FAMAT em Revista

FAMAT em Revista www.famat.ufu.br Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG f Número 2 - Abril de 2009 e-mail: revista@famat.ufu.br Comitê Editorial: Alessandro Alves Santana - FAMAT/UFU Luis Antonio Benedetti - FAMAT/UFU Marcos Antônio da Câmara - FAMAT/UFU Gabriela Aparecida dos Reis - PETMAT - FAMAT/UFU Claiton José Santos - PETMAT - FAMAT/UFU Douglas Silva Oliveira - DAMAT - FAMAT/UFU

FAMAT em Revista ISSN 806-958 www.famat.ufu.br e-mail revista@famat.ufu.br Revista Científica Eletrônica Semestral da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Comitê Editorial: Alessandro Alves Santana - Famat/Ufu Luis Antonio Benedetti - Famat/Ufu Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu Gabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu Claiton José Santos - Petmat - Famat/Ufu Douglas Silva Oliveira - Damat - Famat/Ufu Número 2 Abril de 2009

Editorial A Revista FAMAT em Revista chega a sua décima segunda edição cumprindo a proposta de ser uma forma ágil de promover a circulação de idéias, de estimular o estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática. O Comitê editorial desta décima edição é composto por: Alessandro Alves Santana Editor Responsável Marcos Antonio da Câmara Tutor do PET/Matemática Luis Antonio Benedetti Coordenador do Curso de Matemática Gabriela Aparecida dos Reis - Aluna do Pet/Matemática Claiton José Santos Aluno do Pet/Matemática Douglas Silva Oliveira - Representante do DAMAT O décimo segundo número da revista contempla as atividades desenvolvidas no segundo semestre de 2008 e parte do primeiro semestre de 2009. O sucesso e a aceitação da revista no meio acadêmico ficam evidenciados pelo consistente número de artigos submetidos para a publicação, tanto na seção de trabalhos completos de iniciação científica como na seção de trabalhos desenvolvidos em sala de aula. Convidamos o leitor a navegar pelas páginas desta décima segunda edição onde encontrará 7 trabalhos na seção Trabalhos Completos de Iniciação Científica e trabalho na seção Em Sala de Aula. As resoluções dos problemas apresentados na décima primeira edição e 4 novos problemas proposto para a décima segunda edição encontram-se em Problemas e Soluções. Na seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, a Profa. Geovana Ferreira Melo Teixeira, professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Uberlândia, um artigo intitulado O curso de Matemática da UFU: novo projeto, novos desafios. Em E o Meu Futuro Profissional temos um resumo abordando sobre as perspectivas profissionais para pessoas formadas em Matemática. Nas seções, Merece Registro, Iniciação Científica em Números e Eventos são apresentados alguns fatos de destaque na Faculdade de Matemática, as orientações e os projetos de Iniciação Científica desenvolvidos ou em desenvolvimento, no período. Esperamos que os leitores apreciem esta décima segunda edição da FAMAT em Revista e contamos com contribuições e sugestões para edições futuras. Comitê Editorial

Índice de Seções Seção : Trabalhos Completos de Iniciação Científica 7 Seção 2: Problemas e Soluções 27 Seção 3: Eventos 3 Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática 37 Seção 5: Em Sala de Aula 47 Seção 6: Iniciação Científica em Números 59 Seção 7: E o meu Futuro Profissional? 67 Seção 8: Merece Registro 73

FAMAT em Revista Número 2 - Abril de 2009 www.famat.ufu.br Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Trabalhos Completos de Iniciação Científica PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira

Comitê Editorial da Seção Trabalhos Completos de Iniciação Científica do Número 2 da FAMAT EM REVISTA: Alessandro Alves Santana (coordenador da seção) Valdair Bonfim Marcos Antônio da Câmera

Instruções para submissão de Trabalhos A Seção de Trabalhos de Iniciação Científica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq / PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT. Trabalhos completos em nível de iniciação científica dos programas acima listados submetidos para publicação na Revista Eletrônica Famat em Revista estarão sujeitos a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso, por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário, sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê Editorial. Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico característico de algumas publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a revista é constituído por alunos de graduação. Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição da revista lançada no início do semestre letivo subseqüente. Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos: ) Formato do arquivo: PDF 2) Tamalho da Folha: A4 3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 6 cm x 24,7 cm) 4) Tamanho de fonte (letra): 2 pontos (exceto títulos, subtítulos, notas de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso) 5) Espaçamento entre linhas: Simples 6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver) devem constar no trabalho. Envio: Por e-mail: revista@famat.ufu.br

Índice de Trabalhos Teoria dos Jogos: uma Questão da OBMEP 3 Claiton José Santos, Gustavo Franco Marra Domingues e Marcos Antônio da Câmara Compacidade e Continuidade no R n 25 Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho Compacidade em espaços métricos 35 Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicos Caóticos via Família Quadrática. 5 Lívia Silva Rosa e Weber Flávio Pereira Teoria dos Números e suas aplicações 83 Luis Armando dos Santos Júnior e Antônio Carlos Nogueira Distribuição dos números primos 9 Rafael Afonso Barbosa e Antônio Carlos Nogueira Álgebra Linear: uma introdução às aplicações 0 Ruan Carlos M. Tizzo e Weber Flávio Pereira

Teoria dos Jogos: uma Questão da OBMEP Claiton J. Santos Gustavo F. M. Domingues Marcos A. da Câmara Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia - MG Resumo Fizemos uma questão da Olimpíada Brasileira de Matemática objeto de nosso estudo, generalizando uma relação para aquele problema inicialmente levantado pela OBMEP. Sucintamente, a questão propõe: Dois jogadores iniciam uma partida com 28 palitos cada; em cada jogada disputam par ou ímpar, onde o perdedor nesta disputa cede a metade da soma de palitos que tem em mãos ao seu oponente. Repetindo tal procedimento, seguem disputando até que um tenha uma soma ímpar de palitos em mãos, vencendo aquele que somar maior número de palitos ao seu final. Nomeamos tal questão como sendo o Jogo dos Palitos, além disso, analisamos e relacionamos as variáveis presentes no jogo buscando uma relação que nos fornecesse informações sobre a definição do seu resultado, ou ainda, a possibilidade de jogos inicializados com quantidades diferentes de palitos, além de uma relação geral para tais. 2 Definições Definição (Jogada) Uma jogada é o momento em que os dois jogadores disputam o par-ímpar, o que implicará em alteração da soma de palitos de cada jogador. Definição 2 (Partida) Uma partida é todo o conjunto de jogadas que compõem o jogo, sendo que a última jogada implica no fim da disputa para os jogadores, isto é, algum deles detém uma soma ímpar de palitos. Definição 3 (Soma do jogador m) Denotamos por S Jm a soma de palitos do jogador J m, m {, 2} (somente dois jogadores participam do jogo). Bolsista do PET-MAT - claiton.pet@gmail.com Bolsista do PET-MAT - gmarra86@hotmail.com Orientador - Tutor do PET-MAT - camara@ufu.br Prova da 2 a fase da OBMEP, Nível 2, Questão 6, realizada em 20 de Outubro de 2007

Definição 4 (Variáveis de vitória e derrota) Na disputa de par-ímpar para o jogador m, a variável y km = se o resultado for derrota e y km = 2 se o resultado for vitória, sendo k o índice relativo à k-ésima jogada, isto é, k = {,..., n} para n N {0}. Definição 5 (Vetor solução do jogador m) Para um jogo com 2 n palitos, para n N {0}, uma entrada do tipo (y m, y 2m, y 3m, y 4m,..., y km ), com k n e m {, 2}, é dito vetor solução do jogador J m para a k-ésima jogada da disputa. 3 Análise das jogadas Sem perda de generalidade, ao invés de um jogo com 2 7 palitos, consideraremos um jogo com 2 4 palitos em virtudade de maior facilidade de sua análise, posteriormente, denotaremos uma relação para jogos com 2 7 palitos, e por fim para jogos com 2 n. 3. Jogada Ao início do jogo cada jogador tem em mãos 2 4 palitos e, conforme as regras, na primeira jogada um deles ganhará a metade daquilo que seu oponente tiver em mãos, fato que representaremos por: S Jm (y m ) = 2 4 + 24 2 ( )y m = 2 4 + 2 3 ( ) y m () Para ficar claro, imagine que J ganhe (y = 2) esta jogada. Através da relação acima, ele terá em mãos: S J (2) = 2 4 + 2 3 ( ) 2 = 6 + 8 = 24 palitos. Consequentemente, J 2 perde (y 2 = ) e sua soma de palitos será dada por: S J2 () = 2 4 + 2 3 ( ) = 6 8 = 8 palitos. Obviamente a soma que cada um deles tiver em mãos será complementar à do outro no que diz respeito ao total de palitos em jogo, isto é, S J + S J2 = 32 em qualquer momento da disputa. 3.2 Jogada 2 Observemos qual é o comportamento da relação anterior com relação ao novo ganho ou perda de cada jogador nesta jogada. Vale destacar que, conforme estruturamos os y km na Definição 4, teremos na jogada k ( ) y k = +( ) y k2 (2) pois além de muito bem caracterizado, cada y km é unicamente determinado para cada jogador em qualquer jogada k. Imediatamente surge, através da relação (), que: 2 4 2 3 ( ) y = 2 4 +2 3 ( ) y 2 (3)

Imaginemos agora que J ganhe (y 2 = 2) esta jogada. Então sua soma será: [ ] S J (y, y 2 ) = 2 4 + 2 3 ( ) y SJ2 (y 2 ) + 2 [ = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 4 + 2 3 ( ) y ] 2 + 2 a qual, pela relação (2), pode ser reescrita como S J (y, y 2 ) = 2 4 + 2 3 ( ) y + [ 2 4 2 3 ( ) y 2 ] (4) = 2 4 + 2 3 ( ) y +2 3 2 2 ( ) y = 2 4 + 2 3 ( ) y +2 3 ( ) y 2 2 2 ( ) y (5) pois, y 2 = 2 +2 3 = 2 3 ( ) y 2. Se, ao invés de ganhar, J perder (y 2 = ), ele cederá metade do que tem em mãos ao seu oponente, o que é dado por: [ ] SJ (y ) S J (y, y 2 ) = S J (y ) 2 [ = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 4 + 2 3 ( ) y ] 2 = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 3 2 2 ( ) y = 2 4 + 2 3 ( ) y +2 3 ( ) y 2 2 2 ( ) y (6) pois, y 2 = 2 3 = 2 3 ( ) y 2. Portanto, as relações (5) e (6) são equivalentes. Analogamente, imaginando que J 2 ganhe (y 22 = 2), sua soma será: [ S J2 (y 2, y 22 ) = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 4 + 2 3 ( ) y ] 2 + 2 a qual, pela relação (2) pode ser reescrita como S J2 (y 2, y 22 ) = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 + [ 2 4 2 3 ( ) y 2 2 = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 +2 3 2 2 ( ) y 2 = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 +2 3 ( ) y 2 2 2 2 ( ) y 2 (8) pois, y 22 = 2 +2 3 = 2 3 ( ) y 2 2. Se, ao invés de ganhar, J 2 perder, ele cederá metade do que tem em mãos ao seu oponente, o que é dado por: [ S J2 (y 2, y 22 ) = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 4 + 2 3 ( ) y ] 2 2 2 = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 2 3 2 2 ( ) y 2 = 2 4 + 2 3 ( ) y 2 +2 3 ( ) y 2 2 2 2 ( ) y 2 (9) ] (7)

pois, y 22 = 2 3 = 2 3 ( ) y 2 2. Portanto, as relações (8) e (9) são equivalentes. Consequentemente, considerando os resultados de (5), (6), (8) e (9) concluímos que na jogada 2 S Jm (y m, y 2m ) = 2 4 + 2 3 ( ) y m + 2 3 ( ) y 2m 2 2 ( ) y m = (0) = 2 4 + 2 3 [( ) y m + ( ) y 2m] 2 2 ( ) y m ou, distribuindo os coeficientes e efetuando as operações possíveis, 3.3 Jogada 3 S Jm (y m, y 2m ) = 2 4 + 2 3 ( ) y m + 2 3 ( ) y 2m 2 2 ( ) y m = = 2 4 + 2 3 ( ) y 2m + 2 2 ( ) y m () O raciocínio é análago ao utilizado para encontrar a relação (0) e nos permite concluir que S Jm (y m, y 2m, y 3m ) = 2 4 + 2 3 [( ) y m + ( ) y 2m+ + ( ) y 3m ] 2 2 [2( ) y m + ( ) y 2m] + 2 ( ) y m (2) ou, distribuindo os coeficientes e desenvolvendo as adições e subtrações, 3.4 Jogada 4 S Jm (y m, y 2m, y 3m ) = 2 4 + 2 3 [( ) y m + ( ) y 2m+ + ( ) y 3m ] 2 2 [2( ) y m + ( ) y 2m] + 2 ( ) y m = 2 4 + 2 3 ( ) y 3m + 2 2 ( ) y 2m + 2 ( ) y m (3) Seguindo o mesmo procedimento utilizado na subseção 3.2 teremos: S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 4 + 2 3 [( ) y m + ( ) y 2m + ( ) y 3m + ( ) y 4m] 2 2 [3( ) y m + + 2( ) y 2m + ( ) y 3m] + 2 [3( ) y m + ( ) y 2m] 2 0 ( ) y m (4) ou, simplificadamente, S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 4 + 2 3 ( ) y 4m + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m (5) 3.4. Exemplo Os jogadores J e J 2 se reuniram para algumas partidas do Jogo dos Palitos. Inicialmente, cada um tem em mãos 2 4 = 6 palitos. Eles tiram o par-ímpar (jogada ) em que J 2 ganha e recebe a metade do que J tem em mãos, isto é, 6 = 8 palitos. Assim 2 J 2 tem 6 + 8 = 24 palitos e J tem 8 palitos. Como não têm soma ímpar, seguem para uma nova disputa (jogada 2) tirando o par-ímpar, em que J vence e recebe a metade do que J 2 tem, isto é, 24 = 2. Neste ponto J 2 soma 8 + 2 = 20 palitos e J 2 fica com

2 palitos. Ainda não há soma ímpar, outra disputa ocorre (jogada 3) e no par-ímpar J 2 ganha, o que o faz receber a metade do que J tem 20 = 0. Agora J 2 2 soma 2 + 0 = 22 palitos e J fica com 0 palitos. Não há soma ímpar, eles seguem disputando (jogada 4) e J perde novamente na disputa de par-ímpar o que faz J 2 recebe a metade do que seu oponente tem 0 = 5. Assim, J 2 2 soma 22 + 5 = 27 palitos e J 5. Conforme as regras do jogo, por aparecer uma soma ímpar de palitos, ocorre o fim do jogo, em que J 2 vence a partida. A Tabela expressa os resultados obtidos no decorrer da partida (em que as cores expressam vitória e derrota na disputa do par-ímpar): J J 2 jogada 0 6 6 6 jogada 2 = 8 6 + 8 = 24 24 jogada 2 8 + 2 = 20 2 20 jogada 3 2 = 0 0 + 2 = 22 0 jogada 4 2 = 5 22 + 5 = 27 Tabela Seguindo a relação que propomos, a Tabela 2 destaca as variáveis de vitória e derrota do jogo: J m J J 2 y m 2 y 2m 2 y 3m 2 y 4m 2 (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) (,2,,) (2,, 2, 2) S Jm S J (, 2,, ) = 5 S J2 (2,, 2, 2) = 27 Tabela 2 Substituindo os valores acima na relação (5), teremos: S J (, 2,, ) = 2 4 + 2 3 ( ) + 2 2 ( ) + 2 ( ) 2 + 2 0 ( ) = = 6 8 4 + 2 = 5 S J2 (2,, 2, 2) = 2 4 + 2 3 ( ) 2 + 2 2 ( ) 2 + + 2 ( ) + 2 0 ( ) 2 = 6 + 8 + 4 2 + = 27

Assim, os valores S J (, 2,, ) = 5 e S J2 (2,, 2, 2) = 27 nos permitem obter o resultado da partida considerando apenas os resultados específicos de cada jogada. Vale o destaque, o jogo é decidido exclusivamente na última jogada, pois nela o jogador vencedor somará a metade do que seu oponente tiver com o que tiver em mãos, mas o jogador perdedor apenas cederá metade do que tem, o que o fará ter uma soma menor, sempre. 4 Discussão dos Resultados 4. Jogos com 2 7 palitos Obtivemos na seção 3.4 a relação (5) para um jogo com 2 4 palitos. Evidentemente, em um jogo inicializado com esta quantidade de palitos, vimos que seu fim se dará na quarta jogada, pois nela ambos os jogadores terão uma soma ímpar de palitos em mãos, fato confirmado pela presença do número ímpar 2 0 ( ) y m nesta relação. Considerando este resultado, se fizermos 2 S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4 ) = 2 [2 4 + 2 3 ( ) y 4m + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m ] = = [2 5 + 2 4 ( ) y 4m + 2 3 ( ) y 3m + 2 2 ( ) y 2m + 2 ( ) y m ] (6) Não é difícil observar que esta relação seria equivalente àquela que obteríamos se utilizássemos os procedimentos presentes na seção 3 para um jogo inicializado com 2 5 palitos. Assim, pelos termos presentes em (6) observamos que em tal jogo seu fim ainda não teria ocorrido, pois não há número ímpar presente; em tal jogo estaríamos na jogada 4 pois temos quatro variáveis de vitória e derrota presentes. Basta então imaginar uma quinta jogada acontecendo e, seguindo o processo utilizado na subseção 3.2, teremos: 2 S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m, y 5m ) = = 2 5 + 2 4 ( ) y 5m + 2 3 ( ) y 4m + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m (7) que é a relação para um jogo com 2 5 palitos. Repetindo este procedimento, teremos para um jogo com 2 7 palitos a relação: S Jm (y m,..., y 7m ) = 2 7 + 2 6 ( ) y 7m + + 2 5 ( ) y 6m + 2 4 ( ) y 5m + 2 3 ( ) y 4m + + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m (8) Para esclarecer o procedimento utilizado acima, ao obtermos uma relação para um jogo com 2 5 palitos partindo da relação de um jogo com 2 4 palitos, utilizemos o Exemplo da subseção 3.4.. Como multiplicamos toda a relação por 2, fazemos o mesmo para os resultados obtidos até a jogada 4. Veja a Tabela 3:

J J 2 jogada 0 2 6 = 32 = 2 5 2 6 = 32 = 2 5 jogada 2 8 = 6 2 24 = 48 jogada 2 2 20 = 40 2 2 = 24 jogada 3 2 0 = 20 2 22 = 44 jogada 4 2 5 = 0 2 27 = 54 Tabela 3 Portanto, na jogada 4 J soma 0 palitos e J 2 54 palitos, o que, conforme regras do jogo, não implica em fim da disputa, pois ainda não têm soma ímpar em mãos. Deve assim ocorrer mais uma jogada (jogada 5), no caso, supomos que J ganha (para evidenciar o que destamos ao final do Exemplo na subseção 3.4., a saber, que o jogo é decidido exclusivamente na última jogada) e J 2 perde: J J 2 jogada 0 2 6 = 32 = 2 5 2 6 = 32 = 2 5 jogada 2 8 = 6 2 24 = 48 jogada 2 2 20 = 40 2 2 = 24 jogada 3 2 0 = 20 2 22 = 44 jogada 4 2 5 = 0 2 27 = 54 jogada 5 0 + 27 = 37 54 2 = 27 Tabela 4 Temos agora o fim da partida, pois os jogadores têm uma soma ímpar de palitos em mãos. Utilizando a relação (7) para as variáveis de vitória e derrota, temos: S J (, 2,,, 2) = 37 e S J2 (2,, 2, 2, ) = 27. 4.2 Jogos com 2 n palitos Os procedimentos apresentandos na subseção 4. nos levam às relações para jogos com n palitos. Seguem as relações, onde n N {0} e m {, 2}: S Jm (y m ) = 2 + 2 0 ( ) y m (9) S Jm (y m, y 2m ) = 2 2 + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m (20) S Jm (y m, y 2m, y 3m ) = 2 3 + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m (2)

.. S Jm (y m,..., y nm ) = 2 n + 2 n ( ) ynm + 2 n 2 ( ) y (n )m + + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m 4.3 O Triângulo de Pascal e as Relações encontradas É natural procurarmos padrões em tudo aquilo que resolvemos e relacionamos. É algo inerente à forma do pensamento humano. Em busca destes padrões percebemos nas relações encontradas a presença de um link com o popularmente conhecido Triângulo de Pascal. Vejamos a relação (4), que fornece resultados para um jogo com 2 4 palitos: (22) S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 4 + +2 3 [( ) y m +( ) y 2m+( ) y 3m+( ) y 4m] 2 2 [3( ) y m + 2( ) y 2m + ( ) y 3m]+ + 2 [3( ) y m + ( ) y 2m] ( ) y m (23) Observamos os termos do Triângulo de Pascal (Figura ). 2 3 3 Figura É nítida a relação entre os coeficientes da nossa relação e os termos do Triângulo de Pascal. Reescrevendo-o em termos de binômios de Newton, teremos que a relação (4) pode ser expressa da seguinte forma: S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 4 + ) ) [( ( ( ( 3 + 2 3 ( ) y m 2 + ( ) y 2m + ( ) y 3m 0 + 0 0 0 0 ) ) ) ] [( 3 2 2 ( ( ) y m 2 + ( ( ) y 2m + ) ) ] ) ( ) y 3m + ) ( ) y 4m [( ( 3 + 2 ( ) y m 2 + ( ) y 2m 2 2 ( ) 3 ( ) y m (24) 3 ]

Para um jogo com 2 5 palitos, utilizando o procedimento apresentado na subseção 4., teremos na relação (23): 2 S J (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 5 + 2 4 [( ) y m + + ( ) y 2m + ( ) y 3m + ( ) y 4m] 2 3 [3( ) y m + 2( ) y 2m + ( ) y 3m] + + 2 2 [3( ) y m + ( ) y 2m] 2 ( ) y m (25) Há mais uma jogada no jogo, então, sem perda de generalidade, basta supôr que o jogador J m perdeu a disputa e seguirmos para a relação desta quinta jogada, pois como vimos, as relações de vitória e derrota dos jogadores serão equivalentes: 2 S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = 2 5 + 2 4 [( ) y m + + ( ) y 2m + ( ) y 3m + ( ) y 4m + ( ) y 5m] 2 3 [4( ) y m + 3( ) y 2m + 2( ) y 3m + ( ) y 4m] + + 2 2 [6( ) y m + 3( ) y 2m + ( ) y 3m] 2 [4( ) y m + ( ) y 2m] + ( ) y m (26) Observando os coeficientes, temos o Triângulo de Pascal acrescido de uma linha (Figura 2). 2 3 3 4 6 4 Figura 2 Utilizando a presença do Triângulo de Pascal e os números binomiais, também poderemos ter as relações apresentadas na subseção 4.2 escritas conforme segue: n S Jm (y m,..., y nm ) = 2 n + ( ) ( [ ( ) ] k 2 n k ) n i ( ) y (n i)m k k=0 com n N {0} e m {, 2}. Para um dado n, ao desenvolvermos esta expressão teremos uma relação com a mesma estrutura daquelas aprensetadas na subseção 4.2, porém os coeficientes estarão representados na forma binomial, como na relação (24). 4.4 O fim de um jogo com 2 n palitos As relações do tipo (22) evidenciam que jogos com 2 n palitos terminarão sempre na n- ésima jogada pois, após n repetições sucessivas do processo apresentado nas subseções 3., 3.2, 3.3 e 3.4, teremos um termo ímpar ao final do somatório. i=k (27)

4.5 Jogos com t 2 n palitos, t N {0} Em nossas análises consideramos também jogos inicializados com t 2 n palitos, t N {0}. O procedimento utilizado para estudar as relações destes jogos foi aquele apresentado nas subseções 3., 3.2, 3.3 e 3.4. Os teoremas seguintes fundamentaram nossos resultados: Teorema (T. Fundamental da Aritmética) Todo número natural maior do que ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem de seus fatores) como um produto de números primos. Teorema 2 Dado um número natural t >, existem primos p < < p r e α,..., α r N {0}, univocamente determinados, tais que t = p α p α 2 2 p αr r Os teoremas mencionados permitem que, escolhendo um t N, t 2, teremos em sua decomposição primos tais que t = 2 α p α 2 2 p α i i p αr r, em que os p i, i {2, 3,..., r}, serão maiores que 2. Para um jogo iniciado com t 2 n palitos teremos então, considerado os fatores primos, t 2 n = 2 α p α 2 2 p αr r 2 n = 2 α +n p α 2 2 p αr r. Consequentemente, a relação geral para este jogo é dada por: S Jm (y m,..., y (α +n) m ) = (p α 2 2 p αr r ) [2 α +n + 2 α +n ( ) y (α +n)m + + 2 ( ) y 2m + + ( ) y m ] (28) Fazendo q = α + n teremos: S Jm (y m,..., y qm ) = (p α 2 2 p αr r ) [2 q + 2 q ( ) yqm + + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m ] (29) com q N {0} e m {, 2}. Para esclarecer, considere um jogo com 2 2 palitos, em que S Jm (y m, y 2m ) = 2 2 + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m e um t = 252 = 2 2 3 2 5 0 7. Ao multiplicar a relação do jogo por t temos: t S Jm (y m, y 2m ) = t 2 2 + t 2 ( ) y 2m + t 2 0 ( ) y m = 252 S Jm (y m, y 2m ) = 252 2 2 + 252 2 ( ) y 2m + 252 2 0 ( ) y m = ( 2 2 3 2 7 ) S Jm (y m, y 2m ) = ( 2 2 3 2 7 ) 2 2 + ( 2 2 3 2 7 ) ( 2 ( ) y 2m + 22 3 2 7 ) 2 0 ( ) y m = ( 3 2 7 ) 2 2 2 2 + ( 3 2 7 ) ( 2 2 2 ( ) y 2m + 32 7 ) 2 2 2 0 ( ) y m = ( 3 2 7 ) 2 4 + ( 3 2 7 ) ( 2 3 ( ) y 2m + 32 7 ) 2 2 ( ) y m = ( 3 2 7 ) [2 4 + 2 3 ( ) y 2m + 2 2 ( ) y m ]

Esta relação lembra aquela para um jogo com 2 4 palitos, como vimos na seção 3, desenvolvida para as duas primeiras jogadas apenas, isto é, ainda ocorrerão 2 jogadas até que chegue o fim da partida. Porém, este jogo foi iniciado com cada jogador tendo (3 2 5 0 7 ) 2 2+2 = (3 2 7 ) 2 4 = 008 palitos. Desenvolvendo a relação acima com os mesmos procedimentos da seção 3 expressamos a soma de cada jogador por: S Jm (y m, y 2m, y 3m, y 4m ) = (3 2 7 ) [2 4 + 2 3 ( ) y 4m + 2 2 ( ) y 3m + 2 ( ) y 2m + 2 0 ( ) y m ] Esta é a relação para um jogo com 008 palitos, em que o seu final sempre se dará na quarta jogada. Concluímos que jogos iniciados com t 2 n palitos, t ímpar, terminarão com n jogadas. Para exemplificar, considere um jogo com 2 4 palitos. Seja t = 9 e considere os resultados do jogo apresentado na subseção 3.4., Exemplo. Na Tabela 5 temos os resultados deste jogo multiplicados por 9. Vejamos que isto não altera o número de jogadas que antecedem o fim do jogo. J J 2 jogada 0 9 2 4 = 44 9 2 4 = 44 jogada 9 8 = 72 9 24 = 26 jogada 2 9 20 = 80 9 2 = 08 jogada 3 9 0 = 90 9 22 = 98 jogada 4 9 5 = 45 9 27 = 243 Tabela 5 Assim, este jogo sempre termina na jogada 4. 5 Referências [] FRIEDMAN, James W., Game theory with aplications to economics, Oxford University Press, Inc., New York, 99. [2] HEFEZ, Abramo, Elementos de Aritmética - 2 a Edição - Sociedade Brasileira de Matemática, Brasil, 2005. [3] http://www.obmep.org.br, acesso em Abril/2008.

Continuidade e Compacidade no R n Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho Abril de 2009 Introdução A topologia emergiu no século vinte como um tema que unifica grande parte da matemática, de certa forma como a filosofia procura coordenar todo o conhecimento. É um ramo da matemática no qual são estudadas, com grande generalidade, as noções de limite, de continuidade, de proximidade e as idéias relacionadas. Para que se tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir certo tipo de estrutura que permita de alguma forma expressar a noção de proximidade. É esse tipo de estrutura que torna um conjunto um espaço topológico. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em proximidade, e portanto faz sentido falar em limites de sequências e limites e continuidade de funções. Com a noção de distância induzida pelo valor absoluto, o corpo ordenado completo dos números reais é o espaço topológico mais frequentemente usado e por isso é utilizado como modelo para ambientes mais gerais. No contexto da reta introduz-se os conceitos topológicos básicos: ponto interior, conjunto aberto, ponto de aderência, ponto de acumulação, conjunto fechado, sequência convergente, função contínua, conjunto compacto, etc. O próximo passo é considerar os espaços euclidianos R n com n N. O objetivo deste trabalho é explorar a topologia dos espaços R n e mostrar, em particular, que nesse contexto os conceitos de função contínua e de conjunto compacto gozam das mesmas equivalências que são tão úteis no caso da reta. Essas equivalências, além de conferirem flexibilidade aos respectivos conceitos e de servirem para provar diversos resultados importantes, abrem a porta para a generalização desses conceitos no âmbito de espaços topológicos, onde nem sempre a noção de distância se encontra disponível. Alunas do PET-FAMAT Orientador

2 Topologia no R n Definição 2. Seja n N. O espaço euclidiano n-dimensional R n é o produto cartesiano de n fatores iguais a R: R n = R (n) R. Então todo elemento x R n é da forma x = (x,..., x n ), onde para cada i =,..., n o número x i R é chamado de i-ésima coordenada de x. Se x = (x,..., x n ) e y = (y,..., y n ) temos x = y se e somente se x = y,..., x n = y n. Exemplo 2.2 R = R é o corpo ordenado completo dos números reais. Exemplo 2.3 R 2 é o plano. Exemplo 2.4 R 3 é o espaço euclidiano tridimensional. Chamaremos x R n de ponto ou vetor x. Para os vetores x = (x,..., x n ) e y = (y,..., y n ) e α R, o conjunto R n se torna um espaço vetorial real com as operações x + y = (x + y,..., x n + y n ) e α x = (αx,..., αx n ). Se x = (x,..., x n ) então, o número não-negativo x = x 2 +... + x 2 n chama-se a norma euclidiana (ou comprimento) do vetor x. 2. Propriedades da norma - x > 0 para todo x R n e x = 0 x = 0 = (0,..., 0); 2- αx = α x para todos x R n e α R; 3- x + y x + y para todos x, y R n (desigualdade triangular). 2.2 Bolas Definição 2.5 (i) A bola aberta de centro a R n e raio r > 0 é o conjunto B(a; r) = {x R n : x a < r}. (ii) A bola fechada de centro a R n e raio r > 0 é o conjunto B[a; r] = {x R n : x a r}. (iii) A esfera de centro a R n e raio r > 0 é o conjunto S[a; r] = {x R n : x a = r}. Note que B[a; r] = B(a; r) S[a; r].

2.3 Conjuntos limitados Definição 2.6 (i) Dizemos que um conjunto X R n é limitado quando existe k > 0 tal que X está contido na bola B[0; k], ou seja x k para todo x X. (ii) Uma aplicação f : X R n diz-se limitada no conjunto X R n quando f(x) R n é um conjunto limitado, isto é, quando existe c > 0 tal que f(x) c para todo x X. 2.4 Conjuntos abertos Definição 2.7 (i) Seja a X R n. Dizemos que o ponto a é interior ao conjunto X quando para algum r > 0 tem-se B(a; r) X. Isso siginifica que todos os pontos suficientementes próximos de a também pertencem a X. (ii) O conjunto int X de todos os pontos interiores a X chama-se interior do conjunto X. Quando a intx, dizemos que X é uma vizinhança de a. (iii) Um conjunto A R n chama-se aberto quando todos os seus pontos são pontos interiores, isto é quando A = inta. Exemplo 2.8 Toda bola aberta B = B(a; r) é um conjunto aberto. De fato: para todo x B temos que x a < r. Temos que mostrar que existe um s > 0 tal que B(x; s) B. Escolhendo s = r x a > 0, vejamos que B(x; s) B. De fato, para todo y B(x; s) temos que y x < s = r x a = y x + x a < s = r x a + x a = (y x) + (x a) + y x + x a < r = y a < r. Disso segue que y B(a; r), donde concluímos que B(x; s) B. Teorema 2.9 (a) O R n e o conjunto vazio são abertos. (b) Se A, A 2,..., A n são abertos em R n, então a intersecção A = A A 2 A n é um conjunto aberto. (c) Se (A λ ) λ L é uma família arbitrária de conjuntos abertos A λ R n, então a união A = A λ é um conjunto aberto. λ L

Demonstração. (a) É imediato que o Rn é aberto. Que o vazio é aberto decorre do fato de que um conjunto só pode deixar de ser aberto se existir nele algum ponto que não seja interior. Como não existe ponto algum em, concluímos que ele é aberto. (b) Seja a A A 2. Então a A e a A 2. Como A e A 2 são abertos, existem ε > 0 e ε 2 > 0 tais que B(a; ε ) A e B(a; ε 2 ) A 2. Seja ε = mín{ε, ε 2 }. Segue então que B(a; ε) A e B(a; ε) A 2, logo B(a; ε) A A 2. Assim, todo ponto a A A 2 é interior. Portanto o conjunto A A 2 é um conjunto aberto. Agora seja A = A A k, onde A k R n é aberto para k =,..., n. Do que vimos logo acima segue que A é um conjunto aberto. Basta fazermos (A A 2 ) A 3 e assim sucessivamente, obtemos que interseções finitas de conjuntos abertos são abertos. (c) Seja x A = λ L A λ. Então existe um λ L tal que x A λ. Como A λ é aberto, existe um ε > 0 tal quer B(x; ε) A λ A. Logo todo ponto x A é um ponto interior. Portanto A = A λ é aberto. λ L Observação 2.0 Seja X R n. Dizemos que um subconjunto A X é aberto em X quando cada ponto a A é centro de uma bola aberta B(a; r) tal que B(a; r) X A. Ou seja, os pontos de X que estão sufcientemente próximos de cada a A pertencem a A. É fácil ver que um conjunto A X é aberto em X se e somente se existe um aberto U em R n tal que A = U X. 2.5 Sequências em R n Definição 2. Uma sequência em R n é uma função x: N R n que associa a cada número natural k um ponto x k R n. Usaremos a notação (x k ) para indicar uma sequência cujo k-ésimo termo é x k. Para cada i =,..., n, denotamos por x i k a i -ésima coordenada do termo x k, isto é x k = (x k, x2 k,..., xn k ). Então dar uma sequência em R n equivale a dar as n sequências de números reais (x k ),..., (xn k ). Definição 2.2 (i) A sequência (x k ) é limitada se existe uma bola em R n que contém todos os termos x k, ou seja se existe c > 0 tal que x k c para todo k N. (ii) Uma subsequência de uma sequência x = (x k ), é a restrição da função x a um subconjunto infinito N = {k < k 2 < < k m < } de N.

