Uma Comparação entre Métodos Numéricos para Cálculo de Transitórios em Alimentadores de Distribuição M. Firmino de Medeiros Jr., P.. Motta Pires, C. K. ouza antos e J. Tavares de Oliveira Resumo - Este trabalho apresenta uma comparação entre ferramentas computacionais baseadas em métodos numéricos, utilizadas para analisar transitórios eletromagnéticos em redes de distribuição, objetivando contribuir para a validação do seu uso, para simular os efeitos de grandezas transitórias em equipamentos elétricos de consumidores. Os modelos da rede e das cargas são adotados em sua forma mais usual (parâmetros concentrados), entretanto capacitores para correção fator de potência são incluídos no modelo das cargas, tendo em vista que essa correção ocorre freqüentemente em circuitos de distribuição, e sua presença causa influências significativas nas tensões e correntes transitórias. A pesquisa aqui relatada envolve a proposição de algoritmos e os correspondentes programas computacionais, de forma que resultados práticos puderam ser obtidos para apresentação neste artigo. Palavras-chave Transitórios eletromagnéticos, análise numérica, teoria de circuitos. I. INTRODUÇÃO Processos sobre ressarcimento de danos, supostamente causados por eventos na rede de distribuição, são freqüentes, nas concessionárias de energia elétrica. Alguns eventos, tais como rompimento de neutro na rede, são causas de defeito em equipamentos de consumidores, admitidas pelas empresas como inquestionáveis. Entretanto, a ação de religadores nas subestações, em princípio, não deve ter qualquer efeito danoso sobre as cargas. A motivação deste trabalho se prendeu ao fato de que, até o momento do seu início, não havia qualquer indicação na literatura técnica sobre uma metodologia, ou mesmo um procedimento simples de análise, para adotar como padrão de julgamento nos processos de ressarcimento. As pesquisas objeto deste trabalho foram direcionadas no sentido de Os autores agradecem o apoio financeiro obtido da Companhia Energética do Rio Grande do Norte COERN, através da destinação de recursos do seu Programa de P&D (ciclo 00-00) para o presente trabalho. M. Firmino de Medeiros Jr. trabalha no Departamento de Engenharia de Computação e Automação da UFRN (e-mail: firmino@dca.ufrn.br). P.. da Motta Pires trabalha no Departamento de Engenharia de Computação e Automação da UFRN (e-mail: pmotta@dca.ufrn.br). J. Tavares de Oliveira trabalha no Departamento de Engenharia Elétrica da UFRN. (e-mail: jtavares@ct.ufrn.br) C. Karina ouza antos é Doutoranda no Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da UFRN. (e-mail: crisluci@dca.ufrn.br) dar uma contribuição significativa, como suporte à tomada de decisão nos referidos processos. Em primeiro lugar, efetuou-se uma pesquisa para identificar alimentadores reais que surgem com freqüência, nos processos de ressarcimento. Para esses alimentadores, foram simulados chaveamentos na subestação correspondente, a fim de verificar a atenuação das tensões transitórias ao longo da rede. Adotou-se como padrão para as simulações, o uso do programa ATP, que tem sido largamente utilizado tanto pelas empresas de energia elétrica, quanto pelos centros de pesquisa. Mesmo assim, comparações de resultados obtidos através do ATP com outros obtidos através de métodos numericamente mais consistentes, cujos programas foram desenvolvidos para essa finalidade, se constituíram na parte central das investigações aqui apresentadas, para identificar eventuais falhas de avaliação, que pudessem ser introduzidas em decorrência do uso do ATP. II. IMULAÇÕE PRELIMINARE A partir da identificação dos alimentadores com maior incidência de eventos, que ocasionaram processos de ressarcimento, realizaram-se simulações exaustivas com o programa ATP, com a finalidade de identificar alguma limitação no programa, para os objetivos requeridos. Os testes realizados não evidenciaram qualquer falha significativa que pudesse ser atribuída à metodologia utilizada no programa, para os sistemas testados. As investigações posteriores realizaram-se no sentido de observar eventuais limitações no procedimento de integração numérica, adotado no programa. Comparações com outros métodos de resolução das equações de circuito serão apresentadas nas seções posteriores. Apresentam-se, a seguir, alguns resultados representativos das simulações realizadas com o ATP, para os alimentadores escolhidos.
