UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática

1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática Modelo Weibull Aplicado a Análise de Confiabilidade Marcílio Ramos Pereira Cardial ANÁPOLIS 2012

1 Marcílio Ramos Pereira Cardial Modelo Weibull Aplicado a Análise de Confiabilidade Trabalho de Curso apresentado a Coordenação Adjunta de TC, como parte dos requisitos para obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás sob a orientação do Professor Msc. Cleber Giugioli Carrasco. ANÁPOLIS 2012

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3 DEDICATÓRIA Dedico este trabalho aos meus pais, professores e amigos que sempre estiveram ao meu lado, sempre acreditando na minha capacidade, me dando apoio nos momentos difíceis.

4 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por estar sempre ao meu lado, sem ele na minha vida nada seria possível, muito menos a execução deste trabalho. Aos meus pais, Domingos e Maria, que sempre me incentivaram a estudar e não desistir diante do primeiro obstáculo e me apoiaram na decisão de cursar Matemática. Ao professor Cleber que despertou em mim um novo olhar para probabilidade e estatística devido a sua competência em lecionar esta disciplina, fazendo com que eu tivesse um maior interesse nesta área do conhecimento, e que com muita responsabilidade e paciência orientou-me neste trabalho, graças a sua excelente orientação foi possível construir um trabalho de qualidade. A todos os meus colegas de curso especialmente ao Samuel e Vando, pela amizade e companheirismo indispensáveis.

5 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1: Tempo de falha dos isolantes elétricos... 24 Tabela 5.2: Estimativas da função de confiabilidade e taxa de falha do modelo Weibull..... 25 Tabela 5.3: Estimativas da função de confiabilidade do modelo Weibull e para o estimador de Kaplan-Meier... 26 Tabela 5.4: Tempos das falhas dos isoladores elétricos... 28 Tabela 5.5: Estimativas da função de confiabilidade do modelo Weibull e para o estimador de Kaplan-Meier (censura tipo II).... 29

6 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Curva densidade de probabilidade referente a variável aleatória T.... 11 Figura 3.1: Mecanismos de censuras à direita.... 14 Figura 3.2: Estimador de Kaplan-Meier.... 15 Figura 4.1: Taxa de falha da distribuição de Weibull.... 18 Figura 4.2: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 0,2 e α = 25.... 19 Figura 4.3: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 1 e α = 25.... 20 Figura 4.4: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 6 e α = 25.... 20 Figura 4.5: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha baseado na distribuição de Weibull para diferentes parâmetros de escala.... 21 Figura 5.1: Função de confiabilidade ajustada pelo modelo Weibull e estimador de Kaplan- Meier.... 27 Figura 5.2: Taxa de falha ajustada pelo modelo Weibull... 27 Figura 5.3: Função de confiabilidade para o modelo Weibull e para o estimador de Kaplan - Meier (censura tipo II)... 30 Figura 5.4: Taxa de falha (censura tipo II)... 30

7 RESUMO Neste trabalho é proposto o uso da distribuição de Weibull na análise de dados de confiabilidade, enfatizando a importância da utilização de dados censurados na análise estatística. Há uma breve introdução sobre função densidade de probabilidade, de confiabilidade e taxa de falha. Posteriormente é apresentado o estimador de Kaplan-Meier, alguns mecanismos de censuras e o modelo Weibull, destacando as propriedades que o caracterizam. Por último, utiliza-se conjunto de dados reais para ilustrar a metodologia adotada, através do cálculo das estimativas de máxima verossimilhança para os parâmetros do modelo Weibull e da comparação gráfica das estimativas da função de confiabilidade e de Kaplan-Meier. Toda a análise dos dados e a construção dos gráficos foram realizados no software free R. Palavras-chave: Análise de confiabilidade, Distribuição de Weibull, Estimador de Kaplan- Meier, Mecanismo de censuras.

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 9 2. FUNÇÕES EM ANÁLISE DE CONFIABILIDADE... 11 2.1. Função densidade de probabilidade... 11 2.2. Função de confiabilidade... 12 2.3. Taxa de falha... 12 3. DADOS CENSURADOS E ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER... 13 3.1. Dados censurados... 13 3.1.1. Tipos de Censuras... 13 3.2. Estimador de Kaplan-Meier... 14 4. MODELO WEIBULL... 17 4.1. Distribuição Weibull... 17 4.2. O parâmetro de forma β... 19 4.3. O parâmetro de escala α... 21 4.4. Método de máxima verossimilhança... 22 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES... 24 5.1. Dados sem censura... 24 5.2. Dados com censura (censura tipo II)... 28 CONCLUSÃO... 31 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 32

9 INTRODUÇÃO O termo análise de confiabilidade pode ser definido como um conjunto de procedimentos estatísticos para análise de dados relacionados ao até a ocorrência de um determinado evento de interesse (COSTA E CARRASCO, 2007). A análise de confiabilidade pode ser utilizada em áreas como a engenharia, onde, são realizados estudos em que os produtos são colocados sob testes para estimar características relacionadas aos seus s de vida. O estudo em análise de confiabilidade deve ser feito de forma cuidadosa pelo fato da possível presença de dados censurados, que é a existência de observações incompletas ou parciais, ou seja, quando não se observa o evento de interesse. Segundo Ryan (2009) a distribuição Weibull geralmente é um bom modelo para aplicações de confiabilidade e, na prática é uma das mais utilizadas em trabalhos de confiabilidade, isso se deve em parte à flexibilidade do ajuste de dados que é proporcionado por essa distribuição. É importante que se possam realizar estudos em análise de confiabilidade com o intuito de aperfeiçoar a produção conforme destacam estudiosos neta área: Diante de um mercado altamente competitivo, onde os clientes estão se tornando cada vez mais exigentes, e os produtos, por sua vez, cada vez mais complexos, as empresas vêm sentido a necessidade de modernização das suas linhas de produção; entretanto mostra-se necessário que tal modernização venha acompanhada de procedimentos que, baseados em informações quantitativas, sejam capazes de otimizar a utilização e a manutenção desses novos meios produtivos. (SIMONETTI et al., 2008) Neste trabalho pretende-se utilizar o modelo Weibull em análise de confiabilidade apresentando suas principais características. A vantagem de se utilizar este modelo em análise de confiabilidade é pelo fato dele poder acomodar taxa de falhas crescentes, decrescentes e constantes. Este trabalho está dividido em cinco capítulos. No segundo capítulo é apresentada a função densidade de probabilidade, a função de confiabilidade e a taxa de falha. O terceiro capítulo refere-se alguns mecanismos de censuras juntamente com o estimador de Kaplan- Meier. O quarto capítulo apresenta o modelo Weibull, as principais características de seus dois parâmetros: o parâmetro de escala e de forma, e o método de máxima verossimilhança. No último capítulo é feita a análise do conjunto de dados de dois exemplos, onde se tem a estimação dos parâmetros do modelo Weibull. Toda análise estatística é realizada no software free R disponível gratuitamente em www.r-project.org. Este software foi escolhido, pois é

10 uma importante ferramenta que possibilita a análise e manipulação de dados, além da facilidade na elaboração de diversos tipos de gráficos (PETERNELLI E MELLO, 2007).

11 2. FUNÇÕES EM ANÁLISE DE CONFIABILIDADE No presente capítulo será apresentada a definição da função densidade de probabilidade, de confiabilidade e da taxa de falha. 2.1. Função Densidade de Probabilidade Define-se f(t) como uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória (v.a.) T, se satisfazer as seguintes condições (MAGALHÃES, 2008): i) f(t) 0, para todo t ; ii) ( ). Se f é uma f.d.p. e T uma variável aletória contínua, para se calcular a probabilidade da v.a. T estar no intervalo [ ], basta calcular a seguinte área representada pela Figura 2.1, ou seja, calcular a integral: ( ) ( ) ( 2.1) FIGURA 2.1: Curva densidade de probabilidade referente a variável aleatória T. A Figura 2.1 representa uma curva contínua, e logo se tem área zero para qualquer valor individual, portanto: ( ) ( 2.2)

12 Desta forma, através de (2.2) as probabilidades calculadas sobre os intervalos [ ], ( ), [ ), ( ] serão as mesmas para quaisquer valores de e b, isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2.3) 2.2. Função de Confiabilidade A confiabilidade é a capacidade de um componente realizar ou manter seu bom funcionamento até o de falha t, em outras palavras é a probabilidade de que o componente não falhe no intervalo de [ ]. Desta forma, define-se R(t) como a função de confiabilidade de um componente e podemos escrever R(t) em termos probabilísticos como (MEYER, 1982): ( ) ( ) ( 2.4) onde T é a duração de vida do componente. 2.3. Taxa de Falha A taxa de falha, também conhecida como função de risco, é representada por h(t) e especifica a taxa de falha instantânea de um componente, ou seja, a probabilidade do mesmo vir a falhar instantaneamente após o t, dado que este funcionou até o t. A taxa de falha é dada por (COLOSIMO, 2001): ( ) ( ) ( 2.5) Podemos utilizar uma relação matemática que descreve a taxa de falha (2.5), relacionando a f.d.p. com a função de confiabilidade dada por (MEYER, 1982): ( ) ( ) ( ) ( 2.6) Desta forma, podemos dizer que a taxa de falha é a probabilidade de falha no t dividido pela probabilidade de que a unidade ainda esteja funcionando no t..

13 3. DADOS CENSURADOS E ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER Alguns trabalhos em análise de confiabilidade são caracterizados por observações incompletas ou parciais, que são conhecidas como censuras, assunto que será abordado neste capítulo juntamente com o estimador de Kaplan-Meier. 3.1. Dados censurados Qualquer tipo de teste realizado para medir a durabilidade de um componente é, em geral, demorado e caro. Mesmo que leve algum para o final do teste, alguns componentes podem não falhar, essas informações são ditas incompletas ou parciais e são chamadas de observações censuradas (LOPES, 2001). Dessa forma, há a necessidade da introdução de uma variável que indique se o de vida foi ou não observado (COLOSIMO, 2001). Essa variável é definida na literatura como variável indicadora de censura, e será igual a um se o de sobrevida for observado e zero caso o contrário. Assim temos: (3.1) Ressaltamos o fato de que, mesmo censurados, todos os resultados provenientes de um estudo devem ser usados na análise estatística, pois a omissão da censura nos cálculos estatísticos poderá acarretar em conclusões viciadas (COLOSIMO, 2001). 3.1.1. Tipos de censuras Segundo Colosimo (2001), alguns mecanismos de censura são diferenciados em análise de confiabilidade, os mais comuns são: Censura do Tipo I: o estudo termina após um período pré-estabelecido de. Censura do Tipo II: onde o estudo termina após ter ocorrido o evento de interesse em um número pré-estabelecido de componentes estudados. Censura do Tipo Aleatório: ocorre quando um componente é retirado no decorrer do estudo sem ter ocorrido à falha. Também ocorre, por exemplo, se o componente falhar por uma razão diferente da estudada. A Figura 3.1 apresenta os mecanismos de censuras estudados neste trabalho.

14 FIGURA 3.1: Mecanismos de censuras à direita. Fonte: COSTA e CARRASCO, 2007, p. 17. Esses mecanismos de censura são conhecidos como censura a direita, pois o de interesse está à direita do registrado, normalmente estes tipos de censuras são os mais utilizados nos trabalhos de confiabilidade, porém existem mais dois tipos de censuras, conhecidas como censura a esquerda e intervalar que não serão abordadas neste trabalho. 3.2. Estimador de Kaplan-Meier O Kaplan-Meier é um estimador não paramétrico para a função de confiabilidade e é também chamado de estimador limite-produto (COLOSIMO, 2001). Na ausência de censuras este é definido por: Nº de observações que não falharam até o t R ˆ( t) (3.2) Nº de observações total no estudo Quando há a presença de dados censurados é necessário utilizar outra expressão que será descrita a seguir. Segundo é definido por Kaplan e Meier (1958, apud LOPES 2001),

confiabilidade 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 15 suponha que existam n componentes sob teste e k falhas distintas nos s, para, podendo ocorrer mais de uma falha num mesmo, ou seja, simultaneamente, o que é chamado de empate. Para solucionar esse problema, admite-se que os s de censura ocorreram imediatamente após o de falha. Assim o estimador da função de confiabilidade é dado por: Rˆ ( ) ( ) ( ) ( 3.3) onde, d i é o número de falhas no t i, n i é o número de observações sob risco (não falhou e não foi censurado) até o (exclusive). É importante ressaltar que a expressão 3.3 pode ser utilizada tanto na presença quanto na ausência de dados censurados, sendo desta forma uma expressão mais versátil que a expressão 3.2. O estimador de Kaplan-Meier baseia-se no fato de que o número de intervalos é igual ao número de de falhas e, por este motivo o gráfico vem a ser uma função escada com degraus nos s observados de falha, conforme apresenta a Figura 3.2. 0 20 40 60 FIGURA 3.2: Estimador de Kaplan-Meier

16 O estimador de Kaplan-Meier é mais eficiente, por ser um estimador não viciado para a função de confiabilidade, tanto para grandes, como para pequenas amostras (KAPLAN E MEIER, 1958).

17 4. MODELO WEIBULL Neste capítulo serão apresentadas as funções e propriedades que caracterizam o modelo Weibull e o método de máxima verossimilhança. 4.1. Distribuição Weibull A distribuição de Weibull recebeu este nome após o falecimento de Waloide Weibull, um engenheiro sueco que propôs em 1939, a distribuição Weibull como uma distribuição apropriada para a resistência de ruptura dos materiais (RYAN, 2009). Esta distribuição vem sendo ao longo dos anos o modelo probabilístico mais aceito e utilizado para trabalhos em análise de confiabilidade devido à flexibilidade que o mesmo apresenta, essa versatilidade se deve aos dois parâmetros que a distribuição apresenta: o parâmetro de escala e o parâmetro de forma. Através deste modelo, há a possibilidade de se trabalhar com taxa de falhas crescentes, decrescentes e constantes. Uma v.a. contínua T, possui distribuição Weibull biparamétrica, se e somente se, sua f.d.p. for definida por (COLOSIMO, 2001): ( ) ( ) ( ( ) ) ( 4.1) onde os parâmetros α e β são constantes positivas, α é o parâmetro de escala e β é o parâmetro de forma. (MEYER, 1982): A esperança e a variância do modelo Weibull são respectivamente dadas por ( ) ( ) ( 4.2) ( ) ( ( ) ( ( )) ) ( 4.3) onde é a função gama, esta função pode ser definida como: ( ) ( )! para r inteiro (LOPES, 2001).

18 A função de confiabilidade da distribuição Weibull é dada por (MEYER,1982): ( ) ( ( ) ) ( 4.4) A taxa de falha do modelo Weibull é dada por (COLOSIMO, 2001): ( ) ( ) ( ) ( 4.5) A taxa de falha da distribuição Weibull apresenta diferentes formas que estão ligadas diretamente aos seus parâmetros, em especial, ao parâmetro de forma β, isto é: Quando β > 1 a taxa de falha é estritamente crescente; Quando β = 1, a taxa de falha é constante, pois a distribuição Weibull se reduz a distribuição Exponencial; Quando β < 1, a taxa de falha é estritamente decrescente. A Figura 4.1 apresenta a taxa de falha do modelo Weibull com o parâmetro de escala α = 1 e o parâmetro de forma fixado em: β = 0,5 ( ), β = 0,8 ( ), β = 1( ), β = 4 ( ) e β = 5 ( ) FIGURA 4.1: Taxa de falha da distribuição de Weibull.