(ii) Dizemos que a é o limite da sequência (x k ) de R n se para qualquer número real ε > 0, existe um k 0 N tal que para todo k > k 0 temos a condição x k a < ε, ou seja, x k B(a; ε) sempre que k > k 0. Usaremos a seguinte notação: a = lim x k. Pode-se também usar a notação: x k a. (iv) Dizemos que uma sequência é convergente quando ela possui limite. ( ) Exemplo 2.3 Seja (x n ) =, vista como uma sequência R. Temos que lim n n n = ( ) 0, ou seja, (x n ) = converge para 0. De fato, dado ε > 0, podemos obter n 0 N tal n que n 0 > ε. Então n > n 0 = n < < ε, ou seja, n > n 0 = n 0 n 0 < ε. 2.6 Conjuntos fechados Definição 2.4 (i) Dizemos que o ponto a é aderente ao conjunto X R n quando existe uma sequência de pontos x k X tais que lim x k = a. (ii) Chamamos de fecho do conjunto X R n ao conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X. Portanto a X a = lim x k com x k X. (iii) Um conjunto F R n é fechado quando F = F, ou seja, quando o limite de toda sequência convergente de pontos de F é ainda um ponto de F. Todo ponto x X é aderente a X pois é limite da sequência constante (x, x,...). Assim X X qualquer que seja X R n. Definição 2.5 Dizemos que a R n é ponto de acumulação do conjunto X R n quando toda bola de centro a contém uma infinidade de pontos de X. Teorema 2.6 O conjunto F R n é fechado se, e somente se, F c = R n F é aberto. Demonstração. F é fechado Todo ponto aderente a F pertence a F Se a R n F então a não é aderente a F Se a R n F então existe uma bola aberta B centrada em a tal que B F = Se a R n F então existe uma bola aberta B centrada em a tal que B R n F Todo ponto a R n F é interior a R n F R n F = F c é aberto.

3 Continuidade Definição 3. (i) Uma aplicação f : X R n, definida no conjunto X R m, associa a cada ponto x X sua imagem f(x) = (f (x),..., f n (x)). (ii) Uma função f : X R n diz-se contínua no ponto a X quando para cada ε > 0 pode-se obter um δ > 0 tal que f(x) f(a) < ε sempre que x a < δ e x X. Observação 3.2 Equivalentemente, f é contínua no ponto a X se para cada ε > 0 dado, existe um δ > 0 tal que f(b(a; δ) X) B(f(a); ε). Definição 3.3 Dizemos que f é contínua quando é contínua em todos os pontos do seu domínio. Notação. Se A e B são conjuntos arbitrários, f : A B é um função e C B, escrevemos f (C) = {x A : f(x) C} e dizemos que f (C) é a imagem inversa de C pela função f. Teorema 3.4 Seja X R m. Uma aplicação f : X R n é contínua se e somente se a imagem inversa f (A) de todo conjunto aberto A R n for um subcojunto aberto em X. Demonstração. Suponha que f seja contínua e que A R n seja aberto. Devemos mostrar que f (A) = {x X : f(x) A} é aberto em X. Para isso seja x 0 f (A). Então f(x 0 ) A. Como A é aberto, existe ε > 0 tal que B(f(x 0 ), ε) A. Como f é contínua em x 0, existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) < ε sempre que x x 0 < δ e x X. Então f(b(x 0, δ) X) B(f(x 0 ), ε) A e portanto B(x 0, δ) X f (A). Segue que x 0 é ponto interior de f (A). Logo f (A) é aberto em X. Reciprocamente, suponha que f (A) = {x X : f(x) A} é aberto em R m para qualquer A R n aberto. Então para todo aberto A em R n existe U aberto em R m tal f (A) = X U. Mostremos que f é contínua. Sejam a X um ponto qualquer e ε > 0 dado. Como a bola B(f(a), ε) é um aberto, existe um aberto U em R m tal que X U = f (B(f(a), ε)). Por hipótese f (B(f(a), ε)) é aberto em X. Como f(a) B(f(a), ε) então a f (B(f(a), ε)) = X U. Logo a U, e como U é aberto, existe δ > 0 tal que B(a, δ) U. Disso segue que f(b(a, δ) X) f(u X) = f(f (B(f(a), ε))) = B(f(a), ε). Logo f é contínua em a. Como a é arbitrário temos que f é contínua.

Conclusão. Segue do teorema acima que, para definir continuidade, não é imprescindível a noção de distância. Se soubermos quem são os abertos dos espaços envolvidos, a caracterização acima ensina como definir continuidade. E a coleção de abertos de um espaço pode ser dada usando-se o Teorema 2.9. 4 Compacidade Definimos compacidade em R n da mesma maneira que o fazemos na reta: Definição 4. Um subconjunto K do R n é dito compacto se K for fechado e limitado. A compacidade, entre outras utilidades, garante que funções definidas em compactos apresentam um comportamento mais regular e conveniente. Para demonstrar várias dessas boas propriedades garantidas pela compacidade, a definição não é suficiente, tornando necessária uma investigação das consequências da compacidade. Duas dessas consequências têm interesse especial, pois, além de flexibilizar a utilização da compacidade, são também caracterizações desse importante conceito. Descreveremos sob forma de equivalências essas duas caracterizações. A primeira caracterização afirma que K é compacto se e somente se toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sequência em um compacto K admite subsequência convergente em K. A segunda caracterização garante a recíproca desse resultado, isto é: K é compacto se e somente se toda sequência em K admite subsequência convergente em K. Definição 4.2 (i) Seja K um subconjunto do R n. Uma cobertura aberta de Ké uma coleção A de conjuntos abertos cuja união contém K. (ii) Uma subcobertura finita de A, se existir, é uma sub-coleção finita desses conjuntos que continua contendo A. Exemplo 4.3 Na reta R, os intervalos C = ( 0, 3) 2, C2 = (, ) e C 3 3 = (, 9 2 0) constituem uma cobertura C = (C, C 2, C 3 ) do intervalo [, [ 3 4 4]. De fato,, 3 4 4] C C 2 C 3 = (0, ). Tomando C = {C, C 3 }, temos que C é uma subcobertura de C, pois ainda vale [, ] 3 4 4 C C 3 = ( 0, 0) 9. Teorema 4.4 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada em R n admite subsequência convergente.

Demonstração. Seja (x k ) uma sequência limitada em R n. As primeiras coordenadas dos seus termos formam uma sequência limitada (x k ) k N de números reais, a qual, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, possui uma subsequência convergente. Isto é, existem um subconjunto infinito N N e um número real a tais que lim x k k N = a. Por sua vez, a sequência (x 2 k 2 ) k2 N, formada pelas segundas coordenadas dos vetores (x k ) k N, é limitada em R e portanto possui subsequência convergente. Assim existem um subconjunto infinito N 2 N e um número real a 2 tais que lim k 2 N 2 x 2 k 2 = a 2. Repetimos o procedimento até obtermos n conjuntos infinitos N N N n e números reais a, a 2,..., a n tais que lim x i k k i N i = a i para i =, 2,..., n. Tomando a = (a, a 2,..., a n ) i segue imediatamente que lim x kn = a, o que completa a demonstração do teorema. k n N n Teorema 4.5 (Cantor): Seja K K k uma subsequência decrescente de compactos não vazios em R n. Existe pelo menos um ponto a R n que pertence a todos os K k, ou seja, K k. k= Demonstração. Para cada k N escolhamos um ponto x k K k. A sequência (x k ) é portanto limitada, logo possui uma subsequência (x r ) r N que converge para a = lim x r N r. Mostremos que a K k para todo k N. De fato, dado k, temos K r K k sempre que r N e r > k. Assim, r N, r > k x r K k. Segue-se que a = lim r N x r pertence ao conjunto fechado K k. Provaremos agora as caracterizações de compacidade citadas acima: Teorema 4.6 As seguintes afirmações sobre um conjunto K R n são equivalentes: - K é compacto. 2- Toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita. 3- Todo subconjunto infinito de pontos de K possui um ponto de acumulação pertencente a K. 4- Toda sequência de pontos (x k ) de K possui uma subsequência que converge para um ponto de K. Demonstração. () = (2) (Teorema de Borel Lebesgue) Sabemos por hipótese que K R n é compacto. Suponhamos, por absurdo, que exista uma cobertura aberta (A λ ) de K que não admite subcobertura finita. Como K é limitado, K pode ser escrito como uma união finita de compactos todos eles

