etapa 3 Se chamarmos log Q de Y, log(i) de X e log(a) =c, temos a seguinte função: Y = c b X!! Note que os cálculos feitos independem da base do logaritmo. Um modelo matemático que pode descrever os fenômenos naturais de avalanches ou desmoronamentos é descrito pela função: Q = a 1 I b onde a e b são constantes. Esta função é adequada pois o gráfico da figura 5 é do tipo 1/x, que é a mesma função, mas com a = b =1. Mas como descobrir os coeficientes a e b da equação através do gráfico obtido? Para facilitar a análise desse tipo de equação podemos utilizar uma ferramenta matemática capaz de transformar a equação dada na equação de uma reta, cujos coeficientes são facilmente encontrados através de seu gráfico. A melhor ferramenta nesse caso é o logaritmo, no qual uma divisão é transformada numa subtração, e uma potenciação numa multiplicação. Aplicando logaritmo nos dois lados da equação, obtemos: log Q = log(a 1 I b ) log Q = log(a) + (log(i b )) Portanto, a equação original foi transformada na equação de uma reta que relaciona não mais os dados coletados diretamente, mas seus logaritmos. Assim, para simplificar a análise dos dados encontrados pelos alunos, ajude-os a construir uma tabela, convertendo os valores de I e Q, para log I e log Q. A fim de facilitar esse cálculo, há um anexo com valores já calculados dos logaritmos na base 2. Essa base foi escolhida por fornecer melhores valores para uma posterior produção de gráficos. Podem ocorrer valores de I não inclusos no anexo. Fica, então, a critério do professor, fazer o cálculo do logaritmo numa calculadora científica ou descartar esses dados. Terminada a conversão dos valores, os alunos devem construir o gráfico de log 2 I log 2 Q.!! Alerte os alunos em relação à escala utilizada, pois os valores estão em decimais. log Q = log(a) b log(i) fig. 6 Gráfico de log ² I x log ² Q. Avalanches O Experimento 6 / 1
Observando o gráfico, é possível perceber que a maior parte dos pontos segue uma tendência linear. Nos pontos referentes às intensidades mais baixas, a quantidade de avalanches é muito maior que nos de intensidades mais altas. Assim, a tendência linear é muito mais visível para os pontos iniciais do gráfico. Quanto menor a quantidade de avalanches medidas, ou seja, quanto menos dados coletados, maior a flutuação (estatística), o que torna a modelagem menos precisa. Cálculo dos Coeficientes O próximo passo é encontrar a melhor reta que se ajuste nos pontos do gráfico. O método formal para encontrá-la é chamado de Mínimos Quadrados. Ele ajusta uma reta tal que a somatória dos quadrados da variação de y entre a reta e cada ponto seja mínima. Porém, este é um procedimento que requer muitos cálculos que não serão necessários para o sucesso do experimento. Assim, com ajuda de uma régua, os alunos devem traçar uma reta que esteja o mais próximo possível da maior parte dos pontos. É muito importante frisar que esta reta não precisa passar por todos os pontos e nem ligá-los, podendo até não passar pela maioria deles. Traçada a reta, é possível calcular os coeficientes linear e angular, e chegar a uma equação que modele as avalanches deste experimento. O ângulo α é fig. 7 Gráfico de log ² I x log ² Q. A tangente do ângulo α nos fornece o coeficiente angular da reta. Calculando, então, obtemos: tg α = m = y/ x Como exemplo vamos usar os pontos (3, 17; ) e (; 6, 4) da reta m = (6, 4 )/( 3, 17) =6, 4/ 3, 17 2, O coeficiente linear é a coordenada Y do ponto onde a reta cruza o eixo Y. No nosso caso: 6, 4. Assim, com os valores que utilizamos nos exemplos, a equação da reta obtida é: Y =6, 4 2, X Avalanches O Experimento 7 / 1
Fechamento 6 Finalizadas as etapas anteriores, os alunos podem socializar os valores encontrados dos coeficientes da equação da reta. A tendência é que os coeficientes encontrados por equipes com o mesmo grão sejam muito próximos, afinal eles usaram os mesmos dados. Por outro lado, pequenas variações podem ocorrer, pois cada grupo traçou a reta ao seu modo. O que sugerimos para o fechamento desse experimento é uma comparação entre os coeficientes obtidos pelos grupos com grãos diferentes, especialmente o coeficiente angular. Reúna os coeficientes calculados por cada equipe na lousa e calcule a média para cada tipo de grão, a fim de comparar esses valores. Esperamos que haja uma diferença significativa, o que caracterizaria o grão utilizado. Podemos pensar que o coeficiente angular é um tipo de coeficiente de granulação, que reflete a maior ou menor tendência de desmoronar. No nosso caso, o coeficiente angular foi aproximadamente 2,. Coeficientes maiores, ou seja, retas mais próximas da horizontal, significam mais ocorrências de avalanches maiores, por exemplo, o gráfico a seguir: º Uma mudança no tipo de recipiente utilizado também provoca uma mudança nos coeficientes obtidos. Se desejar, explore essa variação com os seus alunos. 5 4 3 2 1 fig. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A figura 8 é referente a equação y =6, 5, 5x, e a figura 9 é referente a equação y = 84, 4x,5, onde se aplicado logaritmo, encontrar-se-á a anterior. 1 8 6 4 2 fig. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Avalanches O Experimento 8 / 1
A figura 1 é referente a equação y =6, 4 3x, e a figura 11 é referente a equação y = 84, 4x 3, onde se aplicado logaritmo, encontrar-se-á a anterior. Será que isso tem a ver com o tamanho do grão? Com o formato? Com o tamanho do recipiente? Com o atrito entre os grãos? E se fosse em um contexto de desmoronamento de morro, será que é possível analisar o coeficiente de desmoronamento para diferentes tipos de solos? Discuta essas questões com seus alunos! - - - - fig. 1 4 3 2 1 fig. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Avalanches O Experimento 9 / 1
Ficha técnica Autor Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de redação Leonardo Barichello Redação Mariana Sacrini Ayres Ferraz Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação