Gabarito da Lista 2 de Análise de Sobrevivência

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1 Gabarito da Lista 2 de Análise de Sobrevivência Monitor: Sérgio Felipe Prof a.: Marina Silva As questões são do livro: Análise de Sobrevivência Aplicada. Autores: Enrico A. Colosimo & Suely R. Giolo Editora: Edgard Blucher. Questões: 1. Cap 3, n o 2; 2. Cap 3, n o 3; 3. Cap 3, n o 4; 1

2 1 Questão 1 Deseja-se comparar duas populações de tempos de vida. Uma amostra de tamanho n (r ď n falhas) foi obtida da população 1 que tem distribuição exponencial com média α. Uma amostra de tamanho m (s ď m falhas) foi obtida da popualção 2 que tem distribuição exponencial com média α `. a) Estabeleça as hipóteses que se deseja testar. b) Apresente a função de verossimilhança para θ pα, q 1. c) Apresente o vetor escore pu pθqq e a matriz de informação observada pfpθqq. d) Obtenha as expressões dos testes de Wald e da razão de verossimilhanças para as hipóteses apresentadas em (a). 2

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7 2 Questão 2 Comandos do R. # 3) # Modo feito no Capítulo 2 require(survival) tempos=null cens=null grupo=null tempos=c(0.19,0.78,0.96,1.31,2.78,3.16,4.67,4.85,6.5,7.35,8.27,12.07,32.52,33.91,36.71,rep(40,10)) cens=c(rep(1,15),rep(0,10)) grupo=rep(3,25) # Estimador de Kaplan-Meier ekm=survfit(surv(tempos,cens) grupo) (bb=summary(ekm)) plot(ekm,lty=1,xlab="tempo (semanas)",ylab="s(t) estimada",main="estimador de Kaplan-Meier") (ajust1=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="exponential")) Lexp=ajust1$loglik[1] # log-likelihood exponencial (alfa1=exp(ajust1$coefficients[1])) (ajust2=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="weibull")) Lw=ajust2$loglik[1] # log-likelihood Weibull (alfa2=exp(ajust2$coefficients[1])) (gama=1/ajust2$scale) cbind(gama,alfa2) (ajust3=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="lognorm")) Llog_normal=ajust3$loglik[1] # log-likelihood log-normal (mu=ajust3$coefficients) (sigma=ajust3$scale) require(flexsurv) (ajust4=flexsurvreg(formula = Surv(tempos,cens) 1, dist="gengamma")) Lgama=ajust4$loglik[1] # log-likelihood gama generalizada # Gráficos time=ekm$time # os tempos distintos st=ekm$surv # função de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier ste=exp(-time/alfa1) # função de sobrevivência estimada pela exponencial stw=exp(-(time/alfa2)ĝama) # função de sobrevivência estimada pela Weibull stln=pnorm((-log(time)+mu)/sigma) # função de sobrevivência estimada pela log-normal cbind(time,st,ste,stw,stln) # Comparação entre as funções de sobrevivência paramétricas com a de Kaplan-Meier par(mfrow=c(1,3)) plot(st,ste,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): exponencial") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) plot(st,stw,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): Weibull") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) plot(st,stln,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): log-normal") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) # - Linearização: Pág # Explicação na Pág 97 par(mfrow=c(1,3)) invst=qnorm(st) plot(time,-log(st),pch=16,xlab="tempos",ylab=-log(s(t))",main="modelo Exponencial n x n Kaplan-Meier") plot(log(time),log(-log(st)),pch=16,xlab="log(tempos)",ylab="log(-log(s(t)))",main="modelo Weibull n x n Kaplan-Meier") plot(log(time),invst,pch=16,xlab="log(tempos)",ylab=expression(phiˆ-1*(s(t))),main="modelo Log-Normal n 7

