O USO DA RAZÃO ÁUREA NO ENSINO DA MATEMÁTICA. Palavras-chave: Matemática, Arte, Razão Áurea, Natureza.

O USO DA RAZÃO ÁUREA NO ENSINO DA MATEMÁTICA Adilson Silva Chaves 1 Cláudia Georgia Sabba 2 Resumo A curiosidade do ser humano promoveu dedicação incansável em codificar a Natureza que o cercava, a princípio por uma necessidade de sobrevivência e depois por uma questão de transcendência (D Ambrosio, 2005). Nesse artigo, os autores tecem algumas reflexões sobre a possibilidade da utilização harmoniosa das relações entre a matemática, a arte e a natureza, com objetivo de levantar conhecimentos, que envolvem de um lado a Razão Áurea na natureza e de outro, a Razão Áurea como conhecimento a ser desenvolvido no processo de ensino e aprendizagem da matemática. A pesquisa mostra alguns exemplos de como é possível a realização do trabalho em sala de aula envolvendo a Razão Áurea, abordando diversos aspectos da natureza. Nesse âmbito, espera-se que com aulas diversificadas, o professor estimule a curiosidade e a criatividade do aluno, além de poder dar subsídios para que os docentes possam inspirar suas praticas didáticas. Palavras-chave: Matemática, Arte, Razão Áurea, Natureza. 1 Aluno de Iniciação Científica e da Graduação do curso de Matemática da Universidade Nove de Julho UNINOVE. bigadilson13@gmail.com 2 Orientadora da pesquisa de Iniciação Científica e professora do curso de Matemática da UNINOVE, líder do Grupo de Pesquisa e Estudos em Educação Matemática GPEEM. Professora do Programa de Mestrado Profissional em Gestão e Práticas Educacionais UNINOVE. cgsabba@gmail.com

I-Introdução A matemática é tão importante hoje como foi no surgimento das civilizações antigas. Nasce da necessidade do homem contar seus rebanhos, mensurar terras e resolver problemas à medida que estes aparecem. Não é preciso ser graduado em matemática para perceber sua importância na vida. Pensando assim como seria possível o desenvolvimento sem aula das ciências, engenharia, arquitetura, biologia, medicina e mesmo das artes? Não se pode negar sua importância, e papel no desenvolvimento da humanidade ao longo dos anos. Entretanto infelizmente ela tem sido muito mal quista pela grande maioria de nossos discentes. A forma como a matemática vem sendo ensinada na maioria das escolas pouco tem de sedutora, até mesmo, a culpabilidade imposta aos discentes, que não se interessam pela disciplina, faz-se injustamente (D AMBRÓSIO, 2010). A abstração com que se dá a prática didática do ensino de matemática torna os saberes muito distantes da realidade dos discentes. Sendo assim, este artigo procurará apontar algumas possibilidades de aprimoramento a pratica do ensino de alguns conteúdos matemáticos por meio de um número irracional. Não um irracional qualquer, um muito especial, que tem intrigado há séculos muitos estudiosos das ciências exatas. Tal número é considerado até enigmático, místico e também é conhecido, hoje, por diversos nomes, número de ouro, número áureo, razão áurea, seção áurea e divina proporção. Aqui, trataremos este número representado pela letra grega Fi (Φ) por Razão Áurea, mas o que há de tão especial neste número? Assim como sugere Livio (2011, p.13): Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas da rosa vermelha, do famoso quadro O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, e as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum? É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade. Como exemplo da Razão Áurea, podemos trazer situações do cotidiano do discente demonstrando que a matemática está mais próxima e presente do que ele imagina. É possível observar em diferentes espécies de plantas e flores algumas formas geométricas. É o caso das maçãs e peras, que quando cortadas no sentido de suas circunferências, revelam formas de estrelas de cinco pontas na estrutura de suas sementes. As 2