de diâmetro menor que. Segue então que pelo menos um deles, o qual chamaremos de K, é tal que K A λ e não admite subcobertura finita. Da mesma forma podemos escrever K como união finita de compactos todos eles de diâmetro menor que 2. Segue que pelo menos um deles, o qual chamaremos de K 2, é tal que K 2 K λ A λ e não admite subcobertura finita. Prosseguindo assim, obtemos uma sequência decrescente de compactos K K 2 K k tal que cada K k tem diâmetro menor que k e tal que nenhum deles está contido numa união finita de conjuntos A λ. Em particular, todos os K k são não vazios. Pelo teorema de Cantor, existe a Para algum λ, tem-se B(a, k ) A λ para algum k. K k. Como a K k e o diâmetro de K k é menor que k, concluimos que K k B(a, ), donde k K k A λ. Mas isso é uma contradição, pois nenhum K k admite subcobertura finita. Logo toda subcobertura aberta de K admite subcobertura finita. (2) = (3) Seja X K um subconjunto de K sem pontos de acumulação em K. Então para todo x K, x não é ponto de acumulação de X. Portanto para cada x X existe A x = B(x, δ x ), δ x > 0, tal que B(x, δ) X = {x} ou. É claro que K x X B(x, δ x ), logo por (2) podemos extrair uma subcobertura finita, isto é, existem x, x 2,..., x k K tais que K A x A x2 A xk. Em particular, essa subcobertura cobre X. Assim, X = (X A x ) (X A x2 ) (X A xk ). Logo X = ou X possui no máximo k elementos, e portanto X é finito. Logo subconjuntos infinitos de K possuem pontos de acumulação. (3) = (4) Seja (x k ) uma sequência em K. Existem duas possibilidades para o conjunto X = {x,..., x k,...}: X é finito ou infinito. Suponhamos primeiramente que X é finito. Então existe pelo menos um x k que se repete uma infinidade de vezes, logo temos uma subsequência constante e portanto convergente. Suponhamos agora que X é infinito. Por (3) existe a K ponto de acumulação de X. Então para todo δ > 0 a bola B(a, δ) contém uma infinidade de pontos de X. Portanto contém termos x k com índices arbitrariamente grandes. Podemos então formar uma subsequência (x k ) k N que converge para a K. Logo toda sequência de pontos de K possui uma subsequência que converge para um ponto de K. k=

(4) = () Valendo (4) segue que K é limitado, pois do contrário existiria para cada k N um ponto x k K tal que x k > k. Daí a sequência (x k ) assim obtida não possuiria subsequência limitada, logo nenhuma das suas subsequências seria convergente. Além disso, K é fechado pois se a = lim x k com x k K para todo k N, então por (4), uma subsequência de (x k ) convirgiria para um ponto de K. Mas toda subsequência de (x k ) converge para a. Logo a K. Conclusão. Temos do teorema acima que a condição de ser fechado e limitado é equivalente a todas as outras condições que se deseja para um conjunto compacto. Como ser fechado e limitado é, dentre todas elas, a mais fácil de ser verificada caso a caso, justificase assim a definição de compacto por essa propriedade. Além disso, o conceito de limitado exige a presença da noção distância, ou seja, em ambientes mais gerais pode não fazer sentido falar em conjunto limitado. Assim as caracterizações acima servem de alternativas para a definição de conjunto compacto. Referência Bibliográficas [] LIMA, E. L. Análise Real. vol. 0 th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2008 [2] LIMA, E. L. Análise Real. vol. 2 7 th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2007 [3] LIMA, E. L. Curso de Análise. vol. 2 th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2000 [4] LIMA, E. L. Curso de Análise. vol. 2 9 th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2000

Compacidade em espaços métricos Giselle Moraes Resende Pereira, Luciana Yoshie Tsuchiya e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho 3 de abril de 2009 Introdução Compacidade é um dos conceitos centrais da topologia. Na reta, um conjunto é compacto se é fechado e limitado. Desde a Análise na Reta sabemos que conjuntos compactos gozam de propriedades importantes (por exemplo, sequências em conjuntos compactos têm subsequências convergentes e coberturas abertas de compactos admitem subcoberturas finitas) e que funções contínuas definidas em compactos gozam de propriedades especiais (por exemplo, são limitadas e assumem máximo e mínimo). Neste trabalho analisaremos o conceito de compacidade no âmbito de espaços métricos. Faremos uma introdução aos espaços métricos com ênfase aos espaços l p, que nos serão úteis mais adiante. A seguir introduzimos os conceitos básicos, como convergência, conjuntos abertos e fechados. Então passamos a analisar o conceito de compacidade. Primeiro mostramos, usando os espaços l p, que a condição de ser fechado e limitado não serve para definir compactos. Definimos compacidade então através da condição de toda sequência ter subsequência convergente e no final provamos que também vale a propriedade de toda cobertura aberta admitir subcobertura finita. 2 Espaços Métricos Definição 2. Um espaço métrico é um par (X, d) onde X é um conjunto e d é uma métrica em X (ou função distância em X), de modo que d é uma função definida em X X que para todo x, y, z X satisfaz (M ) d é um valor real, finito e não negativo, Alunas do PET-FAMAT Orientador

(M 2 ) d(x, y) = 0 se e somente se x = y, (M 3 ) d(x, y) = d(y, x), (M 4 ) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (desigualdade triangular) Para x e y fixos chamamos o número não-negativo d(x, y) de distância de x até y. As propriedades de (M ) até(m 4 ) são os axiomas da métrica. Ao invés de (X, d) podemos apenas escrever X se não houver perigo de confusão. Exemplo 2.2 A reta real R com a métrica d(x, y) = x y. Exemplo 2.3 Espaço l p : Seja p um número real fixo. Por definição, cada elemento do espaço l p é uma sequência x = (x j ) = (x, x 2,...) de números tal que x p + x 2 p + converge, assim e a métrica definida por x j p < (p, fixo) () j= ( d(x, y) = j= x j y j p ) p (2) onde y = (y j ) e y j p <. j= Provaremos a seguir que l p é um espaço métrico. Para isso verificaremos que d(x, y) = ( ) p x j y j p satisfaz os quatro axiomas da métrica. j= Se a série x j y j p convergir, então claramente temos (M) satisfeito, pois d será j= então um número real, não negativo e finito. Provaremos, mais adiante, que isso acontece. ( ) p Devemos ter que x j y j p = 0 se e somente se x j y j = 0; e isso ocorre se j= e somente se x j = y j. Portanto temos o axioma (M2) satisfeito.