0.00 0.02 0.04 0.06 f(t) R(t) 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 h(t) 19 4.2. O parâmetro de forma β O parâmetro de forma β não tem unidade de medida, ou seja, o mesmo é adimensional e, como o próprio nome sugere, esse parâmetro é utilizado para analisar o comportamento da curva no gráfico. Quando β < 1, a função densidade de probabilidade e a taxa de falhas apresentam frequências elevadas na parte inicial da vida, fazendo com que a função de confiabilidade decresça de forma mais acelerada, tais falhas são comumente chamadas de falhas prematuras e geralmente estão associadas a defeitos originados no projeto da produção (SIMONETTI et al., 2008). Para ilustração são apresentados na Figura 4.2 a f.d.p., a curva de confiabilidade e a taxa de falhas respectivamente, com os parâmetros fixados em β = 0,2 e α = 25. f.d.p. função de confiabilidade taxa de falha 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 FIGURA 4.2: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 0,2 e α = 25. Quando β = 1, a distribuição Weibull equivale à distribuição exponencial, desta forma a taxa de falha é constante e as falhas ocorrem de forma aleatória. A função de confiabilidade e a f.d.p. terão o mesmo comportamento com frequências elevadas na parte inicial da vida, devido à taxa de falha ser constante. A f.d.p. irá decrescer mais lentamente do que quando β for menor que um. Na Figura 4.3 são apresentados a f.d.p., a curva de confiabilidade e a taxa de falhas da distribuição Weibull com parâmetros β = 1 e α = 25.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 f(t) R(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h(t) 0 20 40 60 80 f(t) 0.01 0.02 0.03 0.04 R(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 h(t) 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 20 f.d.p. função de confiabilidade taxa de falha 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 FIGURA 4.3: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 1 e α = 25. Quando β > 1, a taxa de falha apresenta frequências elevadas na parte final da vida, de maneira geral, isso está ligado ao desgaste natural de um determinado componente. Assim, a função de confiabilidade deste componente não irá decrescer de forma acelerada como no caso quando β tem o valor menor que um (SIMONETTI et al., 2008). A f.d.p. terá grande parte da densidade de falhas concentrando-se ao redor de um determinado de vida, esse comportamento caracteriza as falhas predominantes. A Figura 4.4 apresenta a f.d.p., a curva de confiabilidade e a taxa de falhas do modelo Weibull com parâmetros β = 6 e α = 25. f.d.p. função de confiabilidade taxa de falha 0 10 20 30 40 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 FIGURA 4.4: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha de uma distribuição Weibull de parâmetros β = 6 e α = 25.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 f(t) R(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h(t) 0.0 0.5 1.0 1.5 21 4.3. O parâmetro de escala α O parâmetro de escala α está associado à vida característica de um determinado componente, assim, este parâmetro tem a mesma unidade de t. Ele descreve e representa uma distância, ou ciclos transcorridos entre outras atividades até o instante da falha. Nos casos em que ocorrem falhas predominantes, estas tendem a concentrar-se próximo ao parâmetro de escala. De maneira geral, podemos destacar duas situações que ocorrem em relação à f.d.p. (SIMONETTI et al., 2008): Se α tem o seu valor aumentado enquanto β tem o seu valor constante, a curva da distribuição começa a se estender, esticar para direita e sua altura diminui ao manter sua forma e posição. Se α tem seu valor diminuído enquanto β tem o seu valor constante, a curva da distribuição começa a se estreitar para dentro, para esquerda e a sua altura a aumentar. Na Figura 4.5 são apresentados a f.d.p., a curva de confiabilidade e a taxa de falha da distribuição Weibull com parâmetros β = 6 e α = 20( ), 40( ) e 60 ( ). f.d.p. função de confiabilidade taxa de falha 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 FIGURA 4.5: Função densidade de probabilidade, confiabilidade e taxa de falha da distribuição de Weibull para diferentes parâmetros de escala. Fazendo uma análise dos gráficos apresentados na Figura 4.5, podemos perceber que ao contrário do parâmetro de forma, o parâmetro de escala não está diretamente ligado ao comportamento da curva, porém, pode-se perceber que dependendo do parâmetro de escala, a confiabilidade e a taxa de falhas crescerão ou decrescerão de forma mais acelerada.

22 4.4. Método de máxima verossimilhança O estimador de máxima verossimilhança tem a finalidade de estimar os parâmetros da distribuição que melhor se ajustam aos dados da amostra (COLOSIMO, 2001). Na ausência de censuras e para uma amostra de observações,,... a função de verossimilhança para um parâmetro genérico θ é dada por ( COLOSIMO,2001): ( ) ( ) ( 4.6) Contudo, quando há a presença de dados censurados, as observações podem então ser divididas em dois conjuntos, as r primeiras são as não-censuradas (1, 2,..., r), e as n-r seguintes, são as censuradas (r+1, r+2,..., n). Assim, a função de verossimilhança assume a seguinte forma (LAWLESS, 1982): ( ) ( ) ( ) ( 4.7) É importante lembrar que a expressão (4.7) pode ser utilizada em todos os mecanismos de censura apresentados na Figura 3.1. Dessa forma, a função de máxima verossimilhança (4.7) para o modelo Weibull (4.1) é dada por: ( ) ( ( ( ) )) ( ( ) ) ( 4.8) Aplicando logaritmo na expressão (4.8), tem-se a chamada função de logverossimilhança dada por: ( ( )) ( ( ( ) ) ( ) ) ( 4.9)