quais antes também observadas nas suas flores e em alguns animais espirais logarítmicas (DOCZI, 2004). De maneira exata ou aproximada tal número aparece em objetos como cartas de baralho, cartões postais, cartões de credito e na arte em alguns monumentos e pinturas famosas, como por exemplo, nas obras de Leonardo da Vinci (ATALAY, 2007). Como visto até aqui, por meio da Razão Áurea torna-se possível trabalhar com diversos temas na Educação Básica. Ao fim, o que se espera com este artigo é propiciar uma pesquisa na qual poderão se apoiar possíveis práticas didáticas relacionadas ao ensino de matemática. II-Um pouco da história da Razão Áurea A Razão Áurea é uma constante irracional, também conhecida na matemática como razão de ouro, divina proporção, número de ouro, entre outros. A relação do número Fi (Φ) tem como resultado uma aproximação igual a 1,618, ou seja, corresponde a: (1 + 5 = 1,6180339 ). A história deste 2 número enigmático e místico aparece desde a antiguidade (LIVIO, 2011). No Egito, há suspeitas que a Grande Pirâmide, (figura 1), fosse construída tendo em conta a Razão Áurea, tais suspeitas sugiram da afirmação do Figura 1: Pirâmides de Gizé historiador grego Heródoto 485-425 a.c. conhecido como pai da História, (apesar de muitos afirmarem, que é bastante improvável que os egípcios tenham descoberto a Razão Áurea e sua propriedades) assim como reforça Livio(2011,p.78): a historia mostrou que o apelo místico das pirâmides e o Numerismo Áureo podem ser mais forte do que qualquer evidência sólida. Os gregos também utilizaram a Razão Áurea em suas obras. Por volta de 447 e 433 a.c., foi construído na Grécia o Parthenon Grego (figura 2), o qual contém a razão áurea nos 3

retângulos que formam a fachada na relação (largura/altura), o que revela a preocupação em realizar uma obra bela e harmoniosa. Fídias, o escultor e arquiteto, foi o responsável pela construção desta obra e a designação adotada para este número Fi (Φ) é a inicial de seu nome; sendo que a Razão Áurea foi utilizada em muitas de suas obras. Este nome foi dado pelo matemático americano Mark Barr no início século XX. Figura 2: Parthenon Os Pitagóricos usaram também a Razão Áurea na construção da estrela pentagonal ou pentagrama (figura 3). Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que tudo é número, ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos. Eles não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros a Razão Áurea. Quando chegaram a está conclusão ficaram espantados, pois isso era contrário à lógica que conheciam e defendiam que fosse chamado de irracional. Figura 3: Pentagrama 4

A Razão Áurea está totalmente envolvida na natureza do crescimento, sendo encontrada na proporção de conchas, por exemplo, do náutilo (figura 4) e até na relação do número de machos e fêmeas nas colmeias das abelhas (dividindo o número de fêmeas pelo número de machos obtêmse aproximadamente o número Fi (Φ)). No crescimento das plantas, nas espirais de Figura 4: Concha do náutilo galáxias, nos dentes dos elefantes e nas ondas dos oceanos. Por estar tão frequente na natureza e no crescimento dos seres, o número ganhou um status de mágico, tornando-se alvo de pesquisadores, artistas e escritores (LIVIO, 2011). No corpo humano, são intrigantes as razões nas quais se encontram a Razão Áurea, quem melhor relacionou as ideias de proporção e simetrias aplicadas à concepção da beleza humana foi Leonardo da Vinci. Tais proporções foram bem representadas pelo Homem Vitruviano (figura 5), alguns exemplos: na altura do corpo humano pela medida do umbigo até o chão, entre a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça, a medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo, entre outros. O mais sábio e o mais nobre dos mestres é a própria natureza escreveu Leonardo da Vinci um dos maiores gênios da história, como artista, cientista, matemático e engenheiro (Vinci apud Atalay, 2007, p. 117). Figura 5: HomemVitruviano III-Calculando a Razão Áurea Antes de mostrar uma das formas de se calcular a razão áurea, é comum se deparar com o segmento áureo ou razão extrema e média. Segundo Livio (2011), a Razão Áurea aparece na obra Os Elementos do matemático Euclides de Alexandria, por volta de 300 a.c. Uma definição mais compreensível está no livro VI. Nas palavras de Euclides: Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior segmento,o maior segmento está para o menor. (Euclides apud Livio 2011, p.14). 5