8 x n Kaplan-Meier") par(mfrow=c(1,1)) # - Razão de verossimilhança e teste - (TRV1=2*(Lgama-Lexp)) (TRV2=2*(Lgama-Lw)) (TRV3=2*(Lgama-Llog_normal)) # Estamos testando se os modelos são adequados (p_valor1=pchisq(trv1,df=2,lower.tail=f)) (p_valor2=pchisq(trv2,df=1,lower.tail=f)) (p_valor3=pchisq(trv3,df=1,lower.tail=f)) # - # Comparação entre as curvas das funções de sobrevivência paramétricas com a de Kaplan-Meier par(mfrow=c(1,2)) plot(ekm,conf.int=f,xlab="tempos",ylab="s(t)") lines(c(0,time),c(1,stw),lty=2) legend(15,0.9,lty=c(1,2),c("kaplan-meier","weibull"),bty="n",cex=0.8) plot(ekm,conf.int=f,xlab="tempos",ylab="s(t)") lines(c(0,time),c(1,stln),lty=2) legend(15,0.9,lty=c(1,2),c("kaplan-meier","log-normal"),bty="n",cex=0.8) # - Conclusão da comparação dos modelos # Neste caso, o melhor modelo ajustado em todas as comparações realizadas # foi o modelo Log-Normal, e ele será o escolhido para fazer as demais análises. # - a) - # Percentil # lognormal: mediana exp(qnorm(0.5)*sigma+mu) # - b) - (aa=(-log(2)+mu)/sigma) (bb=pnorm(aa)) 1-bb # - c) - # Tempo médio # Weibull alfa2*gamma(1+1/gama) # log-normal exp(mu+sigmaˆ2/2) # - d) - exp(qnorm(0.80)*sigma+mu) exp(qnorm(0.20)*sigma+mu) # Este daqui está dando um resultado muito parecido com # o resultado da interpolação linear que fiz antes. 8

9 2.1 Seleção do Modelo Figura 1: Gráficos das sobrevivências estimadas por Kaplan-Meier versus as sobrevivências estimadas pelos modelos exponencial, de Weibull e log-normal Na Figura?? observamos que os modelos Weibull e log-normal são os que aparecem mais adequados para os dados, visto que acompanham mais de perto a reta y x, indicando serem um modelo possível para este 9

10 conjunto de dados. Figura 2: Linearização dos modelos exponencial, de Weibull e log-normal Na Figura?? vemos que a linearização dos modelos paramétricos exponencial, Weibull e log-normal, sendo os dois últimos os que mais se aproximam de uma reta. Deste modo é mais uma evidência para a escolha destes modelos para o conjunto de dados. Teste da Razão de Verossimilhança. Comparação do modelo Gama Generalizado com os modelos Exponencial, Weibull e Log-Normal. Para cada um dos testes de hipóteses verificado e cujos resultados estão na Tabela?? foram testadas as hipóteses H 0 : O modelo de interesse é adequado H 1 : O modelo de interesse não é adequado. Por modelo de interesse entenda que foi comparado cada modelo paramétrico (exponencial, Weibull e log-normal) com o modelo mais geral que é o modelo gama generalizado. Comparação dos modelos Estatística de Teste p-valor Gama Generalizado e Exponencial 9, , Gama Generalizado e Weibull 2, , Gama Generalizado e Log-Normal 2, , Tabela 1: Teste da Razão de Verossimilhança A regra de decisão foi baseada no p-valor, isto é, ao nível de significância de α 5%, se o p-valorą α não rejeita H 0 e se p-valoră α rejeita H 0. Assim, a partir dos dados da Tabela?? tanto no modelo Weibull quanto no modelo log-normal não se rejeita H 0 ao nível de significância de 5%, mostrando deste modo que existem evidências para que os modelos Weibull e log-normal sejam os mais adequados para o conjunto de dados ao nível de significância de 5%. A partir da Figura?? observa-se que a curva ajustada pelo modelo log-normal está melhor ajustada que a curva do modelo Weibull pois ela se aproxima mais da curva estimada por Kaplan-Meier. Neste caso, decido escolher o modelo log-normal como sendo o mais adequado para as análises visto que o p-valor do teste é maior e na Figura?? a curva estimada do modelo log-normal ficou mais próxima da curva estimada por Kaplan-Meier e ele será o escolhido para fazer as demais análises. 10