23 Segundo Colosimo (2001), de forma equivalente, fazendo ( ), e = log (α) e ainda, utilizando a distribuição do valor extremo resultará em uma expressão mais simples dada por: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( 4.10) Derivando a função (4.10) em função de e e igualando a zero, tem-se: ( ( )) ( ( ) ) ( 4.11) e ( ( )) ( ( ) ( )) ( 4.12) Os estimadores de máxima verossimilhança da distribuição Weibull são os valores de μ e σ que satisfazem as equações (4.11) e (4.12). A solução para as equações (4.11) e (4.12) podem ser obtidas pelo método de Newton-Raphson, que utiliza a matriz de derivadas segundas (F) da função de log-verossimilhança e sua expressão é dada por (LOPES, 2001): ˆ ( ) ˆ ( ) ( ˆ ( ) ) ( ˆ ( ) ) ( 4.13) A equação (4.13) está baseada numa expressão de U ( ˆ ( ) ) em série de Taylor em torno de ˆ ( ). Partindo de um valor inicial ˆ ( ), usualmente, ˆ ( ) (Lopes, 2001). Para o Modelo Weibull, ( ) é uma matriz simétrica 2 x 2 com os seguintes elementos: ( ) ( ) (4.14) ( ) ( ) ( ) ( 4.15) ( ) ( ) ( 4.16)

24 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES Neste capítulo, serão apresentados exemplos de dados em análise de confiabilidade, com e sem censuras, que serão ajustados pela distribuição de Weibull. 5.1. Dados sem censura Considere o exemplo extraído de Lawless (1982), onde ele apresenta os s até a quebra de um tipo de isolante elétrico sujeitos a um stress de voltagem constante. Os dados apresentados na Tabela 5.1 são não censurados e representam os s (em minutos) até a quebra de quatro grupos de isolantes submetidos a diferentes níveis de voltagem. Nível de Voltagem (KV) TABELA 5.1: Tempo de falha dos isolantes elétricos Tempo (minutos) de falha dos isolantes elétricos 30 11 17,05; 22,66; 21,02; 175,88; 139,07; 144,12; 20,46; 43,40; 194,90; 47,30; 7,74 32 15 0,40; 82,85; 9,88; 89,29; 215,10; 2,75; 0,79; 15,93; 3,91; 0,27; 0,69; 100,58; 27,80; 13,95; 53,24 34 19 0,96; 4,15; 0,19; 0,78; 8,01; 31,75; 7,35; 6,50; 8,27; 33,91; 32,52; 3,16; 4,85; 2,78; 4,67; 1,31; 12,06; 36,71; 72,89 36 15 1,97; 0,59; 2,58; 1,69; 2,71; 25,50; 0,35; 0,99; 3,99; 3,67; 2,07; 0,96; 5,35; 2,90; 13,77 Os estimadores de máxima verossimilhança ˆ e ˆ estimados para cada um dos quatro diferentes níveis de voltagem do exemplo extraído de Lawless, são apresentados na Tabela 5.2, juntamente com as estimativas da função de confiabilidade (4.4) e da taxa de falha (4.5) da distribuição Weibull.

25 TABELA 5.2: Estimativas da função de confiabilidade e taxa de falha do modelo Weibull Nível de Voltagem (kv) ˆ ˆ R ˆ( t ) h ˆ ( t) 30 11 77,58 1,06 ( ( ) ) ( ) ( ) 32 15 25,94 0,56 ( ( ) ) ( ) ( ) 34 19 12,22 0,77 ( ( ) ) ( ) ( ) 36 15 4,29 0,89 ( ( ) ) ( ) ( ) A Tabela 5.3 apresenta as estimativas da função de confiabilidade do modelo Weibull e do estimador de Kaplan-Meier para cada de falha. A Figura 5.1 apresenta a função de confiabilidade ajustada pelo modelo Weibull ( ) e o estimador de Kaplan-Meier ( ) e a Figura 5.2 apresenta a taxa de falha ajustada pelo modelo Weibull, para cada um dos quatro diferentes grupos com determinado número de amostras ( ) sujeitas a diferentes níveis de voltagem (kv).