Em outras palavras obtemos um segmento de reta qualquer AB (figura 6), e um ponto AB C entre AB, pode-se dizer que o segmento AB está dividido em razão extrema e média se AC AC =, ou seja, o segmento todo está para o segmento maior assim como o segmento maior CB está para o menor. Figura 6: razão extrema e média AB AC A partir da definição da razão extrema e média temos: =. Seja AC o AC CB a b segmento áureo de AB. Se AB=a, AC=b e CB=a-b, então, pela definição = b a b. + ab a 2. Se o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, então: b.b = a.(a b) b 2 Calculando pela fórmula de Báskara para encontrar o valor de a e, desprezando a raiz negativa, temos que: b( 5 + 1) a =, ou ainda: 2 a b ( 5 + 1) = = 1,61803398.= Φ (Extrema Razão). 2 Ao calcularmos o inverso da razão entre os segmentos, temos: b a ( 5 1) = = 0,6180339... = φ (Média Razão). 2 Esta é uma das demonstrações de se obter a razão áurea como foi apresentado em Livio (2011). Como pode se observar por meio desta demonstração alguns conceitos matemáticos envolvidos, cabe a docente explorar os conteúdos matemáticos que foram utilizados e explora-los junto com os discentes reforçando tais conceitos, por exemplo: números irracionais, proporção e equações entre outros. IV- Explorando o Retângulo Áureo O retângulo áureo é um dos retângulos mais utilizados pelo homem. Ele emprestou sua forma a cartões de credito, a crachás e outros objetos que usamos. Pode ser trabalhado em sala de aula, pois sua construção é simples. 6

Por essa característica possibilita o ensino, utilizando a relação do seu lado pela sua base, para mostrar a existência da Razão Áurea. Uma construção simples é mostrada através da figura 7. Partindo de um quadrado ABDC, devemos em seguida determinar o ponto F, ponto médio entre o seguimento CD, traçamos então, uma diagonal de F a B e prolongamos o seguimento CD para determinar um ponto G.Neste ponto G traçamos uma reta perpendicular e prolongamos AB. Figura 7: construção do Retângulo Áureo Assim determinamos o ponto H como mostra a (figura 7) assim obtemos o Retângulo Áureo AHGC. O retângulo menor formado BHGD é áureo, tal como AHCG e sucessivamente repetindo este processo infinitamente (figura 8), como afirma Livio (2011, p.103): Continuando este processo ad infinitum, produziremos Retângulos Áureos cada vez menores (cada vez com dimensões deflacionadas por um fator (Φ)). Figura 8: Retângulo Áureo O Retângulo Áureo por expressar estética e beleza, teve grande influência na arquitetura e na arte. Na Grécia destaca-se o Parthenon (figura 2) por expressar tamanha beleza, contendo a Razão Áurea, assim como afirma Atalay (2007, p. 99) Tanto a fachada leste quanto a fachada oeste do Parthenon formam retângulos áureos, ou seja, apresenta entre altura e comprimento a razão Φ. 7

Leonardo da Vinci fez parte do Renascimento italiano, artista, cientista e inventor um grade gênio, que relacionava a arte e ciência e nesse processo criava obras maravilhosas (ATALAY, 2007). Além de ser um estudioso de matemática (SABBA, 2004). Por exemplo, umas das mais conhecidas Monalisa, que apresenta a aplicação de retângulos áureos em torno de seu rosto e corpo como pode ser visto na figura 9. Outro exemplo da utilização de retângulos áureos é O sacramento da última ceia de Salvador Dali. As dimensões do quadro estão em uma Razão Áurea, formando um retângulo áureo e, os homens ajoelhados à frente representam o ponto de divisão áurea (LIVIO, 2011). Ainda pode ser visto a parte de um dodecaedro acima da mesa, que possui ligação direta com a Razão Áurea (figura10). Figura 9: Monalisa Figura 10: Sacramento da Última Ceia Do aqui exposto, estes são alguns dos modelos onde é possível verificar a existência, são apenas algumas amostras de onde encontramos a Razão Áurea. Nos dias de hoje, pode ser encontrado em muitos objetos do dia a dia, o que sugere ao docente uma boa opção de atividade, por exemplo, propor aos discentes uma atividade investigativa, onde eles meçam e verifique a razão entre cartões de crédito, documentos de identidades, capas de livros, cadernos até mesmo janelas e portas entre outros. Em seguida, podem fazer uma analise dos resultados, para confirma se tais objetos possuem a Razão Áurea ou se aproxima dela. V-A Razão Áurea no corpo humano Leonardo da Vinci representou de forma bela o desenho do Homem Vitruviano (figura 5), que hoje encontra na Galleria dell Accademia, Venesa. Segundo Marcus Vitruvius Pollio, 8