É obvio que (M3) também é satisfeito, pois ( d(x, y) = j= x j y j p ) p ( = j= y j x j p ) p = d(y, x). Seguiremos os seguintes passos para provar que d(x, y) também satisfaz (M 4): (a) Uma inequação auxiliar, (b) A desigualdade de Hölder, (c) a desigualdade de Minkowski, (d) a desigualdade triângular. Os detalhes são como se segue: (a) Dado p >, definimos q de forma que p + q =. (3) Usualmente chamamos p e q de conjugados. De (3) podemos obter então as seguintes equações, = p + q, pq = p + q, (p )(q ) =. (4) pq Assim, p = q, e disso segue que se u = t p, fazendo (u) p = (t p ) p, então u p = t. u = t p- u = t p- u u 0 t 0 t

Agora, sejam α e β números reais positivos. Observando que αβ é a área do retângulo da figura acima, obtemos por integração a seguinte desigualdade αβ α 0 t p dt + β 0 u q du = αp p + βq q. (5) (b) Sejam ( x i ) e (ỹ i ) tais que x i p =, i ỹ i p =. (6) i Colocando α = x i e β = ỹ i, temos de (5) a desigualdade x i ỹ i p x i p + q ỹ i q. Fazendo o somatório sobre i e usando (6) e (3) obtemos x i ỹ i ( p x i p + ) q ỹ i q i i x i ỹ i x i p + ỹ i q p q i i i x i ỹ i p + q i =. (7) Tomando agora x = (x j ) l p e y = (y j ) l q e definindo temos x j p = j j x j = ( k k x j x k p ) p x j ( ) x k p p p, ỹ j = = ( k x j p j x k p = k y j y m q ) q x k p x j p =. k j (8)

Analogamente obtemos ỹ j q =. Assim, temos (6) podemos aplicar (8) em (7) para obter j j x j ỹ j = j x j x j = j ( k x j x k p ) p ( m y j y m q ) q, e então obtemos a desigualdade de Hölder ( ) ( ) p q x k p y m q k m j x j y j (9) onde p > e p + q =. (c) Provaremos agora a desigualdade de Minkowski ( j= x j + y j p ) p ( k= onde x = (x j ) l p, y = (y j ) l p e p. x k p ) p + ( m= y m p ) p, (0) O caso p = segue imediatamente da desigualdade triangular para números. Façamos então o caso p >. Escrevemos x j + y j = z j para simplificar. Observe que z j p = x j + y j z j p. A desigualdade triangular nos dá então z j p ( x j + y j ) z j p. Fazendo o somatório de j até n fixo obtemos n z j p j= n n x j z j p + y j z j p. () j= j=

Aplicando a desigualdade de Hölder para a primeira parcela à direita obtemos ( n n x j z j p j= j xj p ) p ( n m= ( zm p ) q ) q. Daí, de p + q =, obtemos (p ) = p q e então temos, ( n n x j z j p j= k= x k p ) p ( n m= Analogamente para a segunda parcela da soma obtemos ( n n y j z j p j= k= y k p ) p ( n m= z m p ) q. z m p ) q. Assim ( n n z j p j= k= ) ( p n x k p + k= ) ( p n y k p m= z m p ) q. Dividindo tudo por ( m z m p ) q e lembrando que p = q obtemos, n z j p j= ( n ) z m p q m= ( n k= ( n n z j q k= j= ( n n z j p k= j= ) ( p n x k p + k= ) ( p n x k p + k= ) ( p n x k p + k= y k p ) p y k p ) p y k p ) p.

Fazendo n à direita da desigualdade, as duas séries convergem porque x, y l p. Assim a série à esquerda também converge e com isso, (0) está provado. ( (d) De (0) segue que para x e y em l p, a série j= x j y j p ) p converge pois ( j= x j y j p ) p = = ( j= ( j= ( j= x j + ( y j ) p ) p ) ( p x j p + j= ) ( p x j p + j= y j p ) p y j p ) p e sabemos que as duas últimas séries convergem. Com isso provamos que (M) é satisfeito. Observe que (0) se torna também a desigualdade triangular, basta fazermos ( j= e aplicando (0) obtemos ( j= x j y j p ) p x j y j p ) p E assim provamos (M4). = ( n k= ( j= (x j z j ) + (z j y j ) p ) p ) ( p n ) p (x j z j ) p + z j y j p k=. 2. Sequências Definição 2.4 Uma sequência (x n ) no espaço métrico X = (X, d) é dita convergente se existe um x X tal que lim n d(x n, x) = 0. O elemento x é chamado de limite de (x n ) e escreve-se

lim x n = x, n ou simplesmente x n x. Se (x n ) não é convergente, então ela é dita divergente. Assim se x n x, para qualquer ε > 0, existe um N = N(ε) tal que os termos x n com índice n > N estão na ε-vizinhança B(x; ε) de x, ou seja, d(x, x n ) < ε para todo n > N. Definição 2.5 Um subconjunto M X é limitado se o seu diâmetro é finito. δ(m) = sup d(x, y) x,y M Definição 2.6 Uma sequência (x n ) em X é limitada se o conjunto de seus pontos é um conjunto limitado de X, ou seja, se sup d(x n, x m ) é finito. n,m Teorema 2.7 Uma sequência convergente é limitada e seu limite é único. Demonstração. Suponha que x n x. Então tomando ε =, podemos encontrar um N tal que d(x n, x) < para todo n > N. Assim para todo n temos onde a = máx{d(x, x),..., d(x N, x)}. Pela desigualdade triangular obtemos d(x n, x) < + a, d(x m, x n ) d(x m, x) + d(x, x n ) + a + + a = 2 + 2a, para qualquer m, n. Isso nos mostra que (x n ) é limitada.

Para mostrar a unicidade, assumiremos que x n x e x n z e então de (M4) obtemos 0 d(x, z) d(x, x n ) + d(x n, z) para todo n = 0 lim d(x, z) lim (d(x, x n ) + d(x n, z)) = n n 0 lim d(x, z) lim d(x, x n ) + lim d(x n, z) = n n n 0 d(x, z) 0 + 0 = 0 d(x, z) 0. Disso segue que d(x, z) = 0 e de (M2) concluímos que x = z. Definição 2.8 Uma sequência (x n ) em um espaço métrico X = (X, d) é uma sequência de Cauchy se para todo ε > 0 existe um N = N(ε) tal que d(x n, x m ) < ε, para n, m > n 0. (2) Definição 2.9 Um espaço métrico X é dito ser completo se toda sequência de Cauchy em X converge para um elemento de X. Assim a reta R e o espaço euclidiano R n são espaços métricos completos. Para um espaço métrico qualquer, a condição (2) já não é suficiente para a convergência, mas o próximo teorema nos diz que ela é necessária para a convergência. Teorema 2.0 Toda sequência convergente em um espaço métrico é uma sequência de Cauchy. Demonstração. Se x n x, para todo ε > 0 existe um N = N (ε) talque d(x n, x) < ε 2 n > N. Assim da desigualdade triangular obtemos para todo m, n > N Portanto (x n ) é de Cauchy. d(x m, x n ) d(x m, x) + d(x, x n ) < ε 2 + ε 2 = ε. para todo Então, se uma sequência em um espaço métrico é de Cauchy não temos a garantia de sua convergência, mas com certeza se uma sequência não é de Cauchy, ela não converjirá.