26 TABELA 5.3: Estimativas da função de confiabilidade do modelo Weibull e para o estimador de Kaplan-Meier. kv = 30 e kv = 32 e K-M Weibull K-M Weibull 7,74 0,909 0,917 0,27 0,933 0,925 17,05 0,818 0,818 0,40 0,867 0,908 20,46 0,727 0,784 0,69 0,8 0,877 21,02 0,636 0,778 0,79 0,733 0,868 22,66 0,545 0,762 2,75 0,667 0,752 43,40 0,456 0,582 3,91 0,600 0,707 47,30 0,364 0,553 9,88 0,533 0,559 139,07 0,273 0,156 13,95 0,467 0,493 144,12 0,182 0,145 15,93 0,400 0,467 175,88 0,091 0,092 27,80 0,333 0,354 194,90 0 0,070 53,24 0,267 0,224 kv = 34 e 82,85 0,200 0,147 K-M Weibull 89,29 0,133 0,136 0,19 0,947 0,960 100,58 0,067 0,118 0,78 0,895 0,889 215,10 0 0,038 0,96 0,842 0,868 kv = 36 e 1,31 0,789 0,836 K-M Weibull 2,78 0,737 0,726 0,35 0,933 0,899 3,16 0,684 0,703 0,59 0,867 0,843 4,15 0,632 0,647 0,96 0,8 0,768 4,67 0,579 0,621 0,99 0,733 0,763 4,85 0,526 0,612 1,69 0,667 0,646 6,50 0,474 0,541 1,97 0,600 0,606 7,35 0,421 0,509 2,07 0,533 0,593 8,01 0,368 0,486 2,58 0,467 0,529 8,27 0,316 0,477 2,71 0,400 0,515 12,06 0,263 0,372 2,90 0,333 0,494 31,75 0,211 0,124 3,67 0,267 0,419 32,52 0,158 0,119 3,99 0,200 0,391 33,91 0,105 0,111 5,35 0,133 0,296 36,71 0,053 0,097 13,77 0,067 0,059 72,89 0 0,019 25,50 0 0,008

taxa de falha 0.04 0.08 0.12 0.16 taxa de falha 0.18 0.22 0.26 taxa de falha 0.005 0.015 taxa de falha 0.05 0.10 0.15 confiabilidade 0.0 0.4 0.8 confiabilidade 0.0 0.4 0.8 confiabilidade 0.0 0.4 0.8 confiabilidade 0.0 0.4 0.8 27 kv = 30 e ni = 11 kv = 32 e ni = 15 50 100 150 200 0 50 100 150 200 kv = 34 e ni = 19 kv = 36 e ni = 15 0 20 40 60 0 5 10 15 20 25 FIGURA 5.1: Função de confiabilidade ajustada pelo modelo Weibull e estimador de Kaplan-Meier kv = 30 e ni = 11 kv = 32 e ni = 15 50 100 150 200 0 50 100 150 200 kv = 34 e ni = 19 kv = 36 e ni = 15 0 20 40 60 0 5 10 15 20 25 FIGURA 5.2: Taxa de falha ajustada pelo modelo Weibull

28 5.2. Dados com censura (censura tipo II) Considere o exemplo extraído de Colosimo (2001), onde o fabricante de um tipo de isolador elétrico quer conhecer o comportamento de seu produto funcionando na temperatura de 200ºC. Um teste de vida foi realizado nestas condições usando 60 isoladores elétricos. O teste terminou quando 45 deles haviam falhado, sendo que 15 unidades que não haviam falhado foram censuradas em t = 2729 (censura tipo II). Os dados (em horas) são apresentados na Tabela 5.4. TABELA 5.4: Tempos das falhas dos isoladores elétricos. horas horas Horas 1 151 16 727 31 1329 2 164 17 785 32 1334 3 336 18 801 33 1379 4 365 19 811 34 1380 5 403 20 816 35 1633 6 454 21 867 36 1769 7 455 22 893 37 1827 8 473 23 930 38 1831 9 538 24 937 39 1849 10 577 25 976 40 2016 11 592 26 1008 41 2282 12 628 27 1040 42 2415 13 632 28 1051 43 2430 14 647 29 1060 44 2686 15 675 30 1183 45 2729 Para os dados do exemplo extraído de Colosimo (2001), os estimadores de máxima verossimilhança foram estimados em ˆ 1994 e ˆ 1, 28 estimativa da função de confiabilidade do modelo Weibull (4.4), é dada por:. Dessa forma a Rˆ ( ) ( ( ) ) ( 5.1)