11 Figura 3: Curvas de sobrevivência estimadas pelos modelos de Weibull e log-normal versus a curva de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier Respostas das alternativas: a) Percentil da Log-Normal: 20, (mediana). b) 0, c) Tempo médio: 69, (Weibull) e 314, 0578 (Log-Normal). d) 148, 2375 p80%q e 2, p20%q. 11

12 3 Questão 3 Comandos do R: # 4) tempos=null cens=null grupo=null tempos=c(151,164,336,365,403,454,455,473,538,577,592,628,632,647,675,727, 785,801,811,816,867,893,930,937,976,1008,1040,1051,1060,1183,1329, 1334,1379,1380,1633,1769,1827,1831,1849,2016,2282,2415,2430,2686, 2729,rep(2729,15)) cens=c(rep(1,45),rep(0,15)) grupo=rep(3,60) # Estimador de Kaplan-Meier ekm=survfit(surv(tempos,cens) grupo) (bb=summary(ekm)) plot(ekm,lty=1,xlab="tempo (semanas)",ylab="s(t) estimada",main="estimador de Kaplan-Meier") (ajust1=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="exponential")) Lexp=ajust1$loglik[1] # log-likelihood exponencial (alfa1=exp(ajust1$coefficients[1])) (ajust2=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="weibull")) Lw=ajust2$loglik[1] # log-likelihood Weibull (alfa2=exp(ajust2$coefficients[1])) (gama=1/ajust2$scale) cbind(gama,alfa2) (ajust3=survreg(surv(tempos,cens) 1,dist="lognorm")) Llog_normal=ajust3$loglik[1] # log-likelihood log-normal (mu=ajust3$coefficients) (sigma=ajust3$scale) require(flexsurv) (ajust4=flexsurvreg(formula = Surv(tempos,cens) 1, dist="gengamma")) Lgama=ajust4$loglik[1] # log-likelihood gama generalizada # Gráficos time=ekm$time st=ekm$surv # função de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier ste=exp(-time/alfa1) # função de sobrevivência estimada pela exponencial stw=exp(-(time/alfa2)ĝama) # função de sobrevivência estimada pela Weibull stln=pnorm((-log(time)+mu)/sigma) # função de sobrevivência estimada pela log-normal cbind(time,st,ste,stw,stln) # Comparação entre as funções de sobrevivência paramétricas com a de Kaplan-Meier par(mfrow=c(1,3)) plot(st,ste,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): exponencial") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) plot(st,stw,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): Weibull") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) plot(st,stln,pch=16,ylim=range(c(0.0,1)),xlim=range(c(0,1)),xlab="s(t):kaplan-meier",ylab="s(t): log-normal") lines(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=1) # - Linearização: Pág # Explicação na Pág 97 par(mfrow=c(1,3)) invst=qnorm(st) plot(time,-log(st),pch=16,xlab="tempos",ylab=-log(s(t))",main="modelo Exponencial n x n Kaplan-Meier") plot(log(time),log(-log(st)),pch=16,xlab="log(tempos)",ylab="log(-log(s(t)))",main="modelo Weibull n x n Kaplan-Meier") plot(log(time),invst,pch=16,xlab="log(tempos)",ylab=expression(phiˆ-1*(s(t))),main="modelo Log-Normal n 12