(70-25 a.c.) o ponto central do corpo humano é o umbigo, e se um homem se deitar de costas para o chão e estender as mãos e pés e centrar um compasso no umbigo, e descrever uma circunferência os dedos de suas mãos e pés irão tocar o circulo descrito (LIVIO,2011). Leonardo com obsessiva exatidão escreveu mais de oitocentas páginas para descrever a proporcionalidade do rosto para depois passar para o resto do corpo. Alguns exemplos conforme Atalay (2007, p.131), descritos por Leonardo são: A distância entre a fenda da boca e a base do nariz é um sétimo do rosto. [...]. A distância entre a boca e abaixo do queixo será um quarto do rosto da boca, assemelhando-se à largura da boca [...]. A distância entre o queixo e a base do nariz será metade do rosto. Se dividirmos em quatro partes iguais o comprimento total do nariz (ou seja, desde a ponta até a junção com as sobrancelhas),veremos que a parte inferior corresponde à distância entre acima das narinas e abaixo da ponta do nariz. Um possível exemplo de que Leonardo usou a Razão Áurea na sua arte está em um desenho de uma cabeça de ancião, feito a lápis por volta de 1490, mas por se tratar de um desenho com linhas feitas de modo grosseiro não pode ser efetivamente comprovado, como mostra a figura 12. Assim como Leonardo da Vinci outros artistas também se interessaram pela Razão Áurea. O arquiteto e pintor Le Corbusier (Charles-Édourd Jeanneret, 1887-1965) foi um grande defensor da Razão Áurea, teve grande influência na arquitetura moderna. Na busca de uma proporção padronizada, ele criou um sistema proporcional chamado Modulor (figura12). Figura 11: cabeça de ancião Figura 12: Modulor 9

O Modulor foi criado seguindo proporções humanas, uma vez que Le Corbusier acreditava que ele serviria como um modelo de padronização, que forneceria proporções harmoniozas a tudo e que variaria desde tamanhos de gabinetes e maçanetas a edifícios e espaços urbanos. As caracteristicas do Modulor foram bem descrevidas por Livio (2011, p.198): Um homem mendindo seis pés (cerca de 1,83 m ), parecendo um pouco com o familiar logotipo do Homem do Michelin, com seu braço erguido (até uma altura de 2,26 m). A razão entre a altura do homem (183 cm) e a altura de seu umbigo (no ponto médio de 113 cm) foi escolhida precisamente em uma Razão Áurea.A altura total(dos pés até o braço levantado) também estava dividido em uma Razão Áurea (em 140 cm e 86 cm ) no nivel do pulso de um braço solta para baixo. Le Corbusier utilizou na prática em alguns de seus projetos, por exemplo, no layout urbano de Chandigarh, na Índia, em quatro prédios gornamentais, um Parlamento, uma Suprema Corte e dois museus. VI-A Razão Áurea na natureza Na natureza, a Razão Áurea está ligada ao crescimento, de várias espécies de plantas e animais. Os numéros da sequência de Fibonacci depois de descobertos, passaram a surgir de maneiras diversas na natureza, por exemplo, na botânica temos a filotaxia que é a parte que estuda a disposição das folhas nos caules. As folhas e galhos crescem de uma maneira que aproveitem melhor sua exposição ao sol, chuva e ao ar como mostra figura 13 (LIVIO,2011). Mas o que a ligação da sequência de Fibonacci tem em comum com a Razão Áurea? Se analisarmos a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55....Veremos como reforça Livio (2011, p.121) que a razão entre dois números sucessivos de Fibonacci oscila em torno da Figura 13: disposição de galhos Razão Áurea (sendo alternadamente maior e menor), mas se aproxima cada vez mais dela. 10