29 A Tabela 5.5 apresenta as estimativas da função de confiabilidade (5.1) do modelo Weibull e de Kaplan-Meier para cada de falha. TABELA 5.5: Estimativas da função de confiabilidade do modelo Weibull e para o estimador de Kaplan-Meier (censura tipo II). K-M R ˆ( t ) K-M R ˆ ( t) 151 0,983 0,964 937 0,600 0,684 164 0,967 0,960 976 0,583 0,670 336 0,950 0,903 1008 0,567 0,659 365 0,933 0,893 104 0,550 0,648 403 0,917 0,879 1051 0,533 0,644 454 0,900 0,861 1060 0,517 0,641 455 0,883 0,860 1183 0,500 0,599 473 0,867 0,854 1329 0,483 0,552 538 0,850 0,830 1334 0,467 0,550 577 0,833 0,815 1379 0,450 0,536 592 0,817 0,810 1380 0,433 0,536 628 0,800 0,796 1633 0,417 0,461 632 0,783 0,795 1769 0,400 0,424 647 0,767 0,789 1827 0,383 0,409 675 0,750 0,779 1831 0,367 0,408 727 0,733 0,760 1849 0,350 0,403 785 0,717 0,739 2016 0,333 0,363 801 0,700 0,733 2282 0,317 0,304 811 0,683 0,729 2415 0,300 0,278 816 0,667 0,727 2430 0,283 0,276 867 0,650 0,709 2686 0,267 0,231 893 0,633 0,699 2729 0,250 0,224 930 0,617 0,686 Na Figura 5.3 são apresentadas a curva de confiabilidade do modelo Weibull ( ), e do estimador de Kaplan-Meier ( ). A estimativa para a taxa de falha é dada por: ĥ ( ) ( ) ( ) ( 5.2) A Figura 5.4 apresenta a taxa de falha do modelo Weibull, a qual é uma função crescente, pois ˆ 1, 28.

30 FIGURA 5.3: Função de confiabilidade para o modelo Weibull e para estimador de Kaplan Meier (censura tipo II). FIGURA 5.4: Taxa de falha (censura tipo II)

31 CONCLUSÃO O modelo Weibull tem sido a distribuição de probabilidade mais utilizada para ajustar conjunto de dados em análise de confiabilidade. Este modelo pode ser utilizado em dados com taxa de falha crescente, decrescente e constante, sendo essa a sua grande vantagem em relação a outros modelos e o que explica o grande sucesso deste modelo. Neste trabalho, os parâmetros do modelo Weibull foram estimados através das estimativas de máxima verossimilhança, utilizando um algoritmo do tipo Newton implementado na função nlm (non linear minimization) do pacote stats disponível no software free R. Utilizou-se a função de confiabilidade do modelo Weibull comparando-a graficamente com o estimador de Kaplan-Meier, onde observou-se, que o modelo Weibull ajustou-se bem a conjunto de dados com e sem censuras, ou seja, o modelo Weibull também pode ser utilizado com sucesso, na presença de dados censurados, os quais são bastante comuns em análise de confiabilidade. Também foi apresentada a função densidade de probabilidade e a taxa de falha do modelo Weibull e sua relação com o valor do parâmetro de forma β..

32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COLOSIMO, E. A. Análise de Sobrevivência Aplicada. 46ª Rbras. Piracicaba SP, 2001. COSTA W. C. P.; CARRASCO, C.G. Modelo Exponencial para dados de Sobrevivência e Confiabilidade TCC do curso de Licenciatura em Matemática, UEG/UnUCET, Anápolis GO, 2007. KAPLAN, E. L.; MEIER, P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. In: Journal of the American Statistical Association, v. 53, p. 457-481. LAWLESS, J.F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. New York: Wiley, 1982. LOPES, L.F. D. Análise de componentes principais aplicada a confiabilidade de sistemas complexos, Tese de doutorado, UFSC, Florianópolis SC, 2001. MAGALHÃES, M. N; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ª ed. rev. São Paulo: EDUSP, 2008. MEYER, P.. Probabilidade - Aplicações a Estatística. 2ª edição. Editora LTC, 1982. PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R: Uma Visão Estatística. Cadernos didáticos, Editora UFV, 2007. RYAN, T. P. Estatística Moderna para engenharia, Elsevier Editora LTDA, 2009. SIMONETTI, M. J; SOUZA, A. L.; SILVEIRA, L. F. S; ARRUDA, J. P. S. A importância da engenharia da confiabilidade e os conceitos básicos da distribuição de Weibull Faculdade de Tecnologia de Tatuí SP, 2008...