O Problema da cerca. Série Matemática na Escola

Transcrição

1 O Problema da cerca Série Matemática na Escola Objetivos 1. Estudar máximo de funções quadráticas através de uma aplicação; 2. Analisar funções definidas por partes; 3. Discutir um problema de otimização. O problema da cerca 1/9

2 O Problema da cerca Série Matemática na Escola Conteúdos Funções quadráticas, máximos e mínimos. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Estudar máximo de funções quadráticas através de uma aplicação; 2. Analisar funções definidas por partes; 3. Discutir um problema de otimização. Sinopse Seu Joaquim deseja construir uma cerca para seu jardim. Como só pode comprar arame suficiente para 120 metros de cerca, pede ajuda a Janete sobre qual a melhor forma de dispor o arame de modo a cercar a maior parte possível do terreno, usando apenas ângulos retos. Material relacionado Vídeos: Roda de Samba, A Lenda de Dido. Experimentos: Otimização da Cerca, Polígonos e Circunferência. Software: Otimização de Janelas. O problema da cerca 2/9

3 Introdução Sobre a série A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares. Sobre o programa Este é um vídeo sobre máximos de funções quadráticas, baseado no texto de Flaviano Vieira, Laís Rodrigues e Edson Agustini, citado na referência. Trata do caso de Seu Joaquim, que quer cercar seu quintal e dispõe de recursos para 120m cerca. Janete é quem o ajuda a decidir qual o melhor formato do cercado de modo que o jardim tenha a maior área possível, tendo somente ângulos retos. O problema da cerca 3/9

4 Trata-se de um problema de encontrar a maior área entre regiões com o mesmo perímetro. Seu Joaquim explica que a casa está à beira do rio, que será uma das extremidades do jardim, como indicado na figura acima. A casa tem medidas 10 por 20 metros e dista 30 metros do rio. Para que todo arame seja usado, ela sugere que a frente e o fundo da casa sejam usados como fronteiras da cerca. Como os dois lados do jardim são simétricos, Janete sugere dividir os 120 metros em duas partes, uma para o lado direito e outra para o lado esquerdo da casa, que deverão ser iguais. Portanto, vamos considerar apenas um deles, com 60 metros de cerca. A primeira opção é fazer o cercado como mostrado abaixo. Chamando um segmento de x e o outro de y, precisamos encontrar suas medidas de forma que a área delimitada por eles seja máxima. Sabemos que são 60 metros de arame em cada lado, portanto x+y=60, e mais do que isso, os segmentos x e y determinam um retângulo, de área A = xy. Portanto, podemos escrever a função A(x) = x(60-x), lembrando que x deve variar entre 30 e 40 metros para que a cerca fique apoiada na lateral da casa. Assim, temos o gráfico abaixo para a função obtida. O problema da cerca 4/9

5 Seu Joaquim pede para Janete considerar outra situação, com a cerca começando da parte de trás de casa. Contudo, Janete mostra a seu Joaquim que essa configuração não aproveita bem a quantidade de cerca disponível, pois pode ser transformada em uma nova configuração com o mesmo perímetro, mas com área maior. O problema da cerca 5/9

6 Para entender melhor o que Janete sugerimos, note que a sugestão de seu Joaquim gerava um polígono convexo delimitando a área 3, porém, podemos sempre transformar um polígono convexo em um côncavo preservando o perímetro e delimitando uma área maior. É isso que ela faz ao deslocar os segmentos e, mais adiante no vídeo, ao discutir o caso da cerca contornando uma árvore presente no terreno. Convencido, seu Joaquim começa então a analisar as melhores medidas para essa segunda configuração, em que a cerca se apóia atrás da casa. O problema da cerca 6/9

7 Temos que a área 3 é dada por x.y e a quantidade de cerca usada é x+y+z=60 metros, onde z=x Portanto, a área 3 é dada pela função a(x)=100x-2x 2, sendo que, desta vez, x deve ser maior 40m. Portanto, para decidir qual a melhor decisão, é necessário comparar a área máxima dada por cada uma das duas opções, mas no vídeo isso é deixado para a sala de aula. Durante da execução Anote na lousa um esquema visual com os dois casos de cerca (com dois e com três segmentos) e as funções obtidas para cada caso. Com isso, você pode iniciar a discussão após o vídeo com a análise dos dois gráficos. Depois da execução Para descobrirmos os valores dos segmentos que maximizam a área em cada caso, os alunos devem notar que os gráficos das funções são parábolas com concavidade para baixo. Neste caso, o máximo das funções ocorrerá no vértice da parábola ou nos extremos do domínio. Este problema, por lidar com funções de domínio limitado, é boa uma oportunidade para discutir esse componente, que normalmente não aparece em problemas de otimização propostos em livros didáticos. É importante lembrar que o máximo (ou mínimo) de uma função ocorre sempre em um ponto crítico (que corresponde ao vértice, no caso de uma parábola) ou nas extremidades do domínio. Reunindo os dois gráficos em um mesmo eixo cartesiano, temos o seguinte gráfico. O problema da cerca 7/9

8 Com isso, fica claro que o primeiro caso (cerca apoiada na lateral da casa, com apenas dois segmentos) dá a maior área e para obter exatamente quais as medidas que resultam nessa área, basta calcular as coordenadas do vértice da parábola e o valor da função nas extremidades do domínio. Para um melhor aprofundamento destas questões, e de outras relacionadas a problemas dessa natureza (isoperimétricos) sugerimos a leitura completa do artigo usado como referência para elaboração deste vídeo. Por fim, o professor pode sugerir aos alunos que obtenham novas soluções para o problema sem considerar que os 120 metros de cerca disponíveis serão divididos em duas partes. Por exemplo, o seu Joaquim poderia usar apenas 30 metros de um lado da casa, para fechar a região entre ela e o rio e os outros 90 metros para fazer um cercado maior do outro lado. Será que há alguma configuração dessas que resulta em uma área cercada ainda maior? O problema da cerca 8/9

9 Sugestões de leitura O Teorema Isoperimétrico e o Problema da Cerca, Flaviano Bahia P. Vieira, Laís Bássame Rodrigues e Edson Agustini; FAMAT em Revista n o 4 (2005). Disponível em nolaisedson.pdf Ficha técnica Conteudista Leonardo Barichello e Rafael Santos de Oliveira Alves Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López O problema da cerca 9/9