A Espiral Áurea é um desses exemplos da Razão Áurea na natureza, foi descrita por Jacques Bernoulli(1654-1705) pesquisador associado a Razão Áurea e também ficou conhecida também com espiral logarítmica, cujo nome deriva da maneira de como raio da espiral aumenta, quando se afasta do centro sem alterar sua forma, tal característica é conhecida como auto-similaridade (figura 14). Na natureza, as espirais logarítmicas são mais comuns do que imaginamos, por exemplo, o casco do Náutilo (figura 4), os chifres dos carneiros (figura15), galáxias (figura 16) as presas do elefante, são exemplos de espirais Figura 14: Espiral Áurea logarítmicas. Lembrando que está espiral não é a mesma da Espiral Arquimediana, pois nesta a distância entre os rolamentos é a mesma (LÍVIO, 2011). Figura 15: Espirais em chifres Figura 16: Espirais em galáxias Uma observação curiosa, pode ser vista nos girassóis, as espirais cruzadas (figura 17) formadas pelo arranjo dos flósculos, percebe-se padrões de espirais tanto no sentido horário quanto anti-horários. O número de espirais varia conforme o tamanho do girassol, os mais comuns possuem 34 espirais em um sentido e 55 no outro e estes valores são razões entre Figura 17: Espirais cruzadas 11

números de Fibonacci. Em determinadas flores, o arranjo de pétalas também são formadas por números de Fibonacci, é o caso das margaridas-do-campo a maioria possui 13, 21 e 34 pétalas (LIVIO, 2011). O Razão Áurea também está presente em flores que apresentam forma de um pentágono, todas flores que possuem cinco pétalas. Outro exemplo, são as maçãs e peras, quando cortadas no sentido de sua circunferência, revelam a estrela pentagonal na estrutura de suas sementes, herdada do padrão original antes encontrado na suas flores como é possível observa na figura 18 (DOCZI, 1990). Figura 18: Flor da macieira, maçãs e peras e flor do loganbery Considerações finais Neste artigo, foi apresentado uma pequena amostra das inúmeras possibilidades de explorar a Razão Áurea no âmbito escolar, por ser este tema bastante amplo e digno de pesquisas mais aprofundadas. Na realidade escolar notamos a cada dia, certo desprendimento e desinteresse pela disciplina de matemática, este trabalho visou mostrar aos docentes algumas possibilidades de se trabalhar com a matemática e a arte de maneira estimulante, podendo apresentar aulas mais agradáveis, participativas e de maior palatabilidade pelos discentes. Por meio deste tema de pesquisa, é possível fazer uma relação histórica da matemática desde antiguidade até a atualidade com a Razão Áurea, pois ela está presente na natureza, em objetos, enfim, muito próxima a nós, nas coisas mais simples, sem que percebamos e com isso 12

esperamos despertar o interesse dos discentes por tratar de assuntos tão diversos e curiosos aliados aos cálculos matemáticos. Nesse sentido podemos afirmar que a Razão Áurea encantou o homem desde o século V a.c., e ainda hoje prende a sua atenção e curiosidade por expressar tamanha beleza, cabendo ao docente buscar aspectos e fundamentos desta relação para serem trabalhados pelos discentes. Esperamos que as explicações discorridas no presente artigo possam aguçar a curiosidade e a busca pelo conhecimento mais aprofundado do tema, e que este singelo artigo possa auxiliar os docentes nas atividades relacionadas ao tema, não com a pretensão de ser um manual de consulta, mas sim um ponto de partida para novas experiências nessa disciplina tão bela e tão importante que é a matemática, presente em nossas vidas desde as atividades mais simples, até as mais complexas de nosso cotidiano. Referências bibliográficas ALVES, S. Introdução às Construções Geométricas. São Paulo: IME/USP, 1991. ATALAY, B. A Matemática e a Mona Lisa: A Confluência da Arte com a Ciência. Tradução de Mário Vilela. Math and the Mona Lisa. São Paulo: Mercuryo, 2007. ÁVILA, G. Retângulo Àureo, Divisão Àurea e Seqüência de Fibonacci. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 6, 1985. BIEMBENGUT, M.S. Número de Ouro e Secção Áurea: Considerações e sugestões para a sala de aula. Blumenau: FURB, 1996. BOYER,C.B; Merzbach,U.C. Historia da Matemática.Tradução de Helena Castro.A history of mathematics. - São Paulo: Blucher, 2012. CONTADOR, P. R. M. Matemática Uma breve história volume I e II. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006. CONTADOR, P.R.M. Matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria da Física, 2008. D'AMBROSIO, Ubiratan. Volta ao mundo em 80 matemáticas. Revista Scientific American. 2. ed. São Paulo: Duetto Editora, 2010.282 p. 13

