FUCAMP Fundação Carmelitana Mário Palmério TOPOGRAFIA Aula 02 Sistema de Coordenadas e Unidades de Medidas Profº Weldon Martins
Sumário Sistema de Coordenadas Cartesiano Superfície Terrestre Modelo Esférico Modelo Elipsoidal Modelo Geoidal Modelo Plano Efeito da curvatura terrestre Unidades de medidas
Sistema de Coordenadas Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados basicamente um tipo de sistemas para definição da posição tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas
Sistema de Coordenadas Cartesianas Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X (abscissas) e Y (ordenadas).
Sistema de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro. Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semieixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido anti-horário. Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido horário.
Sistema de Coordenadas Cartesianas Dextrógiro x Levógiro --> Regra da Mão Direita Dextrógiro Levógiro
Superfície Terrestre Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. Basicamente temos quatro superficies p/ representar a Terra: Esfera Elipsóide Geóide Plano
Superfície Terrestre Modelo Esférico Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. - Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. - Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.
Superfície Terrestre Modelo Elipsoidal A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo.
Superfície Terrestre Modelo Elipsoidal Latitude Geodésica (φ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. Longitude Geodésica (λ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS), cujos semi-eixo maior e achatamento são: a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222101
Superfície Terrestre Modelo Geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.
Superfície Terrestre Modelo Geoidal As linhas de força ou linhas verticais (em inglês plumb line ) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês direction of plumb line ) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical.
Superfície Terrestre Modelo Plano Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km
Superfície Terrestre Modelo Plano Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas: l (mm) = - 0,001 d³ (km) h (mm) = +78,1 d² (km) h (mm) = +67 d² (km) l = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm. h = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm. h = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm. d = distância considerada no terreno, em km.
Superfície Terrestre Modelo Plano Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas (Y) é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.
Modelo Plano Superfície Terrestre
Efeito da curvatura na distância Ao substituir a real forma da terra, pelo plano topográfico, comete-se um erro denominado erro de esfericidade. Geodésia a superficie terrestre é curva Topografia a superficie é plana O erro de esfericidade na distância (ΔS) corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento S' e do arco S. ΔS = S' S Calculando S' S' = R. TgΘ ' Calculando S 2πR ------ 360 o S ------ Θ S = (π.r.θ) / 180 S = R.Θ
Efeito da curvatura na distância ΔS = R. tgθ - (π.r.θ) / 180 ΔS = R. tgθ - R.Θ ΔS = R(tgΘ - Θ) Desenvolvendo tg θ em série tg Θ = Θ + (Θ³/3) + (2.Θ 5 /15) + e utilizando somente o primeiro termo, para angulos pequenos: ΔS = R.[ Θ + (Θ³/3) Θ] ΔS = R. (Θ³/3) sabe-se que Θ=S/R, logo... ΔS = S³/(3.R²)
Efeito da curvatura na distância A tabela abaixo apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias.
Erro de curvatura na Altimetria Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria (Δh)... Sabe-se que cos(θ) = R / (R+Δh) Isolando Δh Δh = R.(1/cos(Θ) - 1) Desenvolvendo a série de 1/cos(Θ), considerando que Θ = S/R tem-se: Δh = S²/(2.R)
Efeito da curvatura na Altimetria A tabela abaixo apresenta valores de erros na altimetria para um conjunto de distâncias O efeito da curvatura é maior na Altimetria do que na Planimetria (Distâncias) Pode-se sem erro apreciável considerar plenamente satisfatório a representação planimétrica em planos tangentes com projeções paralelas e os cálculos feitos com fórmulas da trigonometria plana.
Efeito da Curvatura Exercícios: Use o raio da Terra igual a 6.370 km A) Calcule o Erro de esfericidade na planimetria (ΔS) e Altimetria (Δh) para uma distância S de 6.000 metros; Resposta: ΔS=0,00177m Δh= 2,82m B) Considerando Θ= 5', calcule a distância obtida na superfície plana (S') e na superfície curva (S). Após calcule o erro absoluto (ΔS) Resposta: S'= 9.264,796m; S= 9.264,789m Erro absoluto (ΔS)= 0,007m;
Unidades de Medidas Em Topografia trabalha-se com quatro espécies de grandezas, a saber: lineares; superficiais; volumétricas e angulares.
Medidas Lineares Em 1789, a Academia de Ciência da França criou o Sistema Métrico Decimal (SMD) - um sistema de medidas baseado numa "constante natural", não arbitrária - constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma. Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como "a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre". Em 1799, para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento de lado a lado, que ficou conhecida como o "metro do arquivo". A partir da 17ª Conferência Geral de pesos e medidas, realizada em 1983, o metro passou a ser definido como sendo comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.
Medidas Lineares No sistema internacional de medidas os múltiplos e submúltiplos do metro mais utilizados são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Medidas Lineares Padrão EUA e Inglaterra Padrão antigo do Brasil
Medida Superficial No SI a unidade fundamental é o metro quadrado (m²). Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: Km²; hm²; dam²; dm², mm² Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o hectare (ha), sendo: 1 ha = 1 hm² = 10.000 m² que tem com submúltiplos 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m² e 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m². Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 35 ares e 62 centiares.
Medida Superficial No passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfície mostradas na Tabela abaixo. Ainda hoje é comum falar-se em Alqueire, unidade que deve ser substituída por hectare ou unidades do SI.
Medida Volumétrica No SI a unidade fundamental é o metro cúbico, m³. Para volume menor emprega-se também o litro (l ou L), 1 litro = 1 dm³ Na Resolução de 1988 do CONMETRO o litro está classificado como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo.
Medida Angular No SI a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano (rad). É o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes iguais. Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Esse número irracional é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais. π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751
Medida Angular Relação entre medidas angulares e lineares
Medida Angular Sistema Sexagesimal Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau ( ). Um grau é dividido em 60 partes iguais denominadas, minutos ( ). Um minuto é dividido em 60 partes iguais denominadas, segundos ( ). 2π = 360 ; Na Resolução de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos estão classificadas como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo.
Medida Angular Sistema Centesimal Este sistema não está definido no SI. Nele a circunferência é divida em 400 partes iguais,sendo cada parte denominada GRADO (g). Um grado é dividido em 100 partes iguais denominadas, MINUTOS ( ) ou centígrados. Um minuto é dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS ( ) ou decimiligrados. Sendo 380,2345 grados = 380 grados, 23 centígrados e 45 decimiligrados ou 380g 23 45..
Referências Bibliográficas Alguns trechos deste documento são retirados, na integra, de: Norma ABNT NBR 13.133 Execução de Levantamentos Topográficos; Notas de aula de EAM310, Prof. Dalto Domingos Rodrigues UFV; Fundamentos de Topografia, 2007. Luis Augusto Koenig Veiga, Maria Aparecida Z. Zanetti, Pedro Luis Faggion UFPR; Curso de Topografia, 5ª edição, 1977, Lélis Espartel; Notas de Aula de Topografia Básica Prof. Fernando Alves Pinto e Afonso dos Santos UFV; Notas de Aula de Geomática I Profª Msc. Suelem Farias Martins UFU Monte Carmelo;