13 x n Kaplan-Meier") par(mfrow=c(1,1)) # - Razão de verossimilhança e teste - (TRV1=2*(Lgama-Lexp)) (TRV2=2*(Lgama-Lw)) (TRV3=2*(Lgama-Llog_normal)) # Estamos testando se os modelos são adequados (p_valor1=pchisq(trv1,df=2,lower.tail=f)) (p_valor2=pchisq(trv2,df=1,lower.tail=f)) (p_valor3=pchisq(trv3,df=1,lower.tail=f)) # - # Comparação entre as curvas das funções de sobrevivência paramétricas com a de Kaplan-Meier par(mfrow=c(1,2)) plot(ekm,conf.int=f,xlab="tempos",ylab="s(t)") lines(c(0,time),c(1,stw),lty=2) legend(1000,0.9,lty=c(1,2),c("kaplan-meier","weibull"),bty="n",cex=0.8) plot(ekm,conf.int=f,xlab="tempos",ylab="s(t)") lines(c(0,time),c(1,stln),lty=2) legend(1000,0.9,lty=c(1,2),c("kaplan-meier","log-normal"),bty="n",cex=0.8) # - Conclusão da comparação dos modelos # Neste caso, o melhor modelo ajustado em todas as comparações realizadas # foi o modelo Log-Normal, e ele será o escolhido para fazer as demais análises. # - a) - # Tempo médio # log-normal exp(mu+sigmaˆ2/2) # - b) - # Percentil # lognormal: mediana exp(qnorm(0.5)*sigma+mu) # - percentual de falhas após 500 horas de uso - (aa=(-log(500)+mu)/sigma) (bb=pnorm(aa)) 100*(1-bb) 13

14 3.1 Seleção do Modelo Figura 4: Gráficos das sobrevivências estimadas por Kaplan-Meier versus as sobrevivências estimadas pelos modelos exponencial, de Weibull e log-normal Na Figura?? observamos que o modelo log-normal é que aparece mais adequado para os dados, visto que acompanha mais de perto a reta y x, indicando ser um modelo possível para este conjunto de dados. 14

15 Figura 5: Linearização dos modelos exponencial, de Weibull e log-normal Na Figura?? vemos que a linearização dos modelos paramétricos exponencial, Weibull e log-normal, sendo este último o que mais se aproxima de uma reta. Deste modo é mais uma evidência para a escolha deste modelo para o conjunto de dados. Teste da Razão de Verossimilhança. Comparação do modelo Gama Generalizado com os modelos Exponencial, Weibull e Log-Normal. Para cada um dos testes de hipóteses verificado e cujos resultados estão na Tabela?? foram testadas as hipóteses H 0 : O modelo de interesse é adequado H 1 : O modelo de interesse não é adequado. Por modelo de interesse entenda que foi comparado cada modelo paramétrico (exponencial, Weibull e log-normal) com o modelo mais geral que é o modelo gama generalizado. Comparação dos modelos Estatística de Teste p-valor Gama Generalizado e Exponencial 10, , Gama Generalizado e Weibull 6, , Gama Generalizado e Log-Normal 0, , Tabela 2: Teste da Razão de Verossimilhança A regra de decisão foi baseada no p-valor, isto é, ao nível de significância de α 5%, se o p-valorą α não rejeita H 0 e se p-valoră α rejeita H 0. Assim, a partir dos dados da Tabela?? somente no modelo log-normal não se rejeita H 0 ao nível de significância de 5%, mostrando deste modo que existem evidências para que o modelo log-normal seja o mais adequado para o conjunto de dados ao nível de significância de 5%. A partir da Figura?? observa-se que a curva ajustada pelo modelo log-normal está melhor ajustada que a curva do modelo Weibull pois ela se aproxima mais da curva estimada por Kaplan-Meier. Neste caso, o melhor modelo ajustado em todas as comparações realizadas foi o modelo Log-Normal, e ele será o escolhido para fazer as demais análises. Respostas das alternativas: a) Tempo médio: 2157,

16 Figura 6: Curvas de sobrevivência estimadas pelos modelos de Weibull e log-normal versus a curva de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier b) Percentil da Log-Normal: 1373, 018 (mediana). c) Percentual de falhas após 500 horas de uso: 14, 39557%. 16