DOCZI, Gyõrgy. O poder dos Limites: Harmonias e Proporções na Natureza, Arte e Arquitetura. Tradução de Maria Helena de Oliveira Tricca e Júlia Bárány Bartolonei. The Power of Limits. São Paulo: Mercury, 2004. EUCLIDES. Elementos da Geometria. Tradução de Frederico Commandino. São Paulo: Edição Cultura, 1944. GALVÃO, M. E. L. História da matemática: dos números a geometria. Osasco: Edifieo, 2008. HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção: Um Ensaio Sobre a Beleza na Matemática. Tradução de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Universidade de Brasília, 1985. LAURO, M. M. A Razão Áurea e os Padrões Harmônicos na Natureza, Artes e Arquitetura. Exacta, São Paulo, v. 3, p. 35-48, 2005. LIVIO, M. Razão Áurea: A História do Phi. Tradução de Marco Shinobu Matsumura.The golden ratio - Rio de Janeiro: Record, 2011. SABBA, G. C. Reencantando a Matemática por meio da arte: o olhar humanísticomatemático de Leonardo Da Vinci. 2004. 255 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo. 2004. STEWART, I. Uma história da Simetria na Matemática. Tradução de Claudio Carina. Why beauty is truth: a history of simmetry. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. Figura1disponível em: http://www.google.com.br/search?q=piramides+de+gize&source=lnms&tbm=isch&sa=x&ei =49ZuUe_mHoyo9gSR_oDAAQ&ved=0CAoQ_AUoAQ&biw=1366&bih=643 (acessado em17/04/13 horário 12h31min) Figura 2 disponível em: http://www.google.com.br/search?q=parthenon&source=lnms&tbm=isch&sa=x&ei=a8duub SoKo3O9ATg9oCIDg&ved=0CAoQ_AUoAQ&biw=1366&bih=643 (acessado em 17/04/13 horário 14h00min) Figura 4 disponível em: http://www.google.com.br/search?q=concha+nautilus+fibonacci&source=lnms&tbm=isch&sa =X&ei=I9huUdLoOYLu9AT6wYCoCA&ved=0CAoQ_AUoAQ&biw=1366&bih=643 (acessado em 17/04/13 horário14h10min) 14

Figura 5 disponível em: http://www.google.com.br/search?q=homem+vitruviano+resumo&source=lnms&tbm=isch&s a=x&ei=snduue_eijly9qs404c4dg&ved=0caoq_auoaq&biw=1366&bih=643 (acessado em 17/04/13 horário 12h54min) Figura 9 disponível em: http://www.google.com.br/search?q=monalisa&aq=f&um=1&ie=utf- 8&hl=ptBR&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=qMZuUdz0LoSc9QSgkIBw&biw=1 366&bih=643 (acessado em 17/04/13 horário 13h00min) Figura 10 fonte: ATALAY (2007, p. 169) Figura 11 fonte: LIVIO (2011, p. 189) Figura 12 fonte: LIVIO (2011, p. 198) Figura 13 fonte: LIVIO (2011, p. 130) Figura 15 fonte: ATALAY (2007, p. 167) Figura 16 fonte: ATALAY (2007, p. 167) Figura 17 disponível em: http://www.google.com.br/search?hl=ptbr&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1517& bih=714&q=espiral+girassol&oq=espiral+girassol&gs_l=img.12 (acessado em 29/04/13 horário 15h00min) Figura 18 fonte: DOCZI (1990, p. 6) 15