Volume, cones e cilindros. Série Problemas e soluções. Objetivo 1. Apresentar uma aplicação do cálculo do volume de sólidos no cotidiano.

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1 Volume, cones e cilindros Série Problemas e soluções Objetivo 1. Apresentar uma aplicação do cálculo do volume de sólidos no cotidiano.

2 Volume, cones e cilindros Série Problemas e Soluções Conteúdos Volumes de cones e cilindros e a relação entre volumes e alturas de cones semelhantes. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivo 1. Apresentar um problema prático envolvendo volumes de sólidos. Sinopse Antônio e Mariana são colegas de escola e na hora do lanche seu João, dono da cantina, lhes faz um desafio: em que tipo de copo é necessário menos liquido para atingir metade da sua altura, o cônico ou o cilíndrico? Caso acertem o desafio receberão um copo de suco grátis. Para tanto terão de lembrar as aulas sobre a razão entre altura e volume de cones semelhantes. Material relacionado Vídeos: Fórmula mágica, mistério, Halloween; Experimentos: Qual o cone de maior volume, Quanto você tem de pele, Princípio de Cavalieri;

3 Introdução Sobre a série A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns comentários ou informações adicionais. Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar o conteúdo. Sobre o programa O programa apresenta dois estudantes, Antônio e Mariana que na hora do lanche são desafiados pelo senhor João, dono da cantina, a resolver o seguinte problema: é necessário menos suco para atingir metade da altura do copo cilindrico ou do cônico (ambos de mesmo volume e área da base)? A resposta certa vale um copo de suco. Para resolver o problema Mariana recorda da aula sobre a razão entre altura e volume de cones semelhantes. De fato, o volume necessário para atingir metade da altura do cilindro é o volume de um cilindro com mesma base, mas metade da altura do cilindro original e, portanto metade do volume uma vez que o volume V ci de um cilindro de área da base A e altura h é dado por V ci =A h Volume, cones e cilindros 3/7

4 Logo para atingir metade da altura do copo cilindrico precisamos da metade de seu volume, e como ambos os copos tem 400 ml, o volume necessário para atingir metade da altura do copo cilíndrico é 200ml. No caso do copo cônico, para ocupar metade do volume deste copo o liquido preencherá uma região que corresponde a um cone semelhante ao original, mas com metade de sua altura. Veja o desenho abaixo. h h 1 Figura 1 Ora, sabemos que a razão entre o volume do cone menor V 1 e o volume do maior V é dado por V 1 / V= (h 1 /h) 3 onde h 1 e h são as alturas do cone menor e maior respectivamente. Segue que se o cone maior tem 400ml e altura h e o menor tem altura h/2 então o volume V 1 do cone menor é 50 ml. Portanto o copo no qual com a menor quantidade de liquido se atinge metade da altura é o cônico, como bem respondeu Mariana e merecidamente ganhou seu copo de suco grátis. Sugestões de atividades Antes da execução Caso ainda não tenha tratado de cones semelhantes, e da razão entre seus volumes convêm que o professor o faça antes da execução. Volume, cones e cilindros 4/7

5 Definição: Dois cones C1 e C2 são semelhantes se C1 pode ser identificado (via movimento rígido) com o conjunto dos pontos de C2 cuja altura em relação à base de C2 é maior ou igual a um valor h 0 >0. Veja a Figura 1para visualizar o conceito de cones semelhantes. A fórmula do volume de um cone pode ser obtido por comparação com uma pirâmide apropriada via prinípio de Cavalieri como no livro Fundamentos de Matemática Elementar vol. 10 de O. Dolce e J. Pompeo. A fórmula do volume do cone é V= 1/3 (A h) onde A é a área da base e h é a altura do cone. Observe que se dois cones C1 e C2 são semelhantes, podemos dispolos um sobre o outro como na figura 2, e então temos que a interceção de C1 (cone maior) com o plano P passando pelo vértice de C1 e o centro de sua base é um triangulo o qual é semelhante ao triângulo formado pela interseção de C2 com P. P C2 h 2 C1 T1 T2 h 1 d 2 d 1 Ora, os triângulos T1 e T2 são semelhantes, logo, h 1 /d 1 = h 2 /d 2 d 1 =h 1 d 2 /h 2. Volume, cones e cilindros 5/7

6 Mas a área A 1 da base de C1 é dada por A 1 =π(d 1 /2) 2, e analogamente A 2 = π(d 2 /2) 2, donde substituindo a expreção obtida acima, obtemos a razão entre as áreas de cones semelhantes em termos da razão entre suas alturas que é A 1 /A 2 = (h 1 /h 2 ) 2. Substituindo esta expessão na expressão para o volume do cone obtemos V 1 /V 2 =(h 1 /h 2 ) 3. Durante a execução Incentivar os alunos a anotarem as informações à medida que são faladas no primeiro bloco. Durante o intervalo, desafiar os alunos para resolverem o problema. Assim que resolverem o problema ou se um tempo estabelecido se esgotar, pode-se apresentar o segundo bloco do programa, que contém a solução e algumas informações e curiosidades. Depois da execução Apresentamos abaixo uma aplicação da fórmula da razão entre áreas de cones semelhantes apresentada na seção Antes da Execução. Casquinha de sorvete Uma fábrica de casquinhas de sorvete passará a fabricar um novo tamanho de casquinhas, o qual deverá ser semelhante à tradicional mas com altura 4/3 maior. Sabendo que cada casquinha do tamanhanho tradicional é vendida por 9 centavos, quanto deverá custar a unidade da nova casquinha para que seja mantida a atual taxa de lucro? Volume, cones e cilindros 6/7

7 Solução: A quatidade de material usado do em cada casquinha é proporcional à área do cone por ela formado. Logo a razão entre o preço p T da casquinha tradicional e o preço p N da nova casquinha deve ser igual a razão entre suas áreas (A T e A N respectivamente). Ou seja, Ora, A T /A N = (h T /h N ) 2 =(3/4) 2 =9/16, p T /p N =A T /A N. e além disso p T = 9, logo, p N = 16 centavos. Ficha técnica Autor Alison Marcelo Van Der Lan Melo Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López Volume, cones e cilindros 7/7