Figura. Tensão fase-terra no final do alimentador RBA- 0P para uma energização na E RIBEIRA. Na seção anterior, apresentaram-se resultados de algumas simulações com o ATP, a fim de procurar identificar casos práticos, correspondentes a algumas situações relativamente freqüentes, em que o ATP apresentasse desempenho insatisfatório. Embora o objetivo específico desta seção seja a investigação de métodos alternativos de simulações de transitórios, que possam substituir o uso do ATP em eventuais falhas de desempenho, um estudo comparativo com novas metodologias se presta, ao mesmo tempo, para ratificar a validade desse uso, nas situações em que os resultados apresentados sejam idênticos. A metodologia de análise se baseia na resolução das equações integrodiferenciais de circuito, através de duas técnicas: a) aplicação de métodos numéricos às equações de estado do circuito; b) uso da transformada de Laplace. A solução através do ATP é comparada com as soluções alternativas geradas. A. Uso de Técnicas Numéricas Considerando o circuito da figura abaixo como um trecho de alimentador, carregado com uma admitância de carga Y C =/(R C +jl C ), que por sua vez é compensada através da admitância Y CAP = jc, podem-se estabelecer as equações de circuito que se seguem, sendo estas válidas para todos os trechos do alimentador. A idéia consiste em dividir o alimentador em trechos, no final dos quais as potências-soma são tratadas como cargas, e percorrer todo o alimentador, partindo da subestação em direção aos nós mais distantes, seguindo o algoritmo do fluxo de carga soma de potências. Figura. Tensão fase-terra no final do alimentador RBA- IGA-0Z para uma energização na E IGAPÓ. Observa-se, a partir dos gráficos das figuras e, que a tensão pode assumir valores tão elevados, a ponto de tornar irrelevantes pequenas diferenças que possam ser decorrentes de baixa exatidão do algoritmo numérico. Apesar disso, os resultados de uma investigação mais detalhada serão mostrados na seção seguinte. Com o objetivo de verificar a viabilidade do uso do ATP, investigou-se não apenas o quesito instabilidade numérica, mas também a qualidade da resposta obtida, comparando-a com aquelas fornecidas por métodos numéricos mais exatos, bem como com a solução considerada como exata, que é obtida pelo método da transformada de Laplace. III. DEENVOLVIMENTO DE UMA METODOLOGIA DE CÁLCULO DE TRANITÓRIO ELETROMAGNÉTICO EM REDE DE DITRIBUIÇÃO Figura 3. Circuito equivalente de um trecho de alimentador, carregado com carga compensada. A fim de possibilitar uma análise numérica comparativa, adotaram-se os seguintes valores (práticos), para os parâmetros de circuito: R=.789 Ω L=0.003 H R c =.663 Ω L c =0.06 H C=.698x0 - v t Vm cos F t / 3 V m 3800 ω=377 rd.s - Figura. Circuito equivalente com correntes de malha. Adotando as correntes de malha i e i e a tensão v c, definidas conforme a Fig., como variáveis de estado, obtém-se as seguintes equações:
e v c nas equações, e 3 respecti- di Isolando di, vamente tem-se: di vt vc t L R i 0 () di vc Lc Rc i 0 () v c i i 0 C C (3) di v( t) vc R i L () di vc Rc i Lc () i i C C.(6) v c Derivando todos os membros da equação 6 em relação a t: dv c i i...(7) C Assim, as equações, e 7 serão as três equações adotadas para resolver o circuito. B. Uso da Transformada de Laplace Considere o circuito transformado equivalente ao circuito da figura, com condições iniciais nulas, para estudo da reenergização de um alimentador (ação de religamento). Essa condição também foi adotada para a formulação através de equações de estado. A tensão da fonte transformada é: cos * s sen V ( s) Vm * (8) s s Definindo Cte Vm*cos e Cte Vm *sen, fica: s V ( s) Cte* Cte* (9) s s Resolvendo o circuito para V C (s), tem-se: s Rc L L * Lc V c ( s) * V ( s) 3 C * Rc C * R C * R * Rc R Rc s C s s Lc L L * Lc L Lc L * Lc L * Lc H ( ) 3 C () tem-se: (0) Rc L L* Lc C * Rc C * R C * R* Rc R Rc Lc L L* Lc L Lc L* Lc L* Lc V c ( s) H( s)* V( s) que, combinada com a equação (9), resulta em: Vc( ) Cte* H( )* W Cte* H( ) * W W () Definindo as funções F () e F () como: F ( ) H( ) * W e W F ( ) H( ) * W, obtém-se: * Rc L L * Lc F ( ) (3) D ( s) onde: CRc CR CRRc D s C 3 CW ( ) Lc L LLc L Lc R Rc W CRc W CR CRRc W LLc Lc L LLc L Lc R Rc W LLc onde: D s C W WRc L LLc F ( ) () D s CRc Lc CR L CRRc LLc R Rc W CRc W CR CRRc W LLc Lc L LLc L Lc R Rc W LLc Então: Vc ) Cte* F ( ) Cte* F ( ) () ( Aplicando a transformação inversa, tem-se: t) Cte* f ( t) Cte* f ( ) (6) v c ( t 3 CW L Lc A fim de verificar a validade dos resultados produzidos pelo ATP, para os circuitos representativos das redes de distribuição, valores numéricos típicos de parâmetros de circuito, para o primeiro trecho de alimentador após a subestação, foram adotados. Dessa forma, diversas simulações, para o mesmo circuito foram realizadas. Os resultados dessas simulações são apresentados a seguir. Primeiramente, para encontrar a antitransformada de Laplace das funções F e F, encontram-se as raízes do polinômio de quinto grau, do denominador. R 377 (pólos relativos à tensão da fonte), j 3
R3, 7,08 j3380,83 R = -83,963 Fazendo: 0 377 7,08 3380,83 3 = -83,863 Após a expansão em frações parciais para F (s) e F (s), calculam-se suas transformadas inversas: t t ( t) M e cos( t ) M e cos( t ) f 3t K3e com M,6* 0 e M,8* 0 f t t ( t) M 3 e cos( t 3 ) M e cos( t ) K 3t e com 3.766 M e M.96 Para os mesmos valores de parâmetros de circuito, as equações de estado, estabelecidas acima, foram resolvidas através dos métodos de Euler, Runge-Kutta de a. ordem e Runge-Kutta de a. ordem. Os gráficos a seguir mostram uma comparação das soluções obtidas através de todas essas técnicas, com a solução obtida através do ATP. Os gráficos das figuras abaixo apresentam uma comparação entre as curvas Laplacianas e Numéricas, com vários ângulos de chaveamento (fi). 9e3 e3 e3 - - - - 0 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 Figura 6. Comparação entre os métodos de Laplace (azul) e de Euler (preto); Passo=e-, fi=/ 9e3 - - 0 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 Figura 7. Comparação entre os métodos de Laplace (azul) e RK- (preto); Passo=e-, fi=/ 9e3 - - 0 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 Figura. Comparação entre os métodos de Laplace (azul) e de Euler (preto); Passo=e-, fi=/. 9e3 e3 e3 - - - - 0 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 Figura 8. Comparação entre os métodos de Laplace (azul) e RK- (preto); Passo=e-, fi=/. Uma análise dos gráficos acima mostra que existem dois parâmetros que podem influenciar a exatidão do método numérico: o passo de discretização e o ângulo de chaveamento da tensão. Para a utilização de métodos de a. ordem, como p.ex. Euler, recomenda-se a adoção de passo igual a e- s, conforme se depreende dos gráficos a seguir, resultantes de uma análise comparativa dos resultados obtidos através do ATP, com os demais métodos.
e 8e e 0 -e -8e -e -6e 0 e-3 e-3 3e-3 e-3 e-3 6e-3 7e-3 8e-3 9e-3 0e-3 Figura 9. Comparação entre os métodos de Laplace (azul), Euler (Passo=e-, preto) e ATP (verde); fi=/6. 9e3-0 e-3 e-3 3e-3 e-3 e-3 6e-3 7e-3 8e-3 9e-3 0e-3 Figura 0. Comparação entre os métodos de Laplace (azul), Euler (Passo=e-, preto) e ATP (verde); fi=/6. de exatidão que um determinado método numérico. Esse fato não é considerado relevante, na presente análise. Objetiva-se, apenas, identificar alguma situação em que o nível de exatidão da solução via ATP possa prejudicar a análise. e por um lado há uma boa coincidência das soluções do ATP e dos demais métodos numéricos, a solução através da transformada de Laplace (considerada exata) demonstra que existem situações, em que os métodos numéricos (inclusive o ATP) podem falhar (por exemplo, na avaliação do primeiro pico de tensão, ou de corrente). Dessa forma, torna-se importante investir um pouco mais nessa técnica. Entretanto, os casos práticos simulados, representando os alimentadores completos, mostraram que o ATP, com passo de e- s, fornece resultados suficientemente precisos, para se chegar às conclusões necessárias a uma avaliação dos efeitos causados por grandezas transitórias em equipamentos eletro-eletrônicos. V. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA Artigo: [] R. Cespedes G. New Method for the analysis of distribution Networks. IEEE Trans. on Power Delivery, vol., no, january 990. Livros: [] R. L. Boylesta, Introdução à Análise de Circuitos, Prentice Hall 0a. Edição, ão Paulo: 00. [3] Luiz Cera Zanetta Júnior, Transitórios Eletromagnéticos em istmas de Potência, EDUP, ão Paulo: 003. [] A. Greenwood, Electrical Transients in Power ystems,. Ed., New York, John Wiley, 99 [] H. W. Dommel, Electromagnetic Transients Program Reference Manual: EMTP Theory Book. Portland, BPA, 986. [6] K. U. Leuven, ATP: Alternative Transients Program Rule Book, Leuven EMTP Center, 987. VI. BIOGRAFIA - 0 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 e-3 e-3 6e-3 8e-3 0e-3 Figura. Comparação entre os métodos de Laplace (azul), RK- (Passo=e-, preto) e ATP (verde); fi=/6. Manoel Firmino de Medeiros Jr. nasceu em de julho de 9, em Macaíba-RN, Brasil. Graduou-se na Universideade Federal do Rio Grande do Norte UFRN em Natal. Especializou-se em Eletrotécnica, na UNICAMP e realizou Mestrado na Universidade Federal da Paraíba, em Campina Grande. eu título de Doutor (Dr.-Ing.) foi obtido na Technische Hochshule Darmsta, na Alemanha uas principais áreas de pesquisa compreendem aplicações de Computação Numéria e Otimização em problemas de Planejamento e Operaçào de istemas de Energia Elétrica. Atualmente, exerce a Chefia do Departamento de Engenharia de Computação e Automação da UFRN, em Natal. IV. Análise de resultados e conclusões Uma análise dos gráficos acima mostra que os métodos numéricos, aplicados à solução das equações de estado do circuito, produzem, em geral, uma solução muito próxima daquela produzida pelo ATP. Notar que aqui não se faz qualquer comparação entre os passos de integração de ambos os métodos. Eventualmente, pode ser necessário diminuir o passo do ATP, para conseguir o mesmo nível